Lernen Sie hier die Grundlagen der Analysis kennen DAS. braucht man in der Oberstufe! Wenig Theorie und viel Anwendung.

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1 Analysis Lernen Sie hier die Grundlagen der Analysis kennen DAS braucht man in der Oberstufe! Wenig Theorie und viel Anwendung. Ganz neue Fassung, angepasst an die geänderten Prüfungsbestimmungen Datei 0 Stand: 8. Dezember 0 FRIEDRICH W. BUCKEL INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK

2 0 Ableitungsstory Hinweise Dies ist nun die dritte Auflage dieses fundamental wichtigen Tetes. Diese neue Fassung wird notwendig, weil sich die Unterrichtsmethodik weitgehend verändert hat. Seit der Einführung von Grafikrechnern und CAS-Rechnern im Unterricht, ist es Schülern gestattet, Ableitungen komplizierterer Funktionen mit diesen Geräten berechnen zu lassen. Im Gegenzug dazu müssen sie mehr Verständnis für Fragestellungen aufbringen, die früher ohne diese modernen Geräte nicht in der Schule machbar waren. Dieser Tet erklärt sehr anschaulich und ausführlich die Methoden zum Nachweis bestimmter Kurvenpunkte (Hochpunkte, Tiefpunkte, Wendepunkte) bzw. Funktionseigenschaften (Monotonie, Zeitpunkt stärkster Änderung, Zu- bzw. Abnahme des Wachstums.) Der Leser sollte also nicht nur die Beispiele studieren und die Methoden lernen, sondern auch die Einführungsbeispiele durcharbeiten und Hintergrundwissen erwerben. Das hilft oft weiter. Ich verzichte in diesem Tet auf zusätzliche Übungsaufgaben. Es gibt 55 Musterbeispiele, die alle wichtigen Methoden musterhaft zeigen. Dazu wird in einigen Abschnitten darauf hingewiesen, wo man in dieser riesigen Mathe- Bibliothek der Mathe-CD entsprechende weitere Aufgaben findet. Der Vorgängertet (alte Version) wird unter der Nummer beibehalten. Dort hat es weitere Beispiele, vor allem auch für Flachpunkte, die hier nur noch gestreift werden.

3 0 Ableitungsstory Inhalt Bedeutung der Ableitungsfunktion f '. Kurzwiederholung: Ableiten. Erste Anwendung: Tangentensteigungen berechnen 5 Tangentengleichung aufstellen 6. Zweite Anwendung: Steigungen (und Gleichungen) von Normalen berechnen 0. Dritte Anwendung: Zu- und Abnahme von Funktionswerten: MONOTONIE Untersuchungsmethoden: Ungleichungen lösen Parabelmethode, Vorzeichentabelle Lösungen mit CAS-Rechnern (e-funktionen) Achtung: Falle bei einer unstetigen Funktion 5 Merkblatt 6 Bedeutung der Ableitungsfunktion f '' 8. Interpretation als Änderung der Ableitungswerte f' 8 Methode zur Untersuchung der Krümmung einer Kurve 9. Musterbeispiele zur Untersuchung der Krümmung 0 Bestimmung besonderer Kurvenpunkte. Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen. Punkte mit waagrechter Tangente 7.. Etrempunkte mit waagrechter Tangente 8 Drei-Schritt-Methode zur Etrempunkt-Berechnung 8.. Theoretisches zu Etrempunkten bzw. Etremwerten Absolute und relative Etremwerte... Nachweis von Randetrempunkten 5 Besonderheit bei Wurzelfunktionen: Senkrechte Tangenten 6.. Spitzen-Etrempunkte bei zusammengesetzten Funktionen 7. Wendepunkte 8 Wendepunkte mit waagrechter Tangente (Terrassenpunkte) Drei-Schritt-Methode zur Wendepunkt-Berechnung Wendepunkt an einer Nahtstelle einer zusammengesetzten Funktion. Ausnahmepunkte; Terrassenpunkte, Flachpunkte Ablaufschema zur Berechnung von Etrem- /Terrassenpunkten Flachpunkt-Untersuchungen 5 Anwendung auf Wachstumsfunktionen 8 Änderungsrate, maimale Zu- / Abnahme Anhang: Lösen von Ungleichungen 50

4 0 Ableitungsstory. Bedeutung der Ableitungsfunktion f'. Kurzwiederholung: Ableiten Es wird vorausgesetzt, dass der Leser die Kunst des Ableitens beherrscht. Der Tet 000 und weitere haben diese Rechenfähigkeit als Thema. Es gibt verschiedene Grundregeln des Ableitens und dann Rechengesetze zum Ableiten. Damit kann man im Grunde jede Funktion ableiten. In Zeiten des G8 und der stärkeren Konzentration der Oberstufenmathematik auf Anwendungsaufgaben verlagern sich die Prüfungsanforderungen weg von komplizierten Ableitungsberechnungen. In vielen Bundesländern muss man gebrochen rationale Funktionen, Logarithmusfunktionen u. a. nicht mehr in der Prüfung ableiten. Und da ferner die modernen Grafikrechner oder erst recht CAS-Rechner dies alles perfekt beherrschen, wird den manuellen Berechnungen der Ableitungen kaum mehr große Beachtung geschenkt. Lediglich in Pflichtaufgaben ohne Hilfsmittel werden Grundfähigkeiten noch getestet. Hier vier Ableitungsbeispiele: () Ganzrationale Funktion: () Gebrochen rationale Funktion: f f f' Umschreiben in Ableiten: f f' () Einfache Eponentialfunktion: f Potenzform e f' e e () Sinusfunktion: f sin f ' cos 6 cos. Jede Ableitungsfunktion kann man nochmals ableiten, wodurch die zweite Ableitung entsteht: Bei der Sinusfunktion z. B. folgt: f'' 6sinsin. TRAINING Ableitungen: Tet 00 Dort große Liste über weitere Tete zu Ableitungen

5 0 Ableitungsstory 5. Erste Anwendung: Tangentensteigungen berechnen Im Tet 0 wird gezeigt, wie man mit Hilfe einer Grenzwertmethode aus eine Sekantensteigung zur Tangentensteigung kommt. Und genau diese Methode beweist, dass die Funktionswerte der ersten Ableitungsfunktion Tangentensteigungen sind. Beispiel f f' Tangentensteigungen m f' 0 In A0 : A In B6 6 : B In C 7 : m f' 6 6 m f' 0 C Die Abbildung zeigt die zugehörenden Tangenten. Zu den Tangenten in A und B wurde zusätzlich jeweils ein Steigungsdreieck eingezeichnet. Zur Erinnerung: Aus einem Steigungsdreieck berechnet man die Steigung durch die Formel: y m Umgekehrt folgt daraus y m. Damit kann man beliebig große Steigungsdreiecke zeichnen: So habe ich für den Punkt B gewählt. Als Steigung wurde mb berechnet, also bekam ich y. Das heißt, dass die Tangente von B aus um nach rechts und um nach unten geht. Man beobachtet ferner, dass die Tangente in A steigt, weil ihre Steigung positiv ist, dass die Tangente in B fällt, weil ihre Steigung negativ ist, und dass die Parabel in C eine waagrechte Tangente besitzt, weil m f' 0 ist. C Beispiel f 8 f' Tangentensteigungen 9 In A 8 : ma f' 5 5 In B 8 : mb f' In C : m f' C

6 0 Ableitungsstory 6 Nun wollen wir zusätzlich die Gleichungen der Tangenten bestimmen (Tet 0) Mit der. Ableitungsfunktion kann man Tangentensteigungen berechnen. mt f' Mit der Punkt-Steigungsform kann man eine Geradengleichung aufstellen. yy m Für die Tangentengleichung folgt daraus: yf f' Oder als Tangentenfunktion geschrieben: f' y t f Beispiel f f' Bei = - liegt der Punkt A mit y f,67. A In ihm hat die Tangente die Steigung: f' Die Tangentengleichung lautet: y y Bei = 0 liegt der Punkt B mit yb f0 In ihm hat die Tangente die Steigung: f' 0 Die Tangentengleichung lautet: y 0 y 7 Bei = liegt der Punkt C mit yc f, In ihm hat die Tangente die Steigung: f' y y 7 Die Tangentengleichung lautet: Bei = liegt der Punkt D mit 7 y f 9 D In ihm hat die Tangente die Steigung: f' 96 Die Tangentengleichung lautet: y y 5 7

7 0 Ableitungsstory 7 Beispiel Lösung: Gegeben ist die Funktion f Berechne die Gleichungen der Tangenten an den Graphen von f in den Stellen - und.. Ableitungsfunktion: f' Tangentensteigungen bei = -: f' Tangentensteigungen bei = : f' 8 Berechnung der Berührpunkte: Bei Bei A : ya f A : y f 88 B B Erstellung der Tangentengleichung: B In A: y y In B: y 8 y 8 5 Beispiel 5 Lösung: Gegeben ist die Funktion f Berechne die Gleichungen der Tangenten an den Graphen von f an der Stelle =. 5 An welchen Stellen ist die Tangentensteigung? a). Ableitungsfunktion: f f' f' yb f y Tangentensteigungen bei = : Berechnung des Berührpunkts: Tangente in A : b) Wo ist die Steigung 5 y 5? Bed.: f' (Kehrwert) 9 8 8, 9

8 0 Ableitungsstory 8 Beispiel 6 Gebrochen rationale Funktion: f Wer sie noch nicht ableiten kann, überspringt dieses Beispiel. Zum Ableiten wird der Funktionsterm umgeschrieben in die Potenzform. Dabei steht immer der Koeffizient vor eine -Potenz. f Umformung: Ableitung: f' Potenzform Tangente bei A = -: ya f 5 ma f' 5 T A : y ( ) d. h. 5 y Tangente bei B = : 6 yb f ma f' T B : y ( ) d. h. y 8 8 / Beispiel 7 Jetzt eine Eponentialfunktion: f e Ableitung: Tangente bei A = 0: f' e e A / / 0 0 y f 0 e m f' 0 e A T A : y ( 0) d. h. y Tangente bei B = ln: ln/ y f ln e,5 B ln / Nebenrechnung: e ln ln ln e e e ln mb f' ln e ln ln ln e e e T B : y,5 (ln) y,5 ln y,5,5

9 0 Ableitungsstory 9 Beispiel 8 Sinusfunktion: f sin Ableitung: f' cos Tangente bei A y f sin sin 0 0 A ma f' cos T A : y0 ( ) y 0 Tangente bei T B : B = y f sin,8 B mb f' cos, cos y ( ) y,7 d. h. y,,7 TRAINING Tangenten: Tet 0 Tangenten, Normalen, alle Grundaufgaben!

