Planung von Straßen. Lösungen mit Hilfe der CAS-Rechner TI Nspire CAS CASIO ClassPad 300. Zahlreiche Lösungen auch mit der Gauß-Methode (Matrizen)

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1 Analysis Trassierung von Straßen Planung von Straßen Lösungen mit Hilfe der CAS-Rechner TI Nspire CAS CASIO ClassPad 300 Zahlreiche Lösungen auch mit der Gauß-Methode (Matrizen) Datei Nr Stand: 9. Juni 0 DEMO für INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK

2 4085 Steckbriefaufgaben Trassierung von Straßen Vorwort Der Name Steckbriefaufgaben hat sich seit Jahren für den Typ von Aufgaben durchgesetzt, bei dem man eine Funktionsgleichung auf gegebenen Eigenschaften aufstellen muss. Aufgaben zur Planung von Straßen, die knick- und ruckfrei verlaufen, sind inzwischen ein beliebter Typ dieser Steckbriefaufgaben. Hier eine Einführung und zahlreiche Aufgaben dazu. In der Regel stellt man ganzrationale Funktionen auf. Das hat den einfachen Hintergrund, dass man mit ihnen die meisten Bedingungen realisieren kann. Erfordert eine Aufgabe etwa die Realisierung von 7 Bedingungen, dann kann diese mit einer Funktion 6. Grades realisieren. Denn diese hat in ihrer allgemeinen Form f ( x) = ax + bx + cx + dx + ex + mx + n 7 zu bestimmende Koeffizienten. In den vier Einführungsbeispielen zeige ich aber auch exemplarisch, dass man es auch mal mit einem Kreisbogen oder einem Stück Kosinuskurve / Sinuskurve versuchen kann. Man erfährt dann aber auch gleich, warum dies nicht sehr weiterhilft. Die im Anschluss folgenden Übungsaufgaben sind noch einmal ohne Lösungen im Text 4084 zusammengestellt, damit man sie den Schülern im Intranet auch so übergeben kann. Die Lösungen der Gleichungssysteme werden unterschiedlich bestimmt: Manuell mit dem Gauß-Verfahren (Matrizen) mit einem CAS-Rechner. Die Graphiken wurden mit MatheGrafix erstellt. Es gibt ab sofort auf der CD einen Ordner Mathegrafiken, der Dateien für diese und andere Grafiken enthält falls jemand daran weiter arbeiten will. Im Text 7340 gibt es zu diesem Thema Prüfungsaufgaben. Inhalt Einführung 3 DEMO für Beispiel 5 Beispiel 0 Beispiel 3 6 Beispiel 4 Trainingsaufgaben 4 Lösungen 8-54

3 4085 Steckbriefaufgaben Trassierung von Straßen 3 Einführung Wenn man zwei voneinander getrennte Fahrbahnstücke durch eine Straße (oder Bahnlinie) verbinden soll, muss man dabei beachten, dass es bestimmte Regeln gibt, die man einhalten muss, sonst wird das Ergebnis fahrtechnisch unbrauchbar. Dies sei zuerst ohne Rechnungen dargelegt. Abbildung zeigt uns zwei vorhandene Straßen- oder Bahnabschnitte s und s 3. Die Lücke zwischen A und B soll geschlossen werden. Sicher wird niemand ernsthaft den Vorschlag machen, A und B geradlinig zu verbinden, wie es Abb. zeigt. Dann hätten wir in den Punkten A und B einen Knick. Und dieser ist fahrtechnisch nicht möglich, man benötigt eine Kurve! Also muss man einen Anschluss finden, der knickfrei ist, d.h. die Steigung von s muss gleich der Tangentensteigung des Kurvenbogens s im Anschlusspunkt A sein. Dasselbe gilt im Anschlusspunkt B. Ich habe hier eine ganzrationale Funktion 3. Grades verwendet, deren Bogen zwischen Tief- und Hochpunkt einen knickfreien Anschluss liefert. Wer die Fortsetzung dieser Geschichte noch nicht kennt, wird erstaunt sein, zu hören, dass man eine weitere Bedingung beachten muss. Das wird klar, wenn man folgende Bahn geistig durchfährt: Unser Autofahrer kommt von links und fährt in A auf den Kreis. Dort dreht er einige Runden. Das ist sehr bequem, denn auf der Kreisbahn muss er die einmal eingestellte Richtung (Stellung des Lenkrads) nicht mehr verändern. Nun entschließt er sich, in B die Kreisbahn zu verlassen. Dazu muss er nun ruckartig das Lenkrad gerade stellen, sonst fliegt er von der anschließend gerade Strecke. Abb. Abb. s s Abb.3 DEMO für s A A s 3 s B B s s s s3 Die Übergänge bei A und bei B sind also nicht ruckfrei. Das liegt an der Bahnkrümmung. Diese ist beim Kreis konstant, bei einer geraden Strecke aber 0.

