ANALYSIS. Datei Nr INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK. Stand 25. November Friedrich W. Buckel. Theorie und Anwendung

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1 ANALYSIS Theorie und Anwendung Datei Nr. 0 Stand 5. November 008 Friedrich W. Buckel INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK

2 Inhalt Einleitung. Teil: Die Ableitungsfunktion f. Wie leitet man eine ganzrationale Funktion ab?. Ableitungsfunktionen für Tangentensteigungen. Steigung einer Geraden durch zwei Punkte. Steigung einer Lotgeraden. Steigung einer Tangente Berechnung von Tangentengleichungen 5 Grundaufgabe zu Tangenten? 6 Aufgaben zur Tangentensteigung 7. Wo steigt bzw. fällt eine Kurve (Monotonie) 8 Musteraufgabe : f(x) = x x 0 Musteraufgabe : f(x) = x x x Musteraufgabe : f( x) = x Musteraufgabe : f(x) = x + x 5 9 Musteraufgabe 5 f(x) = x x + Musteraufgabe 6: f(x) = x + x x x + 5 Polynomdivision und Horner-Schema 5 Aufgaben zur Monotonie 6. Teil: Die Ableitungsfunktion f 7. Was die Ableitung (von) der Ableitung erzählen kann. 7 Rechtskrümmung und Linkskrümmung. Musteraufgaben zur Krümmung Musteraufgabe 6: f(x) = x + x 0 Musteraufgabe 7: f(x) = x x Monotonie und Krümmung in Musteraufgabe 8: f(x) = x x x + x Musteraufgabe 9: f(x) = x x + Aufgaben zu Monotonie und Krümmung 6. Teil: Besondere Kurvenpunkte 7. Nullstellen 7. Extrempunkte 9. Wendepunkte 7. Terrassenpunkte und Flachpunkte.5 Extremwertbeweis ohne. Ableitung und bei Spitzen 6. Teil: Zusammenstellung der Aufgaben mit allen Lösungen 7-65

3 Einleitung hier mal wichtig Die Mathematik der Funktionen ist eigentlich eine streng wissenschaftliche Angelegenheit. Da gibt es viele Beweise, Theorien, Sätze und Behauptungen. Die Schüler versuchen mitzudenken und die Theorien zu verstehen. Dann aber werden die Anwendungen geübt und gedrillt. Und ganz schnell ist das Verständnis weg. Man weiß oft nur noch die einzelnen Schritte. Was aber eigentlich Spannendes dahinter steckt, und wie man sich manches leicht machen könnte, wenn man etwas mehr über die Hintergründe wüsste, das geht unter. Was bleibt sind starre Schemata, die sicher wichtig sind. Aber dies ist oft nur noch pures Rechnen ohne Sinn und Verstand. Daher versuche ich hier sicher zum Entsetzen mancher allzu streng wissenschaftlich orientierter Lehrer - dies etwas anders darzustellen. Es wird sehr viel gerechnet, aber es soll noch mehr verstanden werden. Die Anschaulichkeit wird groß geschrieben. Der zentrale Begriff, der hinter dem ganzen steckt ist die Monotonie von Funktionen. Diese Eigenschaft gib einfach Auskunft darüber, in welchen Bereichen eine Funktion wächst bzw. zunimmt, und wo sie abnimmt. Für das Schaubild der Funktion (genannt Kurve), geht es also darum, wo sie steigt oder fällt. Dann beobachten wir, wie sich die Zunahme bzw. Abnahme verändert, so kommen wir zur Krümmung von Kurven. Und über beide Begriffe zusammen erschließt sich die Welt der Extrem- und Wendepunkte. Viel Spaß bei einer der Lektüre mit viel Übungen und hoffentlich einer spannenden Mathematik. Übrigens geht es hier nur um ganzrationale Funktionen. Die Ergebnisse lassen sich auch auf andere Funktionen anwenden! Das gründliche Üben von Ableitungen kann mit in der Datei 0 nachvollziehen. Hier geht es vor allem um die Anwendung dieser Funktionen! Diese Thematik erfordert immer wieder das Lösen von Gleichungen bis. Grades. Dies wird gezeigt und darauf hingewiesen, in welchen Dateien man weiter üben kann (Horner-Schema, Polynomdivision).

4 0 Ableitungsstory. Teil: Die Ableitungsfunktion f In der Analysis werden Funktionen untersucht. Meistens bestimmt man wichtige Punkte ihres Schaubilds. Dazu berechnet man aus der Funktionsgleichung weitere Funktionen, die man Ableitungsfunktionen nennt. Sie haben ihre bestimmte Bedeutung und gestatten eine Vielzahl von Untersuchungen und Berechnungen. Die Berechnung dieser Ableitungsfunktionen nennt man Ableiten. Dazu gibt es bestimmte Regeln. So gibt es Grundregeln die für alle Funktionen gelten, wie etwa die konstante Faktorenregel, die Summenregel, die Produktregel und die Kettenregel. Darüber hinaus aber gibt es für jede Funktionsart eine spezielle Ableitungsmethode. In dieser Datei kümmern wir uns um ganzrationale Funktionen. Dabei erkläre ich spezielle Untersuchungsmethoden, die dann auf die anderen Funktionsarten übertragbar sind. Man muss nur eben dazulernen, auf welche Weise man andere Funktionen ableitet.. Wie leitet man eine ganzrationale Funktion ab? Ganzrationale Funktionen haben üblicherweise Gleichungen, die so aussehen: f( x) = x + x, f(x) = x + x + 5x, f(x) x x 8 = +,. Der Funktionsterm besteht also aus Summanden der Form "Zahl mal x Potenz". Eine ganzrationale Funktion. Grades etwa so: f( x) = a x + a x+ a etwa: f( x) = x + x 0 Eine ganzrationale Funktion. Grades etwa so: f( x) = a x + a x + a x+ a etwa: f(x) = x + x + 5x 0 Eine ganzrationale Funktion. Grades etwa so: f( x) = a x + a x + a x + a x+ a etwa: f(x) = x + x. 8 (mit a = ; a 8 = 0; a = ; a= 0 und a0 = Diese Zahlen nennt man die Koeffizienten!) 0 Die Ableitungsvorschrift lässt sich etwas unmathematisch so beschreiben: Leite jeden Summanden für sich ab (Summenregel), lasse jeden Koeffizienten n n- unverändert stehen (Konstante Faktoren Regel) und wandle x um in nx (Potenzregel). Dabei fällt das Absolutglied weg (Aus ao wird 0!) So wird aus f( x) = x + x f' ( x) = x+ und aus f(x) = x + x + 5x f' ( x) = x + x + 5x und aus f(x) = x + x ( ) f' x = x + x. 8

5 0 Ableitungsstory Übersicht über die Ableitungsregeln. Die Potenzregel: ( ) n ( ) n- kurz: ( x ) I Beispiele: ( x ) I f x =x = x, ( x ) I = x, ( x ) I = x und f' x =n x = n x n n O n x 0 x 0 = =!!!. Konstante-Faktoren-Regel: ( ( )) I I k f x =k f (x) Diese Regel besagt, dass beim Ableiten ein konstanter Faktor unberücksichtigt stehen bleibt. I Beispiele: ( ) 5 ( ) I. Summenregel: 5x = x = 5 x = 5x I I ( ) ( ) x = x = x = x ( ) I I I u(x)+v(x) =u(x)+v(x) Mit anderen Worten: Jeder Summand wird für sich selbst abgeleitet. Beispiele: I (5x x + 7x ) = 5 x x + 7 ( ) I x x + x + = 5x x + = x x Produktregel: Diese Regel wird bei ganzrationalen Funktionen eigentlich nicht gebraucht, weil man Produkte hier immer ausmultiplizieren kann. Dennoch ein Beispiel: I ( ) I I u(x) v(x) = u (x) v(x) + u(x) ( ( 5x )) x I ( 5x x ) x = x + x (0x ) + + =... Man könnte statt dessen auch die abzuleitende Funktion auf diese Form bringen und dann erst ableiten: I I 5 ( ( )) ( ) x 5x x + = 5x x + x = 5x x + x Ableitungsbeispiele zu ganzrationalen Funktionen: v (x) (a) (b) (c) f(x) = x + x + 5x f(x) = x + x 8 f(x) = x + x 5x + x 6 I f (x) = x + x + 5 I f(x) = x + x I f(x) = x + x 0x Wenn man eine Ableitungsfunktion nochmals ableitet, erhält man die zweite bzw. dritte Ableitung. Zu den eben gezeigten Beispielen folgt dann: Zu (a) f''(x) = 6x+ und f '''(x) = 6 Zu (b) f''(x) = x + und f '''(x) = x Zu (c) f''(x) = x + x 0 und f'''(x) = 6x+ Siehe 0 Ableitungsfunktionen

