12. Woche. Zeitunabhängige Störungstheorie

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1 1 Woche Zeituabhägige Störugstheorie Oft ist der Haitoia eies Systes as eie Sue Ĥ = Ĥ0 + Ŵ darstebar, wobei der Haitoia Ĥ0 i gewisse Sie eifach ist, so dass sei Spektru ud seie Eigefuktioe bekat sid I viee soche Fäe ka a das Spektru ud die EF des Gesathaitoias Ĥ äherugsweise it Hife der Störugstheorie bestie Hierbei bezeiche wir das Syste, das durch de Haitoia Ĥ0 beschriebe wird, as ugestörtes Syste, ud Ŵ as Störug Die Störug wird it Hife eies forae reee Paraeters λ Koppekostate eigeschatet: Ŵ λĥ1, 0 λ 1 Es wird ageoe dass für λ 0 die Eigewerte E ud die Eigefuktioe E des Systes i die etsprechede Eigewerte E ud Eigefuktioe E des ugestörte Probes übergehe Der forae Trick besteht dari, die Etwickuge ach Poteze vo λ zu betrachte, ud da λ = 1 zu setze Das Spektru des Ĥ0 wird as diskret ageoe oder durch eiführug der periodische Radbegiguge zu eie diskrete Spektru geacht 11 Nichtetartetes Spektru Wir ehe zuächst a, dass i de Spektru des ugestörte Probes Ĥ 0 E = E E keie Etartug auftritt Das Spektru ud die EF des gestörte Probes werde i der fogede For gesucht: E = E E = E + λe1 + λ E +, + λ E 1 + λ E + 1 Störugsreihe Es gibt viee verschiedee Zugäge zur Bestiug socher Störugsreihe 1

2 Direkter Zugag Der direkte Weg hier ist die Zustäde i der Eergiedarsteug des ugestörte Systes zu beschreibe: E = a E Betrachte wir die Geichug Ĥ0 + λĥ1 E = E E, ud setze wir die Etwickug, G, ei: E E a Ĥ0 + λĥ1 = E a k k Da Ĥ0 E = E a E E E bekoe wir + a λĥ1 E k = E k E a k k U das etsprechede Geichugssyste expizit zu bekoe bide wir ei Skaarprodukt it : oder a E E E E + a λ a λ E E Ĥ1 Ĥ1 E = E E k = E a, a k E E k, a E + da E E k = δ k ist Das ergibt ei Geichugssyste für die Etwickugskoeffiziete: wobei W = E E E Ĥ1 E a = λ Die Etwickug, G1 etspricht da a W die Matrizeeeete der Störug sid a = δ + λa 1 + λ a +

3 it a k = E E k Setze wir das i user Geichugssyste ei, so erhate wir für = E = λ + λe1 + λ E + E W δ + λa 1 + λ a λa 1 + λ a + Der Vergeich der Gieder it geiche Poteze vo λ ergibt: E 1 = W E + E1 a1 = = W a 1 Da E 1 = W, bekoe wir aus der Geichug E = W a 1, die Werte vo a 1 beibe ubestit Betrachte wir u so erhate wir E 1 a 1 + a 1 E E E E a = W, = = W a 1 Aus 1 Geichug des Syste bekoe wir i der 1 Näherug a 1 = W, E E so dass die Weefuktio i der 1 Näherug ist E E + λa 1 E + λ W E E E 3

4 Wir setze voraus, das die Weefuktioe i jeder Näherug oriert werde üsse Der Wert a 1 ist da aus der Norierugsbedigug zu fide: 1 = E E E E + λ a 1 + a1 E E Daher git a 1 +a 1 = 0: a 1 ist rei iagiär Da die Weefuktio ur bis zu eie Phasefaktor bestit wird, köe wir a 1 as ree voraussetze ud geich 0 aehe Daher E E + λ E 1 = E + λ W E E Beerkug 1: Daraus fogt, dass i der 1 Ordug für die WF 1, dh E 1 ist orthogoa zu E erhate wir aus de 1 Geichugs- Uter Beutzug der Werte vo a 1 syste E = W W E E E E E = W E E Wichtig: Die Korrektur Ordug zur Eergie des Grudzustades E 0 < E ist stets egativ Isgesat autet die Eergie i der Ordug der Störugstheorie uter Voraussetzug λ = 1 E = E + Ŵ + Ŵ + 3 E E Geicherasse bekot a auch die höhere Näheruge Wir werde später ei autoatisiertes Schea dafür etwicke Dait die Resutate der Störugstheorie ögichst gut sid, so die Störug Ĥ1 ögichst kei sei i Sie seier Matrizeeeete Es ist sehr vorteihaft, we die Eergieabstäde i ugestörte Syste ögicht groß sid A beste so gete Ŵ E 4 E

