Tutoren: Jinming Lu, Konrad Schönleber

Transkript

1 Näherugsmethode Tutore: Jimig Lu, Korad Schöleber Nur weige quatemechaische Probleme (z.b. der harmoische Oszillator dieser ist jedoch oft selbst eie Näherug) lasse sich exakt löse, es ist somit ötig verschiedee Näherugsmethode zu verwede. I dieser Vorlesug werde wir drei Näherugsmethode betrachte, die verschiedee Problemstelluge abdecke. Mit der Störugstheorie ka ma Probleme behadel, bei dee sich der Hamiltooperator ur um eie kleie Zusatzterm vo eiem exakt lösbare Hamiltooperator uterscheidet. Die Variatiosmethode ka verwedet werde, we das Aussehe der Wellefuktio bereits ugefähr bekat ist. Ma variiert da eie Parameter ud optimiert damit das Ergebis. Ma verwedet die Variatiosmethode meist zur Bestimmug der Grudzustadseergie. Die WKB-Näherug schließlich ist eie sogeate semi-klassische Näherugsmethode ud ka i (d-)systeme verwedet werde i dee die kietische Eergie viel größer als die potetielle Eergie ist. Störugstheorie I der Störugstheorie sid zwei grudsätzlich verschiedee Fälle zu uterscheide. Die zeituabhägige Störugstheorie beschäftigt sich mit der Veräderug der bekate Eigezustäde ud der etsprechede Eergie. Im Gegesatz dazu macht ma mit Hilfe der zeitabhägige Störugstheorie Aussage über die Übergagswahrscheilichkeite zwische de ugestörte Zustäde uter Eifluss der Störug.. Zeituabhägige Störugstheorie Wir ehme folgede Hamiltooperator a: Ĥ = Ĥ0 + λĥ wobei Ĥ 0 ei exakt lösbarer Hamiltooperator mit Ĥ 0 = E 0 0 ud λĥ ei kleier Störterm sid. Wir betrachte zuächst de Fall eergetisch icht etarteter Zustäde, d.h. zu jedem E 0 gibt es ur geau eie Eigezustad 0. Weiterhi ehme wir hier a, dass λ klei ist ud die Erwartugswerte vo Ĥ höchstes i der selbe Größeordug wie die vo Ĥ0 liege.

2 Die grudlegede Aahme ist u, dass jeder ugestörte Eigezustad 0 durch die Störug i eie Zustad des gestörte Systems überführt wird. Es gilt also: lim λ 0 = 0 Wir etwickel u de gesuchte Eigezustad des gestörte Systems i Eigezustäde des ugestörte Systems: = c d m0 m 0 Wir sehe: = c 0 + d m0 = Da die Eigezustäde des ugestörte Systems eie Orthoormalbasis bilde, gilt äherugsweise (liear i λ) wege lim λ 0 = 0 : c 0 = ud d m0 = O(λ) Nu betrachte wir mit eiem beliebige ugestörte Eigezustad l 0 0 : (Ĥ E ) = 0 l 0 (Ĥ E ) = d l0 (E l0 E ) + λ l 0 Ĥ 0 + λ d m0 l 0 Ĥ m 0 = 0 Der dritte Term ist λ ud ka daher i liearer Näherug verachlässigt werde. Wir erhalte also Näherug: d l0 = λ l 0 Ĥ 0 E E l0 + O(λ ) Damit köe wir u de Zustad aufschreibe: = 0 + λ m 0 Ĥ 0 m 0 + O(λ ) E E m0 Die Eigeeergie erhalte wir über: 0 (Ĥ E ) = (E 0 E ) + λ 0 Ĥ 0 + λ d m0 0 Ĥ m 0 = 0 E = E 0 + λ 0 Ĥ 0 + λ 0 Ĥ m 0 + O(λ 3 ) E 0 E m0 Wir erkee sofort die Eergiekorrekture. ud.ordug.

3 Wir wolle u och die mögliche eergetische Etartug der ugestörte Zustäde berücksichtige (z.b. Wasserstoffatom). Es folgt hier u keie lage Herleitug, soder ur ei plausibles Ergebis. Es gelte: Ĥ 0 i 0 = E 0 Wir schreibe u: = i α i i 0 + λ m 0 Ĥ 0 β i m i E 0 E 0 + O(λ ) m0 i Wir betrachte Eergiekorrekture u ur och liear i λ ud köe de letzte Term verachlässige: α i = Ĥ = α i E 0 +λ i i }{{} =E 0 Damit gilt für die Eergiekorrektur.Ordug i λ: i a j a i j 0 Ĥ i 0 j α j ( Ĥ E 0 ) = λ i α i j 0 Ĥ i 0 Mit dieser Formel ka ma die Eergiekorrekture.Ordug i λ bereche.. Zeitabhägige Störugstheorie Nu gehe wir davo aus, dass wir zu eiem ugestörte System mit zeituabhägigem Hamiltooperator Ĥ0 zur Zeit t = t 0 eie Störug V (t) hizuschalte. i h t Ψ(t) = (H 0 + Θ(t t 0 )V (t)) Ψ(t) Mit der Afagbedigug: Ψ(t) = Ψ 0 (t) falls t t 0 Wir wechsel i das sog. Wechselwirkugsbild (Dirac-Bild), um die Zeitetwicklug verursacht durch de Operator H 0 loszuwerde ud ur och die durch das hizugeschaltete Potetial verursachte Zeitetwicklug zu berücksichtige. Wir defiiere dazu: Ψ(t) I = e ih0t/ h Ψ(t) Wir leite dies ach der Zeit ab ud setze die Schrödigergleichug ei: i h t Ψ(t) I = H 0 Ψ(t) I + e ih0t/ h (H 0 + V (t)) Ψ(t) i h t Ψ(t) I = e ih0t/ h V (t)e ih0t/ h Ψ(t) I }{{} :=V I (t) Wir schreibe u diese Gleichug i der Itegraldarstellug: Ψ(t) I = Ψ(t 0 ) I + i h 3 t 0 V I (t ) Ψ(t ) I dt

