Grundlegende Aufgaben zu Tangenten

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1 ANALYSIS Ganzrationale Funktionen Grundlegende Aufgaben zu Tangenten Teil : Alle wichtigen Methoden ausführlich erklärt Spezielle Methoden für CAS-Rechner Teil : Trainingsaufgaben mit sehr ausführlichen Lösungen. Oberstufe Datei 0 Stand: 7. August 009 INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK

2 0 Tangenten Aufgaben Grundwissen über Geraden INHALT nach Themen geordnet Geradengleichungen Aufstellen einer Geradengleichung 5 Berechnung der Geradensteigung aus Punkten 5 Punkt-Steigungs-Form 6 Zwei-Punkte-Form 6 Tangentengleichung Berechnung der Tangentensteigung 7 Allgemeine Tangentengleichung 7 Mit TI Nspire CAS, 8, Mit CASIO ClassPad Normalengleichung Berechnung der Normalensteigung 0 Allgemeine Normalengleichung 0 Mit TI Nspire CAS, 8 Mit CASIO ClassPad Wendetangenten 5, 8, 5, 0 Mit TI Nspire CAS 7, 9 Wendenormalen 5, 8 Mit TI Nspire CAS 7, 9 Tangenten parallel zu einer Geraden 0,, 5, 7, 5, 66 Mit CASIO ClassPad Tangenten senkrecht zu einer Geraden,, 5 Normalen parallel zu einer Geraden,, 7 Normalen senkrecht zu einer Geraden,, 7 Von einem Punkt Q die Tangente an K legen 5, 7, 55, 58, 60, 6, 66 Mit TI Nspire CAS 6, 55, 59, 65 Mit CASIO ClassPad 9

3 0 Tangenten Aufgaben Schnitt eine Tangente oder Normalen mit der Kurve 5,, 6, 9, 5, 7, 5, 66 Horner-Schema bzw. Polynomdivision 5, 7,, 6, 9, 7, 5, 66 Trainingsaufgaben 0 Kurvendiskussion 5, 6 Newtonsches Näherungsverfahren 6 Mit TI Nspire 65

4 0 Tangenten Aufgaben Aufstellen einer Tangentengleichung / Normalengleichung. Grundwissen über Geraden Eine Tangente ist eine Gerade, welche eine Kurve in einem bestimmten Punkt berührt. Die Gleichung einer Geraden hat einer dieser drei Formen: () y = m x+ n falls die Gerade nicht parallel zur y-achse ist. () y = n falls die Gerade parallel zur x-achse ist. () entsteht aus () durch m = 0. (Eine zur x-achse parallele Gerade hat die Steigung 0.) () x = c falls die Gerade parallel zur y-achse ist. Bedeutung der Größen m und n in einer Geradengleichung: y= m x+ n Unter der Steigung einer Geraden (die nicht zur y-achse parallel sein darf) versteht man den Tangens ihres Steigungswinkels: y y Δy m = tanα = = x x Δx Kennt man zwei Punkte der Geraden, dann kann man diese Steigung wie angegeben berechnen. Welchem der beiden Punkte man die Nummer bzw. gibt, ist unerheblich. Steigung A α y Achsen Abschnitt Δx B Δy Beispiel (Abbildung) Wir lesen die Koordinaten zweier Punkte ab. A( 0 ) und B( ) Daraus erhält man entweder m = = = 0 Die Gleichung dieser Geraden ist y= x. oder ( ) m = = 0 Man erkennt die Steigung als Zahl vor x. Die Zahl - (ohne x) nennt man das Absolutglied. Es gibt die Stelle an, bei der die Gerade die y-achse schneidet. (Daher nennt man das Absolutglied in der Geradengleichung auch den y-achsen-abschnitt.) Warum ist das so? Ganz einfach: Will man wissen, wo die Gerade (oder eine andere Kurve) die y-achse schneidet, muss man für x 0 einsetzen. Und dann folgt hier y = =. Das war dann schon alles! 0

5 0 Tangenten Aufgaben 5. Grundaufgabe : Aufstellen einer Geradengleichung Geometrisch gesehen ist die Lage einer Geraden gegeben, wenn man entweder zwei Punkt von ihr kennt, oder wenn man einen Punkt und ihre Richtung (Steigung m) kennt. Berechnung der Geradensteigung aus Punkten: Gegeben sind P( x y ) und ( ) P x y. Dann berechnet man die Steigung der Geraden g = (P P ) als Tangens des Steigungswinkels α : P Δy tanα= Δ x Δy Unter Δ y und Δ x versteht man die Längen der beiden Katheten. Man berechnet sie als Differenz aus den P α Δx Punktkoordinaten: y tanα= x y x. Methode zur Aufstellung einer Geradengleichung Man benötigt einen Punkt und die gegebene oder soeben berechnete Steigung m und verwendet die Gleichung: y = m x+ n. Dann muss man noch die Größe n (das ist der y-achsenabschnitt) berechnen. Dazu werden für m die Steigungszahl eingesetzt und für x und y die Koordinaten eines bekannten Geradenpunktes eingesetzt. Beispiel: Gegeben ist die Gerade durch P ( 5 ) und P ( ) 5. Schritt: Berechnung der Steigung: m = = =. Schritt: Berechnung des Achsenabschnitts durch Einsetzen von m und den Koordinaten von P in: y = m x+ n = + n Daraus folgt: n =. Schritt: Einsetzen in die allgemeine Geradengleichung y = m x+ n: y = x

6 0 Tangenten Aufgaben 6. Methode zur Aufstellung einer Geradengleichung Verwendung der Punkt-Steigungs-Form: y y= m ( x x) Dies geht alles in einem Schritt: Man setzt die Koordinaten irgend eines Punktes der Geraden und ihre Steigung ein und stellt nach y um. Beispiel: Gegeben ist die Gerade durch P ( 5 ) und m = : Einsetzen in die Punkt-Steigungs-Form: y 5 = ( x ) Ausmultiplizieren: y 5 = x 6 +5 und umstellen: y = x Zusatz: Sind wie oben zwei Punkte gegeben, dann muss man zuerst die Steigung berechnen, bevor man die Punkt-Steigungs-Form anwenden kann: Beispiel: Gegeben ist die Gerade durch P ( 5 ) und P ( ). Schritt: Berechnung der Steigung: 5 m = = =. Schritt: Einsetzen in die Punkt-Steigungs-Form: y 5 = ( x ) Ausmultiplizieren: y 5 = x 6 +5 und umstellen: y = x Zusatz: Sind wie oben zwei Punkte gegeben, dann kann man aber auch die Formel für die Tangentensteigung in die Punkt-Steigungs-Form einsetzen. So entsteht die Zwei-Punkte-Form: y y = ( ) oder kürzer geschrieben: y y y = Δ ( x x ) y y x x x x Δx Beispiel: Gegeben ist die Gerade durch P ( 5 ) und P ( ) Einsetzen in die Zwei-Punkte-Form: 5 y 5 = ( x ) Umformen: y 5 = ( x ) Ausmultiplizieren: y 5 = x 6 +5 und umstellen: y = x Nun kann man sich aussuchen, was man nehmen möchte.

7 0 Tangenten Aufgaben 7. Grundaufgabe : Aufstellen einer Tangentengleichung Eine Tangente ist auch eine Gerade. Also kann man die beiden in. genannten Methoden anwenden. Zuvor muss man jedoch die Tangentensteigung berechnen. WISSEN: Die Steigung einer Tangente kann man mit der. Ableitungsfunktion berechnen: Setzt man in f' ( x ) die x-koordinate des Berührpunkts ein, erhält man als Wert die Tangentensteigung: m =f' T ( x ) Mit dieser Formel entsteht aus der Punkt-Steigungs-Form die Tangentengleichung: y y= f'(x) ( x x) Oder mit y f(x ) = : y f( x ) = f'(x) ( x x) f x = x x+ Beispiel : Gegeben ist die Funktion f durch ( ) Berechne die Gleichungen der Tangenten an den Stellen x = 0, x = und x = -. Lösung: Ableitungsfunktion: f' ( x) = x a) Zu x = 0 gehört ( ) Der Berührpunkt ist somit: B ( 0 ). Tangentensteigung in B : ( ) y = f 0 =. mt = f' 0 = B und m T werden jetzt in die Punkt-Steigungs-Form eingesetzt: Tangentengleichung: y = ( x 0) y = x T : y = x+ b) Zu x = gehört ( ) y = f = 7 6+ = 9 6+ =. Der Berührpunkt ist somit: B ( ). Tangentensteigung in B : ( ) mt = f' = 9 = 7 B und m T werden jetzt in die Punkt-Steigungs-Form eingesetzt: Tangentengleichung: y = 7( x ) y = 7x T : y = 7x 7