10 0 Ableitungsstory 0. Zweite Anwendung: Steigungen von Normalen berechnen WISSEN:. Die Normale steht auf der Tangente in deren Berührpunkt senkrecht.. Für orthogonale Geraden gilt die Beziehung mm bzw. m m. Die Steigung einer Normalen berechnet man daher durch mn f' o. Die Gleichung einer Normalen in PO o f( o) lautet allgemein: yfo o bzw. y o f o f' f' o o Beispiel 9 f,5 Ableitung: f' Normale bei A = : A f' N A : y f,5,5 m N y,5 y,5 Normale bei B = -: yb f 9,5 0 f' N A : m N y0 y N B N A Beispiel 0 f Ableitung: Normale bei A = -: ya f f' mn y y N A : Normale bei B = : yb f f' mn N A : y 8 y 8,5 f'

11 0 Ableitungsstory. Dritte Anwendung: Zunahme und Abnahme von Funktionswerten Beispiel (Hinführung) f mit f'. MONOTONIE-Verhalten An vier Stellen wurden Kurvenpunkte A, B, C und D eingetragen, zusammen mit einem kurzen Stück Tangente. Man erkennt, dass die Tangenten in einem kleinen Intervall um die Berührstelle herum kaum von der Kurve zu unterscheiden sind. Voraussetzung hierfür ist, dass die Funktion an der Berührpunktstelle differenzierbar ist, was bei ganzrationalen Funktionen immer der Fall ist. Die Tangente stellt somit immer in einer kleinen Umgebung der Berührstelle eine Näherung der Funktion dar. Mit anderen Worten: Wenn die Tangente wie in A und B eine negative Steigung hat, dann fällt sie, und die y-koordinaten nehmen auf der Tangente nach rechts ab. Dies gilt dann auch innerhalb einer kleinen Umgebung auch für die Funktionswerte. Man formuliert das so: Ist in einem Intervall a b f' 0, dann nehmen in diesem Intervall nach rechts die Funktionswerte ab. Oder durch eine Ungleichungskette: Wenn in a b aus f f, dann fällt f in diesem Intervall streng monoton. folgt Bei unserer Funktion, deren Schaubild eine Parabel ist, liegt der Parabelscheitel bei =. Dort hat die Funktion ihr Minimum, also ihren kleinsten Wert, nämlich f. Also wissen wir, dass links davon die Funktion fällt. Das kann man rechnerisch so herausfinden: Fragestellung: In welchem Intervall fällt f? f' 0 Man löst die Ungleichung: 0 Dies bestätigt die Erkenntnis, dass f für < streng monoton fällt, ihre Werte also abnehmen. Rechts vom Scheitel steigt die Parabel, die Funktionswerte nehmen nach rechts zu. Allgemein: Ist in einem Intervall a b f' 0, dann nehmen in diesem Intervall nach rechts die Funktionswerte zu. Oder so: Wenn in a b aus f f, dann wächst f in diesem Intervall streng monoton. folgt Rechnerischer Nachweis: In welchem Intervall steigt f? f' 0 Man löst die Ungleichung: 0 Dies bestätigt die Erkenntnis, dass f für > streng monoton steigt, ihre Werte also zunehmen.

12 0 Ableitungsstory Beispiel Weitere Aufgabe zur Einführung in die Monotonie Untersuche das Monotonieverhalten der Funktion f mit f Wir entnehmen dem Schaubild die Ergebnisse, die wir unten berechnen: Vom linken Rand bis = - steigt die Kurve K, sie fällt von - bis, dann steigt sie wieder. Die Verben steigen und fallen beziehen sich auf die Darstellung als Kurve. Beschreibt man das Verhalten der Funktion, verwendet man besser andere Formulierungen: Für die Intervalle ; und ; sagt man: Die Funktion wächst streng monoton. Das heißt: Mit zunehmendem wird der Funktionswert größer. Dies beschreibt man durch eine Ungleichungs-Folgerung: Wenn in a;b aus Weiter: folgt f f, dann wächst f in z. B.: In ; ist -,5 < -,5 und es gilt: In ; ist,0 <,5 und es gilt: f,0 Weil in ; aus a;b streng monoton. f,5 f(,5) (s. Abb.) f(,5) folgt f f, nimmt f in -; streng monoton ab. z. B.: In ; ist - 0, <,0 und es gilt: f0, f,0. Berechnungsmethode für die Monotonie-Intervalle Zuerst die Ableitungsfunktion: f' Ziel der Rechnung: Wo ist f' 0 und wo gilt f' 0? Vorzeichenuntersuchung für f'. Hier eignet sich die Parabelmethode. Pflichttet: Das Schaubild von f' ist eine nach oben geöffnete Parabel. Ihre Nullstellen sind die Lösungen der Gleichung 0. 9, Zwischen diesen Nullstellen verläuft die f ' Parabel unter der -Achse d.h. für ist f' 0. In den Außenbereichen <- und > verläuft die f ' Parabel oberhalb der -Achse d. h. für < - oder > gilt f' 0. (s. Abb.) Ergebnis: Die Funktion f wächst für < - und > streng monoton, und in fällt sie streng monoton.

13 0 Ableitungsstory Beispiel Untersuche das Monotonieverhalten der Funktion f 5 9 mit f f' 5. Ziel: Wo ist f' 0 und wo f' 0? f. Berechnungsmethode für die Monotonie-Intervalle 5 f' Vorzeichenuntersuchung für f'. mit Hilfe einer Vorzeichentabelle. Faktorisierung des Funktionsterm von f'. f' 5 Hier gelingt das durch Ausklammern: Dann berechnet man die Nullstellen von f': 0,, 5. Das Vorzeichen von bestimmt. Diese trägt man in eine Vorzeichentabelle ein: O f' wird aus den Vorzeichen der Faktoren O Erklärung: Aus dem. Faktor denkt man sich die Gerade y gebildet. Sie hat ihre Nullstelle bei = 0 und steigt. Also hat sie links von 0 negative, rechts positive Vorzeichen. Aus dem. Faktor denkt man sich die Parabel y 5 gebildet. Diese ist nach oben geöffnet und hat die Nullstellen 5 Zwischen den Nullstellen haben ihre Punkte negative Vorzeichen, außen positive (Parabelmethode). Dies alles trägt man in die Tabelle ein. Aus den Vorzeichen der Faktoren bildet man das Vorzeichen des Produkts O f'. Ergebnis: Für 5 und0 5 fällt f streng monoton. und für 5 0 und für 5 wächst f streng monoton. Die erste Abbildung (oben) zeigt dieses Verhalten, die zweite Abbildung zeigt die geometrische Darstellung der Vorzeichentabelle für f'. Beispiel Monotonieverhalten der Funktion f mit f Es sind also die Vorzeichenintervalle von f' gesucht. Früher bestimmte man die Nullstellen dieser Funktion mit Polynomdivision oder dem Horner Schema. Diese Methoden werden kaum mehr unterrichtet, Stattdessen verwendet man Grafikrechner oder CAS-Rechner.. Berechnungsmethode für die Monotonie-Intervalle Verwendung eines Rechners (z. B. CASIO ClassPad): Man definiert f() und die Ableitungsfunktion f', die man f schreibt. Dann lässt man die beiden Ungleichungen für streng monoton fallend bzw. steigend lösen. Ergebnis: f wächst streng monoton für oder >. f fällt streng monoton für < - oder - < <.

14 0 Ableitungsstory Beispiel 5 Monotonieverhalten der Funktion Manuelle Lösung: f e Die Ableitung wird mit der Produktregel berechnet: f' e e e f' 0 e 0 0 Also bleibt übrig: 0 usw. Lösung mit CAS CASIO ClassPad Man entnimmt dem Screenshot: f' 0 für < : f wächst streng monoton in ; f' 0 für : f fällt streng monoton in ;.. Beispiel 6 Monotonieverhalten der Funktion Manuelle Lösung: f e Die Ableitung wird mit der Produktregel berechnet: f' e e e f' e Da e stets positiv ist, hängt das Vorzeichen von nur von ab: Lösung reinquadratischer Ungleichungen: f' 0 0 f' f' 0 0 d. h. d. h. oder - Hilfen für Ungleichungen im Anhang. Lösung mit TI Nspire CAS Man entnimmt den Berechnungen, dass gilt: f' 0 für oder. f wächst also streng monoton in ; und in ; f' 0 für. f fällt also streng monoton in ;.