4 Wir führe u Picard Iteratio bis zur erste Ordug (Übergäge erster Ordug) aus ud erhalte: Ψ(t) I = Ψ(t 0 ) I + V I (t ) Ψ(t 0 ) I dt i h t 0 Nu ehme wir a, der ugestörte Hamiltooperator H 0 habe die Eergieeigezustäde (t) =: e ih0t/ h mit de Eergieeigewerte E. Wir wolle u die Übergagswahrscheilichkeit.Ordug vom Zustad i de Zustad m bereche. Die Übergagsamplitude ist: m(t) Ψ(t) = m e ih0t h Ψ(t) = m Ψ(t) I Der Afagszustad ist weig überrasched: Wir erhalte also: Ψ 0 (t 0 ) I = Ψ(t 0 ) I = e ih0t/ h (t) = Ψ(t) I = + V I (t ) dt i h t 0 Damit ergibt sich die Übergagsamplitude zu: m(t) Ψ(t) = m Ψ(t) I = m }{{} =δ m + i h t 0 m V I (t ) dt = = δ m + e i(em E)t / h m V (t ) dt i h t 0 Die Übergagswahrscheilichkeit zwische verschiedee Zustäde ist also: P m (t) = m(t) Ψ(t) = h.. Fermis Goldee Regel t 0 e i(em E)t / h m V (t ) dt Wir betrachte u de Fall eier eigeschaltete, kostate Störug. V (t) = Θ(t)V 0 Wir werde sehe, dass Übergäge.Ordug hier ur i eiem Kotiuum vo Zustäde möglich sid. Es gilt ämlich: P m (t) = h Es folgt mit ω m := Em E h : P m (t) = h e iωmt ω m 0 m V e i(em E)t / h m V dt = h ( si(ωm t/) ω m / ) m V 4

5 Für ausreiched große Zeite gilt: Damit folgt: ( ) si(ωmt/) ω m/ = πtδ(ω m ) P m = πt h δ(e m E ) m V Für die Übergagswahrscheilichkeit pro Zeit gilt demach: Γ m = π h δ(e m E ) m V I eiem Kotiuum vo Zustäde sid somit Übergäge möglich, dort gilt mit der Zustadsdichte ρ(e m ): Γ m = ρ(e m )Γ m de m = ρ(e m ) m V π h Variatiosmethode Die Variatiosmethode ist gut geeiget die Eergie des Grudzustades eies komplizierte Systems zu fide. Seie die Eigezustäde des Hamiltooperators H, da folgt für eie beliebige Ψ : Ψ H Ψ = Ψ H Ψ = E Ψ E 0 Ψ = E 0 Ψ Ψ E 0 Ψ H Ψ Ψ Ψ Wir müsse also zu eiem gegebee Problem zuächst eie sivolle, vo eiem Parameter abhägige Wellefuktio fide ud diese da miimiere. Die Eergie wird dabei sehr geau bestimmt. Um dies eizusehe betrachte wir eie Zustad, der vom exakte Zustad miimal abweicht: Ψ = Ψ 0 + ɛ mit ɛ ɛ klei. Da folgt: Ψ H Ψ Ψ Ψ = E + ɛ H ɛ + ɛ ɛ = E + O( ɛ ɛ ) 3 WKB-Näherug Die WKB-Näherug ka besoders gut für d-probleme mit hoher kietischer Eergie verwedet were, also z.b. bei der Streuug hocheergetischer Teilche a eiem Target. Wir gehe hierbei davo aus, dass die de-broglie-welleläge λ = π h h ur lagsam im Bereich des Potetials variiert. Die Methode ist halbklassisch, d.h. wir gehe zwar vo der Schrödigergleichug aus, setze aber eie klassische Impuls ei: p(x) := m(e V (x)) 5

6 Die Schrödigergleichug erhält damit die Form: xψ(x) + p (x) h Ψ(x) = 0 Die Äderug des klassische Impulses ist ur schwach im betrachtete Bereich: h x p(x) << p(x) Wir setze u für Ψ(x) mit eier eifache Expoetialfuktio a: Ψ(x) = e ī h S(x) S hat diesselbe Dimesio wie h, ämlich die eier Wirkug. Wir etwickel u S i eie Reihe über h: S(x) = W (x) + h i W (x) + O( h ) Aus der Schrödigergleichug folgt u: i hs (x)ψ(x) S (x)ψ(x) = p (x)ψ(x) (W ) i h(w + W W ) + O( h ) = p Aufgrud der Forderug h x p(x) << p(x) verachlässige wir die O( h ) Term ud es gilt äherugsweise: W + W W = 0 W = d dx l(w ) Weiterhi folgt aus dem Wegfall der O( h) Terme: W (x) = ± p(x )dx Wir fasse u also zusamme: Ψ(x) = W (x) = l(w (x)) e W (x) = x p(x) ) (± p (x) exp p(x )dx =: x p (x) e±iw(x) Im klassisch erlaubte Bereich E V (x) liefert dies oszillierede ud im klassisch verbotee Bereich expoetiell fallede Lösuge. 6