8 0 Tangenten Aufgaben c) Zu x = - gehört y f( ) ( 8) 5 7 Der Berührpunkt ist somit: B ( ). Tangentensteigung in B : m = f' ( ) = = = = + + = + = =. 7 B und m T werden jetzt in die Punkt-Steigungs-Form eingesetzt: Tangentengleichung: y 7 = ( x+ ) T 7 7 y = x+ + y = x+ + 9 T : y = x+ Eine typische Aufgabe, bei der man mit Brüchen rechnen muss. Die Verwendung von Dezimalzahlen wäre ungeschickt und verbietet sich, weil man dann nur Näherungs- Ergebnisse bekommt. 7 Die folgende Abbildung zeigt diese drei Tangenten. T T T Nachtrag zum Beispiel a) Weil der Berührpunkt hier auf der y-achse liegt, benötigt man die Punkt-Steigungs-Form nicht. Der Berührpunkt ist: B ( 0 ) Also übernimmt man seine y-koordinate für die Größe n in der Geradengleichung. Tangentensteigung in B : ( ) mt = f' 0 = Ergebnis der Geradengleichung: y = m x+ n y = x+

9 0 Tangenten Aufgaben 9 f x = x + x x Beispiel : Gegeben ist die Funktion f durch ( ) Berechne die Gleichungen der Tangenten an den Stellen x = -, x = und x = - Lösung:. Ableitung: f' ( x) = x + x a) Zu x = - gehört ( ) ( ) Der Berührpunkt ist somit: B ( 0). Tangentensteigung in B : ( ) y = f = = 8+ = 0. mt = f' = 8+ = B und m T werden jetzt in die Punkt-Steigungs-Form eingesetzt: Tangentengleichung: y 0 = ( x+ ) T : y=x+ b) Zu x = gehört y f( ) Der Berührpunkt ist somit: B ( ). Tangentensteigung in B : m = f' ( ) = + = T = = + = =. B und m T werden jetzt in die Punkt-Steigungs-Form eingesetzt: Tangentengleichung: y+ = ( x ) y+ = x y = x T : y=x- c) Zu x = - gehört 5 y f( ) Der Berührpunkt ist somit: 5 B ( ). Tangentensteigung in B : m = f' ( ) = + = 0 Steigung 0 bedeutet horizontale Gerade. Diese hat die Gleichungsform: y = n 5 B eingesetzt: T : y= T = = + = + =. T T T

10 0 Tangenten Aufgaben 0. Grundaufgabe : Aufstellen einer Normalengleichung WISSEN: Die Steigung einer Normale kann man indirekt auch mit der. Ableitungsfunktion berechnen: Setzt man in f' ( x ) die x-koordinate des Berührpunkts ein, erhält man als Wert die Tangentensteigung: m T =f' ( x ) Der negative Kehrwert davon ist die Normalensteigung: ' m N = f x Denn weil N auf T senkrecht steht, gilt: ( ) m N =, m T Mit dieser Formel entsteht aus der Punkt-Steigungs-Form die Normalengleichung: y y = ( x x ) Oder mit y f(x ) f'(x ) = : y f( x) = ( x x) f'(x ) f x = x x+ Beispiel : Gegeben ist die Funktion f durch ( ) Berechne die Gleichungen der Normalen an den Stellen x = 0, x = und x = -. Lösung: Ableitungsfunktion: f' ( x) = x a) Zu x = 0 gehört ( ) Der Kurvenpunkt ist somit: B ( 0 ). Tangentensteigung in B : ( ) y = f 0 =. mt = f' 0 = Normalensteigung in B : mn = = = mt B und m N werden jetzt in die Punkt-Steigungs-Form eingesetzt: Normalengleichung: y = ( x 0) Anm.: Weil der Kurvenpunkt B ( ) y = x N : y = x+ 0 auf der y-achse liegt, benötigt man hier die Punkt-Steigungs-Form eigentlich nicht. Es genügt schon die Grundgleichung y = mx+ n, denn n = yb = : y = x+

11 0 Tangenten Aufgaben b) Zu x = gehört ( ) y = f = 7 6+ = 9 6+ =. Der Kurvenpunkt ist somit: B ( ). Tangentensteigung in B : ( ) mt = f' = 9 = 7 Normalensteigung in B : mn = = mt 7 B und m N werden jetzt in die Punkt-Steigungs-Form eingesetzt: Normalengleichung: y = ( x ) y = x+ N : y = x c) Zu x = - gehört ( ) ( ) 7 Der Kurvenpunkt ist somit: B ( ). Tangentensteigung in B : m = f' ( ) = = y = f = = + 5 =. 7 Normalensteigung im B : mn = = mt B und m T werden jetzt in die Punkt-Steigungs-Form eingesetzt: Normalengleichung: y 7 = ( x+ ) T 7 7 y = x + y = x+ + N : y = x+ N Und unten zum Vergleich die Tangenten in denselben Punkten. N N T T T

12 0 Tangenten Aufgaben f x = x + x x Beispiel : Gegeben ist die Funktion f durch ( ) Berechne die Gleichungen der Normalen an den Stellen x = -, x = und x = - Lösung:. Ableitung: f' ( x) = x + x a) Zu x = - gehört ( ) ( ) Der Kurvenpunkt ist somit: B ( 0). Tangentensteigung in B : ( ) y = f = = 8+ = 0. m = f' = 8+ = Normalensteigung in B : mn = = mt B und m N werden jetzt in die Punkt-Steigungs-Form eingesetzt: Normalengleichung: y 0 = ( x+ ) N : y=- x- b) Zu x = gehört y f( ) Der Kurvenpunkt ist somit: B ( ). Tangentensteigung in B : m = f' ( ) = + = T T = = + = =. Normalensteigung in B : mn = = mt B und m N werden jetzt in die Punkt-Steigungs-Form eingesetzt: Normalengleichung: y+ = ( x ) y+ = x+ N : y=- x+ c) Zu x = - gehört 5 y f( ) Der Kurvenpunkt ist somit: 5 B ( ). Tangentensteigung in B : m = f' ( ) = + = 0 T = = + = + =. Normalensteigung in B : Zu 0 gibt es keinen Kehrwert! Die Tangente ist parallel zur x-achse, also ist die Normale parallel zur y-achse: Diese hat die Gleichungsform: x = c B eingesetzt: N : x=- T T Rechts die Normalen N N T Links die Tangenten in den gleichen Punkten. N

13 0 Tangenten Aufgaben.5 Berechnung von Tangenten und Normalen mit TI Nspire CAS f x = x x+ Gegeben ist die Funktion f durch ( ) Berechne die Gleichungen der Tangente und der Normalen an der Stelle x = -. Lösung: Zuerst definiert man die gegebene Funktion und dazu die erste Ableitungsfunktion, hier mit f bezeichnet. Als nächstes verwendet man die Punkt-Steigungs-Form. Man stellt sie aber nach y um: = wird so y f'(x) ( x x) f( x) Aus y f( x ) f'(x ) ( x x ) Damit definieren wir eine Tangentenfunktion mit dem 9 Ergebnis: y = t(x) = x+. = +. Analog dann mit dem negativen Kehrwert der Tangenten- f'(x ) steigung eine Normalenfunktion: y = ( x x ) + f( x ) mit dem Ergebnis: y = n(x) = x. Warum definiert man eine Tangentengleichung / Normalengleichung als Funktion? Damit kann man dann schnell weitere Aufgaben erledigen, etwa Schnittpunkte berechnen, Punkte auf der Tangente/Normalen berechnen usw. Trick: Viele Tangenten/ Normalen auf einmal berechnen: Wenn man den Punkt allgemein ansetzt, also Ba f(a), ( ) bekommt man die Tangente in einem beliebigen Punkt. Ich habe die Tangentenfunktion jetzt als Funktion zweier Variablen definiert. t(x,a). Ersetzt man a durch 0, oder -, dann liefert der Rechner sofort die Tangenten in den Berührstellen x = 0, x = oder x = -. Man kann die Ergebnisse vorne in. vergleichen. Hier dasselbe mit Normalengleichungen: Und diese kleine Rechnung sagt uns, dass auf der Tangente in x= - der Punkt ( ) Q liegt!

