2 Beschreibung nachrichtentechnischer Übertragungssysteme mit Hilfe der Faltung. Nachrichtentechnisches Übertragungssystem

Transkript

1 2 Bescreibu acriceeciscer Überraussyseme mi Hilfe der Falu 2.1 Lieare, zeiivariae LTI Syseme Um die Eiescafe acriceeciscer Überraussyseme im Zeibereic oe de Eisaz kompleer Differeialleicussyseme bescreibe zu köe, wird ei solces Sysem als Zweior berace. Nacriceecisces Überraussysem y f{} Bild 2.1: Nacriceecisces Überraussysem als Zweior Dieses ka im Rame der Sysemeorie durc die Aabe eies Ausassials y als Reakio auf ei Eiassial bescriebe werde. Im folede werde ur oc lieare, zeiivariae Syseme berace, die sic durc die beide folede Eiescafe auszeice: Ei Sysem is liear, we eie beliebie Liearkombiaio vo Eiassiale i i1,2,3, zu eier esprecede Liearkombiaio vo Ausassiale y i für: f i ai i ai f { i } ai yi Ei Sysem eiß zeiivaria, we eie zeilice Versciebu des Eiassials zur leice zeilice Versciebu des Ausassials für, oe die Form des Ausassials dabei zu veräder: f { } y Als Beispiel wird im folede die Reakio eies RC-Zweiors auf eie Receckimpuls als Fole des Auf- ud Elade des Kodesaors berace, wie es i Bild 2.2 daresell is. Da es sic bei dem RC-Zweior um ei lieares ivariaes Sysem adel, ka die Reakio auf eie Fole vo Impulse als eie addiive Überlaeru der Reakioe auf jede eizele Impuls bescriebe werde. Dies wird beispielaf i Bild 2.3 verascaulic, i dem zwei Impulse mi H.G. Hirsc 1 DNT-SS 28

2 1 T y T Bild 2.2: Reakio eies RC-Zweiors auf eie Receckimpuls y y Bild 2.3: Reakio eies RC-Zweiors auf eie Fole vo Receckimpulse uersciedlice Ampliudefakore zeilic versez auf de Eia des RC-Zweiors eebe werde. 2.2 Herleiu des Falusierals Dies zei, wie das Ausassial eies acriceecisce Überraussysem prizipiell mi Hilfe der Keis des Ausassials als Reakio auf ei Elemearsial besimm werde ka. Diese Voreesweise ka ma erweier, um das Ausassial für ei beliebies Eiassial zu besimme. Ke ma beispielsweise das Ausassial eies Sysems für eie Receckimpuls der Breie T ud der Ampliude 1 T, wie es beispielaf für ei RC- Zweior i Bild 2.2 daresell wird, so läss sic allemei ei beliebies Eiassial äerusweise als Fole derarier Receckimpulse ud das Ausassial als addiive Überlaeru der Reakioe auf die Fole vo Impulse bescreibe. Dies wird versuc i Bild 2.4 zu verascaulice. Das Sial ka äerusweise als Fole vo Receckimpulse bescriebe werde, wobei die Ampliude jedes Rececks durc de Ampliudewer bei T H.G. Hirsc 2 DNT-SS 28

3 y Bild 2.4: Bescreibu des Ausassials als Summe der Reakioe auf eie Fole vo Receckimpulse der zeilice Mie jedes Impulses bescriebe wird. Wird jeder Receckimpuls als ewicee Versio des bekae Receckimpulses T, der die Ampliude 1 T besiz, bescriebe, so läss sic das Sial äerusweise bescreibe als T T T Das Ausassial läss sic da ebefalls äerusweise als addiive Überlaeru der mi de jeweilie Ampliudefakore T T y T T T y ewicee Reakioe bescreibe als Das Eiassial ud dami auc das Ausassial wird um so eaker bescriebe, je kleier die Breie des Receckimpulses ewäl wird. Für ma de Grezübera T durc, so für dies zur Verwedu des Dirac Impulses als Elemearsial. Das zueörie Ausassial wird als Sossawor bezeice: T : δ y Sossawor Die zuvor eiefüre Berecu des Ausassials als Reakio auf eie Summe vo Receckimpulse e da i das Falusieral über: Mi T τ ud T dτ y τ τ dτ H.G. Hirsc 3 DNT-SS 28

4 Ascaulic bedeue dies die Muliplikaio des Eiassials τ mi der a der Ordiae espieele ud um die Zei verscobee Sossawor -τ. Über dieses Produk erfol da die Ieraio. Ma verwede auc die folede Screibweise, um die Falu des Eiassials mi der Sossawor des Überraussysems zu defiiere: y Ma bezeice dies als das Falusproduk vo ud. Beispiel: H.G. Hirsc 4 DNT-SS 28

5 2.3 Diskree Falu Berace ma aselle der zeikoiuierlice Siale, ud y die esprecede abeasee, zeidiskree Siale T T ud y T bei Subsiuio vo τ durc Mi τ m T ud T Da die Siale ur oc zu de Zeipuke Ieral über i eie Summe,, so ka ma das Falusieral m T ud vo durc T bescreibe als m y T mt y T mt T mt d mt T vo Null versciedee Were aufweise, e das m T ] Die Zei T zwisce zwei Abaswere is im weselice ur beim Abase als auc bei der Rekosrukio eies aaloe Sials vo Bedeuu. Zur vereiface Recu mi rei diiale Siale ka ormalerweise oe Iformaiosverlus T1 esez werde. Daraus resulier die üblice Screibweise der diskree Falu: m y m m m y Die zeidiskree Soßawor bezeice ma auc als Impulsawor. Sie ka durc Ermilu des Ausassials bei Beracu eies Dirac Impulses als Eiassial besimm werde. Beispielaf soll die i Bild 2.6 die Reakio eies Sysems, das durc die im Bild 2.5 dareselle Impulsawor bescriebe wird, auf eie kurze Receckimpuls als Eiassial besimm werde. T T 1 1/2 1/4 Zei -2T -T T 2T Bild 2.5: Impulsawor eies Überraussysem H.G. Hirsc 5 DNT-SS 28

6 y Zei -4T -3T -2T -T T 2T 3T 4T 5T Bild 2.6: Diskree Falu der Siale ud 2.4 Falusalebra Das Rece mi dem Falusoperaor läss sic durc eie esprecede Alebra bescreibe, die der der Muliplikaio weieed espric: 1. Der Dirac-Soß sell das Eiseleme der Falusalebra dar: δ Espreced il für zeidiskree Siale: δ, wobei der Dirac-Impuls δ defiier is als δ 1 für H.G. Hirsc 6 DNT-SS 28

7 H.G. Hirsc 7 DNT-SS Es il das Kommuaivesez, ac dem die Fakore eies Falusproduks verausc werde dürfe: Ascaulic bedeue dies, dass das Ausassial eies Sysems mi der Impulsawor bei Aliee des Eiassials dem Ausassial eies Sysems mi der Impulsawor bei Aliee des Eiassials espric. 3. Es il das Assoziaivesez, ac dem bei Falu vo 3 Fakore zwei beliebie Fakore zuäcs mieiader efale werde ud da eie Falu mi dem drie Fakor erfol: ] ] ] ] 4. Das Falusproduk des Sials mi der Summe der beide Siale ud läss sic als Summe der beide Produke vo mi bzw. mi bescreibe: ] ] ] ] ] ] Es il das Disribuivesez der Falu.