15 0 Ableitungsstory 5 WARNUNG: Achtung: Diese Methode hat eine Falle: Beispiele wie dieses können zu schlimmen Fehlern führen! Beispiel 7 bzw. f f Um f ableiten zu können sollte man den Funktionsterm in die Potenzform bringen: f Ableitung: f' Jeder weiß, dass nie negativ wird, also erkennt man, dass der Zähler stets positiv ist. Daraus folgert man, dass alle Ableitungswerte positiv sind. Oberflächliche Schüler folgern dann daraus: Da f' > 0 wächst f streng monoton. UND DAS IST HIER FALSCH! Was passiert hier? (Man benötigt jetzt Grundwissen über gebrochen rationale Funktionen): Das Schaubild zeigt, dass der linke Kurvenast (für < 0) ansteigt, und sich asymptotisch der y-achse nähert. Für 0 gehen dort die Funktionswerte gegen Unendlich. Doch jetzt passiert etwas Dramatisches: An der Polstelle 0 springen die Werte (anschaulich gesprochen) plötzlich von nach. Dann befinden wir uns auf dem rechten Kurvenast (für > 0), der ebenfalls steigt. Die Kurve verfügt also über zwei Kurvenäste, die jeweils steigen. Dazwischen liegt eine Polstelle, also eine Stelle, an der die Kurve nicht stetig ist und einen Sprung macht, was die Monotonie zerstört! Beachte: Damit man von den Vorzeichen der Ableitungsfunktion auf die Monotonie der Funktion schließen kann, muss man untersuchen, ob die Funktion im betrachteten Intervall stetig ist. Wenn ja, dann gibt es keine Probleme. Ist sie jedoch nicht stetig (wie gebrochen rationale Funktionen an ihren Polstellen), dann muss man detaillierter hinsehen. Richtige Lösung für diese Aufgabe:. Die Funktion f hat bei = 0 eine Polstelle, ist dort also nicht stetig.. Für alle D \ 0 ist f' 0. ;0 0; streng monoton. Also wächst f jeweils in den Intervallen und Man kann in einer Prüfungsaufgabe diese Fragen stellen: (a) Zeige, dass für alle D gilt f' 0. (b) (c) Warum kann man hier nicht daraus folgern, dass f streng monoton wächst? Gib zwei Punkte des Graphen an, an denen man erkennt, dass f nicht monoton ist. Lösung: (a) Es ist (b) f' 0 für alle D, denn Zähler und Nenner werden nie negativ. f hat an der Stelle = 0 eine Polstelle, ist also dort nicht stetig. Daher wächst ;0 0; streng monoton. f nur in den beiden Intervallen und (c) Gegenbeispiel: Die Kurvenpunkte P 0,6 und P,5 0,6 < aber f > f,5. Es ist Das widerspricht aber der monotonen Steigung! zeigen:

16 0 Ableitungsstory 6 Übersicht Merkblatt Die. Ableitungsfunktion beschreibt, ob die Werte einer Funktion f() zunehmen oder abnehmen. Sie ist sozusagen die Änderungsfunktion von f. In diesem Zusammenhang verwendet man die Begriffe monoton wachsend (steigend, zunehmend) bzw. monton fallend (abnehmend). Es gilt: Definition der strengen Monotonie: Wenn in U aus Wenn in U aus folgt f f, dann wächst f in U streng monoton. folgt f f Methode zum Nachweis einer strengen Monotonie Voraussetzung: f sei stetig im Intervall U, dann fällt f in U streng monoton. Gilt für alle U f' 0, dann wächst f in U streng monoton. Gilt für alle U f' 0, dann fällt f in U streng monoton. Mathematische Methoden zur Lösung der Monotonie-Ungleichungen. Ist f' eine ganzrationale Funktion. Grades, liefert die Parabelmethode die Intervalle, in denen f' 0 f' 0 ist. (Siehe Beispiel ) bzw.. Ist f' als Produkt von Faktoren gegeben, kann man eine Vorzeichentabelle erstellen. (Siehe Beispiel ). In anderen Fällen benötigt man entweder ein geeignetes Lösungsverfahren oder man verwendet geeignete Rechner zur Lösung. Im Anhang gehe ich eine Seite lang auf das Lösen von Gleichungen ein. Auch wenn man einen Superrechner besitzt, sollte man einiges manuell tun können! TRAINING Tet 0 / A Tet 0 / A 0

17 0 Ableitungsstory 7 Erweiterung der Definition auf eine (nicht-strenge) Monotonie. Beispiel 8 Für < 0 ist In Für > 0 ist für 0 f 0 für 0 0; ist für f' 0 f' 0. f' 0 Also wächst f für < 0 und für > streng monoton, und dazwischen bleibt sie konstant. f f In diesem Bereich gilt also Man bezeichnet das Verhalten von f als Monotonie, lässt also das Wort streng weg. Hier gilt insgesamt: f f Und für die Ableitungsregel gilt: Da f' 0 für alle, wächst f in monoton. Das heißt nun nicht, dass sie immer steigt, sondern nur, dass sie steigt oder konstant bleibt. Beispiel 9 mit f' f Hier tritt eine Besonderheit auf: Im ganzen Definitionsbereich gilt: f f Aber wenn man die Ableitungsfunktion untersucht, stellt man fest, dass die Stelle 0 den Wert Dort hat das Schaubild eine waagrechte Tangente. Trotzdem wächst f streng monoton! f' 0 0 liefert. Hier gilt also nicht für alle f' 0, und dennoch wächst f streng monoton! Dies ist nun kein Widerspruch. Denken wir nochmals nach: Es heißt: WENN in einem Intervall gilt f' 0, dann wächst f dort streng monoton. Wenn dies aber nicht gilt, sondern f 0 ist, dann wächst f sicher monoton, kann aber auch streng monoton wachsen, nämlich dann, wenn f' 0 nicht für ein Intervall gilt, wie in Beispiel 8, sondern jeweils nur auf eine einzige Stelle. Das muss man gut verarbeiten.

18 0 Ableitungsstory 8. Bedeutung der Ableitungsfunktion f' ' Grundlage dieses Abschnitts ist es, dass man über die Bedeutung der. Ableitung f' Bescheid weiß, nämlich, dass sie uns sagen kann, in welchen Intervallen die Werte von f zunehmen bzw. abnehmen. Bedenkt man, dass die zweite Ableitung f'' ja die Ableitung der Funktion f' ist, dann wird klar, dass man auf dieselbe Weise aus f'' Informationen darüber bekommt, in welchen Intervallen die Werte von f' f zunehmen bzw. abnehmen. Um zu verstehen, was das für Nutzen bringt, muss man sich damit befassen, welche Auswirkung die Änderung von f' hat.. Interpretation als Änderung der Ableitungswerte f' Beispiel 0 Hinführung () f ist eine nach oben geöffnete Parabel. In der oberen Abbildung sind die Punkte A bis G eingetragen, zusammen mit einem Tangentenstück. Das Schaubild von Daneben steht die Steigung der Tangenten. Die untere Abbildung zeigt das Schaubild der Ableitungsfunktion f'. Darin sind die zu den Kurvenpunkten A bis G entsprechenden Punkte A bis G eingetragen. Ihre y-koordinaten sind die Tangentensteigungswerte der Parabel. Nun berechnen wir die. Ableitung: f''. Diese ist die Steigung der Geraden, die das Schaubild von f' darstellt. Man erkennt: Die Steigung ist, also nehmen die Steigungswerte pro Einheit um genau zu, was man auch an der Parabel-Abbildung ablesen kann. Die Steigungen der Kurve nehmen also zu. Dies bedeutet geometrisch: Das Schaubild hat Linkskrümmung. Wir merken uns: Hier gilt für alle f'' 0. Daraus folgt: Die Werte von f' (also die Tangentensteigungen) nehmen streng monoton zu. Dies bedeutet geometrisch Linkskrümmung des Schaubilds.

19 0 Ableitungsstory 9 Beispiel Hinführung () Das Schaubild von f ist eine nach unten geöffnete Parabel. In der oberen Abbildung sind Punkte A bis F eingetragen, zusammen mit einem Tangentenstück. Daneben steht die Steigung der Tangenten. Die untere Abbildung zeigt das Schaubild der Ableitungsfunktion f'. Darin sind die zu den Kurvenpunkten A bis F entsprechenden Punkte A bis F eingetragen. Ihre y-koordinaten sind die Tangentensteigungswerte der Parabel. Nun berechnen wir die. Ableitung: f''. Dieser Wert ist die Steigung der Geraden, die das Schaubild von f' ist. Man erkennt: Die Steigung ist negativ, also nehmen die Steigungswerte von f ' pro Einheit um genau ab, was man auch an der Parabel-Abbildung erkennen kann. Die Steigungen der Kurve nehmen also ab. Dies bedeutet geometrisch: Das Schaubild hat Rechtskrümmung. Wir merken uns: Hier gilt für alle f'' 0. Daraus folgt: Die Werte von f' (also die Tangentensteigungen) nehmen streng monoton ab. Dies bedeutet geometrisch Rechtskrümmung des Schaubilds. Methode zur Untersuchung der Krümmung einer Kurve Voraussetzung: f'ist stetig in einem Intervall U. Gilt für alle U f'' 0, dann hat K in U Linkskrümmung. Gilt für alle U f'' 0, dann hat K in U Rechtskrümmung.