6 0 Ableitungsstory. Ableitungsfunktionen für Tangentensteigungen Im Unterricht kommt man irgendwann an die Stelle, wo die Frage nach der Tangente an eine Kurve auftaucht. Eine Tangente ist bekanntlich eine Gerade MERKE: Eine Gerade hat entweder eine Gleichung der Form y= mx+ n (dann läuft sie nicht parallel zur y-achse) oder ihre Gleichung lautet x = c (dann aber liegt sie parallel zur y-achse). Soll man die Gleichung einer Geraden (die nicht parallel zur y-achse) verläuft aufstellen, dann verwendet man in der Regel die Punkt-Steigungs-Form: ( ) y y = m x x Dabei stellen x und y die Koordinaten eines Punktes dar, der auf dieser Geraden liegt, also P( x y ) ist ein Geradenpunkt, und m ist die Steigung (oder der Anstieg) der Geraden. Methoden zur Bestimmung der Steigung einer Geraden. Steigung einer Geraden durch zwei gegebene Punkte Als Steigung definiert man den Tangens des Steigungswinkels α in einem Punkt A. Daher erhält man diese Formel Δy mab = tan α = Δ x wobei Δ x = xb xa die Differenz der x-koordinaten und Δ y = yb ya die Differenz der y-koordinaten ist. A α Δx B L g Δy Beispiel: A ( I ) und B ( 5 I ) m AB Δy = = = Δx 5.. Steigung einer Lotgeraden Soll man von einem Punkt Q ( - I ) aus das Lot L auf eine Gerade g fällen, dann nützt man folgende Formel aus: Sind g und L orthogonale (d.h. aufeinander senkrecht stehende) Geraden, dann gilt: mg ml = d.h. ml = m Man sagt, dass die Steigung des Lotes der negative Kehrwert der Steigung von g ist. g Beispiel: Unsere Gerade g durch A und B hatte die Steigung m g = Dann hat das Lot auf g die Steigung m L =

7 0 Ableitungsstory Beide Methoden versagen jedoch, wenn man die Steigung einer Tangente sucht. Die Mathematik hat ein Verfahren entwickelt (siehe Datei 0), wie man aus einer Sekantensteigung (durch zwei Kurvenpunkte) die Steigung der Tangente herleiten kann. Das Ergebnis ist die erste Ableitungsfunktion f.. Steigung einer Tangente Die Werte der. Ableitungsfunktion sind Tangentensteigungen. MERKE: Tangentensteigungen berechnet man, indem man die x- Koordinate des Berührpunktes in die. Ableitungsfunktion einsetzt. Berührpunkt P( x y ) m = f' ( x ) T Beispiel Gegeben ist die Funktion f( x) = x x+ Gesucht ist die Tangente an der Stelle x =. Wir berechnen zuerst die y-koordinate des Berührpunkts A: f () = + = Ergebnis: A( ) Wir benötigen jetzt die. Ableitungsfunktion: f' ( x) = x, setzen darin die x-koordinate des Berührpunktes A ein und erhalten die Tangentensteigung in A: m = f' () = = Nun wollen wir noch die Tangentengleichung aufstellen. Dazu verwenden wir oben genannte Punktsteigungsform: y y = m x x A T( A) Wir setzen ein : A( ) und m = -. Also y+ = ( x ) Durch Umstellen folgt daraus: T y= x+ A Siehe Abbildung! T

8 0 Ableitungsstory 5 Beispiel Gegeben ist die Funktion f(x) = x x x Gesucht ist die Tangente an der Stelle x =. Wir berechnen zuerst die y-koordinate des Berührpunkts A: f() = = = 0 Ergebnis: P ( ) Wir benötigen jetzt die. Ableitungsfunktion f'(x) = x x, setzen darin die x-koordinate des Berührpunktes A ein und erhalten die Tangentensteigung in A: mt = f'() = = 0 Die Tangente in A hat die Steigung 0 und verläuft somit parallel zur x-achse. Für ihre Gleichung benötigt man somit nicht die Punkt-Steigungsform. Eine Parallele zur x-achse hat eine Gleichung der Form y = n, hier also y =, denn sie geht ja durch A. 0 Beispiel 5 9 Gegeben ist die Funktion f(x) = x x + Gesucht ist die Tangente an der Stelle x = -. Wir berechnen zuerst die y-koordinate des Berührpunkts A: f( ) = + = = 0 Ergebnis: P( 0) Wir benötigen jetzt die. Ableitungsfunktion f'(x) = x 5x, setzen darin die x-koordinate des Berührpunktes A ein und erhalten die Tangentensteigung in A: m = f'( ) = + 5= Mit der Punkt-Steigungs-Form stellen wir die Tangentengleichung auf: ( ) y y = m x x also ( ) y 0 x y x = + = + T MERKE: Eine Tangentengleichung erstellt man mit der Punkt-Steigungsform y-y =m( x-x ) m =f' x kann man diese Wegen y =f( x ) und T ( ) Tangentengleichung so ansetzen: y-f( x ) =f' ( x ) ( x-x )

9 0 Ableitungsstory 6 Grundaufgabe zu Tangenten Es gibt eine ganze Reihe von Aufgabenstellungen zur Tangente. Dazu gibt es eine eigene Datei mit der Nummer 0 (ganzrationale Funktionen Tangenten). Hier seie eine Fragestellung erwähnt: Grundaufgabe: In welchem Kurvenpunkt hat eine Tangente die Steigung m? Beispiel Gegeben ist f(x) = x x +. Die Frage lautet: Wo ist die Tangentensteigung -? Dazu gleich die Ableitung: f '(x) = x. Zur Erinnerung: Will man die Tangentensteigung berechnen, muss man die f' x x-koordinate des Berührpunkts in die Funktion ( ) einsetzen: m= f' ( x ) Hier liegt die umgekehrte Aufgabe vor: Wir kennen die Steigung m und suchen die Berührstelle x der Tangente. Wo hat f den Wert -, wo also gilt: f' x = x =? ( ) Die Antwort lautet: Bei x =. Dazu berechnet man die y-koordinate so: y = f() = + = Ergebnis: Im Punkt B ( I ) hat das Schaubild K von f eine Tangente mit der Steigung. Will man ihre Gleichung, setzt man wieder in die Punkt-Steigungs-Form ein: ( ) 7 y = x y= x+ Beispiel Gegeben ist f(x) = x x 6x +. Wo hat das Schaubild von f die Tangentensteigung? Wir haben somit die Bedingung: f (x) = -. Weil f'(x) = x x 6 ist, bedeutet dies x x 6 = Führt zur quadratischen Gleichung x x = 0 mit den Lösungen ± 9+ 6 ± 5 x, = = = 6 7 Zu x = gehört f() = = 6 = Zu x = - gehört f(-) = = 7 = Ergebnis: In den Punkten P ( I ) und P ( - I 7 Schaubild von f die Tangentensteigung Schaubild von f die Tangentensteigung. ) hat das