14 0 Tangenten Aufgaben.6 Berechnung von Tangen und Normalen mit CASIO ClassPad f x = x x+ Gegeben ist die Funktion f durch ( ) Berechne die Gleichungen der Tangente und der Normalen an der Stelle x = -. Lösung: Zuerst definiert man die gegebene Funktion und dazu die erste Ableitungsfunktion, hier mit f bezeichnet. Als nächstes verwendet man die Punkt-Steigungs-Form. Man stellt sie aber nach y um: Aus y f( x ) = f'(x ) ( x x ) wird so y f'(x ) ( x x ) f( x ) = +. Damit definieren wir eine Tangentenfunktion mit dem 9 Ergebnis: y = t(x) = x+. Analog dann mit dem negativen Kehrwert der Tangenten- steigung eine Normalenfunktion: y = ( x x ) + f( x ) f'(x ) mit dem Ergebnis: y = n(x) = x. gleich so! gleich so! Man sieht, dass man zwischendurch mit simplify vereinfachen muss! Warum definiert man eine Tangentengleichung / Normalengleichung als Funktion? Damit kann man dann schnell weitere Aufgaben erledigen, etwa Schnittpunkte berechnen, Punkte auf der Tangente/Normalen berechnen usw. Trick: Viele Tangenten/ Normalen auf einmal berechnen: Wenn man den Punkt allgemein ansetzt, also Ba f(a), ( ) bekommt man die Tangente in einem beliebigen Punkt. Ich habe die Tangentenfunktion jetzt als Funktion zweier Variablen definiert. t(x,a). Ersetzt man a durch 0, oder -, dann liefert der Rechner sofort die Tangenten in den Berührstellen x = 0, x = oder x = -. Man kann die Ergebnisse vorne in. vergleichen. Hier dasselbe mit Normalengleichungen: Und diese kleine Rechnung sagt uns, dass auf der Tangente in x= - der Punkt ( ) Q liegt!

15 0 Tangenten Aufgaben 5.7 Wendetangenten und Wendenormalen f x = x + x x Beispiel ( ) a) Stelle die Gleichungen der Wendetangente und der Wendenormalen auf. b) Wo schneidet die Wendenormale die Kurve noch einmal (Für CAS-Rechner). Lösung: (zuerst manuell) a) Ableitungen: f' ( x) = x + x f'' ( x) = x+ f '''( x) = Wendepunkt: Bed.: f'' ( x) = 0 x + = 0 xw = f( ) = + = + + = = y-koordinate: ( ) ( ) Kontrolle: f '''( ) 0 Ergebnis: W( ) Tangentensteigung in W: T ( ) ( ) ( ) Wendetangente: y = ( x+ ) Steigung der Normalen: m = f' = + = = y = x + T W : y = x m = = = m N T = + = x+ + Normale in W: y ( x ) y 7 N W : y = x+ b) Schnittpunkt der Normalen und der Kurve: (Dazu muss man Gleichungen. Grades faktorisieren können!) K: y = x + x x 7 N: y = x+ Gleichsetzen: x + x x = x+ 7 Brüche weg! Ordnen: Bekannte Lösung ist x = x + x 6x = x + 7 x + x 9x 7 = 0 Also kann man mittels Polynomdivision oder Horner-Schema den Faktor (x+) ausklammern:

16 0 Tangenten Aufgaben 6. Hornerschema: Ergebnis: x + x 9x 7 = x + x + 8x 7. Polynomdivision: ( )( ) Ergebnis: x + x 9x 7 = x + x + 8x 7 ( )( ) Beide Methoden lassen also aus der Gleichung x + x 9x 7 = 0 x + x + 8x 7 = 0 diese werden: ( )( ) x = ( ) ( x x ) x + x 9x 7 : (x + ) = x + 8x 7 + 8x 9x ( 8x + 8x) 7x 7 ( 7x 7) 0 Der. Faktor führt auf die bekannte Lösung x =. Der. Faktor führt auf: ( ) ( ) 8± 6 7 8± ± 5 x, = = = = ± Näherungslösungen sind: x,57 und x,57 Für die y-koordinaten begnügen wir uns auch mit Näherungswerten und setzen in die Gleichung der Normalen ein: y,77 und y,56 Ergebnis: Die Normale in W( ) S (,57,77 ), S (.57,56). schneidet die Kurve noch zweimal in

17 0 Tangenten Aufgaben 7 CAS-LÖSUNG (TI Nspire): a) Zuerst werden die Funktion und drei Ableitungsfunktionen definiert und angezeigt. Dann folgt die Wendepunktsberechnung. W Jetzt definiert man die Tangenten- und Normalenfunktion und lässt die Funktionsterme anzeigen. b) Schnitt von Kurve und Normale. Meistens setzt man dazu die Funktionsterme gleich und lässt die Lösung berechnen. / Hier zeigt sich der Vorteil, den man erhält, wenn man die Normale als Funktion definiert! Die Näherungszahlen erhält man bei der Grundeinstellung AUTO durch /. Aus der Gleichung f(x) = n(x) kann man f(x) n(x) = 0 bilden. In dieser Form bietet der Befehl zeros einen Vorteil. Er berechnet genauso die Lösungen, gibt sie aber als Lösungsmenge aus. In geschweiften Klammern ist dies eine Liste. Und Listen kann Nspire auf einmal verarbeiten. Gibt man f(ans) ein, erstetzt Nspire nach Ans durch das letzte Ergebnis (Answer) und berechnet für alle drei Schnittstellen die y-koordinaten auf einmal. Ergebnis: S(,57,77 ), S(.57,56) und natürlich ( ) W x als ersten Schnittpunkt. /

18 0 Tangenten Aufgaben 8 f x = x x + Beispiel ( ) Stelle die Gleichungen der Wendetangente und der Wendenormalen auf. Lösung: (Manuell) Ableitungen: ( ) = f'' ( x) = x f '''( x) = x f' x x x Erkennen: K ist symmetrisch zur y-achse. Begründung: f besitzt nur gerade Exponenten, also ist f( x) = f(x) für alle x. Extrempunkte. Bed.: f' ( x) = 0 x = 0 x = x, =±. f ± = 6 + = = y-koordinaten: ( ) 8 Kontrolle: f '''( ± ) 0 Ergebnis: K hat die beiden Wendepunkte: W ( 8 ) ±., Wendetangenten: 6 6 Steigung: m = f' ( ) = 8 8 = m = f' ( ) = ( 8) + 8 = T T = ( ) y+ 8 = 6 ( x+ ) y x y = x+ y = x+ 6 6 T W : y = x+ 8 T W : y = x+ 8 Wendenormalen: Steigung: m W = =+ mw = = m 6 m 6 T 8 + = ( ) y+ 8 = ( x+ ) y x y = x y = x T N W : y = x N W : y = x 6 6

19 0 Tangenten Aufgaben 9 Lösung: (TI Nspire) Zuerst definiert man f und drei Ableitungen und lässt sie anzeigen, denn für eine Lösung im Heft muss man sie ja abschreiben. Zur Wendepunktberechnung braucht man die Nullstellen der. Ableitungsfunktion. Anstatt solve(f(x) = 0,x) zu verwenden, rechne ich mit zeros. Dieser Befehl gibt die Nullstellen als Liste (Lösungsmenge) aus. Da Nspire mit Listen rechnen kann, erhält man y-koordinaten und Kontrolle für beide Wendepunkte in einem Schritt! Definition der Tangentenfunktionen und Anzeige der Funktionsterme (das sind die rechten Seiten der Tangentengleichungen y = ). Definition der Normalenfunktionen und Anzeige der Funktionsterme (das sind die rechten Seiten der Normalengleichungen y = ).