4 4085 Steckbriefaufgaben Trassierung von Straßen 4 Will man einen ruckfreien Übergang realisieren, muss man (wir gehen zurück zu unserer Abbildung ) eine Funktion ermitteln, die in A und B keinen Krümmungssprung aufweist. Merke: An einem knickfreien Übergang stimmen die Werte der. Ableitung an der Anschlussstelle überein. An einem ruckfreien Übergang stimmen die Werte der. Ableitung an der Anschlussstelle überein. Nun füllen wir das Beispiel mit Zahlen. Zuerst die Daten zu den Abbildungen bis 3: Die Strecke s hat die Gleichung f ( x) = für 5 x Die Strecke s hat die Gleichung f ( x) = für 3 x 6 Die Funktion 3. Grades, die in Abb. 3 einen knickfreien Übergang ermöglicht, 3 hat die Gleichung f3 ( x) = 5 ( 6x + 9x + 08x + 7) Dazu kann man die erste kleine Aufgabe () stellen: Lösung: Zeige, dass f 3 bei x = - und bei x = 3 knickfreie Übergänge ermöglicht, aber keine ruckfreien. () Überprüfung der Stetigkeit: 3 ( ) = = zeigt, dass das Schaubild von f 3 durch A( ) f... geht, wie s auch. f3 ( 3 ) =... = zeigt, dass das Schaubild von f 3 durch B( 3 ) geht, wie s auch. () Liegt ein knickfreier Übergang vor? Berechnung der. Ableitung: f 3 '( x) = 5 ( 8x + 8x + 08) Tangentensteigung in A: ( ) ( ( ) ) f ' = Tangentensteigung in B: ( ) ( ) f ' 3 = Also ist s Tangente in A an s 3 und s 3 Tangente in B an s 3 : knickfreie Übergänge. DEMO für (3) Berechnung der. Ableitung: f ( ) 3 '' x = 5 ( 36x + 8) Krümmungswert in A: ( ) ( ) ( ) 90 f '' = = Krümmungswert in B: ( ) ( ) f '' 3 = = Die beiden geraden Strecken s und s haben aber konstante. Ableitungen 0. Also sind die Übergänge nicht ruckfrei. f ''( ) und f ''( 3 ) sind ja nicht 0. Hinweis: Nur die Übereinstimmung der Krümmungswerte spielt eine Rolle. Die Zahlenwerte selbst sind ohne weitere Bedeutung.

5 4085 Steckbriefaufgaben Trassierung von Straßen 5 Beispiel Eine krümmungs- und ruckfreie Verbindung herstellen Wie wollen ausgehend von Abb. des Einführungsbeispiels eine Funktion aufstellen, die A und B nicht nur knickfrei, sondern auch ruckfrei verbindet. Rechts sieht man das Ergebnis. Die gesuchte Funktion hat die Gleichung g( x) x - x x + x + x = für x 3 Hier der ausführliche Lösungsweg: Aufgabe Lösung: Gegeben sind die Strecken s durch f ( x) = für 5 x und die Strecke s durch f ( x) = für 3 x 6 Bestimme eine Funktion g, die s und s knick- und ruckfrei verbindet.. und. Bedingung: g muss in A und B stetig anschließen: () g( ) = durch A( ) () g3 ( ) = durch B( 3 ) 3. und 4. Bedingung: g muss in A und B knickfrei anschließen: (3) g' ( ) in A die Steigung 0 wie s. (4) g' ( 3) in B die Steigung 0 wie s. 5. und 6. Bedingung: g muss in A und B ruckfrei anschließen: (5) g'' ( ) in A den gleichen Krümmungswert wie s. (6) g'' ( 3) in B den gleichen Krümmungswert wie s. Um 6 Bedingungen realisieren zu können, benötigt man eine ganzrationale Funktion 5. Grades, die ja bekanntlich 6 Koeffizienten haben muss: Ansatz: g( x) = ax + bx + cx + dx + ex + f mit 4 3 g' ( x) = 5ax + 4bx + 3cx + dx + e und ( ) 3 g'' x ax + bx + 6cx + d Abb. 4 DEMO für Die 6 Bedingungen führen damit zu diesen 6 Gleichungen: g = 3a + 6b 8c + 4d e + f = () ( ) () g3 ( ) = 43a + 8b + 7c + 9d + 3e + f = (3) g' ( ). 80a 3b + c 4d + e (4) g' ( 3) 405a + 08b + 7c + 6d + e (5) g'' ( ) 60a + 48b c + d (6) g'' ( 3) 540a + 08b + 8c + d Dieses Gleichungssystem lässt man einen CAS-Rechner lösen: A B