10 0 Ableitungsstory 7 Beispiel 5 Wo hat das Schaubild der Funktion f mit f( x ) =x -x- waagerechte Tangente? eine Dies ist dieselbe Fragestellung wie zuvor, denn jetzt ist f (x) = 0 vorgegeben! Bedingung: f (x) = 0. Aus der Ableitung f (x) = x folgt damit x = 0 x = Dazu noch f( ) = 8 = 6 Ergebnis: In S ( I 6 ) hat K eine waagerechte Tangente. Da das Schaubild K von f eine Parabel ist, bleibt die Erkenntnis, dass wir offenbar den Scheitel der Parabel berechnet haben, denn nur dort kann eine Parabel eine waagrechte Tangente haben! AUFGABEN () Berechne die Gleichungen der Tangenten in den Punkten A und B zu (a) f(x) = x + 5x 5 mit A ( I? ), B ( - I? ) 5 (b) f(x) = x x + x mit A ( - I? ) und B ( I? ) (c) f(x) = x + x + mit A ( I? ) und B ( - I? ) 6 () Berechne die Kurvenpunkte, in denen die Tangente die vorgegebene Steigung hat: (a) f(x) = x + x 5 mit m T = - (b) f(x) = x x 7x + mit m T = 5 (c) f(x) = x 7 x + 8x mit m T = - 5 () Berechne die Scheitel der Parabeln, die durch folgende Funktionen definiert werden: (a) f(x) = x + x 5 (b) f(x) = x + x + 5 Achtung: Wir müssen künftig stets zwischen den Begriffen Funktion und Schaubild (Kurve, Graph) unterscheiden. Eine Funktion ist ein algebraischer Begriff, denn damit bezeichnet man eine Zuordnung oder grob gesagt eine eindeutige Berechnungsvorschrift. Ein Schaubild macht aus Zahl und Funktionswert einen Punkt und ist somit ein geometrischer Begriff Es ist demnach sinnlos, von der Tangente einer Funktion zu sprechen, oder von der Ableitung einer Kurve!!

11 0 Ableitungsstory 8. Wo steigt bzw. fällt eine Kurve? Anhand des Bildes der dargestellten Parabel schnelle anschauliche Antwort geben: y = x x kann man eine Rechts vom Scheitel S steigt die Kurve, und links fällt sie. Dabei hat man immer die Richtung der x-achse im Visier. Man durchfährt also quasi die Kurve von links nach rechts. Man kann die Monotonie, also die Zu- oder Abnahme von Funktionswerten durch Ungleichungen definiert. Das kann dann etwa so aussehen: S () Im Intervall [ [ ; folgt aus x x < die Ungleichung f( x ) < f( x ) Das heißt: zur kleineren (linken) Zahl gehört in diesem Intervall stets der kleinere Funktionswert, bzw. zur größeren (rechten) Zahl gehört stets der größere Wert. Diese Eigenschaft nennt man streng monoton steigend. f steigt (wächst) also im Intervall [ ; [ streng monoton. () Im Intervall ] ; ] fällt f streng monoton. Das heißt: x < x stets f( x ) > f( x ). In diesem Intervall folgt aus Das heißt: zur kleineren (linken) Zahl gehört in diesem Intervall stets der größere Funktionswert, bzw. zur größeren (rechten) Zahl gehört stets der kleinere Wert. Diesen Begriff der strengen Monotonie kann man auch abschwächen und das Wort streng weglassen. Das tut man dann, wenn die Funktionswerte in einem Intervall nicht nur zunehmen, sondern eventuell ein Stück weit konstant bleiben. x+ für x Die Funktion f( x) = für < x < x für x Beispielsweise wächst in ihrem gesamten Definitionsbereich D = R monoton, weil gilt: Für alle x x < gilt f( x) f( x). Sind x und x beispielsweise Zahlen aus dem Intervall [ ; ], dann gilt für sie f( x ) = f( x ), ansonsten gilt f( x ) < f( x ). Problem: Der Nachweis der Monotonieeigenschaft einer Funktion über diese Ungleichungen ist nur in ganz einfachen Fällen durchführbar und überfordert den schulischen Aufwand in der Regel. Gibt es daher eine andere, günstigere Nachweismethode für die Monotonie-Eigenschaft?

12 0 Ableitungsstory 9 Dazu stellen wir einen Zusammenhang zur Tangente her. Die Tangente verläuft in einem schmalen Bereich um den Berührpunkt ganz eng an der Kurve. (Dies ist zumindest bei fast allen in der Schule behandelten Funktionen so. Die Ausnahmen wollen wir hier außer Acht lassen.) Betrachte die folgende Aussage S Wenn die Tangente in einem Punkt steigt (d.h. eine positive Steigungszahl hat), dann steigt die Kurve an dieser Stelle auch. Das bedeutet, dass die Funktionswerte zumindest in einem kleinen Bereich links und rechts davon zunehmen, dass also f in einem kleinen Intervall streng monoton steigt. Die dargestellte Parabel gehört zur Funktion f mit der Gleichung f(x) = x x. Die eingezeichnete Tangente berührt die Kurve bei x =. Die Tangentensteigung berechnen wir aus der. Ableitungsfunktion: f (x) = x : m T = f () =. Diese positive Steigungszahl verrät uns auch ohne Abbildung, dass die Tangente steigt, also nehmen die Funktionswerte in einem schmalen Bereich um zu. Wie weit können wir uns diesen Bereich vorstellen? An Hand der Abbildung erkennen wir es: Das Intervall, in dem die Funktionswerte zunehmen, geht von bis Unendlich, in der Intervallschreibweise: M Z = ] ; [ ist der Bereich, indem die Funktion streng monoton wächst, d.h. mit zunehmendem x auch zunehmende Funktionswerte erhält. Man erhält dieses Intervall als Lösungsmenge der Ungleichung f (x) > 0 d.h. x > 0 d.h. x >. Wo nehmen die Funktionswerte streng monoton ab? Wir fragen: Wo hat die Funktion negative Tangentensteigungen? Das heißt für uns natürlich: Wo ist f (x) < 0 d.h. x < 0? Man erhält x < und das zugehörige Intervall lautet M A = ] ;[. Damit notieren wir diese erste Methode: Wenn f' ( x ) > 0, dann wächst f streng monoton. Wenn f' ( x)< 0, dann fällt f streng monoton. und zwar immer in dem Intervall, das Lösungsmenge dieser Ungleichung ist. Die Aufgabe Untersuche f auf Monotonie wird man hiernach also so lösen: ( ) ( ) f '(x) > 0 x > 0 x > x > f '(x) < 0 x < 0 x < x < f x = x x f' x = x Für x > wächst also f streng monoton und für x < fällt sie streng monoton. Und was ist mit dem Randwert x =? Den kann man natürlich zu beiden Fällen dazu nehmen, weil dort die Monotoniephase beginnt: f wächst streng monoton in [ ; [ und fällt streng monoton in ] ; ].

13 0 Ableitungsstory 0 Musteraufgabe (jetzt ganz ausführlich) Gegeben ist die Funktion f durch f( x) = x x. Berechne die Intervalle, in denen f streng monoton steigt bzw. fällt. (Andere Formulierung: Untersuche das Monotonieverhalten der Funktion f!) Lösung Aus f( x) = x x folgt f' ( x) = x. Der Lösungsweg besteht darin, herauszufinden, wo f' ( x) = x > 0 bzw. < 0 ist. Kurzlösung: x > 0 x > x > und x < 0 x < x < und Ergebnis: Für x wächst f streng monoton und für x fällt f streng monoton. (Die Grenzzahl darf man dazu nehmen!) Wichtige Überlegung für komplexere Aufgaben: Die Ableitung ist natürlich wieder eine Funktion und hat als Schaubild eine Gerade mit der Nullstelle x =. Da diese Gerade eine positive Steigungszahl m = hat, nehmen ihre y-werte nach rechts zu. Die Abbildung soll das andeuten: Für x > haben die Punkte der Gerade positive y-koordinaten, für x < negative. Da hier aber y= f' ( x) gezeichnet worden ist, heißt dies, dass für x > f' ( x) > 0 ist und für x < f' ( x) < 0. Für die Parabel, die zu f gehört, bedeutet dies: Für x steigt die Parabel, d.h. f wächst streng monoton, und für x fallt die Parabel, d.h. f fällt streng monoton. Anstatt ein Schaubild für f zu zeichnen überträgt man einfach die wesentlichen Dinge in eine kleine Tabelle, genannt Vorzeichentabelle: f' ( x) = x x = O + x Deutung: f(x) fällt wächst