20 0 Tangenten Aufgaben 0.8 Tangenten parallel zu einer Geraden Beispiel (Manuelle Lösung) Gegeben ist die Funktion f durch f( x) = x x + x Ihr Schaubild sei K. Wo hat K eine Tangente parallel zur Geraden g: y = x? Gib deren Gleichung an. Lösung: Methode: Parallele Geraden haben dieselbe Steigung. g hat die Steigung, also muss auch die Tangente die Steigung haben. Da die Steigung durch die. Ableitungsfunktion berechnet wird, heißt die Aufgabe: Wo hat die. Ableitungsfunktion den Wert? Das ist die Bedingungsgleichung: f' ( x) = mg = Die Lösung dieser Gleichung ist die x-koordinate des gesuchten Berührpunkts. Mit der Funktion f berechnet man die y-koordinate und mit der Punkt-Steigungsform die Tangentengleichung. Ableitung: f' ( x) = x x+ Bedingung: f' ( x) = x ausklammern: x ( x ) = 0. Faktor: x = 0 x x+ = - x x = 0 y-koordinate: ( ). Punkt: B ( 0 0 ). Faktor: x = 0 x = y = f 0 = 0 y-koordinate: 6 8 y ( ) = f = 6 6 = + 8 =. Punkt: B 8 ( ) Tangente in B ( 0 0 ): y = x (Ursprungsgerade!) 8 Tangente in B ( ): y+ 8 = ( x ) y = x 8 y = x 8

21 0 Tangenten Aufgaben Lösung (mit CASIO ClassPad) Definition der Funktion und ihrer. Ableitung. Lösung der Gleichung f'(x) = : x = 0, x =. Berechnung der zugehörigen y-koordinaten auf einmal: 8 B ( 0 0 ), B ( ) Die Tangente in B ist eine Ursprungsgerade und hat daher allgemein die Gleichung y = mx. Da m = ist, folgt: y = x. Dies ist keine Rechnung für einen CAS-Rechner! Aber die. Tangente: Man definiert die Tangentenfunktion und lässt ihren Funktionsterm anzeigen. Dabei sollte man bei ClassPad immer damit rechnen, dass man mit expand oder simplify vereinfachen muss. Rechts zeige ich, was ClassPad ohne expand anzeigt. Das ist zwar richtig aber unschön.

22 0 Tangenten Aufgaben.9 Tangenten senkrecht zu einer Geraden Beispiel (Manuelle Lösung) f x = x x + x Gegeben ist die Funktion f durch ( ) Ihr Schaubild sei K. Wo hat K eine Tangente senkrecht zur Geraden g: y = x? Gib deren Gleichung an. g T Lösung: Methode: Die Tangente steht auf g senkrecht. Also ist die Tangentensteigung der negative Kehrwert der Steigung von g, also - Da die Steigung durch die. Ableitungsfunktion berechnet wird, heißt die Aufgabe: Wo hat die. Ableitungsfunktion den Wert -? f' x = = = m Das ist die Bedingungsgleichung: ( ) g Die Lösung dieser Gleichung ist die x-koordinate des gesuchten Berührpunkts. Mit der Funktion f berechnet man die y-koordinate und mit der Punkt-Steigungsform die Tangentengleichung. Ableitung: f' ( x) = x x+ Bedingung: f' ( x) = x x+ = + x x 0 ± 6 6 x, = = x = 0 + = bzw. ( ) y-koordinate: ( ) 8 Berührpunkt: B ( ) Tangente in B: y+ = ( x ) y = f = 8 + = = B y = x+ y = x+ 8

23 0 Tangenten Aufgaben.0 Normale parallel zu einer Geraden f x = x + x Beispiel ( ) In welchem Punkt hat die Kurve eine Normale, die parallel zur Geraden g ist mit g: y = x+? Stelle die Gleichung der Normalen auf. Lösung: Ableitung: f' ( x) = x + x Steigung von g: m g =. Methode: Die Normale ist parallel zu g. Also ist die Tangente dort senkrecht zu g. Die Tangentensteigung ist also der negative Kehrwert der Steigung von g, also -. Da die Steigung durch die. Ableitungsfunktion berechnet wird, heißt die Aufgabe: Wo hat die. Ableitungsfunktion den Wert -? f' x = = = m Das ist die Bedingungsgleichung: ( ) g Die Lösung dieser Gleichung ist die x-koordinate des gesuchten Punkts für N. Mit der Funktion f berechnet man die y-koordinate und mit der Punkt-Steigungsform die Normalengleichung. Bedingung: f' ( x) = x + x = x x 0 ± 6 6 x, = = + + = bzw. ( ) x+ = y-koordinate: y ( ) B = f = ( 8) + = 8 = 6 Berührpunkt: B( ) 6 Normale in B: y = ( x+ ) der zugehörigen Tangente. 6 N: 5 y = x+ 6 y = x+ +

24 0 Tangenten Aufgaben. Normalen senkrecht zu einer Geraden f x = x + x Beispiel ( ) In welchem Punkt hat die Kurve eine Normale, die senkrecht zur Geraden g ist mit g: y = x+? Stelle die Gleichung der Normalen auf. Lösung: Ableitung: f' ( x) = x + x Steigung von g: mg =. Methode: Die Normale ist senkrecht zu g. Also ist die Tangente dort parallel zu g. Die Tangentensteigung ist also gleich der Steigung von g, also -. Da die Steigung durch die. Ableitungsfunktion berechnet wird, heißt die Aufgabe: Wo hat die. Ableitungsfunktion den Wert -? Das ist die Bedingungsgleichung: f' ( x) = mg = Die Lösung dieser Gleichung ist die x-koordinate des gesuchten Punkts für N. Mit der Funktion f berechnet man die y-koordinate und mit der Punkt-Steigungsform die Normalengleichung. Bedingung: f' ( x) = x + x = x x 0 x+ = = bzw. ( ) ± 6 6 x, = = 8 6 y-koordinate: y ( ) B = f = ( 8) + = 8 = 6 Berührpunkt: B( ) 6 Normale in B: y = ( x+ ) der zugehörigen Tangente. y = x+ + 6 N: 5 y = x+ 6

25 0 Tangenten Aufgaben 5. Von einem Punkt Q die Tangente an K legen Beispiel Gegeben ist f durch f( x) = x x+ sowie Q( 6) K sei das Schaubild von f. Bestimme die Gleichung der Tangente T an K, die durch Q geht. (Oder so formuliert: Lege von Q die Tangente an K.) Methode:. Schritt: Stelle die Tangentengleichung für einen beliebigen Punkt Pu fu ( ( )) auf. Das ist die sogenannte allgemeine Tangentengleichung für K.. Schritt: Die Tangente soll durch Q gehen, also setzt man die Koordinaten von Q in diese allgemeine Tangentengleichung ein.. Schritt: Die so entstandene Gleichung enthält nur die Unbekannte u, also die x-koordinate des Berührpunkts.. Schritt: Tangentengleichungen aufstellen. Lösung: (manuell) Allgemeine Tangentengleichung für Pu fu ( ( )) : y f( u) f'(u) ( x u) Berührpunkt sei Pu ( u u+ ), und die Tangentensteigung ist ( ) = (Siehe..) (Man könnte auch x statt u verwenden, doch u ist schneller geschrieben!) Eingesetzt: y ( u u+ ) = ( u ) ( x u) Bedingung: Q( 6) T Q eingesetzt: 6 ( u u+ ) = ( u )( u) Gleichung nach u umstellen: Alles nach rechts: 6 + u + u = u+ u + + u f' u = u 0 = u + u (ist besser als ) u + u = 0 ± + u, = = ± = y-koordinaten: f( ) = + = 0 B ( 0) f( ) = 6 + = B ( ) Tangentensteigungen: ( ) f' = = = ( ) ( ) f' = = = Tangentengleichungen: y 0 = ( x ) y = x+ ( T ) y = ( x+ ) y = x+ 7 (T )

26 0 Tangenten Aufgaben 6 Lösung: (TI Nspire) Zuerst die einfache Version Man definiert die Funktion und ihre. Ableitung. Dann wird die Tangentenfunktion für den unbekannten Berührpunkt ( ( )) Bu fu definiert. In der. Zeile wird sie angezeigt. Man schreibt sie so ab: u u x Allgemeine Tangente: y = x+. 5. Zeile: In diese Tangentengleichung wird der Punkt Q( 6) eingesetzt. Der Tangentenwert bei - soll also 6 werden. Diese Gleichung lässt man nach u auflösen und erhält die Berührpunktskoordinaten u = - und u =. Dann setzt man diese u-werte in die Gleichung y = t(x) ein. Dies geschieht, indem man den Bedingungsstrich (Mit-Operator) verwendet und die Werte dahinter anschreibt. Jetzt die Könner-Version Man definiert die Funktion und ihre. Ableitung. Dann wird die Tangentenfunktion für den unbekannten Berührpunkt Bu fu ( ( )) definiert. Weil sie x und u als Unbekannte enthält, definiert man t als Funktion zweier Variabler: y = t(x,u) ist dann die Tangentengleichung Bu fu. in ( ( )) Die Tangente soll durch Q( 6) gehen, also wird Q in diese Gleichung eingesetzt. Dann lässt man sie nach u auflösen und erhält die Berührpunktskoordinaten u = - und u =. Durch diese geschickte Tangentenfunktion kann man diese Werte dort einsetzen und erhält diese beiden Ergebnistangenten: y = t( x, ) also y = x+ 7 y = t( x,) also y ( x ) = bzw. y = x Soll Nspire diese Gleichung ausmultiplizieren, verwendet man entwickle über b, was sich als expand entpuppt.

