Schriftlich Reifeprüfung aus Mathematik

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1 BRG Bad Iscl, 8.B Haupermi 1 Mag. Adreas Lider 48 Bad Iscl, Grazersr. 7 Scriflic Reifeprüfug aus Maemaik 1. Iegralrecug a) Eie Tube a äerugsweise eie ellipseförmige Quersci. Die Läge der Tube bis zum Scraubverscluss is,5 cm. A der Basis a sie eie Breie vo 5,4 cm, ud der kreisförmige obere Abscluss a eie Durcmesser vo, cm. Nimm vereifaced a, dass sic die Acseläge der ellipisce Querscisfläce liear veräder. Der Scraubverscluss räg ics zum Tubeial bei. (1) Berece das Volume der Tube. () Bis zu welcer Höe reic der Tubeial, we die Tube auf dem Kopf se ud mi 5 cm³ gefüll is? Berece die Volumia, die esee, we der Grap der Fukio f mi f(x) x + l(x+1) im Iervall [; ] um die x-acse ud im Iervall [; f()] um die y-acse roier. Zeice i beide Fälle eie D-Grafik i DERIVE, wobei der dargeselle Bereic [-5; 5] x [-5; 5] x [-5; 5] is.. Trigoomerie a) I der Skiregio Dacsei-Wes wird überleg, auf eiem Hag eie Flulicalage für das Nacskifare azuscaffe. Der Hag a eie Neigug vo 18, ud die Lampe s olle auf sekrece Mase i eier Höe vo 14 m moier werde. Der Lickegel der Lampe a eie Öffugswikel vo 1 ud is sekrec ac ue gerice. (1) Wie wei dürfe die Mase mi de Lampe öcses voeiader efer sei, dami der gesame Hag ausgeleuce wird? () Wie oc müsse eie Lampe moier sei, dami sie am Hag eie Srecke vo m ausleuce? () Ei Herseller biee Lampe a, dere Öffugswikel versellbar is. Wie groß müsse der Wikel sei, dami die beleucee Hagsrecke ueralb eies 14 m oe Mass 4 m lag is? (Der Lickegel der Lampe is ebefalls sekrec ac ue gerice.) Ferige eie passede Skizze a ud leie de Siussaz er. Erkläre aad der ebeseede Skizze, wie der Umkreisradius R aus dem Siussaz berece werde ka. 1

2 BRG Bad Iscl, 8.B Haupermi 1 Mag. Adreas Lider 48 Bad Iscl, Grazersr. 7. Aalyisce Geomerie, Differeialrecug Die Flugroue zweier Flugzeuge werde i eiem Koordiaesysem der Flugüberwacug mi der Eiei km agegebe. Die Zei wird ab dem Sarzeipuk der erse Mascie gerece. Das erse Flugzeug sare vom Puk ( 1 ) aus ud flieg i eiem geradliige Seigflug mi km/ i die Ricug (9 ) (Hiweis: Ricug als Vekor!). Das zweie Flugzeug flieg i kosaer Höe vom Puk (4 - ) aus mi 4 km/ i Ricug (-4 ). a) Wie groß is der kürzese Absad der beide Flugroue? Wie groß is der kürzese Absad zwisce de beide Flugzeuge, we ma aimm, dass beide Flugzeuge (für die beracee Zeiräume) ire kosae Gescwidigkei beibeale? 4. Warsceilickeisrecug Im Zuge der leze Grippewelle abe Parmafirme versärk versuc, eue Grippemedikamee zu ewickel. Bei Tes zum Nacweis des Grippevirus passiere folgede Feler: I 1,5 % der Fälle a ei Grippeifizierer ei egaives Tesergebis, d.. der Tes zeig die Erkrakug ic a. I 1 % der Fälle a ei Gesuder ei posiives Tesergebis. Ei Jouralis scließ aus diese Zale, dass eie Perso mi posiivem Tesergebis mi a Sicerei grezeder Warsceilickei das Grippevirus i sic räg. Simm diese Überlegug? Berece die esprecede Warsceilickei ud begrüde deie Awor. Nimm dazu a, dass eie zufällig ausgewäle Perso mi eier Warsceilickei vo,5 % mi dem Grippevirus ifizier is. 5. Wacsumsprozesse, Expoeialfukioe Der gescäze Vorra eies besimme Rosoffs beräg zurzei welwei ewa 85 Mio Toe. Der Jaresverbrauc lieg derzei bei ugefär,5 Mio Toe ud der järlice Verbraucszuwacs bei ewa 1,8 %. a) Wie ewickel sic der Verbrauc bei gleicbleibeder Zuwacsrae? Gib eie Fukio a, die de Verbrauc V (i Mio Toe) i Abägigkei vo der Zei (i Jare, ab dem jezige Zeipuk) bescreib. Zeige, dass der Verbrauc auc durc die Fukio V(),5 e,1784 agegebe werde ka. Welce zugrudeliegede Aame erscei ic realisisc? (1) Wie oc wäre uer de ageommee Voraussezuge der Verbrauc im Jar 5? () I welcem Jar wird der Verbrauc die 5 Mio Toe Marke überseige? () Wie lage würde die Vorräe reice, we ma de Verbrauc auf dem euige Sad eifriere köe? c) Wie lage reice die Vorräe bei eiem uverädere järlice Verbraucszuwacs vo 1,8 %. Löse diese Fragesellug eimal mi Hilfe der Iegralrecug ud eimal mi Hilfe vo Reie. Wie ser uersceide sic die beide Lösuge? Pukevereilug Gesam 5 / 5 / 4 4 / 8 / / 4 48 Erlaube Hilfsmiel: PC mi Derive, GeoGebra (ikl. Tabellekalkulaio), Widows-Recer, Excel, Tascerecer, Formelsammlug Alle Berecuge, die am PC durcgefür werde, müsse ausfürlic dokumeier werde!