14 0 Ableitungsstory Musteraufgabe Untersuche das Monotonieverhalten der Funktion f(x) = x x x (Das Schaubild der Funktion ist rechts abgebildet. Wir sehen also das Ergebnis schon vor Augen.) H H Lösung Ableitungsfunktion: f'(x) = x x. Wie müssen diese quadratische Ungleichungen lösen: x x > 0 bzw. x x < 0 T T Lösung mit Hilfe der so genannten Parabelmethode. Wichtige erste Feststellung: y=x -x- stellt eine Parabel dar, die nach oben geöffnet ist und zwei Nullstellen besitzt. Berechnung dieser Nullstellen von f durch f (x) = 0, d.h. ± + 8 ± x, = = = Die f' Parabel ist rechts abgebildet. Wichtige Folgerung daraus: Zwischen den Nullstellen verläuft die Parabel unterhalb der x-achse, in den Außenbereichen oberhalb der x-achse. Weil die Parabel f -Werte darstellt (!), heißt dies mit anderen Worten: x x = Für < x < ist f (x) < 0 und für x < - oder x > ist f (x) > 0. Bedeutung dieser Aussage für die zu untersuchende Funktion f: Für - < x < fällt und für x < - oder x > steigt f streng monoton. Man könnte auch so schreiben: Für x, d.h. in [ ; ] wächst f streng monoton. Dann hat man die beiden Randwerte wieder dazu genommen usw. Hier ist viel Text ist für eine Lösung notwendig, denn er ist wichtiger Teil der graphischen Lösung und ersetzt komplizierte Ungleichungen.

15 0 Ableitungsstory Musteraufgabe Es gibt einen Sonderfall, der jetzt behandelt werden muss. Dieser tritt z. B. bei der Funktion f(x) = x auf. Ihre Ableitung ist f' ( x) = x. Vom Vorzeichen her sind Quadrate nie negativ, d. h. es ergibt sich folgendes Vorzeichenverhalten für f : Es ist f' ( 0) = 0 (waagerechte Tangente bei x = 0, also in O) und sonst f' ( x) > 0 für alle x 0. Der waagrechte Verlauf findet nur an einem unendlich kleinen Punkt statt, nämlich in O. Es gibt also keine zwei Punkte auf gleicher Höhe. Die Folgerung x < x x < x gilt also im gesamten Definitionsbereich D = R. Also steigt die Funktion f im gesamten Definitionsbereich, und zwar auch dort, wo f (x) = 0 ist. Man muss sich aber klar werden, dass dies einzig daran liegt, dass f (x) = 0 hier auf eine Stelle begrenzt bleibt. Zusammenfassung: Wenn in einem Intervall f (x) > 0 ist, dann wächst dort die Funktion f streng monoton. Wenn in einem Intervall f (x) < 0 ist, dann fällt dort die Funktion f streng monoton. Dennoch gibt es Situationen, wo sogar bei f' ( x) 0 strenge Monotonie vorliegt, wie das Beispiel gezeigt hat. Das muss dann genau untersucht werden. Es sei ergänzend darauf hingewiesen, dass f x = x x + x die Funktion ( ) 5 0 auch in D = R streng monoton steigt. Ihr Schaubild hat an den Stellen und eine waagerechte Tangente, es gilt also f' x > 0. f' ( ) 0 ± = und sonst ( ) Das ist also ein weiteres Beispiel dafür, dass strenge Monotonie vorliegt, obwohl nicht überall f' ( x) > 0 gilt.

16 0 Ableitungsstory Musteraufgabe Untersuche das Monotonieverhalten der Funktion f mit f(x) = x + x Lösung. Wichtiger Text: Die Ableitungsfunktion f' ( x) = x + x hat als Schaubild eine nach oben geöffnete Parabel mit den Nullstellen 0 und. denn x + x= 0 x( x+ ) = 0 führt auf x = 0 und x = -. Also gilt: Für < x < 0 ist f (x) < 0, d.h. f fällt streng monoton. Für x < - oder x > 0 ist f (x) > 0 d.h. f wächst streng monoton Rechts das Schaubild von f (x) = x + x mit der Gebietseinteilung für die Vorzeichenuntersuchung.

17 0 Ableitungsstory Musteraufgabe 5 Untersuche das Monotonieverhalten der Funktion Nebenstehende Abbildung zeigt uns schon im Voraus, dass die Kurve zunächst fällt, dann steigt, dann wieder fällt und schließlich wieder steigt. Lösung f'(x) = x 5x= x (x 5) Berechnung der Nullstellen von f ergibt x = 0 und x, =± 5 f '( x ) ist jetzt ein Produkt aus zwei Faktoren: Der Faktor x und der Faktor x 5, der wiederum eine nach oben geöffnete Parabel mit den Nullstellen x =± 5 beschreibt., + f(x) = x x T H T Wenn wir jetzt die Gesamtwirkung beider Faktoren betrachten wollen, müssen wir eine so genannte Vorzeichentabelle aufstellen: + Erklärung zu dieser Tabelle: x x 5 f' ( x) O O + + O+ + + x Links stehen oben die beiden Faktoren von f' ( x ), darunter f' ( x ) selbst. Zu jeder der drei Nullstellen zeichnen wir eine senkrechte Linie, so dass sich eine Tabelle ergibt, in die wir Vorzeichen eintragen bzw. 0 als Zeichen für Nullstelle : Der Faktor x ist links von seiner Nullstelle 0 negativ, rechts von 0 positiv. Der Parabelterm x 5 hat zwischen seinen beiden Nullstellen ± 5 negative Werte und außen positive Werte. Durch Multiplikation wird aus zwei Zahlen mit verschiedenen Vorzeichen eine negative Zahl, mit zwei gleichen Vorzeichen eine positive Zahl. So entstehen in der. Zeile die Vorzeichen von f '( x ) in den jeweiligen Intervallen. Deutung der letzten Zeile für die Funktion f': Für x < 5 ist f (x) < 0, also fällt dort f streng monoton. Für 5 < x < 0 ist f (x) > 0, also steigt in diesem Intervall f streng monoton. Für 0 < x < 5 ist f (x) < 0, also fällt dort f streng monoton. Für x > 5 ist f (x) > 0, also steigt dort f streng monoton. In den Nullstellen von f, also bei 0 und ± 5 ist f (x) = 0. Dort hat die Kurve eine waagerechte Tangente. Die Berührpunkte sind Hochpunkte und Tiefpunkte der Kurve (siehe Abbildung oben).

18 0 Ableitungsstory 5 Musteraufgabe 6 Untersuche das Monotonieverhalten der Funktion Lösung f(x) = x + x x x + Ableitungsfunktion: f' ( x) = x + x x Nullstellen von f : f' ( x) = 0 d.h. x + x x = 0 Die Lösung dieser Gleichung. Grades geschieht mit dem Verfahren der Polynomdivision oder mittels Hornerschema. Beide setzen jedoch die Kenntnis einer Lösung voraus. Man kann das etwa in der Datei 0 nachlesen. Beispielsweise ist x = eine Lösung, denn man erhält f' ( ) = + = 0. Jetzt muss man den Linearfaktor ( x ) ausklammern. Dazu führt man entweder eine Polynomdivision durch, oder man wendet das Horner-Schema an: ( ) ( ) ( x x ) x x x : x x 5x + = + + 5x x ( 5x 5x) x ( x ) Horner Schema : 0 5 x = Beide Verfahren sollen hier nicht erklärt werden, außer dem Hinweis, dass man beim Hornerschema die blauen Ziffern aus der Gleichung entnimmt und dann die rote Null darunter setzt. Dann wird vertikal nach unten addiert und schräg herauf mit der Lösungszahl multipliziert. Wenn am Ende Null herauskommt, war x = eine Lösung, und die Ergebniszahlen 5 und sind die Koeffizienten des Terms, den man bei der Polynomdivision mit deutlich mehr Mühe erhält! (Siehe 0). Beide Verfahren ergeben eine Produktdarstellung der Ausgangsgleichung, d.h. aus x + x x = 0 wurde jetzt ( x )( x + 5x+ ) = 0 Setzt man die erste Klammer Null, erhält man die bekannte Startlösung x =. Setzt man die zweite Klammer Null, folgen die restlichen Lösungen: x + 5x+ = 0 mit x, 5± 5 6 5± = = = Also besitzt f ' die Nullstellen, - und -. Damit kann man den Ableitungsterm in ein Produkt zerlegen: f '(x) = (x )(x + )(x + )