20 0 Ableitungsstory 0. Musterbeispiele zur Untersuchung der Kurvenkrümmung Beispiel Lösung: Methode: Untersuche das Krümmungsverhalten des Schaubildes von und f' f'' Zur Bestimmung der Vorzeichen von f'' muss man Ungleichungen lösen: f'' 0 0 f'' 0 0 f Ergebnis: In ; gilt f ''() 0 : Rechtskrümmung. In ; gilt f'' 0: Linkskrümmung. Wo gibt es Krümmungswechsel: An der Stelle = - geht Rechtskrümmung in Linkskrümmung über. Man nennt den zugehörigen Kurvenpunkt Wendepunkt. Der Wendepunkt hat außer dem Krümmungswechsel weitere Bedeutung: In einem Bereich mit Rechtskrümmung, also mit f'' 0 nehmen die Ableitungswerte ab. Und weil rechts vom höchsten Punkt (bei = ) die Kurve fällt, wird die Kurve immer steiler. Das größte Gefälle hat sie im Wendepunkt, also dort, wo anschließend die Linkskrümmung beginnt und folglich die Steigungswerte wieder zunehmen. Für die gezielte Berechnung von Wendepunkten benötigen wir eine weitere Bedingung (S. ), weshalb dies noch etwas aufgeschoben wird (in den Abschnitt.) Eines können wir hier jedoch schon festhalten: Der Wendepunkt liegt dort, wo die. Ableitung Vorzeichenwechsel macht. Hier gilt: Für < - ist f'' 0 (Linkskrümmung) Für > - ist f'' 0 (Rechtskrümmung). Also folgt: Bei = - ist f'' 0 f'' hat bei = - Vorzeichenwechsel. Das heißt: Also hat das Schaubild K von f bei W = - eine Wendestelle. y-koordinate des Wendepunkts: 6 y f W W 6 : Hinweis: Das Schaubild enthält auch noch die Gerade y, die das Schaubild von f'' ist. (Achtung: Die beiden Achsen haben verschiedene Maßstäbe.) An dieser Geraden erkennt man auch, dass für < - gilt f'' 0.

21 0 Ableitungsstory Beispiel Untersuche das Krümmungsverhalten des Schaubildes von f 8 8 Diese drei Schaubilder sollen zunächst helfen, durch einige Überlegungen mehr Verständnis in diese Thematik zu bringen. Die Berechnung der Krümmungsintervalle folgt anschließend. () Abbildung zeigt den Graphen K von f. Man erkennt, wo K links- bzw. rechtsgekrümmt ist. An den Übergängen liegen die beiden Wendepunkte. () Abbildung zeigt den Graphen der Ableitungsfunktion f'. 8 In den blauen Bereichen steigt er. Dort nehmen die Tangentensteigungen zu. Zur Erinnerung: Nimmt die Steigung Im roten Bereich nimmt f' ab. Zur Erinnerung: Nimmt f' zu, hat die Kurve K (Abb. ) Linkskrümmung. () Abbildung zeigt den Graphen der zweiten Ableitungsfunktion: f' ab, hat K Rechtskrümmung. f'' Bitte nachvollziehen: Die beiden blauen Parabelbögen liegen oberhalb der -Achse, zeigen also positive f''-werte an. Und genau in diesen beiden Intervallen hat K (Abb. ) Linkskrümmung. Entsprechend hat K im Bereich des roten Parabelbogens, der unterhalb der -Achse liegt, wegen der negativen f''-werte Rechtskrümmung. Berechnung der Krümmungsintervalle Die Funktion f'' ist quadratisch, also kann man zur Vorzeichenuntersuchung die schon mehrfach erwähnte Parabelmethode anwenden. (Nächste Seite)

22 0 Ableitungsstory Dazu berechnet man zuerst die Nullstellen von f'': Manuelle Berechnung: 0. 0 führt zu 6 8 0, ,9, Bestimmung des Krümmungsverhaltens nach der Parabelmethode: f'' ist eine quadratische Funktion: f'' Ihr Schaubild ist also eine Parabel (Abb. ). Diese ist nach oben geöffnet und hat die Nullstellen 0,9 und,. Daraus folgt, dass die Werte von f'' zwischen diesen Nullstellen negativ sind und im Außenbereich positiv. Ergebnis: Für ; 0,9 ist Für 0,9;, ist Für,; ist Hinweis auf die Wendepunkte: f'' 0: K hat Linkskrümmung. f'' 0: K hat Rechtskrümmung. f'' 0: K hat Linkskrümmung. An den Stellen -0,9 und, findet Krümmungswechsel statt. Sie haben diese y-koordinaten: y f 0,9,07 und Daher hat K die beiden Wendepunkte W 0,9,07 und W, 0,6 y f, 0,6

23 0 Ableitungsstory Beispiel Untersuche das Krümmungsverhalten des Schaubildes von Manuelle Lösung: Ableitungen f' f'' Nullstellen von f'': f '' 0 Zähler 0 0 Ergebnis: f 6 Zum Ableiten schreibt man den Term so um: f() 6 6 6, 6,9 Vorzeichenuntersuchung von f'' Man kann mittels Zähler- und Nenner-Vorzeichen eine Vorzeichentabelle anlegen: Erklärung: Für 0; Der Nenner N heißt 5. Er wird nur dann positiv, wenn selbst positiv ist. Das steht in der erste Tabellenzeile. Der Zähler hat den quadratischen Term. Seine Vorzeichen liefert die Parabelmethode: Seine graphische Darstellung ergibt nämlich eine nach oben geöffnete Parabel mit den Nullstellen. Zwischen diesen Nullstellen hat daher f'' negative Werte, außen positive. Dies trägt man in die. Zeile ein. Die. Zeile enthält dann die aus der. und. Zeile resultierenden Vorzeichen des Bruchterms, also von f''. ist Z<0 und N>0 also Für ; Für ;0 Für ; N Z f'' ist Z>0 und N>0, also 0 O ist Z<0 und N<0, also ist Z>0 und N<0, also O O f'' 0: K hat Rechtskrümmung. f'' 0 K hat Linkskrümmung. f'' 0 K hat Linkskrümmung. f'' 0 K hat Rechtskrümmung. Hinweis: Wenn man die Punktsymmetrie des Schaubilds erkannt hat ( f f), reicht die Untersuchung des rechten Kurvenastes. Durch Symmetrieüberlegungen erschließt sich daraus das Verhalten des linken Astes.

24 0 Ableitungsstory Bestimmung besonderer Kurvenpunkte. Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen Beispiel f In welchen Punkten schneidet das Schaubild K von f die -Achse? Merke: Auf der -Achse haben alle Punkte die y-koordinate 0. Daher stellt man an die Funktion die Nullstellenbedingung: Sie führt zur Gleichung: f 0 0 Diese Gleichung wird für die manuelle Lösung vereinfacht: 0 Da alle Summanden enthalten, klammert man aus: 0 Diese Gleichung stellt ein sogenanntes Nullprodukt dar. Dieses wird Null, wenn einer der Faktoren 0 wird: 0 oder 0 WISSEN: Die allgemeine quadratische Gleichung a b c 0 b b ac hat die Lösungen,. (Mitternachtsformel) a Tet 0 ab Seite Die vereinfachte Gleichung pq 0 wird durch, p p c gelöst. (p-q-formel oder p/-formel) Weil die p-q-formel vor allem in der Oberstufe oft umständlich ist, verwende ich grundsätzlich nur die Mitternachtsformel. 6 Damit erhält man die weiteren Lösungen, Ergebnis: Der Graph von f schneidet die -Achse in N 0 0, N 0 ;N 0 MERKE: Die -Koordinaten der Schnittpunkte mit der -Achse heißen auch Nullstellen der Funktion. Der Schnittpunkt einer Kurve mit der y-achse ist sehr viel einfacher zu berechnen: Alle Punkte der y-achse haben die -Koordinate 0. Also berechnet man nur den zugehörigen Funktionswert f0. Ergebnis: Schnittpunkt mit der y-achse: Sy 0 f0, hier S0 0.

25 0 Ableitungsstory 5 Beispiel 5 Nullstellenbedingung: Also: f 8 8 f Lösung mit TI Nspire CAS: Die Nullstellen sind, 0 und. Schnittpunkte mit der -Achse: N 0, N 0 0 und N 0. Zusatz: Ich habe diese Funktion als Beispiel ausgewählt, weil man bei einer Funktion. Grades bis zu Nullstellen erwarten kann. Hier treten nur drei auf, also ist eine davon eine doppelte Nullstelle: =. Dort fallen zwei Nullstellen zusammen, weshalb dieser Schnittpunkt zu einem Berührpunkt mit der -Achse wird (Tiefpunkt). Dies ist z. B. wichtig, wenn man den Funktionsterm faktorisieren soll: Dann erkennt man, dass gilt: f. 8 Merke: Doppelte Nullstellen sind Berührpunkte, also Hoch- oder Tiefpunkte des Schaubilds. TRAINING für Nullstellen: Ganzrational: 0, 0 bis 50 Gebr. rational: 00, 0, 0 Wurzelfunktionen: 8 (!), 0, 0, 0 Eponentialfunktionen: 5 bis 57 Ln-Funktionen: 605, Trigonometr. Funkt.: 70, 60 (trig. Gleichungen)

26 0 Ableitungsstory 6 Beispiel 6 Nullstellenbedingung.: f sin für. f 0 d. h. sin 0. Manuelle Lösung: Vereinfachung durch die Substitution u : sinu 0 Zur Lösung dieser Gleichung benötigt man Grundwissen über die Sinusfunktion. Dieses wird in der Abbildung dargestellt. sin folgert man Aus 6 sin 7 und 6 sin 6 Also hat die Gleichung () im Intervall 0 u die Lösungen 7 u und u. 6 6 sinu sinu () 7 Rücksubstitution: und 6 6 Da außerhalb des vorgegebenen Definitionsbereichs liegt, muss man durch eine periodische Verschiebung die passende Nullstelle finden. Die Funktion hat die Periode, was man so herausfindet: k k Verschiebt man also die Nullstelle = um nach links, erhält man die Nullstelle = -. Und diese liegt im Definitionsbereich.. CAS-Lösung (CASIO ClassPad): Die Nullstellengleichung hat zuerst seltsam anmutende Lösungen: c c Der Summand c bedeutet nichts anderes, als dass man jede Lösung um ein Vielfaches von verschieben kann und dann zu einer neuen Lösung in einem anderen Periodenintervall kommt. Für c = c = 0 erhält man unsere Nullstellen - und. Gibt man zur Nullstellengleichung noch den Bedingungsstrich ein, gefolgt von der Ungleichung, die den Definitionsbereich angibt, erhält man sofort diese beiden Lösungen.