6 4085 Steckbriefaufgaben Trassierung von Straßen 6 Lösung des Gleichungssystems mit CASIO ClassPad: Erklärung: Zuerst wird g definiert. Ich empfehle, g dann nochmals zur Kontrolle anzeigen zu lassen. Dann folgen die 6 Gleichungen. g'. ClassPad berechnet dies so wie angezeigt. Die 3. Gleichung entspricht ( ) Der Befehl diff hat folgende Parameter: diff(funktion, Variable,n,a) Zuerst die Funktion, dann die Variable, nach der abgeleitet wird, dann der Grad der Ableitung (. Ableitung,. Ableitung) und dann die einzusetzende Zahl. Lösung des Gleichungssystems mit TI Nspire CAS: DEMO für Hier habe ich die Ableitungsfunktionen g (als g) und g (als g) zuerst definiert und dann das Gleichungssystem aufgestellt. Das geht bei Casio ClassPad auch. Doch nach dieser Lösung des Gleichungssystems kennt keiner der beiden Rechner die Funktion. Benötigt man die Funktion zum Weiterarbeiten, muss man die Lösung des Systems in den Term von f einsetzen und das Ergebnis für eine neue Definition der Funktion verwenden. Das geht so:

7 4085 Steckbriefaufgaben Trassierung von Straßen 7 Bei Casio ClassPad: Ganz oben im Screenshot steht die Ergebniszeile des Gleichungssystems. Diese fügt man mit dem Bedingungsstrich an g(x) an. Man erhält dann den gesuchten Funktionsterm, der hier schwarz hinterlegt ist. Dann folgt eine neue Definition von g(x), wobei man den schwarzen Ergebnisterm markiert und hinter das Gleichheitszeichen zieht. Dies wurde mit der PC-Software gemacht. Der Unterschied zum Handheld ist nur darin gegeben, dass ich hier eine hinreichend breite Darstellung zeigen kann, während man auf dem Display des Handhelds ja nur einen kleinen Ausschnitt sehen kann. Bei TI Nspire CAS Hier ist der Ablauf nahezu identisch wie zuvor: Ganz oben im Screenshot steht die Ergebniszeile des Gleichungssystems. Diese fügt man mit dem Bedingungsstrich an g(x) an. Man erhält dann den gesuchten Funktionsterm. Ich habe dazu diese Ergebniszeile markiert, kopiert und dann hinter dem Strich eingefügt. Dann folgt eine neue Definition von g(x), wobei man den Ergebnisterm markiert, kopiert und hinter dem Gleichheitszeichen einfügt. Tipp für die Heftarbeit: DEMO für Jetzt erst weiß Ihr Rechner, wer g(x) wirklich ist! Will (soll) man diese Funktion aufschreiben, dann kann man folgende Vereinfachung vornehmen: Vier dieser Nenner lauten 65. Man stellt fest, dass 35 : 65 = 5 ist und erkennt so, dass man beispielsweise den Nenner 35 ausklammern kann. Dazu wurden die vier mittleren Brüche mit 5 erweitert: g( x) = ( 8x 5 45x 4 330x x + 340x 49) 35 Dies schreibt man schneller.