19 0 Ableitungsstory 6 Vorzeichentabelle für f': - - x - x + Auswertung für f: x f (x) Für x < - und für - < x < ist f (x) < 0 d.h. f fällt streng monoton. Für < x < - und für x > ist f (x) > 0 d.h. f wächst (steigt) streng monoton. O O+ O Schaubild von f: Aufgabe Untersuche das Monotonieverhalten der folgenden Funktionen a) b) c) d) e) f) f(x) = x x 8x f(x) = x x f(x) = x + x f(x) = x x + x + f(x) = x + x + x f(x) = x + x x x +

20 0 Ableitungsstory 7 Beispiel. Teil: Die zweite Ableitungsfunktion f. Was uns die Ableitung von f' mitteilen kann. Die Funktion f(x) = x hat als Schaubild die abgebildete Parabel. Ihre erste Ableitungsfunktion ist f' ( x) = x, deren Schaubild die gestrichelte blaue Gerade ist. Dazu gehört diese Wertetafel x f ' (x) Wir beobachten, dass die Werte von f' zunehmen. Und zwar pro Einheit immer um genau, dies ist ja auch die Steigung der Geraden y = x. Wir wissen inzwischen, dass die Zunahme von Funktionswerten (Monotonie) mit der. Ableitung der Funktion untersucht werden kann: Das Vorzeichen der Ableitungsfunktion beschreibt das Verhalten der ursprünglichen Funktion. Will man nun die Zu- oder Abnahme der Funktion f' untersuchen, benötigt man f'' x =. folglich deren Ableitung, also die. Ableitungsfunktion: ( ) Anwendung unseres Wissen: Da f ''( x ) stets positiv ist, wächst die Funktion f' überall streng monoton (Die Gerade, die f' darstellt, steigt ja auch immer! ). Dies stimmt natürlich auch mit unserer Tabelle überein. Da f '( x ) Tangentsteigungswerte ergibt, folgern wir, dass entlang der ganzen Parabel die Tangentensteigungswerte zunehmen! Dies erkennt man am Schaubild daran, dass die Kurve nach links gekrümmt ist. Die Zunahme der Tangentensteigungsfunktion f ' ergibt somit für das Schaubild von f eine Linkskrümmung! Die Erkenntnis f'' ( x) = >0 liefert uns also eine Aussage über die Krümmung des Schaubilds von f. Der Zahlenwert sagt allerdings nichts über die Stärke der Krümmung aus. Die Parabel krümmt sich am Scheitel viel stärker als weiter außen. Diese Zahl ist ein Maß für die Zunahme der Steigung, aber kein Krümmungswert. Lediglich das Vorzeichen ist von Bedeutung. Halten wir fest, was wir aus diesem Beispiel erkennen: Weil ( ) f'' x > 0 ist im ganzen Definitionsbereich D=R, besitzt das Schaubild von f Linkskrümmung.

21 0 Ableitungsstory 8 Beispiel Die nebenstehenden Parabeln gehören zu den Funktionen f und g: Die Funktion f mit dem Schaubild K lautet: f(x) = x + x Die Gleichung von g mit dem Schaubild K ist g(x) = x + x Ableitungen von f: f'(x) = x+ und f''(x)= K K Da f'' ( x ) >0ist, wächst f ' überall streng monoton, d.h. die Parabel K hat Linkskrümmung. Ableitungen von g: g'(x) = x + und g''(x) =. Da g'' ( x ) <0 für alle x, fällt g' streng monoton, d.h. die Werte g (x) nehmen ab, die Kurve K hat Rechtskrümmung. Die Begründung der Rechtskrümmung geht analog zur Seite vorher, denn wenn g'' ( x) < 0 ist dann nimmt g' streng monoton ab, d.h. die Tangentensteigungen nehmen nach rechts hin ab, sagen wir von über nach 0 nach nach usw. Hier sind kurze Tangentenstückchen eingezeichnet. Die aus f berechnete Steigung steht dabei. m= 0 m= m= m= m= m = 5

22 0 Ableitungsstory 9 Beispiel In Musteraufgabe haben wir die Funktion f(x) = x x x auf Monotonie untersucht. Nebenstehend ihr Schaubild. Wir wollen nun ihr Krümmungsverhalten erkunden. Ableitungen: f' ( x) = x x und ( ) f'' x = x Um eine Aussage über die Krümmung von K machen zu können, müssen wir die Monotonie von f untersuchen und dazu eine Vorzeichenuntersuchung von f'' anstellen. H W T f'' ( x) = x stellt im Schaubild eine Gerade dar (rechte Abbildung). Das Vorzeichen von f ändert sich an ihrer Nullstelle, die bei x = liegt. Da die Gerade selbst eine positive Steigungszahl hat, nehmen die Werte nach rechts zu. Also hat f rechts von x = (rote gestrichelte Linie) positive Werte und links davon negative Werte. Dies kann man auch einfach so berechnen: ( ) f'' x > 0 x > 0 x> x> ( ) f'' x < 0 x < 0 x< x< f'' + x Dies kann man wieder übersichtlich in eine Vorzeichentabelle eintragen. Diese kann etwa so aussehen: f (x)=x f (x) nimmt ab nimmt zu O + x K Rechts- Linkskrümmung krümmung Der Kurvenverlauf lässt sich so beschreiben: Von links unten kommend krümmt sich die Kurve nach rechts, die Steigungszahlen nehmen ab! 7 f'' x 0 H. Dort hat sie erstens eine ( ( ) < ). Dann erreicht die Kurve ihren Hochpunkt ( 6 ) waagerechte Tangente f' ( xh ) = 0 und zweitens weiterhin Rechtskrümmung f'' ( xh ) 0 vom Hochpunkt fällt sie. An der Stelle x = ändert sich die Situation. Dort wechselt ( ) Vorzeichen, die Krümmung wechselt von Rechtskrümmung ( f'' ( x) 0 ( f'' ( x) > 0). Der Punkt W mit den Koordinaten W ( ) <. Rechts f'' x das < ) nach Linkskrümmung ist der Wendepunkt von K. Jetzt nehmen die f'-werte (die Steigungswerte) wieder zu, die Kurve K krümmt sich nach links. Dann 0 T in dem sie wieder erstens eine waagerechte Tangente erreicht die Kurve ihren Tiefpunkt ( ) hat ( f' ( x ) = 0), zweitens jetzt aber Linkskrümmung ( f'' ( x ) 0) T T >, denn rechts vom Tiefpunkt nehmen die Funktionswerte wieder zu. Die Kurve behält ab hier die Eigenschaften Steigen und Linkskrümmung bei. Es gibt also auch keinen weiteren Wendepunkt mehr.