27 0 Ableitungsstory 7. Punkte mit waagrechten Tangenten 5 Beispiel 7 f Hinführendes Beispiel. 5 Wir schauen uns zunächst das Schaubild von f an. Darin erkennen wir, dass es drei Punkte gibt, zu denen eine Waagrechte Tangente gehört H ist ein sogenannter Hochpunkt (links und rechts davon geht es bergab. 9 5 T ist ein sogenannter Tiefpunkt (links und rechts davon geht es bergauf. W 0 ist ein Wendepunkt mit waagrechter Tangente, denn links davon hat die Kurve Linkskrümmung, und rechts davon Rechtskrümmung. H W T Merke: Bei der Suche nach Punkten mit waagrechten Tangenten können wir auf drei Sorten von Punkten stoßen: Hoch- und Tiefpunkte (man nennt sie zusammen Etrempunkte), aber auch Wendepunkte mit waagrechter Tangente, die man Terrassenpunkte (manchmal auch Sattelpunkte) nennt. Wir klammern die Wendepunkte vorerst aus, sie kommen im. dran. Es gibt dreierlei Arten von Hoch- oder Tiefpunkten: Etrempunkte mit waagrechter Tangente kommen am häufigsten vor und sind quasi der Normalfall. Die Abbildung zeigt Schaubild von f 8 mit dem Hochpunkt H0 und dem Tiefpunkt T Ist der Definitionsbereich begrenzt, dann findet man an den Randpunkten sogenannte Randetrempunkte. Es handelt sich in der Abbildung um dieselbe Funktion wie in, nur dass hier als Definitionsbereich das abgeschlossene Intervall D ;5 vorgegeben ist. Dann gibt es die Randetrempunkte: TR H 5,5. Ist der Definitionsbereich ein offenes R Intervall, gibt es keine zugehörigen Randpunkte. und. Bei zusammengesetzten Funktionen oder Betragsfunktionen kann es Spitzen geben, die natürlich auch Hoch- oder Tiefpunkte sein können. Die Abbildung gehört zu. Der Hochpunkt ist f S0.

28 0 Ableitungsstory 8.. Berechnung der Etrempunkte mit waagrechter Tangente Beispiel 8 f Hinführungsbeispiel zur Methode. 8 Wir benötigen dazu zwei Ableitungen: f' und f'' 8. Da wir nach Punkten mit waagrechter Tangente suchen, setzen wir diese Bedingung an: f' 0 Das heißt: ausklammern:. Faktor: 0. Faktor: y-koordinaten dazu: f0 f Die Kontrolle, ob es sich bei den gefundenen Punkten um Hoch- oder Tiefpunkte handelt, führt man mit der. Ableitung durch. Es ist anschaulich klar, dass f '' 0 0 Rechtskrümmung f '' 0 Linkskrümmung. ein Punkt mit waagrechter Tangente, in dem die Kurve Rechtskrümmung hat, ein Hochpunkt ist. ein Punkt mit waagrechter Tangente, in dem die Kurve Linkskrümmung hat, ein Tiefpunkt ist. Ergebnis: Das Schaubild von f hat den Hochpunkt H0 und den Tiefpunkt T. Und dies ist die Berechnungsmethode für (manche) Etrempunkte: Drei-Schritt-Methode zur EP-Berechnung. Schritt: Aus der Bedingung f' = 0 werden die Stellen E berechnet, in denen K eine waagrechte Tangente hat.. Schritt Berechne dazu die y-koordinaten: y E =f E. Schritt: Krümmungskontrolle: Ist f'' E < 0, dann ist E E Ist f'' E > 0, dann ist E E H f ein Hochpunkt, T f ein Tiefpunkt

29 0 Ableitungsstory 9 Beispiel 9. Bed. für waagr. Tang.: und f f' Nullprodukt: f' Faktor: 0. Faktor: f'', mit. y-koordinaten: f0 0 f. Krümmungskontrolle: f'' 0 0 Rechtskrümmung f'' 6 0 Linkskrümmung In H0 0 hat K waagrechte Tangente und Rechtskrümmung: H ist Hochpunkt. In T, hat K waagrechte Tangente und Linkskrümmung: T und T sind Tiefpunkte. Beispiel 0 f 6 Manuelle Lösung Zum Ableiten umformen: f() Ableitungen:. Bed. f. waagr. Tang.:. y-koordinaten: f' f '' f' 0 0 (Bruch = 0 wenn Zähler = 0), 6 8 f 6. Kontrolle: 5 Ergebnis: 6 9, f 6 9 f'' 0 Rechtskrümmung Hochpunkt f'' 0 5 Linkskrümmung. Tiefpunkt K hat den Hochpunkt H 6 9,5, und den Tiefpunkt T 6,5, Hinweis: Wenn man zuvor festgestellt hat, dass der Graph K von f punktsymmetrisch zu O ist, weil f f ist, dann reicht es, die Stelle zu untersuchen und die Ergebnisse für über die Symmetrie zu erschließen. Ausführliche Aufgabe zu dieser Funktion: Tet 0 Nr. 0 9

30 0 Ableitungsstory 0 f e Beispiel t Lösung mit Hilfe von TI Nspire CAS, f' e. Bed. für Etrempunkte: f' 0 f'' e d. h. 0,. y-koordinaten: f,. Kontrolle: f'' 0 f'' 0, f, Linkskrümmung. T,, Rechtskrümmung: H,, Hinweis: Die manuelle Ableitung benötigt die Produktregel: e f' e e f' e f'' e e e Zu dieser Funktion gibt es eine größere Aufgabe im Tet 5 Aufgabe. Beispiel f ln Lösung mit CASIO ClassPad Ableitungen:, f'' f'. Bed. für Etrempunkte: f' 0. y-koordinate: f ln 0,6. Kontrolle: f'' 0 Rechtskrümmung Ergebnis: Das Schaubild K hat den Hochpunkt H 0,6 Hinweis: Manuelle Ableitung: f' innere Ableitung

31 0 Ableitungsstory.. Theoretisches zu Etrempunkten bzw. Etremwerten Wir haben bisher rein anschaulich gearbeitet. Dies reicht nicht aus, denn die Mathematik ist eine eakte Wissenschaft, die genaue Definitionen und Methoden erfordert. Studenten und Schüler mit höheren Ansprüchen sollten sich mit diesem Abschnitt befassen. Zunächst haben wir über geometrische Begriffe gesprochen, also über Hochpunkt, Tiefpunkt, Tangente und Krümmungsverhalten. Dies ist jedoch nur die eine Seite dieser Thematik, denn eine Kurve (Graph, Schaubild) ist ja nur die geometrische Veranschaulichung von Sachverhalten, die sich auf Funktionen beziehen. In der Analysis werden Funktionen untersucht. Diese beschreiben funktionale Zusammenhänge zwischen zwei Größen. In den jetzt so beliebten Anwendungsaufgaben wird dies deutlich gemacht. Eine Funktion kann etwa die Temperatur T zu einem bestimmten Zeitpunkt t beschreiben. Oder die Kosten K für einen produzierten Gegenstand in Abhängigkeit von der Stückzahl der hergestellten Objekte, oder den Gewinn G, der dabei gemacht wird. Oder die Anzahl von Bakterien, die sich vermehren oder absterben, in Abhängigkeit vom Zeitpunkt t der Beobachtung, usw. Man spricht dann nicht von Etrempunkten, sondern von Etremwerten, nicht von Hochpunkt oder Tiefpunkt, sondern von maimalen oder minimalen Funktionswerten, also vom Maimum oder Minimum einer Funktion. Bevor ich zeige, wie man diese Begriffe mathematisch definieren kann, benötigen wir für unsere Vorstellung nochmals ein Beispiel: Es gibt in diesem Beispiel einen absoluten Hochpunkt H. Absolut heißt, dass es im gesamten Definitionsbereich keinen höher liegenden Punkt gibt. Dort gibt es also den absolut größten Funktionswert, also das absolute Maimum der Funktion. H ist ein relativer (oder lokaler) Hochpunkt. Das heißt, dass es eine Umgebung der Stelle 7,9 gibt, etwa das eingezeichnete Intervall 6,5 ; 8,5, in dem kein Funktionswert größer als f 7,9 ist. Entsprechend ist T der absolute Tiefpunkt, an der Stelle, hat die Funktion ihr absolutes Minimum f,,8. Kleinere Funktionswerte eistieren nicht. T ist ein relativer (oder lokaler) Tiefpunkt: Das heißt, dass es eine Umgebung von 0, gibt, etwa das eingezeichnete Intervall 9,8 ;,6, in dem es keinen kleineren Funktionswert gibt. In 0, hat die Funktion also ein relatives Minimum. Siehe nächstes Beispiel!

