Übungsblatt 02 Grundkurs IIIa für Physiker, Wirtschaftsphysiker und Physik Lehramt

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1 Übugsblatt 0 Grudkurs IIIa für Physiker, Wirtschaftsphysiker ud Physik Lehramt Othmar Marti, othmar.marti@physik.ui-ulm.de 0., 6. ud Aufgabe Licht i der geometrische Optik, Bilderzeugug durch Brechug,Optische Istrumete 3, PDF-Datei 4. Zeige Sie, dass ei Rotatiosparaboloid achsparallele Strahle ohe sphärische Aberratio i eie Pukt abbildet.. Wir betrachte de Strahlegag durch ei Prisma mit dem Öffugswikel γ ud der Brechzahl i Luft. a Bereche Sie δ als Fuktio vo α b Für welche Wikel α ist δ extremal? c Für de extremale Eifallswikel α soll die Tayloretwicklug bis zur erste Ordug i berechet werde. 3. Der sphärische Spiegel als Autorückspiegel. Welches sid die Eigeschafte eies sphärische Spiegels, der vo eiem 0m vom Scheitelpukt etferte Objekt ei aufrechtes, 0-fach verkleiertes Bild erzeugt? Veraschauliche Sie das Problem geometrisch!../../ode9.html../../ode0.html 3../../ode4.html 4 uebugsblatt0.pdf 0., 6. ud c 003 Uiversity of Ulm, Othmar Marti

2 4. Das Prisma vo Porro ist ei System aus zwei totalreflektierede Prisme, das eie Abbildug über zwei zueiader sekrechte Richtuge realisiert. Was macht dieses System iteressat? 5. Eie Strahlaufweitugsoptik für Laserstrahle ist ei zetriertes System, desse Aufgabe es ist, de Durchmesser eies zur optische Achse parallele Lichtbüdels zu vergrösser. Er ist aus zwei düe Lise L ud L aufgebaut. Das austretede Lichtbüdel ist ebefalls parallel zu der optische Achse. a Die Lise sid koverget ud f, die bildseitige Breweite vo L, beträgt 9.5mm. Bereche Sie die bildseitige Breweite f vo L, die zu eier zwazigfache Vergrösserug des Lichtbüdeldurchmessers führt. Kostruiere Sie de Verlauf der Lichtstrahle, die parallel zu der optische Achse sid! b Die gleiche Aufgabe wie obe für de Fall, dass die erste Lise diverget ist Breweite 6.6mm. c I Wirklichkeit ist das eifallede Lichtbüdel icht exakt parallel zu der optische Achse. Zeige Sie, dass der erste Aufbau es erlaubt, mit Hilfe eier richtig plazierte Blede ei perfekt paralleles, austretedes Lichtbüdel zu erhalte! 6. Ei Galileisches Ferrohr ist aus eiem Objektiv, das durch eie düe kovergete Lise L mit bildseitiger Breweite f = 50cm dargestellt werde ka, ud eiem Okular, das als divergete düe Lise L der bildseitige Breweite f = 5cm aufgefasst werde ka, aufgebaut. Das Ferrohr sei auf uedlich eigestellt. a Welche Lage habe die Lise zueiader? Zeiche Sie de Strahlegag eies Lichtbüdels, das vo eiem uedlich etferte Pukt ausgesadt wurde! Bestimme Sie die Vergrösserug! Uter welchem Wikel sieht ma eie 0m hohe Turm, der km etfert ist? b Der Beobachter dreht eugierig das Ferrohr um, ohe die Eistellug zu veräder; er betrachtet jetzt de Turm durch das umgedrehte Ferrohr. Uter welchem Wikel erscheit dieser u? 0., 6. ud c 003 Uiversity of Ulm, Othmar Marti

3 3 7. Freiwillige Zusatzaufgabe Bei der Beleuchtug eier Seifeblase mit parallelem Licht beobachtet ma auf der Oberfläche eizele leuchtede Flecke. Gebe Sie eie Erklärug mit Hilfe der geometrische Optik. 0., 6. ud c 003 Uiversity of Ulm, Othmar Marti

4 4 Lösuge. Die Gleichug des Rotatiosparaboloids um die z-achse ist z = ax + y, wobei a ei Parameter ist. Das Problem ka i der xz-ebee gelöst werde. Wir betrachte de Pukt P x, z = P x, ax + y. Die Steigug im Pukt x ist z = ax. Wir habe die folgede Vektore: Eifalleder Lichtstrahl ke = 0, Reflektierter Lichtstrahl kr = x, ax f Tagetialebee e t =, ax Bei der Reflexio sid die Wikel zur Normale, oder zur Tagetialebee gleich, also ke e t ke k = e e t e t kr e t kr k r e t e t Vereifacht Eigesetzt: ke k e e t = kr k r e t x + a x f a x a x f + x = a x x + ax f ax = ax ax f + x x + ax f ax [ ax = 4a x f + x ] x + 4ax ax f + 4a x ax f = 4a x ax f + 4a x 4 x + 4a x 4 4ax f = 4a x 4 x = 4ax f = 4af 0., 6. ud c 003 Uiversity of Ulm, Othmar Marti