3 BRG Bad Iscl, 8.B Haupermi 1 Mag. Adreas Lider 48 Bad Iscl, Grazersr. 7 Lösugsvorscläge 1a) Lieare Fukioe für Acseläge a ud b: a(x) a 1 x + b 1 ; a().7; a(1.5) 1.8 > a(x) -.7 x +.7 b(x) a x + b ; b() ; b(1.5) 1.8 > b(x).144 x (1) 1,5 1,5 V a(x) b(x) π dx (,18x +,888x) πdx 74, Das Volume der Tube beräg ca. 74, cm³. () 1,5 1,5 5 a(x) b(x) π dx (,18x +,888x) πdx Löse mi CAS:,7 cm 1 f(x) x + l(x+1) x V π [f(x)] dx π [x + l(x + 1)] dx π [x + x l(x + 1) + l (x + 1)] dx x x + 18 (x 1) l(x 1) +(x x ) l(x 1) x,5 π Die Fukio f is ic umkerbar, desalb muss die Berecug auf folgede Ar erfolge: f() 1 Vy π x dy π x f '(x)dx π x (1 + )dx x + 1 x x (x + x ) π (x + )dx π [l(x + 1) + ]dx 7,4 x + 1 D-Darsellug i DERIVE: siee Beilage ) a) (1) a siε siα > a 58,1 m b siζ siβ > b 1,1 m a + b 74, m (Derive: bei aderer Rudug 74, m) () H a + b > H 11, m () c cos(γ) > c 4,8 m c 4 > φ 55,8 si γ siϕ Der Öffugswikel müsse ca. 55,8 sei.

4 BRG Bad Iscl, 8.B Haupermi 1 Mag. Adreas Lider 48 Bad Iscl, Grazersr. 7 siα b > b si α siβ a > a si β > a si β b si α bzw. a b siα siβ Aaloge Überleguge ergebe: Periperiewikelsaz: γ γ 1 > Da β 1 9 is, folg ) a) 9 g: X 1 + λ ; : a b c siα siβ si γ a b c R siα siβ si γ c c R si γ si γ siβ 4 4 X + µ d(g,) AB (a 1 8, Der Normalabsad der beide Flugroue beräg,944 km. f 1 : X ; f : d() (4 5) ( 1) ( 4) d'() d''() X ( ) d () > 48,9,4 s d (,9) 84 > > Miimum d(,9), km Die Flugzeuge abe ca.,4 s ac dem Sar der 1. Mascie de gerigse Absad voeiader. Er beräg ugefär, km. 4

5 BRG Bad Iscl, 8.B Haupermi 1 Mag. Adreas Lider 48 Bad Iscl, Grazersr. 7 4) I Ifekio N Tes egaiv (zeig keie Ifekio a) I keie Ifekio (gesuder Mesc) N Tes posiiv (zeig Ifekio a) P(N I),15 (Tes eg., we Ifekio) > P(N I ),1 (Tes pos., we keie Ifekio) P(I),5 > P(I ),995 Gesuc: P(I N ) P(N I),985 (Tes pos., we Ifekio) Saz vo der oale Warsceilickei: P(N ) P(N I) P(I) + P(N I ) P(I ),985,5 +,1,995,14875 P(N' I) P(I),985,5 Saz vo Bayes: P(I N'),1 P(N'),14875 Die Warsceilickei für eie Ifekio, we der Tes ei posiives Ergebis gezeig a, lieg ur bei ca. %. Dieses Ergebis komm zusade, weil der überwiegede Aeil der Bevölkerug vo 99,5% gesud is, ud bei 1% der Gesude deoc ei posiiver Befud erziel wird. 5) a) V(),5 1,18,5 1,18,5 e,1784 l 1,18,1784,1784,1784 Das Gleicbleibe der Zuwacsrae erscei eer uwarsceilic. (1) V(15),5 1, ,57 (Mio ) (),5 1,18 5 l 1,18 l(5/,5) I ca. Jare wird der järlice Verbrauc 5 Mio Toe berage. () 85 /,5 4.. Noc ca. 4, Jare c) Iegralrecug,5 1,18 d 85,5 1,18 l1, l1,18,5 1, ,18 1 1,4 l1,4 1,18 l1,18 Die Vorräe reice ca.,18 Jare. Summe eier Reie b,5 1,18 mi, 1,, b,5 ; b 1,5 1,18,5 q 1,18 1 q b + b q 1 1,18,5 +, ,18 81,5 1 1,18 (,18),5 1,18 1,4117 l1, , l1,18 Die Vorräe reice ca. 19, Jare. 5