32 0 Ableitungsstory Mathematisch eakte Beschreibung der Etremwerte Eine Funktion f hat an einer Stelle a ein relatives (lokales) Maimum, wenn es eine Umgebung von a gibt, in der alle Funktionswerte höchstens so groß sind wie an der Stelle a. Eine solche Umgebung beschreibt man entweder durch eine Doppelungleichung oder mit der Intervallschreibweise: U,. Man nimmt gerne ein offenes Intervall, weil ja die Maimumstelle wirklich im Innern der Umgebung liegen muss! Damit kann man diese Definition so formulieren: Eine Funktion f hat an einer Stelle a ein relatives (lokales) Maimum, wenn es eine Ua, f f a. Umgebung gibt, in der für alle gilt: Gilt diese Ungleichung sogar für alle D, dann heißt der Wert fa das absolute Maimum. Eine Funktion f hat an einer Stelle a ein relatives (lokales) Minimum, wenn es eine Umgebung von a gibt, in der alle Funktionswerte mindestens so groß sind wie an der Stelle a. Oder so: Eine Funktion hat an einer Stelle a ein relatives (lokales) Minimum, wenn es eine Umgebung Ua, f f a. gibt, in der für alle gilt: Gilt diese Ungleichung sogar für alle D, dann heißt der Wert fa das absolute Minimum. Dies klingt für Schülerohren sehr abstrakt. Aber wenn man sich das Schaubild ansieht, dann kann man dies alles genau nachvollziehen: Beispiel sin f 0 Diese Funktion liefert unsere Beispielabbildung! Wer Interesse hat, kann jetzt die Berechnung dieser Stellen verfolgen. Diese komplizierte Funktion verliert ihren Schrecken, wenn man die Berechnungen mit einem geeigneten Rechner durchführt. Der Screenshot stammt von CASIO ClassPad. Wie man an der. Zeile sieht, wurden die Etrempunkte für das Intervall 0 bestimmt: Ergebnisse: H,09,5, T,,85, H 7,9,8, T 0, 0,87

33 0 Ableitungsstory An der Stelle =,09 hat die Funktion den größten Funktionswert im ganzen Definitionsbereich. Es gilt also: f f,09 für alle D. Das absolute Maimum der Funktion ist also f,09,5. An der Stelle 7,9 hat die Funktion den größten Funktionswert im Intervall 6,5 ; 8,5. Dieses Intervall kann man auch anders wählen. Entscheidend ist nur, dass man überhaupt so ein Intervall angeben kann. Es gilt also: f f7,9,8 für alle 6,5 ; 8,5. Ein Gegenbeispiel: Dort befindet sich eine Nullstelle der Funktion. Die Funktion f',6. hat dort einen negativen Ableitungswert Unmittelbar links von sind die Funktionswerte größer, unmittelbar rechts von sind sie kleiner. Man findet keine Umgebung von, in der f() der größte oder kleinste Funktionswert ist. Hier liegt also weder ein lokales Maimum noch ein lokales Minimum vor. Die Abbildung zeigt noch einmal, dass bei einem lokalen f f a. Maimum in der gewählten Umgebung U(a) gilt: Beispielsweise ist fb fa und fc fa An der Stelle =, hat die Funktion den kleinsten Funktionswert im ganzen Definitionsbereich. Es gilt also: f f, für alle D. Das absolute Minimum der Funktion ist also f,,85. An der Stelle 5 0, hat die Funktion den kleinsten Funktionswert im Intervall 9,8 ;,7. Es gilt also: f f0, 0,87 für alle 9,8;,8. f 0, ist also ein relatives Minimum der Funktion. Die Abbildung zeigt noch einmal, dass bei einem lokalen f f a. Minimum in der gewählten Umgebung U(a) gilt: Beispielsweise ist fb fa und fc fa

34 0 Ableitungsstory Eakte Formulierung der Berechnungsregel für Etremwerte Voraussetzung: f muss zweimal differenzierbar sein. Wenn f' E = 0 und E f'' < 0, dann hat die Funktion f bei E ein relatives (lokales) Maimum. Wenn E f' = 0 und f'' E 0, dann hat die Funktion f bei E ein relatives (lokales) Minimum. Oft bezeichnet man zunächst alle Etremwerte als relativ. Ob es sich um einen absoluten Etremwert handelt, muss sich dann erst noch erweisen. Die Bedingung f' E f'' f'' E E = 0 heißt notwendige Bedingung für Etremwerte. < 0 heißt hinreichende Bedingung für relatives Maimum. > 0 heißt hinreichende Bedingung für relatives Minimum. Wichtig ist, dass man Funktionseigenschaften nicht mit Kurveneigenschaften vermischt: Wichtig! Dort wo die Funktion ein Maimum hat, besitzt das Schaubild einen Hochpunkt. Dort wo die Funktion ein Minimum hat, besitzt das Schaubild einen Tiefpunkt. Der Begriff Krümmung gehört nur zur geometrischen Deutung. Es ist unsinnig, zu behaupten, eine Funktion hat Linkskrümmung. Ferner sollte man noch die geometrische Bedeutung der notwendigen Bedingung kennen. Sie bedeutet: Wo gibt es eine waagrechte Tangente? f' 0 Ganz zum Schluss ein wichtiger Ausblick. Die oben genannte Berechnungsregel liefert zwar Etrempunkte mit waagrechter Tangente. Aber leider nicht alle! Es gibt weitere Regeln für solche Punkte! Man muss also wissen, dass man zwar mit f' 0 alle Punkte findet, in denen die Tangente die Steigung 0 hat, also waagrecht verläuft, aber die hinreichenden Bedingungen mit f '' führen uns nicht zu allen Etrempunkten. Dies zeigt folgendes Beispiel: Beispiel 5: f mit f' und f''. Das Schaubild hat den Tiefpunkt T0 0, obwohl folgendes gilt: f' 0 0 und f'' 0 0. Anfänger könnten nach dem bisher Gelernten erwarten, dass f'' 0 < 0 gilt, eben wie bei anderen Tiefpunkten. Warum das hier anders ist, wird im Abschnitt. näher untersucht. Der Grund liegt darin, dass es sich hier um einen Flachpunkt handelt, und Flachpunkte haben ihre eigenen Regeln.

35 0 Ableitungsstory 5 Beispiel 6.. Nachweis von Rand-Etrempunkten Bei dieser Fragestellung kann man sich jederzeit an Abbildungen orientieren. f (Fortsetzung von Beispiel 8) 8 Mit vorgegebenem Definitionsbereich D ;5. Diese Aufgabe wurde bereits auf Seite 6 vorgestellt. Zunächst benötigen wir die Ableitung: Löse die folgenden Aufgaben zunächst selbst: f' 8 a) Berechne die Tangentensteigung am linken Randpunkt. Beschreibe, was man daraus folgern kann. b) Berechne die Tangentensteigung am rechten Randpunkt. Beschreibe, was man daraus folgern kann. Lösung: a) Am linken Rand gilt: f' Folgerung: Weil am linken Rand f' 0 ist, wächst ab dort f streng monoton, d.h. der linke Randpunkt ist ein Tiefpunkt. Wegen folgt: T f 8 R 8 8 b) Am rechten Rand gilt: f' Folgerung: Weil am rechten Rand f' 0 ist, wächst f in einer linksseitigen Umgebung von 5 streng monoton, d.h. der rechte Randpunkt ist ein Hochpunkt Wegen folgt H 5,5. Beispiel 7 6 f R f für f'. Linker Rand: Rechter Rand: f' Also nimmt f von - aus nach rechts streng monoton ab. Also gibt es einen linken Randhochpunkt: H R. f' 8 0. Also nimmt f links von nach rechts streng monoton ab. Also gibt es einen rechten Randtiefpunkt: T 5 R. Übersicht: Linker Rand Rechter Rand R f' 0 TR f' 0 H R f' 0 HR f' 0 T

36 0 Ableitungsstory 6 Beispiel 8 f Besonderheit bei Wurzelfunktionen hat den Definitionsbereich 0 0; D und f' Der Definitionsbereich hat eine linke Randstelle: 0. Dort liegt der Scheitel der nach rechts geöffneten Halbparabel: S0 0. Zu = 0 gibt es keinen Ableitungswert: f' 0 0 Merkmal: f ' hat bei = 0 eine Polstelle. Das bedeutet, dass die Ableitungswerte für 0 gegen Unendlich gehen. In Grenzfall hat die Tangente also unendliche Steigung: Senkrechte Tangente. K hat also in S die y-achse als Tangente Die Abbildung enthält eine kurze Tangentenstrecke (aus Punkten). Die Frage nach dem Randpunkt wird so entschieden: Für alle 0 ist f' 0, d.h. f wächst streng monoton. Also ist der Scheitelpunkt S ein Randtiefpunkt. Beispiel 9 f mit Bedingung für Etrempunkte: y-koordinate: Krümmungskontrolle: Randetrempunkt R0 0: f' und f''. D 0 f' f f '' 0 Tiefpunkt T = 0 ist Polstelle von f', was einer unendlichen Tangentensteigung entspricht. f' 0 für 0, also fällt K von R aus nach rechts. Also ist R ein linker Randhochpunkt mit senkrechter Tangente. Diese Aufgabe ist Teil einer großen Aufgabe im Tet 0 Aufgabe.