27 0 Tangenten Aufgaben 7 Beispiel Gegeben ist f durch f( x) = x x sowie Q0 ( ) Q K sei das Schaubild von f. Bestimme die Gleichung der Tangente T an K, die durch Q geht. (Oder so formuliert: Lege von Q die Tangente an K.) Lösung: (manuell) Allgemeine Tangentengleichung für Pu fu ( ( )) : y f( u) f'(u) ( x u) Berührpunkt sei ( 8 Pu u u ), und die Tangentensteigung ist ( ) = 8 Eingesetzt: y ( u u ) = ( u u ) ( x u) Bedingung: Q0 ( ) T = (Siehe..) 8 Eingesetzt: ( u u ) = ( u u ) ( 0 u) Gleichung nach u umstellen: Alles nach links: u + u = u + u 8 + = u u 0 u u + 6 = 0 : u u + = 0 f' u u u Diese Gleichung. Grades erfordert eine bekannte Lösung und dann Ausklammern eines Linearfaktors. Durch Probieren oder anhand einer Zeichnung kann man die Lösung u = - vermuten. Man versucht daher, den Faktor (u+) aus dem Term u u + auszuklammern.. Methode: Horner-Schema: Folgerung: ( )( ) u u + = u+ u u+ u = Methode: Polynomdivision: Folgerung: ( )( ) u u + = u+ u u+ ( + 0u ) ( ) ( u u ) u u + : u+ = u u+ + u + 0u ( u u) u + ( u+ ) 0 Weil beide Methoden zu einem Ergebnis geführt haben (der Rest war nämlich 0), hat sich die Vermutung bestätigt, dass u = - eine Lösung ist.

28 0 Tangenten Aufgaben 8 Beide Methoden gestatten es also, die Gleichung u u + = 0 u+ u u+ = 0 zu faktorisieren: ( )( ). Faktor: u+ = 0 u = (Bekannte Lösung). u u+ = 0. Faktor: ( ) u, ± 9 ± 9 = = R. Es gibt also nur die eine Lösung. 5 5 Demnach liegt der Berührpunkt bei u = - mit f( ) ( ) ( ) 5 Berührpunkt: B( ) Tangentensteigung: ( ) ( ) ( ) Tangentengleichung: y+ 5 = ( x+ ) = = = m = f' = = + = 8 8 T y = x+ 5 y = x+ Hinweis: In diesem Fall war die Verwendung der Punkt-Steigungs-Form für das Aufstellen der Geradengleichung umständlich. Wenn man weiß, dass in y = m x+ n die Größe n den y-achsenabschnitt darstellt, und wenn man ferner festgestellt hat, dass diese Gerade durch Q0 ( ) geht, dann sollte man erkennen, dass n = ist. Also genügt es, ( ) y = x+. m = f' = zu berechnen und dann in y = m x+ n einzusetzen: T

29 0 Tangenten Aufgaben 9 Lösung: (mit CASIO ClassPad) () Übliches Vorgehen. Zuerst werden f und f definiert. Dann folgt die Definition der Tangentenfunktion zum Berührpunkt Bu f(u), ( ) Der Befehl expand(t(x)) ist für die Rechnung unerheblich. Er zeigt uns nur, wie die allgemeine Tangentenfunktion aussieht. Dann wird Q0 ( ) in y = t(x) eingesetzt und die Gleichung nach u aufgelöst: u = -. Setzt man u = - in die Tangentengleichung y = t(x) ein (was man mit dem Mit-Operator macht erhält man die gesuchte Tangentengleichung, die mit dem Zusatzbefehl expand die gewünschte Gleichungsform erhält. Schließlich kann man noch die y-koordinate des Berührpunkts 5 mit f( ) 5 = berechnen: B( ). () Empfohlenes Vorgehen. Das Einsetzen von u = - und manches andere wird einfacher, wenn man die allgemeine Tangentengleichung, die ja neben der Variablen x noch die Unbekannte x-koordinate u des zunächst noch beliebigen Berührpunkts Bu f(u) ( ) enthält, als Funktion von Variablen definiert: y = t( x,u). Dann wird das Einsetzen von Q0 ( ) einfach durch die Eingabe t(0,u) = realisiert, und nachdem man u = - als Lösung kennt, erhält man die gesuchte Tangentengleichung durch y = t(x, ). Merke: Man kann also in y = t(x,u) sowohl für u eine Berührpunktskoordinate einsetzen und hat dann schon die passende Tangentengleichung, oder kann man für x einen Punkt auf einer Tangente einsetzen und erhält dann den zugehörigen u-wert, also die x-koordinate des Berührpunkts dieser Tangente.

30 0 Tangenten Aufgaben 0 Trainingsaufgaben () Gegeben ist die Funktion 6 f(x) = x + x, ihr Schaubild sei K. a) Stelle die Gleichung der Tangente T im Punkt P( y ) auf. In welchen Punkten S schneidet diese Tangente die Kurve noch einmal? b) Welche Gleichung hat die Tangente T im rechten Wendepunkt? In welchen Punkten S schneidet diese Tangente die Kurve noch einmal? () Gegeben ist die Funktion f(x) = x + x, ihr Schaubild sei K. a) Stelle die Gleichung der Tangente T im Punkt P ( y ) auf. In welchen Punkten schneidet diese Tangente die Kurve noch einmal? b) Welche Gleichung hat die Tangente T im linken Wendepunkt? In welchen Punkten schneidet diese Tangente die Kurve noch einmal? () Gegeben ist die Funktion 6 8 f(x) = x - x +, ihr Schaubild sei K. a) In welchen Punkten hat K eine Tangente, die parallel zur Geraden g mit Schreibe die Tangentengleichungen auf. 9 y = x ist? b) In welchen Punkten hat K eine Tangente, die orthogonal zur Geraden h mit ist? Schreibe die Tangentengleichungen auf. y = x+ () Gegeben ist die Funktion f(x) = x - x + 8x, ihr Schaubild sei K. a) In welchen Punkten hat K eine Normale, die parallel zur Geraden g mit Schreibe die Normalengleichungen auf. y = x ist? b) In welchen Punkten hat K eine Normale, die orthogonal zur Geraden h mit y = x ist? Schreibe die Normalengleichungen auf. (5) Gegeben ist die Funktion f( x) ( x ) =, ihr Schaubild sei K. a) Die Tangenten in den beiden Wendepunkten und die x-achse begrenzen ein Dreieck. Berechne dessen Inhalt. b) In welchen Punkten schneidet die Tangente in den Hochpunkten die Kurve nochmals? c) An welchen Stellen hat K eine Tangente parallel zur Geraden g: Gib eine dieser Tangentengleichungen an. 8 y = x?

31 0 Tangenten Aufgaben (6) Gegeben ist die Funktion ( ) 6 8 f x = x x +, ihr Schaubild sei K. 9 a) Bestimme die Gleichung der Tangenten, die parallel zu g sind, mit g: y = x. b) Welche Normalen sind parallel zu h: y = x? c) Wo ist die Kurvennormale orthogonal zu k: y = x+? d) Wo schneidet die Wendenormale K noch einmal? 5 (7) Gegeben ist die Funktion ( ) f x = x + x, ihr Schaubild sei K. a) Berechne die Extrempunkte, skizziere das Schaubild. b) In welchen Punkten gibt es eine Tangente parallel zu g: y = 5x? Stelle in einem dieser Punkte die Tangentengleichung auf. c) In welchem Punkt ist die Normale parallel zu h: y = x+? 8 6 (8) Gegeben ist ( ) (a) f x = x + x + x, ihr Schaubild sei K. Wer möchte kann hier eine Kurvendiskussion üben: Nullstellen, Extrem- und Wendepunkte, Zeichnung. (b) In welchem Punkt schneidet die Tangente in B( y ) noch einmal? B (c) Wo hat die Kurve eine Tangente parallel zur Geraden g: y = x+? (d) Wo gibt es eine Tangente senkrecht zu h: y = x? f x = x x+. Lege vom Ursprung die Tangenten an K. Welche Gleichungen haben sie? (9) Gegeben ist die Parabel K als Schaubild der Funktion f mit ( ) 8 (0) Lege vom Punkt Q( 0 8 ) aus die Tangenten an die Parabel K: y x x =. f x = x + x. () Lege vom Ursprung aus die Tangenten an das Schaubild K der Funktion ( ) f x = x x + x. 5 () Gegeben ist die Funktion f mit ( ) (a) 7 Untersuche das Schaubild K von f auf Symmetrie, Nullstellen, Extrem- und Wendepunkte. (Gehört nicht zum Thema und kann daher übersprungen werden). (b) Lege von Q 0 ( ) die Tangenten an K. Bestimme einen Berührpunkt B und die zugehörige Tangentengleichung. Unter welchem Winkel schneidet diese die Koordinatenachsen? (c) In welchem Punkt S mit xs ; schneidet diese Tangente das Schaubild? Verwende das Newtonsche Näherungsverfahren auf vier Dezimalen genau. () Gegeben ist ( ) f x = x + x, das Schaubild sei K. (a) Lege von Q( 0 0) aus die Tangenten an K. (b) (c) Wo hat die Kurve eine Tangente parallel zur Geraden g, die durch den Wendepunkt und die rechte Nullstelle von K geht? Die Normale im Wendepunkt schneidet K noch zweimal. Berechne diese Schnittpunkte.