23 0 Ableitungsstory 0 Musteraufgabe 6. Musteraufgaben zur Krümmung Untersuche das Krümmungsverhalten des Schaubilds der Funktion f mit f(x) = x + x (Siehe Seite ) Lösung f(x) x x = + hat die Ableitungen: ( ) f' x = x + x und f'' ( x) = x+ Nullstelle der Funktion f '' : Bed.: x + = 0 d.h. x W = - mit f() = 6. Das Schaubild von f '' stellt eine steigende Gerade (Steigungszahl ) dar, also hat f '' rechts von ihrer Nullstelle positive Werte, links davon negative. Stellt man das in einer Vorzeichentabelle dar, ergibt dies folgendes Schema: Vorzeichentabelle: f (x) = x + - O + f (x) nimmt ab nimmt zu x Schaubild K Rechtskr. Linkskr. 6 Und W ( ) ist der Wendepunkt des Schaubilds von f (weil dort das Vorzeichen von f wechselt, d.h. weil dort die Krümmung von K von rechts nach links wechselt). streng monoton steigend streng monoton fallend RKr W LKr streng monoton steigend LKr RKr x

24 0 Ableitungsstory Musteraufgabe 7 Untersuche das Krümmungsverhalten des Schaubilds der Funktion f mit Lösung f(x) = x x f(x) = x x hat die Ableitungen: Nullstellen von f'': f'(x) = x x und x = 0 x = x = ± = ±, f''(x) = x Das Schaubild von f '' ist eine nach oben geöffnete Parabel mit den Nullstellen ±. Also hat f'' zwischen diesen Nullstellen negative Werte und außen positive Werte. Vorzeichentabelle: f''(x) = x + O O + f'(x) = x x wächst. fällt wächst streng monoton Schaubild K von f Linkskr. Rechtskr. Linkskrümmung x Die Abbildung zeigt die Schaubilder von f, f und f Beginnen wir der roten Kurve: f'. Ihre Nullstellen liegen bei -, 0 und. f' ( ) = 0 bedeutet, dass K bei - eine waagerechte Tankente hat, entsprechend bei 0 und bei. Dort liegen die beiden f Tiefpunkte und der Hochpunkt. f'' Links von ist f' ( x) < 0 (rote Kurve unterhalb der x-achse), d.h. dass f (K) links von - fällt (bis zum Tiefpunkt T ). f' x > 0 (die rote Zwischen und ist ( ) Kurve oberhalb der x-achse) und f steigt von T bis zum Hochpunkt H usw. Nun die schwarze Parabel: f'' Sie hat ihre Nullstellen bei ± ± 0,6. Zwischen diesen Nullstellen verläuft die schwarze Parabel unter der x-achse, f'' x < 0, und wir haben für K eine ( ) Rechtskrümmung von W bis W. Links von 0,6 und rechts von + 0,6 verläuft die Parabel oberhalb der x-achse f'' ( x) > 0: Linkskrümmung. Und die Krümmung ändert sich an den Wendepunkten, also in W und in W. f' W W Diese Interpretation von f und f muss ein Schüler beherrschen! T H T

25 0 Ableitungsstory Große Musteraufgabe 8 Untersuche das Monotonieverhalten und das Krümmungsverhalten des Schaubilds der Funktion f mit f(x) = x x x + x Lösung 8 8 Ableitungen: f'(x) = x x x+ und 8 f''(x) = x x (a) Monotonieverhalten von f. (Methode: Vorzeichenuntersuchung von f ' ) Nullstellen von f': f' ( x) = 0 d.h. x x x+ = x x 6x + = 0 () Probierlösung: x = : = 0 Ausklammern des Linearfaktors ( x ) mittels Hornerschema x= Ergebnis: () wird damit zu (x )(x + 5x 6) = 0 () (Auf dasselbe Ergebnis kommt man auch mit Polynomdivision) Aus () folgt durch Nullsetzen der zweiten Klammer: x + 5x 6 = 0 d.h. 5± ± x, = = = 8 8 Zugehörende y-koordinaten: ( ) ( ) ( ) f( ) = + 0, f( ) = + = Nebenergebnis: In den Punkten H0,75 0,55 ( ), T ( 0 ) und T ( ) hat das Schaubild K je eine waagerechte Tangente. Zur Vorzeichenbestimmung von f muss man f'(x) in Faktoren zerlegen: f'(x) = (x )(x+ )(x ) Alle drei Klammern sind Linearfaktoren mit positiven Steigungszahlen, daher haben sie rechts von ihren Nullstellen positive Werte, links davon negative: Vorzeichentabelle: - x x + x f (x) O + O O f fällt wächst fällt wächst streng monoton x Ergebnis: Für x < - oder 0,75 < x < fällt f streng monoton und für - < x < 0,75 oder x > wächst f streng monoton.

26 0 Ableitungsstory (b) Krümmungsverhalten von K. (Methode: Vorzeichenuntersuchung von f '' ). Ableitung: Nullstellen von f'': f''(x) = x x. x x = 0 ergibt 6x x 8 = 0 ± ± 0 0,9 x, = =, Zugehörende y-koordinaten: f( 0,9),07 und f(,) 0,6 Jetzt ermitteln wir die Vorzeichen mit der Parabelmethode: Das Schaubild von f ist eine nach oben geöffnete Parabel, also sind die Werte von f zwischen ihren Nullstellen negativ, außen positiv. Ergebnis: Für x < - 0,9 und x >, ist f (x) > 0, d.h. f ' nimmt streng monoton zu, also hat K dort Linkskrümmung. f'' f'' f Für - 0,9 < x <, ist f (x) < 0, also nimmt dort f ' streng monoton ab, d.h. K hat Rechtskrümmung. f' H W An den Nullstellen von f findet offenbar Vorzeichenwechsel von f statt, also Krümmungswechsel von K, und wir finden dort zwei Wendepunkte von K: W ( - 0,9 I, ) und W (, I 0,6 ) W T Die Abbildung zeigt auch noch einmal den Zusammenhang zwischen den Nullstellen von f' und den Hoch- und Tiefpunkten von K. T Ferner kann man genau erkennen, dass in den Intervallen, in denen f' positive Werte hat, f streng monoton wächst, d.h. die Kurve steigt. Und dort, wo f' negative Werte hat, nimmt f ab, d.h. K fällt. Bestimmung der Art der Extrempunkte: Wir hatten dieses Ergebnis: In den Punkten H0,75 0,55 ( ), ( ) T ( ) T 0 und hat das Schaubild K waagerechte Tangenten. Nun schauen wir nach, wie sich die Kurve in diesen Punkten krümmt: Der Punkt H liegt mit x = 0,75 in dem Bereich, in dem K Rechtskrümmung hat. (Sie das Ergebnis der Krümmungsuntersuchung oben!) K hat also in H waagerechte Tangente und Rechtskrümmung, das ist nur bei einem Hochpunkt möglich. In den beiden Punkten T und T haben wir waagrechte Tangente und Linkskrümmung ( - < - 0,9 und >,9 ), das ist nur in einem Tiefpunkt vorstellbar. Wir haben also über die Krümmung ein Werkzeug, die Punkte näher zu bestimmen, in denen K eine waagerechte Tangente hat. (Siehe.!!! ) H T

27 0 Ableitungsstory Große Musteraufgabe 9 Untersuche das Monotonieverhalten und das Krümmungsverhalten 9 des Schaubilds der Funktion f mit f(x) = x x + Lösung Ableitungen: f'(x) x x = und f''(x) = x x a) Monotonieverhalten von f. (Methode: Vorzeichenuntersuchung von f' ) Nullstellen von f ' : Produktdarstellung: Vorzeichentabelle für f': x x f (x) x x = 0 d.h. x x = 0 x (x ) = 0 x = 0 ist eine doppelte Lösung, x =. f'(x) = x (x ) 0 + O + O f fällt fällt steigt Erklärung: Der quadratische Term x hat nie negative Werte, also sind seine Werte links und rechts seiner Nullstelle 0 positiv. Dagegen hat x die positive Steigungszahl, also sind seine Werte rechts von seiner Nullstelle positiv, links davon negativ. O O x Ergebnis: Für x < 0 und für 0 < x < fällt f streng monoton, für x > wächst f streng monoton. Achtung: Man kann die beiden linken Intervalle ] ;0[ und ]0;[ zusammen nehmen zu ] ;[, hat dann allerdings die Nullstelle 0 aufgenommen. Da dort f'(0) = 0 ist, muss man das Wort streng weglassen. Dann lautet das Ergebnis so: Für x < fällt f monoton, für x > wächst f streng monoton. Diese Besonderheit ist schon das erste Mal daran zu erkennen, dass f' bei 0 eine doppelte Nullstelle hat. Dort gibt es nie einen Zeichenwechsel. Wir merken uns für später (.): Eine doppelte Nullstelle von f führt zu einem besonderer Punkt der Kurve K von f, den man Terrassenpunkt nennt Wir halten gleich einmal fest, dass wir zwei Punkte mit waagerechter Tangente 9 E 0, von dem wir wissen, dass links und rechts davon die haben. Der Punkt ( ) Kurve fällt, es liegt ein Terrassenpunkt vor, und dann E ( ) Kurve fällt und rechts steigt, also liegt ein Tiefpunkt vor! 0 bei dem links die