5 Noch ei Zugag Betrachte wir usere Situatio etwas ageeier Die Schrödigergeichug Ĥ0 + λĥ1 ψ = E ψ i der Eergiedarsteug des ugestörte Systes ψ = a E reduziert sich zu eie Syste hoogeer agebraischer Geichuge für die Koeffiziete a : H Eδ a = 0 4 it H = { E + λw Ĥ0 + λĥ1 = für = λw Das Geichugssyste G4 hat eie Lösug fas det H Eδ = 0 die Säkuardeteriate Die Wurze dieser Geichug E 1 + λw 11 E λw 1 λw 13 λw 1 E + λw E λw 3 λw 31 λw 3 E 3 + λw 3 E = 0 ergebe das exakte Spektru des Haitoias Ĥ Die Deteriate eier Matrix {a ij } ist eie Sue über ae ögiche Produkte der Eeete aus verschiedee Spate D = ε ijk a 1j a j a 3k i,j,k, wobei ε ijk = 1 für gerade Perutatioe i, j, k, vo 1,, 3,, ε ijk = 1 für ugerade Perutatioe ud 0 fas die Idices sich wiederhohe Das Suche der Eergie des Zustades bedeutet, usere Eergie E ist ahe a E Da ae ichtdiagoae Eeete userer Deteriate λ ethate, ist die Ordug der Störugstheorie geich der Azah der i jede 5

6 Produkt ethatee ichtdiagoae Tere Die 1 Ordug etspricht de diagoae Gieder: i dieser Ordug D = E 1 + λw 11 EE + λw EE + λw E = 0 so dass E = E + λw I der Ordug soe wir jetzt die ichtdiagoae Eeete itehe Reche wir zb die Korrektur Ordug zu E 1 aus Dafür ist es geug ur die ichtdiagoae Eeete i der 1 Zeie ud 1 Spate zu berücksichtige: E 1 + λw 11 E 1 λw 1 λw 13 λw 1 E + λw E λw 31 0 E = λw 3 E Die Mioreetwichug dieser Deteriate über der 1 Spate ergibt it D = E + λw E 1 E + λw E 1 D = E 1 + λw 11 E 1 D 1 λw 1 λw 1 D E + λw E 1 Aus der Bedigug D = 0 bekoe wir uter der Voraussetzug D 0, keie Etartug E 1 = E 1 + λw 11 λ 1 W 1 E + λw E 1 Das ist die Geichug für E 1 Brioui & Wiger die zb durch der Methode der sukzessive Approxiatio geöst werde ka I der iederste Ordug verachässige λw i Neer, Eisetze E 1 E 1 i Neer bekoe wir usere G3 1 Etartug/Quasietartug Betrachte wir zuächst eie eifache Situatio it zwei behachbarte Niveaus Die Beiträge aer adere Niveaus i der Störugsrechug sid 6

7 kei, ud köe auf de bekate Wege bestit oder vostädig verachässigt werde Wir bekoe da die Situatio für ei effektives Zweiiveausyste -diesioaer Hibertrau i der Eergiedarsteug it Zustäde E 1 ud E I diese Fa ψ = a E 1 + b E Die Säkuardeteriate autet da H11 E H det 1 H E H 1 = 0 ud ergibt die Eergiewerte E ± = 1 [ ] H 11 + H ± H 11 H + 4 H 1 Die geiche Fore git auch für etartete Zustäde: H 11 = E 0 + λw 11, H 1 = E 0 + λw Da die Matrixeeete der Störug oraerweise icht verschwide, wird die Etartug durch die Störug aufgehobe Betrachte wir de Grezfa H 11 H H 1 Etwickug der Wurze ergibt zb für E + E + = 1 H 11 + H + 1 H 11 H = H 11 + H 1 H 11 H 1 + H 1 H 11 H Verachässige wir i H it = 1, λw i Vergeich it E 1 0 so erhate wir usere übiche Fore für die Störugsrechug Ordug, wobei die Beiträge etferter Niveaus verachässigt sid Nachde E ± bekat sid, ka a aus de Geichugssyste H11 E H 1 a = 0 H E b H 1 auch die Etwickugskoeffiziete a ud b fide beachte Norierug! Die geiche Übereguge gete ia auch für die höhere Etartugsgrade Ma erhät die Säkuaratrize höherer Ordug 7