32 0 Tangenten Aufgaben

33 0 Tangenten Aufgaben Trainingsaufgabe Gegeben ist die Funktion (Wo schneidet eine Tangente K noch einmal?) 6 f(x) = x + x, ihr Schaubild sei K. a) Stelle die Gleichung der Tangente T im Punkt P( y ) auf. In welchen Punkten S schneidet diese Tangente die Kurve noch einmal? b) Welche Gleichung hat die Tangente T im rechten Wendepunkt? In welchen Punkten S schneidet diese Tangente die Kurve noch einmal? Lösung: (Manuell) Gegeben: Ableitung : ( ) 6 f(x) = x + x f' x = x + x a) y-koordinate von P : f( ) = 6+ 8 = 8. Tangentensteigung in P : f' ( ) = 6+ = Tangente T in P ( 8 ) : ( ) y 8 = x y = x + Schnittpunkte von T und K: 6 x + = x + x 6 6x + 8 = x + x x x 6x + 8 = 0 MERKE: Die x-koordinate x B des Berührpunkts einer Tangente mit einer Kurve ist eine doppelte Lösung der Schnittgleichung zwischen Kurve und Tangente. (Im Falle einer Wendetangente liegt sogar eine dreifache Lösung vor der Schnittgleichung vor.) Folglich kann man aus der Schnittgleichung (nachdem man sie vereinfacht und in die Form h(x) = 0 gebracht hat) den Faktor ( x x ) B ausklammern, etwa mit dem Horner-Schema oder mittels Polynomdivision. Aus dem zweiten Faktor der linken Seite kann man dann die (eigentlich) gesuchten gemeinsamen Punkte berechnen. Die Schnittgleichung lautet Und der Berührpunkt war P ( ) Horner-Schema: x x 6x + 8 = 0 8, also ist x = eine doppelte Lösung x =

34 0 Tangenten Aufgaben ERKLÄRUNG des Horner-Schemas:. Schritt: In die. Zeile schreibt man die Koeffizienten des Polynoms der linken Seite der Gleichung.. Schritt: Die. Zeile beginnt mit der Zahl 0.. Schritt: Addiere die Zahlen der. Spalte. Multipliziere das Ergebnis () mit der Lösungszahl () und schreibe das Ergebnis in die zweite Zeile an die nächste freie Stelle. Addiere die Zahlen der. Spalte. Multipliziere das Ergebnis () mit der Lösungszahl () und schreibe das Ergebnis in die zweite Zeile an die nächste freie Stelle. Usw. Das letzte Ergebnis MUSS die Zahl 0 sein. Tritt diese Null nicht auf, dann liegt ein Rechenfehler vor, oder die verwendete Lösungszahl war doch keine!. Schritt: Schreibe die Schnittgleichung als Produkt. Die Ergebniszahlen sind die neuen Koeffizienten, und der Grad hat um abgenommen., Folgerung: Der Gleichungsterm x x 6x + 8 x x + x 8x 96 wurde faktorisiert zu ( )( ) Die Schnittgleichung lautet damit jetzt so: ( x )( x + x 8x ) 96 = 0 Gemäß unserem Hinweis sollte aber eine doppelte Lösung sein, also wendet man das Hornerschema gleich ein zweites Mal an, und zwar direkt nacheinander. Das Ganze sieht dann so aus: x = x = 8 0 Folgerung: ( ) ( 8 ) x x + x + = 0 Aus der zweiten Klammer folgen die gesuchten Schnittstellen: x + 8x + = 0 x, 8± 6 96 = R Diese Gleichung hat keine reellen Lösungen, also schneidet die Tangente T das Schaubild K nicht mehr. An Stelle des Horner-Schemas kann man auch mit Hilfe der Polynomdivision faktorisieren. Diese wird auf der nächsten Seite gezeigt.

35 0 Tangenten Aufgaben 5 Wir wollen aus man (x x 6x 8 (x x 6x 8) + zweimal den Faktor ( x ) + durch ( ), also durch ( x 8x 6) x ausklammern, also muss + dividieren: Man erhält: (x + 0x x 6x + 8) = ( x 8x + 6) ( x + 8x + ) Und daher wird die Gleichung x x 6x + 8 = 0 faktorisiert in ( ) ( ) x x + 8x+ = 0. Die zweite Klammer liefert keine weiteren Lösungen (siehe vorne). Also schneidet die Tangente in P ( 8 ) die Kurve nicht noch einmal. b) Berechnung der Wendepunkte: Gegeben: 6 f(x) = x + x Ableitungen : ( ) ( ) f'' ( x) = x f' x = x + x f'' x = x + Wendepunktsbedingung: f'' ( x) = 0 8 ( ) = + + ( x 8x + 6x ) 8x 0x 6x (8x 6x + 8x) x 9x + 8 (x 9x + 8) 0 (x 0x x 6x 8) : x 8x 6 x 8x d.h. + = x 0 x + = 0 x = x = x =, x = W W Kontrolle: f'''( ± ) 0 d.h.: y-koordinaten: f( ± ) = 5 Ergebnis: W ( ± 5) Es liegen Wendestellen vor. Wendetangente in W ( 5 ): Steigung: ( ) T : ( ), m = f' = + 6 = y 5 = x y = x Wendetangente in W ( 5) Steigung: ( ) T : = ( ) : (nicht verlangt) m = f' = 6 = y 5 x + y = x

36 0 Tangenten Aufgaben 6 Schnittpunkte von T und K: Kurve: 6 y = x + x Tangente T ; y = x Schnittgleichung: = + 6 6x 8 = x + x x x x 6 x x + 6x 8 = 0 Bekannte dreifache Lösung ist x = (die x-koordinate des Wendepunkts). Beweis mittels Hornerschema: Damit kann man den Gleichungsterm faktorisieren: Aus Ergebnis: x x + 6x 8 = 0 x x+ 6 = 0 wird: ( ) ( ) Aus der.klammer folgt: Aus der Wendetangente: xs = 6 ys = 7. Die Wendetangente schneidet K nochmals in S( 6 7) (Man diese Aufgabe auch mittels Polynomdivision lösen.) Abschließend noch eine Grafik dazu: x = x = x = P W T T S

37 0 Tangenten Aufgaben 7 Wichtig für die Vorstellung: Warum ist der Berührpunkt einer Tangente ein doppelter Schnittpunkt und bei einer Wendetangente sogar dreifacher Schnittpunkt? Man kann sich gut vorstellen, warum eine Tangente mit der Kurve einen doppelten Schnittpunkt gemeinsam hat. Man denke sich eine Sekante P S eingezeichnet, die man um P dreht, so dass der Schnittpunkt S an P heranrückt. In dem Moment, in dem die Sekante mit der Tangente in P zusammenfällt, fällt auch S mit P zusammen und wir haben den doppelten Punkt! Die nächste Abbildung zeigt, was passiert, S P wenn man die Gerade g um den Wendepunkt W dreht. Sie geht dann über g und g in die Wendetangente T W über. g T W Zunächst haben wir drei Schnittpunkte, die dann nach der Drehung mit W zusammenfallen. Von links her sind drei Positionen eingezeichnet, g g S W S so bewegt sich S (rot) nach W, Von rechts sieht man das mit blauen Punkten S, die auch nach W wandern: W ist eine dreifache Schnittstelle der Wendetangente mit K!