28 0 Ableitungsstory 5 (b) Krümmungsverhalten von K. (Methode: Vorzeichenuntersuchung von f ) Ableitungen: f'(x) x x = und f''(x) = x x Nullstellen von f : x x = 0 bzw. x ( x ) = 0 x = 0 und x =. Produktdarstellung: f' ( x) = x( x ) Damit könnten wir jetzt eine Vorzeichentabelle für f'' erstellen. Es geht in diesem Falle aber auch mit der Parabelmethode: Das Schaubild von f'' stellt eine Parabel dar (siehe Abbildung), die nach oben geöffnet ist und zwei Nullstellen hat. Also sind die f''-werte zwischen diesen Nullstellen negativ und außen positiv. Ergebnis: Für x < 0 oder x > ist f (x) > 0, d.h. f wächst dort streng monoton und K hat dort Linkskrümmung. f'' f Für 0 < x < ist f (x) < 0, d.h. f fällt dort streng monoton und K hat dort Rechtskrümmung. W W Folglich liegt an den Stellen 0 und Vorzeichenwechsel von f vor, d.h. Krümmungswechsel der Kurve K, also hat K dort Wendepunkte. T f(0) = 9 =,5 und f() = 0,9 9 d.h. W ( 0 ) und W ( ) f' Man erkennt die Besonderheiten an den Stellen 0 und : Dort schneidet die f '' -Parabel die x-achse, d.h. dort liegen die Nullstellen von f ''. Im Intervall ] 0;[ ist f'' ( x) < 0, daher hat das Schaubild K von f dort Rechtskrümmung. Und die Eintrittspunkte links und rechts sind die beiden Wendepunkte. Ferner erkennt man den Terrassenpunkt W, der die Besonderheit hat, daß er einerseits eine waagerechte Tangente besitzt, andererseits aber Wendepunkt ist. Dies ergibt den terrassenartigen Kurvenverlauf! Und nochmals einen Blick auf den Tiefpunkt: In ihm hat die Kurve K waagerechte Tangente und Linkskrümmung, denn x = ist im Bereich der Linkskrümmung!

29 0 Ableitungsstory 6 Aufgabe 5 Untersuche das Monotonieverhalten von f und das Krümmungsverhalten des Schaubilds der Funktion f : a) b) c) d) e) f) f(x) = x x + x 9 5 f(x) = x + x + x f(x) = x x 5 f(x) = x + x x 6x 8 f(x) = x + x f(x) = x x Die Lösungen befinden sich am Ende der Datei

30 0 Ableitungsstory 7. Teil: Besondere Kurvenpunkte. Die Untersuchung von Funktionen verlangt vom Schüler in der Regel die Berechnung der Schnittpunkte mit der x-achse, deren x-koordinaten man auch die Nullstellen der Funktion f nennt. Dann Punkte mit waagerechter Tangente. Zu diesen gehören Hochpunkte und Tiefpunkte. Dann aber auch noch die schon angesprochenen Wendepunkte. Außerdem gibt es Sonderfälle, die weniger oft auftreten, und zwar Terrassenpunkte oder gar Flachpunkte. Die Berechnung all dieser Punkte kann ganz schematisch erfolgen. Der Schüler sollte jedoch die Methoden verstehen, die dahinter stecken, denn sie sind mit der besprochenen Monotonie zu begründen, was natürlich dem Verständnis dient und auch bei komplizierten Aufgaben von Nutzen sein wird.. Nullstellen Wenn eine Kurve die x-achse schneidet dann hat der Schnittpunkt die y-koordinate Null, weshalb man auch von einer Nullstelle spricht. Beispiel f(x) = x x x + x 8 8 Bedingung für Nullstellen: f(x) = 0 d.h. x x x + x = x x 8x + x = 0 Da das Absolutglied fehlt (d.h. Null ist), kann man x ausklammern: x(x x 8x + ) = 0 Dieses Produkt ist genau dann Null, wenn einer der beiden Faktoren Null ist. Also gibt es die beiden Fälle x = 0 und x x 8x+ = 0 () Im ersten Fall liegt schon die erste Nullstelle vor: x = 0. Zum Lösen der Gleichung () benötigt man eine bekannte Lösung (Probierlösung), etwa x =, denn = 0. Nun muss man wissen, dass man als Folge davon den Term ( x ) ausklammern kann. Dieses Ausklammern ist ein Divisionsvorgang, den man mittels Polynomdivision erledigen kann: (x x 8x + ) : ( x ) = x + x 6 - (x x ) x 8x - ( x x ) Oder man verwendet das Horner-Schema: - 6x + - ( - 6x + ) 0 x=

31 0 Ableitungsstory 8 In beiden Fällen erhält man als Ergebnis der Division den Term x + x 6. Daher kann man die Gleichung () x x 8x+ = 0 jetzt weiter zerlegen in ( x ) ( x + x 6 ) = 0. Setzt man die letzte Klammer Null, dann folgen die Lösungen x und x : x, ± + ± 5 = = = Damit haben wir x = und x = -. Nun muss auffallen, dass die Nullstelle doppelt aufgetreten ist, also gibt es in Wirklichkeit nur drei Schnittpunkte mit der x-achse: N ( 0 I 0 ), N ( I 0 ) und N ( - I 0 ). Die Funktion kann man jetzt noch in die Produktform bringen: 8 ( ) f(x) = x (x + ) x Und da es bei der doppelten Nullstelle keinen Vorzeichenwechsel gibt, wissen wir jetzt schon, dass hier ein Berührpunkt mit der x-achse vorliegt, das ist entweder ein Hoch- oder ein Tiefpunkt. Bemerkungen. Das Berechnen von Nullstellen erfordert die Kenntnis aller Methoden zum Lösen von Gleichungen. Das Horner-Schema wird in der Datei (0) erklärt.. In manchen Aufgaben ist der Schnittpunkt mit der y-achse zu berechnen. Dort ist die x-koordinate 0 und die y-koordinate wird durch f(0) berechnet. Bei ganzrationalen Funktionen ist das Ergebnis immer das Absolutglied des Funktionsterms.