8 Beispie: eie zweifach eiartetes Niveau Betrachte wir ei zweifach etartetes Eergieiveau, desse Etartug i der 1 Ordug der Störugstheorie icht aufgehobe wird: E 1 = H 11 = H ud dazugehörige Weefuktioe 1 ud Ae adere Zustäde des Spektrus iege eergetisch weit etfert Die Weefuktioe der gestörte Zustäde ψ + = + ud ψ = sid da ψ 1, = a ± 1 + b ± Die Säkuargeichug für soche Systee autet E1 E W a W E 1 E b = 0 it W = H 1 as ree ageoe Aus der Bedigug E1 E W 0 = det W E 1 E = E 1 E W = E EE 1 + E W erhate wir E ± = E 1 ± W Die Koeffiziete a, b sid da durch die Ls ge des fogede Geichugssystes gegebe: E1 E 1 W W W W W E 1 E 1 W a b Für die etsprechede Werte bekoe wir etweder a + b = 0 = W W a b = 0 oder dh ud a + b = 0, a + = b + a = b 8

9 Die Weefuktioe üsse oriert sei, so dass a ± + b ± = 1 Da diese Koeffiziete stets ree gewäht werde köe, bekoe wir + = = ud = 1 1 Die erste WF ist syetrisch gegeüber des Austausches der Teiche, die zweite ist atisyetrisch Rechebeispie: δ-fuktioe Wir köe die theoretische Mögichkeit der Eischatug der Wechsewirkug ausutze, u Störugstheorie auch i de Situatioe azuwede, bei dee es a Afag icht kar ist was diese Störug eigetich bedeutet Dies ist sehr eifach zu verstehe, we a die WF e zb für das Potetia aus δ-fuktioe Ux = qδx + X qδx X betrachtet; q ist die Potetiastärke We die δ-mude weit voeieder etfert sid, köe wir die geichwertige Zustäde uterscheide: Eektro i der ike Mude L ud Eektro i der rechte Mude R Da die Mude weit voeieder etfert sid, ische sich die Zustäde icht Das Eektro beibt da, wo es vo Afag a ach der Präparatio des Systes war Die Zustäde L ud R it WF ud it a 0 = E ψ L x = 1 a0 exp x + X a 0 ψ R x = 1 x X exp a0 a 0 der Lokaisatiosäge des Zustads; die Eergie beider Zustäde E 0 = q sid zueieder orthogoa wei für X git 9

10 ψl xψ R xdx 0 Die Wechsewirkug zwische de Zustäde wird eigeschatet, we wir jetzt X verkeier Die ichtdiagoae Eeete der Säkuardeteriate sid jetzt H 11 = H = L Ĥ L = R Ĥ R = E 0 q ψ L x δx Xdx = E 0 q ψ R x δx + Xdx = E 0 q a 0 exp a 0 X die Etartug wird i der 1 Ordug icht aufgehobe ud H 1 = L Ĥ R = q ψ L xψ R xδx Xdx = q a 0 exp a 0 X a hat auch H 1 = H 1 = W Ma sieht dass bei größere Abstäde X die diagoae Störug H 11 E 0 i Vergeich it de ichtdiagoae Eeet verachässigt werde ka das ist die speziee Eigeschaft des stark okaisierte δ-potetias Die Eergie der gestörte Zustäde sid da E + = E 0 q a 0 exp a 0 X q a 0 exp a 0 X ud E = E 0 q a 0 exp a 0 X + q a 0 exp a 0 X vergeiche Sie das Resutat it ihrer exakte Lösug aus eier Hausaufgabe! 10