38 0 Tangenten Aufgaben 8 CAS-Lösung der Aufgabe Gegeben ist die Funktion 6 f(x) = x + x, ihr Schaubild sei K. a) Stelle die Gleichung der Tangente T im Punkt P( y ) auf. In welchen Punkten S schneidet diese Tangente die Kurve noch einmal? b) Welche Gleichung hat die Tangente T im rechten Wendepunkt? In welchen Punkten S schneidet diese Tangente die Kurve noch einmal? Lösung mit TI Nspire. Zuerst wird f definiert, dann berechnet man Ableitungen (weil man Wendepunkte braucht). 5. Zeile: Definition der Tangentenfunktion bei x =. Anzeige: y = x+ Schnitt mit der Kurve: Nur bei x =, also kein weiterer Schnittpunkt vorhanden. Berechnung der Wendepunkte: Bei x =±. W ( 5 ), Kontrolle f '''( ) 0! Definition der Wendetangentenfunktion t. Schnitt mit der Kurve ergibt neuen Schnittpunkt bei x = -6 mit y = -7, also S( 6 7). Man sieht, dass das mühevolle Lösen der Gleichungen. Grades, die oftmals der Grund für die Aufgabenstellung ist (Wo schneidet die Tangente K noch einmal?) ist für einen CAS-Rechner kein Problem, und selbst die Methode zur Eingabe der Anweisungen ist sehr einfach.

39 0 Tangenten Aufgaben 9 Trainingsaufgabe Gegeben ist die Funktion (Wo schneidet eine Tangente K noch einmal?) f(x) = x + x, ihr Schaubild sei K. a) Stelle die Gleichung der Tangente T im Punkt P ( y ) auf. In welchen Punkten schneidet diese Tangente die Kurve noch einmal? b) Welche Gleichung hat die Tangente T im linken Wendepunkt? In welchen Punkten schneidet diese Tangente die Kurve noch einmal? Lösung: Gegeben: Ableitung: ( ) f(x) = x + x f' x = x + x a) y-koordinate von P : f( ) = =. Tangentensteigung in P : f' ( ) = + = 5 Tangente T in P ( ) : y + = ( x + ) y = x + Schnittpunkte von T und K: x + x = x+ 5 x + x = 8x + 5 x + x 8x 5 = 0 Bekannte doppelte Lösung ist x = -. Ausklammern von ( x+ ) mittels Hornerschema: Ausführliche Erklärung in der Lösung zu Aufgabe x = x = Folgerung: ( ) ( ) x + x + x 5 = 0 Gesuchte Schnittstellen: ± + 0 ± x = = =, x = ± 6, Näherungsberechnung der y-koordinaten: x,5 y,5 S(,5,5) x, 5 y 5,65 S (, 5 5,65) Alternativ zum Hornerschema kommt die Polynomdivision durch ( x x ) + + in Frage: Man erhält dieselbe Faktorisierung wie beim Hornerschema. (x + x + 0x 8x 5) : (x + x + ) = x + x 5 (x + x + x ) x x 8x (x + x + x) 5x 0x 5 ( 5x 0x 5) 0

40 0 Tangenten Aufgaben 0 b) Berechnung der Wendepunkte: Gegeben: f(x) = x + x Ableitungen: f' ( x) = x + x f'' ( x) = x + 6x f'' ( x) = 6x+ 6 Wendepunktsbedingung: f'' ( x) = 0 d.h. x + 6x = 0 x( x + ) = 0. Faktor: xw 0. Faktor: xw = mit ( ) = mit ( ) f 0 = 0 f? Kontrolle: f'''(0) 0 undf''' ( ) 0 Ergebnis: Wendepunkte W ( 0 0 ), W ( ). Es sei noch erwähnt, dass W ein Terrassenpunkt ist, denn es ist außerdem f' ( 0) = 0, also hat dort K eine waagrechte Tangente. Wendetangente in W ( ) : Steigung: m = f' ( ) = T : ( + ) y + = x y = x + Schnittpunkte von K und T : Kurve: y = x + x Tangente T ; y = x+ Schnittgleichung: x + x = x + x + x = 6x + 6 x + x 6x 6 = 0 Bekannte dreifache Lösung ist x = - (die x-koordinate des Wendepunkts). Beweis mittels Hornerschema: Ausklammern von ( x + ) : Folgerung: ( x + ) ( x ) = 0 Also lautet die gesuchte Schnittstelle: y = S. mit ( ) S x = S x = x = x =

41 0 Tangenten Aufgaben Hier noch das Schaubild mit allen Tangenten und Punkten. T T P W

42 0 Tangenten Aufgaben Trainingsaufgabe Gegeben ist die Funktion 6 8 f(x) = x - x +, ihr Schaubild sei K. a) In welchen Punkten hat K eine Tangente, die parallel zur Geraden g mit Schreibe die Tangentengleichungen auf. 9 y = x ist? b) In welchen Punkten hat K eine Tangente, die orthogonal zur Geraden h mit ist? Schreibe die Tangentengleichungen auf. y = x+ Lösung: Ableitung: ( ) f' x = x x 6 a) Bedingung: ( ) 9 T g m = m f' x = T g d. h. 9 6 = 6 x x x x 0 = x, ± 6+ 8 ± 6 ± 8 = = = = 6 y-koordinaten: f ( 6 ) =... = und ( ) Berührpunkte: B ( 6 ) und B ( ) f =... = Die zugehörigen Tangenten haben diese Gleichungen: T in B : y = ( x 6) y = x T in B : y+ = ( x+ ) y = x+ b) Bedingung: T h m = m = f' () x = h x x 6 = 6 x x + = 0 : x x+ = 0 ± 6 6 x, = = Mit f( ) = 0 Berührpunkt: C 0 ( ) T T g { h C B Tangente T in C: ( ) y 0 = x x y = + B T T

43 0 Tangenten Aufgaben Trainingsaufgabe Gegeben ist die Funktion f(x) = x - x + 8x, ihr Schaubild sei K. a) In welchen Punkten hat K eine Normale, die parallel zur Geraden g mit Schreibe die Normalengleichungen auf. y = x ist? b) In welchen Punkten hat K eine Normale, die orthogonal zur Geraden h mit y = x ist? Schreibe die Normalengleichungen auf. Lösung: Ableitung: ( ) f' x = x 8x+ 8 a) Bedingung: N g T g m T = m () g f' x = Wenn die Normale parallel zu g ist, dann sind Tangente und Gerade g orthogonal. d. h. x 8x+ 8 = x 8x 0 0 y-koordinaten: ( ) x + = 5 8± 6 0 8± ± = = = =, f =... = und f() = 0 0 Berührpunkte: B ( ) und B ( 5) 7. Die zugehörigen Tangenten haben diese Gleichungen: 0 T in B : 0 ( x ) 7 5 x 7 y = y = T in B : ( ) y = x y = x+ Nebenstehende Abbildung zeigt die Gerade g und die zu ihr parallelen Normalen N und N, die nur als kurze Strecken dargestellt sind, ferner die zugehörigen Tangenten, die auf g senkrecht stehen. T B N g N B T

44 0 Tangenten Aufgaben b) Gegeben: und h: f(x) = x - x + 8x y = x Wenn eine Normale senkrecht zu h ist, dann sind Tangente und Gerade g parallel. Bedingung: N h T h m = m f' () x = x 8x+ 8 = x 8x+ = 0 h Tipp: Diese Brüche können in der quadratischen Gleichung stehen bleiben, sie fallen in der Lösungsformel weg: x, 8± 6 = 8± 6 9 8± 5 8± 5 = = = = y-koordinaten: f( ) 0, 5 Berührpunkte der Tangenten: B ( ) und B (,5) Gleichungen der zugehörigen Normalen = und f() =, N : y = ( x ) y = x+ (,) N : y = ( x ) y = x+ + x 6 y = + Nebenstehende Abbildung zeigt kurze Stücke der Tangenten und Normalen. B T h N Die Normalen sind orthogonal zu h. T B N