32 0 Ableitungsstory 9. Extrempunkte - bitte mitdenken! Die Funktion f mit f(x) = x x hat in der mathematischen Fachsprache zwei Extremstellen, nämlich x = 0 und x =, an denen sie (die Funktion) Extremwerte hat: Bei 0 hat sie ein Maximum und bei ein Minimum. Das Schaubild K von f hat dort zwei Extrempunkte, nämlich den Hochpunkt T H0 ( ) und den Tiefpunkt. ( ) Man achte auf die Unterscheidung der Begriffe Funktion Kurve: H T Die Funktion ist ein algebraischer Begriff, der eine eindeutige Zuordnung definiert, die jeder Zahl x deren Funktionswert f(x) zuordnet, der hier durch den Term f(x) = x x + berechnet wird. Eine Funktion hat nur Werte und keine Punkte. 6 8 Und an der Stelle 0 hat sie eben den größten Wert. Aber wie man sieht, nicht absolut, denn bei x = 6, ist der Funktionswert mit f(6,) =,805 größer als das Maximum bei 0 mit f(0) =. Dennoch gibt es einen Bereich links und rechts von 0 die Mathematiker sagen eine Umgebung von 0, in dem kein Wert f(x) größer ist als f(0) =. Etwa so: In der Umgebung U (0) = ] ; 6] gilt f(x) f(0). Daher hat f bei 0 ein relatives Maximum. Die Kurve, also das Schaubild oder der Graph der Funktion f, ist ein geometrischer Begriff. K hat den relativen Hochpunkt H ( 0 I ). An der Stelle x = hat die Funktion ein relatives Minimum, weil es zu eine Umgebung gibt, etwa U () = [ ; [, in der kein Wert kleiner ist als f(), d.h. f(x) f(). Das Schaubild K hat also den relativen Tiefpunkt T ( I ). Erklärung: Unter ] ; 6] versteht man die Menge der Zahlen, für die gilt: x 6. Weil 6 noch zur Menge gehört, zeigt die Klammer nach innen. ist ausgeschlossen (Klammer nach außen), weil man Unendlich nie erreichen kann. Entsprechend bedeutet [ ; [ die Menge der Zahlen, für die gilt: x. Wegen die Eigenschaft, dass die Kurve in der Umgebung eines Hochpunkts links und rechts tiefer liegt als f(0) und in der Umgebung eines Tiefpunkts links und rechts höher liegt als f(), hat die Kurve dort waagrechte Tangenten. (Dies ist um Gottes Willen kein Beweis, denn es gibt andere Kurven, bei denen dies nicht der Fall ist. Doch in unserer Geschichte will ich davon berichten, dass ganzrationale und gebrochen rationale Funktionen diese angenehme Eigenschaft haben). Wir suchen daher immer nach Punkten mit waagrechten Tangenten, wenn wir Extrempunkte berechnen sollen. Ein Punkt mit einer schrägen Tangente lässt die Kurve rechts oder links weiter ansteigen und liefert bei unseren Funktionen keine Extrempunkte. Da die Tangentensteigung mit f' ( x ) berechnet wird, verlangen wir also bei unserer Suche nach waagerechten Tangenten stets f' ( x) = 0 als Bedingungsgleichung. Doch Achtung: Außer Hoch- und Tiefpunkten gibt es eine dritte Sorte von Punkten mit waagerechter Tangente!

33 0 Ableitungsstory 0 Schauen wir uns das Schaubild der Funktion f mit f(x) = x + an. 6 Diese Kurve besitzt auch einen Punkt mit waagerechter Tangente. Wir wollen ihn berechnen: f' ( x) = x. Aus f' ( x) = 0 also = folgt x = 0 x 0 mit f(0) =. K hat also in P ( 0 I ) eine waagerechte Tangente obwohl offensichtlich kein Extrempunkt vorliegt. Egal wie klein wir uns eine Umgebung um die Stelle 0 denken, stets sind links von 0 die Werte größer als und rechts von 0 kleiner als. Zum Beweis sehen wir uns einfach die Funktion f' x = x an. Da x nie negativ wird, wird ( ) f' ( x ) NIE POSITIV! Wenn x 0 ist, haben wir stets f' ( x) < 0! Also fällt die Kurve stets, außer für einen Moment bei x = 0! Bemerkung: Wir brauchen also ein Unterscheidungskriterium, das uns ohne Ansehen einer Zeichnung sagt, ob ein Punkt mit einer waagerechten Tangente Hochpunkt oder Tiefpunkt ist, oder gar ein Punkt wie hier (den man übrigens Terrassenpunkt) nennt. Dieses Hilfsmittel haben wir im. Teil dieser Abhandlung bereits entwickelt. Es ist die Untersuchung der Krümmung der Kurve, die wir über das Vorzeichen der zweiten Ableitungsfunktion durchführen können! Wiederholung: (Krümmungsuntersuchung) Gilt für ein Intervall a < x < b f'' ( x) > 0, dann hat das Schaubild K von f in diesem Intervall Linkskrümmung. Gilt in einem Intervall ( ) f'' x 0 <, dann hat K dort Rechtskrümmung! Will man, wissen, wie sich die Kurve im Punkt T( ) auf Seite 7 krümmt, berechnet man den Wert f'' ( ). Aus f(x) = x x + folgt f' 6 8 ( x) = x x und f'' 6 ( x) x 8 Und dann erhält man: f'' ( ) 0 =. = = = >. Also hat die Kurve K 8 in T Linkskrümmung. Man vergleiche dies mit der Abbildung!

34 0 Ableitungsstory. Hochpunkte unter der Lupe Es ist schwer, diesen anschaulichen Begriff mathematisch exakt zu definieren. Jeder sollte dies jedoch verstanden haben und von guten (Leistungskurs)Schülern erwartet man, dass sie diese Definition wiedergeben können. Definition: Eine Funktion hat an einer Stelle a ein relatives (lokales) Maximum, wenn es eine Umgebung Ua ( ) = x;x von a gibt, in der gilt f( x) f( a). Der zugehörige Kurvenpunkt heißt dann relativer Hochpunkt. Zur Identifikation mancher Hochpunkte: Wenn folgender Sachverhalt vorliegt: f' a = 0 und f'' a < 0 ( ) ( ) dann ist der Kurvenpunkt ( ) ( ) Ha fa ein relativer Hochpunkt, d. h. dann hat f bei a ein relatives (lokales) Maximum. Denn die erste Bedingung f' ( a) = 0 besagt, dass wir in H eine waagerechte Tangente haben, und die Eigenschaft f'' ( a) < 0 besagt, dass das Schaubild in H Rechtskrümmung hat. Dies ist nur bei einem Hochpunkt der Fall! Die Abbildung zeigt dies alles: Zuerst erkennt man das kleine Tangentenstück und die von unten mit Rechtskrümmung berührende Kurve, wodurch ein Hochpunkt entsteht. Und dann erkennt man die Definition des Hochpunkts. In der Umgebung Ua ( ) = [ x;x ] ist f(a) der größte Funktionswert; f x < f a! für jeden anderen gilt: ( ) ( ) f( x) H f( a) a x x ( ) Ua Wenn die Beziehung f( x) f( a) für alle x D gilt, dann haben wir bei a den absolut größten Funktionswert, also das absolute (oder Ha f a ist dann der absolute Hochpunkt. ( ) globale) Maximum und ( )

35 0 Ableitungsstory. Tiefpunkte unter der Lupe Definition: Eine Funktion hat an einer Stelle a ein relatives (lokales) Minimum, wenn es eine Umgebung Ua ( ) = x;x von a gibt, in der gilt f( x) f( a). Der zugehörige Kurvenpunkt heißt dann relativer Tiefpunkt. Zur Identifikation mancher Tiefpunkte: Wenn folgender Sachverhalt vorliegt: f' a = 0 und f'' a 0 ( ) ( ) > dann ist der Kurvenpunkt ( ) ( ) Ta fa ein relativer Tiefpunkt, d. h. dann hat f bei a ein relatives (lokales) Minimum. Denn die erste Bedingung f' ( a) = 0 besagt, dass wir in T eine waagerechte Tangente haben, und die Eigenschaft f'' ( a) > 0 besagt, dass das Schaubild in H Linkskrümmung hat. Dies ist nur bei einem Tiefpunkt der Fall! Die Abbildung zeigt dies alles: Zuerst erkennt man das kleine Tangentenstück und die von oben mit Linkskrümmung berührende Kurve, wodurch ein Tiefpunkt entsteht. Und dann erkennt man die Definition des Tiefpunkts. In der Umgebung Ua ( ) = [ x;x ] ist f(a) der kleinste Funktionswert; f x > f a! für jeden anderen gilt: ( ) ( ) f( x) T f( a) a x x ( ) Ua Wenn die Beziehung f( x) f( a) für alle x D gilt, dann haben wir bei a den absolut kleinsten Funktionswert, also das absolute (oder Ta fa ist dann der absolute Tiefpunkt. ( ) globale) Minimum und ( ) Anmerkung: Dass man mit den beiden Ableitungen so nicht alle Extrempunkte identifizieren kann, zeigt der rechts dargestellte Spitz-Hochpunkt. Dort hat K keine waagerechte Tangente!