37 0 Ableitungsstory 7.. Spitzen-Etrempunkte bei zusammengesetzten Funktionen Beispiel 0 (siehe Seite 7) f Betragsfunktionen kann man auch als zusammengesetzte Funktionen darstellen, hier: f für 0 für 0. Ableitung: Hinweis: f' für 0 für 0 An der Nahtstelle = 0 lässt man üblicherweise das Gleichheitszeichen weg, d. h. man ordnet der 0 (zunächst) keinen Ableitungswert zu. Dies kann man nämlich nur dann tun, wenn dies eindeutig möglich ist. Hier kann man der Spitze S0 gleich zwei Tangenten zuordnen: Tangentensteigung von rechts kommend: 0 Tangentensteigung von links kommend: Der Vorzeichenwechsel bedeutet: K hat bei S eine Spitze. Vorzeichen von Funktionsdeutung: f' : Für 0 ist Für 0 ist f hat bei = 0 ein Maimum. lim f ' lim f ' 0 f' 0: Hier fällt f streng monoton. f' 0: Hier wächst f streng monoton. Kurvendeutung: Das Schaubild K hat in S0 einen Hochpunkt. Und wegen der schiefen Tangenten links- bzw. rechtsseitig liegt in S eine Spitze vor. Beispiel f für 0 6 für f' 6 für 0 für Tangentensteigungen an der Stelle = : lim f ' bzw. lim f ' Der Vorzeichenwechsel bedeutet: S ist eine Spitze. Monotonieverhalten: Für 0 < < ist f' 0, d. h. f fällt streng monoton. Für > ist Funktionsdeutung: f' 0, d. h. f wächst streng monoton. f hat bei = ein Minimum. Kurvendeutung: Das Schaubild K hat in S einen Tiefpunkt.

38 0 Ableitungsstory 8. Wendepunkte Man benötigt jetzt das Grundwissen von Seite 9: Methode zur Untersuchung der Krümmung einer Kurve Wenn f'' in einem Intervall U stetig ist, und gilt für alle U f'' 0, dann hat K in U Linkskrümmung. für alle U f'' 0, dann hat K in U Rechtskrümmung. Daraus folgt sofort die Erklärung der folgenden Definitionen: Eine Stelle W heißt Wendestelle, wenn f '' dort Vorzeichenwechsel hat. Ein Punkt heißt Wendepunkt, wenn dort Krümmungswechsel stattfindet. Um Wendepunkte finden zu können, muss man wissen, wie man einen Vorzeichenwechsel von f '' nachweisen kann. Dazu sehen wir uns drei Beispiele an. Diese sollte man durcharbeiten, wenn man Verständnis für die folgende Berechnungsmethode bekommen will. Beispiel f'' 8 f''' 8 f 6 8 f' 6 Die Abbildung zeigt neben dem Schaubild K von f noch das Schaubild von f ''. Dieses ist eine Gerade mit der Gleichung y und der Steigung. 8 8 Dies ist die Ableitung von f '', also f '''. Folglich steigt diese Gerade. Konsequenz: Also schneidet die f'' - Kurve die -Achse. Dort (bei = ) hat f '' Vorzeichenwechsel. Denn weil die f '' Gerade steigt, gilt links von = Dies muss man jetzt geometrisch so deuten: Für < hat das Schaubild K Rechtskrümmung, für > Linkskrümmung. f'' 0, und rechts von gilt f'' 0. Die Tatsache, dass die f '' Gerade steigt, und die Ursache dazu liegt in f ''' 0, 8 garantiert uns, dass f an der Stelle = sein Vorzeichen von nach + ändert. Damit ist gesichert, dass = eine Wendestelle ist. f''' 0 sichert also den Vorzeichenwechsel von f '' an der Stelle =.

39 0 Ableitungsstory 9 Beispiel f 6 f' f'' f''' Jetzt zuerst die Rechnung: Nullstellen von f '' : 0 0,. Welche Steigung hat die f '' Kurve in diesen Nullstellen? Auswertung: Wegen f''' f ''' f''' 0 fällt die f '' Kurve bei =. Das Vorzeichen von f '' wechselt also von + nach -. Die Krümmung von K (Schaubild von f) ändert sich dort also von Linkskrümmung nach Rechtskrümmung. Also hat K bei eine Wendestelle. Wegen f''' 0 steigt die f '' Kurve bei = -. Das Vorzeichen von f '' wechselt also von - nach +. Die Krümmung von K (Schaubild von f) ändert sich dort also von Rechtskrümmung nach Linkskrümmung. Also hat K bei - eine Wendestelle. y-koordinaten der Wendepunkte: f Ergebnis: K hat die Wendepunkte W und W Hinweis:. Die entscheidende Stelle der Rechnung ist eingerahmt. Mit der Erkenntnis, dass f ''' W 0 ist, wird gesichert, dass die Funktion f '' an den Stellen und das Vorzeichen wechselt. Anschaulich bedeuten die Rechenergebnisse, dass die Tangente in den Schnittpunkten der f '' Kurve die -Achse schneidet, und somit f '' garantiert dort ihr Vorzeichen wechselt. Man kann das sehr leicht in der Abbildung nachvollziehen. Man sieht den Vorzeichenwechsel der gestrichelten f '' Kurve an den Wendestellen und -.

40 0 Ableitungsstory 0 Beispiel Musterlösung f 0 e e Erklärung des Screenshots von TI Nspire CAS: Nach den Definitionen der Funktionen und dreier Ableitungen wird die Nullstelle von f '' berechnet, genauer dieses:. Schritt: Notwendige Bedingung: f'' 0 Die Nullstelle von f '' ist ln ln ln. Schritt: y-koordinate fln,75. Schritt: Kontrolle des Vorzeichenwechsels von f '' : (Hinreichende Bedingung) f''' ln 0 Ergebnis: K hat den Wendepunkt Wln,75 Hinweise:. Man prüft bei der Kontrolle, ob f '' an der Nullstelle = ln ihr Vorzeichen ändert. Das Ergebnis f ''' ln 0 besagt, dass die f'' Kurve mit der (Tangenten-)Steigung die -Achse schneidet. Daher hat f '' bei = ln einen Vorzeichenwechsel, und zwar von nach +. Zum Verständnis: Mit f ''' werden die Tangentensteigungen der Kurve y f'' bestimmt. Der Vorzeichenwechsel von f '' besagt, dass im Punkt W das Schaubild K von f einen Krümmungswechsel hat, und zwar von rechts nach links.. Die manuelle Durchführung der obigen Rechnung wird vielen Probleme bereiten: Zuerst die Ableitungen: f' 0 e e f '' 0 (e e ) f''' 0 e 8e Notwendige Bedingung für Wendepunkte: e e 0 e e e e ln (Das Rechnerergebnis lautete y-koordinate: Hier musste man wissen: f'' 0 W ln ln ln ) 5 5 e e 6 ln ln f ln 0 e e 0 0 5,75 ln ln ln e, ln ln Kontrolle: ln ln ln6 und ln6 e f ''' ln 0 e 8 e ln ln e e 6. Die Abbildung enthält außerdem die Wendetangente. Man sollte sich klar sein darüber, dass sie die steilste aller fallenden Tangenten ist! Das heißt aber auch, dass die Funktionswerte genau im Wendepunkt ihre größte Änderung erfahren. Bei Anwendungsaufgaben ist das oft von Bedeutung.

41 0 Ableitungsstory Wendepunkte mit waagrechter Tangente 5 Beispiel 5 f (Terrassenpunkt) 5, f '' 8, f' f''' 8 H Diese Funktion wurde bereits als Beispiel 7 gezeigt. Dem Schaubild sieht man an, dass es einen Hochpunkt, einen Tiefpunkt und einen Wendepunkt hat. Dieser Wendepunkt hat hier eine waagrechte Tangente. Daran ist eine Besonderheit. Denn damit verbunden ist ein ungewohnter Ablauf der Berechnungen. Und darauf soll nun hingewiesen werden, damit man im Ernstfall nicht darüber stolpert! W Wir beginnen mit der Suche nach Etrempunkten und führen unsere Drei-Schritt-Methode durch: () Etrempunktbedingung: f' 0 (Zur Erinnerung: Damit sucht man waagrechte Tangenten!) also 0. 0 (Nullprodukt!) y-koordinaten: Kontrollen (Hinreichende Bedingung): JETZT PASSIERT ES: ausklammern: Lösungen: 0 und, also, 9 f0, 79 f 8..., f f '' : Minimum. f '' Maimum f'' 0 0 VERDACHT AUF WENDEPUNKT! Hier liefert also die Etrempunkt-Kontrolle weder Maimum noch Minimum! Wendpunktkontrolle: f''' also ist 0 Wendestelle Ergebnis: H 5 ist Hochpunkt, 5 T ist Tiefpunkt, und W 0 ist Wendepunkt mit waagrechter Tangente. T () Wir haben nun zwar schon einen Wendepunkt entdeckt, aber es kann noch weitere geben. Wendpunktbedingung: 8 0 f'' 0: d. h. 0 X ausklammern: Lösungen: 0, ( = 0 ist schon abgehandelt) 5, y-koordinaten: f,6 und f,6 Kontrolle (Hinreichende Bedingung): f ''' 0 und f''' 0. Ergebnis: Außer W gibt es noch die Wendepunkte W,,6, W,,6. MERKE: Bei der Suche nach Etrempunkten kann es passieren, dass die Kontrolle, also die hinreichende Bedingung nicht erfüllt wird, weil man f'' 0 erhält. Dann heißt dies Verdacht auf Wendepunkt. Wenn die Kontrolle dazu stimmt, also gefunden. Solche Punkte nennt man Terrassenpunkte oder Sattelpunkte. f''' 0 ist, dann hat man einen Wendepunkt mit waagrechter Tangente