8 4085 Steckbriefaufgaben Trassierung von Straßen 8 Ich zeige nun noch um das Verständnis zu fördern wie das Schaubild von g, also die gesuchte knick- und ruckfreie Verbindung aussieht, erstellt mit Mathegrafix, und zwar eingebettet in die Aufgabenstellung: Das Schaubild von g ist blau gefärbt. Außerhalb des Intervalls x 3 ist die Kurve gestrichelt, weil sie dort nicht gebraucht wird. Man erkennt jetzt ganz deutlich, dass dieses Schaubild von g, also die endgültige Kurve s 3 in A und in B je einen Wendepunkt mit waagrechter Tangente hat (Man nennt dies auch Terrassenpunkt oder Sattelpunkt). Dies ist ja die Folge unserer Bedingungen: g'' ( ) führt ja zum Wendepunkt und g' ( ) zur waagrechten Tangente in A. Analoges gilt für B. Jetzt also kann man knick- und ruckfrei die ganze Straßenanlage durchfahren. Noch eine interessante Abbildung: Die dünne Linie war die schlechtere Straße mit dem Krümmungssprung bei - und 3. Man sieht gut, dass die Kurve 5. Grades in einem günstigeren Bogen bei A und B einmündet als die Kurve 3. Grades aus Abschnitt. DEMO für Werbung: So sieht die Arbeitsoberfläche von Mathegrafix aus, mit der diese Abbildungen erstellt worden sind.

9 4085 Steckbriefaufgaben Trassierung von Straßen 9 Man kann diese Abbildungen natürlich auch mit den CAS-Rechnern erstellen und dann als Vorlage für eine Skizze verwenden, und natürlich zur Kontrolle, ob das Ergebnis auch den Wünschen entspricht oder sich ein Fehler eingeschlichen hat.. So lässt man sich diese Kurve mit Classpad zeigen:. Und so bei TI Nspire CAS: DEMO für

10 4085 Steckbriefaufgaben Trassierung von Straßen 0 Beispiel Gegeben sind die beiden gradlinigen Straßenstücke s und s 3. Die Lücke zwischen den Punkten A und B soll durch eine neue Straßenführung glatt geschlossen werden. s s 3 Dazu sind folgende 4 Vorschläge durchzuplanen und die Ergebnisse zu vergleichen: (a) Schließen durch einen Parabelbogen. (b) (c) (d) Schließen durch eine Parabel 4. Grades. Schließen durch einen Kreisbogen. Schließen durch eine Kosinuskurve. Als Hilfsmittels ist ein CAS-Rechner zugelassen. Die Lösungen sind auf Ihre Brauchbarkeit hin zu beurteilen. A s DEMO für B

11 4085 Steckbriefaufgaben Trassierung von Straßen Lösung Für alle Lösungen ist zu beachten, dass die Straßenanordnung symmetrisch zur y-achse ist. Man erkennt schnell, dass die Straße s durch die Gleichung wird und die Straße s 3 durch (a) y = x für x 6. y = x für 6 x beschrieben Bei Verwendung einer Parabel greift man auf eine Funktion dieser Form zurück: ( ) = + mit g' ( x) g x ax b = ax Für die Parabel benötigen wir also nur zwei Bedingungen. Diese lauten: () g( ) = 4a + b = (Parabel durch B) () ( ) g' 8 = 4a =. (Knickfrei in B) Aus () folgt a = und damit aus (): Damit haben wir die Funktion g: g( x) Die gesamte Straßenfunktion: ( ) 8 b = 4a = 4 = =. x 8 = +. x für 6 x f x = x + für x 8 x für x 6 Zur Begutachtung benötigen wir die beiden Ableitungsfunktionen: für 6 x f '( x) = x für x 4 x für x 6 Die Schaubilder dazu: Gutachten : Diese Abbildungen zeigen, dass die Steigungsfunktion f stetig ist Die Parabel schließt also knickfrei an. f '' ist dagegen nicht stetig sondern macht einen Sprung. Sie wirkt sich für den Autofahrer ungünstig aus, denn dieser Krümmungssprung muss durch eine zusätzliche Lenkbewegung ausgeglichen werden. Die Fahrt erhält in A und B einen seitlichen Ruck. Daher ist diese Kurvenanbindung nicht das, was man glatt oder ruckfrei nennt. 0 für 6 x f '' x = für < x < 4 0 für x 6 und ( ) DEMO für f f' f ''