45 0 Tangenten Aufgaben 5 Trainingsaufgabe 5 Gegeben ist die Funktion f( x) ( x ) =, ihr Schaubild sei K. a) Die Tangenten in den beiden Wendepunkten und die x-achse begrenzen ein Dreieck. Berechne dessen Inhalt. b) In welchen Punkten schneidet die Tangente in den Hochpunkten die Kurve nochmals? c) An welchen Stellen hat K eine Tangente parallel zur Geraden g: Gib eine dieser Tangentengleichungen an. 8 y = x? Lösung: Gegeben: ( ) f(x) = x - = ( x x + ) Ableitungen: f' ( x) = ( x 8x) = 8 ( x x) f'' () x = ( x ) = ( x ) a) Wendepunkte: Bedingung: f'' ( x) = () = = 8 f''' x x x y-koordinaten: ( ) ( ) Kontrolle: f''' ( ± ) 0 Ergebnis: W ( ± ) x = 0 x = xw = ± f ± = 8 = 6 =, Steigung der Wendetangenten: () 8 ( ) f' ( ) =. Tangente T : = ( ), f' = 8 = Tangente T : ( + ) y x y = x+ 6 y = x y = x+ 6 Das Schaubild ist symmetrisch zur y-achse, und damit auch das von den Wendetangenten erzeugte Dreieck: Schnittpunkt von T mit der x-achse: y 0 x S( 0) S = =. S Grundseite des Dreiecks: g = 6, Höhe des Dreiecks: h = 6 Inhalt des Dreiecks; A = 8 (FE). y H R W W R W S x T T T

46 0 Tangenten Aufgaben 6 b) In welchen Punkten schneidet die Tangente in den Hochpunkten die Kurve nochmals? Hochpunkt: Bed.: f' ( x) = 0 d. h. x x = 0 x ausklammern x( x ) = 0. Faktor: x = 0. Faktor: y-koordinaten: f( 0) =,5 x = x, =± ±,6 ( ) ( ) f ± = = 0 Kontrolle: f'' ( 0) < 0 also H0,5 ( ) Es gibt also nur einen Hochpunkt Tangente in H: y =,5 ( ± ) = 8 ( ) > also T, ( ± 0) f'' 0 Schnitt dieser Tangente mit K: ( ) 9 x - = ( x - ) = 9 6 = x = x = ± x = ± = 0 Daraus erhält man x, =± { Beachte: x = x ( ) x = x sowie den bekannten Punkt bei x = 0 (der Hochpunkt). Die gesuchten Schnittpunkte sind also R (,5 ) und R(,5). c) An welchen Stellen hat K eine Tangente parallel zur Geraden g: y = x? 8 Bedingung: T g m = m f' () x = ( x x) 8 8 T g 8 = 8 x x = x x = 0 Probierlösung: x = 0 Ausklammern von ( x+ ) mittels Horner-Schema: Folgerung: ( )( ) x+ x x = 0 ± + ± 5,85 Restliche Lösungen: x, = =,85 y-koordinate: ( ) ( ) Tangentensteigung: = = : B( ) f,78 m = Tangente in B: ( ) 8 8 x = 65 8 y = x + y = x

47 0 Tangenten Aufgaben 7 Trainingsaufgabe 6 Gegeben ist die Funktion ( ) 6 8 f x = x x +, ihr Schaubild sei K. 9 a) Bestimme die Gleichung der Tangenten, die parallel zu g sind, mit g: y = x. b) Welche Normalen sind parallel zu h: y = x? c) Wo ist die Kurvennormale orthogonal zu k: y = x+? d) Wo schneidet die Wendenormale K noch einmal? Lösung: Ableitungen: ( ) f'' ( x) = x 8 f''' ( x ) =. 8 6 f' x = x x Wer eine Kurvendiskussion üben möchte, erhält: Nullstellen: ( ) N 0 und N, ( ± 0) Extrempunkte: H( 0 ) und T( ) Wendepunkt: W( 0 ).. a) Bedingung. ( ) 9 T g m = m f' x = 9 x x = 8 6 y-koordinaten: f( 6) Berührpunkte: ( ) T g x 6x 8 = 0 6± 6 ( 8) 6± ± x 6, = = = = { = und f( ) = B B 6 und ( ) Tangenten: T in B : 9 ( ) 9 5 y = x 6 y = x T in B : y + = ( x + ) y = x + b) Welche Normalen sind parallel zu h: y = x? Bedingung: N h T h m f' ( x) = T m = h 8 x x = 6 x x + = 0 ± x, = = f = 0 B 0 = W y-koordinate: ( ) ( ) Normale in W: y ( x ) y 8 = = x.

48 0 Tangenten Aufgaben 8 c) Welche Normalen sind orthogonal zu y = x +? Bedingung: N h T h m = m f' ( x) = x x = 6 8 = ( ) x 6x 0 T h 6± 6 6± 6+ 6± 60 6± 5 x 5 5,6 = = = = = ± Näherungswerte: x5,58 und x6 0,58 y-koordinaten: y5 f (,58) 0,86 B5(,58 0,86) und y f ( 0,58) 0, 69 B ( 0,58 0, 69) 6 5 Die Gleichungen der waren hier nicht gefragt. d) Wo schneidet die Wendenormale K noch einmal? Wendenormale aus c):: Kurve K: 8 x 6 8 y =. y = x x + Schnittgleichung: x x + = x 8 x 8x + 8 = 6x 8 x 8x 6x + 76 = 0 Bekannter Schnittpunkt ist der Wendepunkt, also kennen wir die Lösung x =. Ausklammern von (x ) durch das Hornerschema führt zu ( )( ) x x x 88 = 0 x = ± ( 88) ± 00 ± 0 0 mit den weiteren Lösungen xs = = = = ± Durch Einsetzen in die Normalengleichung erhält man die zugehörigen y-koordinaten und somit diese zwei weiteren gesuchten Schnittpunkte: ( ) und S ( 0 0 ) 9 S 9

49 0 Tangenten Aufgaben 9 Trainingsaufgabe 7 5 Gegeben ist die Funktion ( ) f x = x + x, ihr Schaubild sei K. a) Berechne die Extrempunkte, skizziere das Schaubild. b) In welchen Punkten gibt es eine Tangente parallel zu g: y = 5x? Stelle in einem dieser Punkte die Tangentengleichung auf. c) In welchem Punkt ist die Normale parallel zu h: y = x+? Lösung: Ableitungen: ( ) ( ) ( ) a) Extrempunkte: Bed.: f' ( x) = 0 5 f' x = x + 9x f'' x = 6x + 8x f'' x = 8x + 8. x + 9x = 0 x x + 9 = 0 x ausklammern: ( ). Faktor:. Faktor: = = 8 x 0 x 0 (doppelt) 9 x + 9 = 0 x = x, = ±. y-koordinaten: f( 0) = 0 ( ) und aus Symmetriegründen f( ) = =,05 (denn K ist punktsymmetrisch zum Ursprung) f ± = 5 + = + = = = =,05 Kontrolle: f'' ( 0) = 0 also Verdacht auf Wendepunkt. Daher weitere Kontrolle: f''' ( 0) 0 d.h. N ( 0 I 0 ) ist Terrassenpunkt, Kontrolle: also Wendepunkt mit waagrechter Tangente. 7 8 f''( ) = = 5+ 7< 0 d.h. f hat bei,5 ein relatives Maximum und folglich bei -,5 ein relatives Minimum. Ergebnis: K hat die Extrempunkte H(,05) und T(,05).

50 0 Tangenten Aufgaben 50 b) In welchen Punkten gibt es eine Tangente parallel zu g: y = 5x? Bedingung: ( ) T g m = m f' x = 5 T x + 9x = 5 x + 9x 5 = 0 ( ) x 9x + 5 = 0 g Biquadratische Gleichung, also quadratische Gleichung für x. Manche rechnen sie durch die Substitution z = x in z 9z + 5 = 0 usw. Es geht auch so: x 9± ± = = = = Aus x = folgt: x, =± =± 5 Und aus x = folgt: x, =± z. B. f() B( ) Tangente in B: y = 5 ( x ) y=5x- 5 = + =. 5 c) In welchem Punkt ist die Normale parallel zu h: y = x+? Bedingung: ( ) N h T g m = f' x = 8 T 8 m h d.h. führt auf: x + 9x = 8 x 9x + 8 = 0 Biquadratische Gleichung, also quadratische Gleichung für x : 9± 8 8 9± 76 x = = R 8 8 Es gibt also keine Tangente mit der Steigung 8, d.h. auch keine Normale mit der Steigung. 8 Die Abbildung zeigt die in b) genannte Gerade g, zu der es vier parallele Tangenten gibt. Die eine, die berechnet worden ist, ist auch zusammen mit ihrem Berührpunkt eingezeichnet worden. g B T