42 0 Ableitungsstory Zusammenfassung: Drei-Schritt-Methode zur Berechnung von Wendpunkten Voraussetzung: f muss dreimal differenzierbar sein!. Schritt: (Notwendige Bedingung) f'' 0. Damit bekommt man eine Auswahl von -Koordinaten W.... Schritt: y-koordinate yw f W.... Schritt: Nicht jede Lösung der notwendigen Bedingung führt zu einem Wendepunkt. Daher muss eine Kontrolle erfolgen. Man muss nämlich nachweisen, dass f '' an der Stelle W einen Vorzeichenwechsel macht. Eine mögliche Kontrolle heißt hinreichende Bedingung und besteht im Nachweis, dass gilt: f ''' W 0 Hinweise:. Den Vorzeichenwechsel von f'' kann man oft auch ohne dritte Ableitung nachweisen. Dazu benötigt man Kenntnisse über Funktionen. Beispiel: Die beiden Abbildungen sollen den Verlauf von f '' Funktionen zeigen. Links schneidet die Kurve die -Achse zweimal. In der Berechnung der Nullstellen von f '' werden diese beiden Stellen als einfache Nullstellen auftreten. Und das bedeutet Vorzeichenwechsel von f '' an diesen beiden Stellen, die daher Wendestellen sind. Die rechte Abbildung zeigt eine f '' Kurve, welche die -Achse bei = berührt. Diese Nullstelle wird man als doppelte Lösung der Gleichung f'' 0 erhalten. Dabei gibt es keinen Vorzeichenwechsel. Also kann man doppelte Nullstellen von f '' gleich als Wendestellen ausschließen.. Die Funktionen, die man in der Schule behandelt, sind fast ausnahmslos dreimal differenzierbar, d.h. die Werte der. Ableitung eistieren. Daher wird diese Voraussetzung auch schnell vergessen und praktisch nie überprüft.. Ein Fall, bei dem dies jedoch oft nicht erfüllt ist, das sind zusammengesetzte Funktionen. Dazu gleich ein Beispiel auf der nächsten Seite.

43 0 Ableitungsstory Wendepunkt an einer Nahtstelle einer zusammengesetzten Funktion Beispiel 6 f für 0 für f' f'' für 0 für für für Das Schaubild hat für < Linkskrümmung, denn für alle < gilt f'' 0. Und es hat für > Rechtskrümmung denn für alle > gilt f'' 0. An der Stelle = gibt es keinen eindeutigen Wert für f ''. K hat A als Wendepunkt, weil f an der Stelle = ein Vorzeichenwechsel hat. Zum Training noch schnell gelöste Wendepunktberechnungen Beispiel 7 Beispiel 8 Beispiel f 9 5 f' W 9 f'' y W f() f''' f''' 0 Ergebnis: W Bed. für Wendepunkte: f'' W 8 f Ergebnis: W f Bed. für Wendepunkte: f' f'' f''' f'' 0 f ''' 0, f ''' 0, f, f 8 f ''' 0, f ''' 0 7 Ergebnis: W, W f Bed. für Wendepunkte: f' f'' f'' mit = und =. f''' 8.

44 0 Ableitungsstory. Ausnahmepunkte Diese Überschrift ist etwas irreführend. Was hier als Ausnahmepunkte bezeichnet wird, tritt beliebig oft in Erscheinung. Nur im mathematischen Schulalltag begegnet man diesen Punkten kaum, eben weil man sie Schülern kaum vorsetzt. Ich könnte mir denken, dass viele Lehrer ihren Schülern davon auch nichts erzählen. Die erste Sorte dieser Punkte wurden bereits auf Seite erwähnt: Terrassenpunkte. Sie treten gelegentlich auf der Suche nach Etrempunkten auf. f' 0 liefert uns Stellen, in denen das Schaubild von f eine Die notwendige Bedingung waagrechte Tangente hat. Dabei kann es sich nun um Hochpunkte oder Tiefpunkte handeln, dies sind dann die eigentlich gesuchten Etrempunkte, aber es können auch Wendepunkte dabei sein. Und solche Wendepunkte mit waagrechter Tangente nennt man Terrassenpunkte oder auch Sattelpunkte. Die Unterscheidung dieser drei Sorten Punkte liefert die Hinreichende Bedingung, also die Berechnung des Wertes der. Ableitung. Man kann diesen Berechnungsablauf auch als Flussdiagramm darstellen: Ablaufschema für die Berechnung von Etrempunkten und Terrassenpunkten Bedingung für waagerechte Tangente : f' 0 Lösungen dieser Gleichung:,,,... Berechnung der zugehörigen y-koordinaten: f... usw. Kontrollrechnung mit der. Ableitung: f >0 f'' <0 '' '' f 0 f hat bei ein Minimum f hat bei ein Maimum K hat Tiefpunkt f T f Kf hat Hochpunkt Verdacht auf H f Wendepunkt bei Wenn f ''' 0 : W f ist Terrassenpunkt :

45 0 Ableitungsstory 5 Die nächste Sorte von Ausnahmepunkten sind Flachpunkte Sie treten auf verschiedene Weisen in Erscheinung: Alle diese Punkte entstehen als Lösungen der Gleichungen f'' 0 und f''' 0. Sie heißen Flachpunkte, weil die Kurve in einer größeren Umgebung sehr flach (wenig gekrümmt) verläuft. Die Kurve folgt bei diesen Flachpunkten ein ganzes Stück weit der Tangente im Flachpunkt. Diese etwas unmathematischen Formulierungen beschreiben gut den Eindruck, den man beim ersten Hinschauen erhält. Doch es fällt noch mehr auf: In Abb. und Abb. ist dieser Flachpunkt ein Wendepunkt, in Abb. und ändert sich aber die Krümmungsrichtung am Flachpunkt nicht. Auf diese Weise entsteht bei = 0 zusätzlich eine horizontale Tangente wie in Abb., also ein Etrempunkt, hier ein Tiefpunkt. Doch wie findet und wie identifiziert man diese Punkte? Beginnen wir mit den Abbildungen und. Hier tauchen sie bei der Suche nach Wendepunkten mit der Gleichung f'' 0 auf. Doch die Kontrolle liefert f''' 0. Nun können weitere Ableitungswerte 0 werden. Man kann sich (hier ohne Begründung) merken, dass folgendes gilt: V Hat die erste höhere Ableitung, die einen Wert 0 liefert, eine ungerade Nummer (etwa f 0), dann macht f '' an der Stelle einen Vorzeichenwechsel, so dass ein Wendepunkt vorliegt. Hat sie eine gerade Nummer, dann liegt kein Krümmungswechsel vor, also kein Wendepunkt. Die Flachpunkte in den Abbildungen und entdeckt man schon frühzeitig, denn sie haben ja eine waagrechte Tangente. Also gehören ihre -Koordinaten bereits zu den Lösungen der Gleichung f' 0. Dann aber geht es weiter wie eben beschrieben. Es folgen f'' 0, f''' 0. Dann hängt es wieder von der Nummer der Ableitung ab, die als erste einen Wert ungleich 0 liefert. Hier die Gleichungen der dargestellten Funktionen: Abb. : Abb. : Abb. : Abb. : f f 6 f 5 5 f 0 Übung: Bestätige an diesen Beispielen die gemachten Aussagen über die höheren Ableitungen. Die Lösung zeige ich auf der nächsten Seite.

46 0 Ableitungsstory 6 Beispiel 50 f''' f f' f'' 6 IV f Lösung der Gleichung: f'' 0: 0. Kontrollen: f''' 0 0 Tiefpunkt von y f'' bei 0, IV f 0 0 also keine Vorzeichenwechsel, Zusätzlich ist: f' 0 0 d. h. waagrechte Tangente in O0 0. Beispiel 5 5 f 5 f' f'' 5, f''' IV V f 0, 5 f 0 Lösung der Gleichung: f'' 0: 0. Kontrollen: f''' 0 0 Terrassenpunkt von y f'' bei 0, IV f 0 0 also Vorzeichenwechsel, V f 0 0 also Wendepunkt, Zusätzlich ist: f' 0 0 d. h. waagrechte Tangente in O0 0. Beispiel 5 6 f 5 f' f'' f ''' 0 V f 60 VI f 0 f 60 5 IV Lösung der Gleichung Kontrollen: V f 0 0 f''' 0 0 f'' 0 ergibt 0 f 0 0 f 0 0 IV VI Die schräge Tangente im Flachpunkt F0 hat die Steigung f' 0. Beispiel f'' IV V f f' f''' f 6 f 6 Lösung der Gleichung: f'' 0: 0. Kontrollen: f''' 0 0 IV f 0 0 V f 0 0 Die schräge Tangente im Wendepunkt F0 hat die Steigung f' 0.