5 5 Die Lösug dieser Gleichug ist: f = 4a Da die Lösug uabhägig vo x ist, gilt die Behauptug, dass alle Strahle im Brepukt fokussiert werde.. a Wir betrachte die folgede Wikel: Es gelte die folgede Beziehuge γ + η = π β + ε + η = π π δ + α + φ + η = π Aus der letzte ud der erste Beziehug folgt oder Weiter habe wir π = α + φ δ + π γ δ = α + φ γ ε = γ β Aus dem Brechugsgesetz erhalte wir sowie Damit ist Weiter ist Somit ud si α = si β si ε = si φ φ = arcsi si ε φ = arcsi si γ β β = arcsi si α { [ ]} φ = arcsi si γ arcsi si α { [ ]} δ = α + arcsi si γ arcsi si α γ 0., 6. ud c 003 Uiversity of Ulm, Othmar Marti

6 6 b Die extremale Ablekug ist durch gegebe. dδ dα = d dα = + d dα dδ dα = 0 { [ ]} α + arcsi si γ arcsi si α { [ ]} arcsi si γ arcsi si α γ + arcsi cos = siα si = 0 siα γ + arcsi γ cos α siα Zur Lösug geht ma folgedermasse vor: Wir setze cosα = si α ud erhalte siα cos γ arcsi si siα si α γ arcsi = 0 siα Wir substituiere A = si α ud erhalte cos γ arcsi A A = 0 A si γ arcsi A Wir substituiere weiter γ arcsia = B ud erhalte cos B A = 0 A si B Wir substituiere cosb = si B ud erhalte si B A = 0 A si B oder si B A = A si B Diese Gleichug wird offesichtlich gelöst, we A = sib ist. 0., 6. ud c 003 Uiversity of Ulm, Othmar Marti

7 7 Also müsse wir A = si γ arcsi A löse. Additiostheorem siα + β = si α cos β + cos α si β agewadt ergibt löse. Das ist auch oder A = si γ cos arcsi A cos γ si arcsi A A = si γ Wir habe da Weiter si arcsi A cos γ si arcsi A A = si γ A cos γ A A + cos γ = si γ A A + cos γ = si γ A Wir bekomme = cos γ A = + cos γ cos γ A A + cos γ = cos γ A Wir löse ach A auf ud erhalte Wir habe A + cos γ + cos γ = cos γ A = cos γ oder A = cos γ Mit der Idetität si γ = cos γ bekomme wir A = si γ wir erhalte da γ si α = si γ si α = si 0., 6. ud c 003 Uiversity of Ulm, Othmar Marti

8 8 Die Lösuge sid [ γ ] α = arcsi si [ γ ] α = arcsi si Wir ehme die positive Lösug Kotrolle: Die Startgleichug α mi = arcsi = siα si [ γ ] si cos γ + arcsi Wir setze α mi ei ud bekomme cos γ + arcsi = si Wir vereifache cos γ + arcsi siα cos α γ + arcsi siarcsi[ si γ ] siarcsi[ si γ ] siα cos arcsi [ si γ ] siarcsi[ si γ + arcsi γ ] = si si γ si γ cos arcsi [ si γ ] si γ + arcsi γ Weiter cos γ + arcsi si γ = si si arcsi [ si γ ] γ si γ + arcsi si γ Weiter = cos γ + γ si [ si γ ] γ si γ + γ 0., 6. ud c 003 Uiversity of Ulm, Othmar Marti

9 9 Ud Edlich = cos γ + γ si γ si γ si γ = cos γ si γ cos γ si γ Damit ist gezeigt, dass die Lösug gilt. c Wir bereche die Taylor-Etwicklug vo α mi mit als Variable. Wir erhalte γ α mi = si + O 3 Die ächste Ordug ist γ α mi = si γ si3 + O 4 3. Wir betrachte das Problem auf eier optische Achse. Die Abbildugsgleichug lautet /f = /b + /g Der Abbildugsmassstab ist V = b/g = f/g f Der kovexe Spiegel muss de Gegestad äher a das Auge brige ud soweit verkleier, dass das Bild ur /0 so gross ist. 0., 6. ud c 003 Uiversity of Ulm, Othmar Marti

10 0 We d der Abstad vom Spiegel zum Auge ist, f die Breweite des Auges, f die Breweite des Kovexspiegels, g = 0m die Gegestadsweite. Ohe Spiegel ist die Vergrösserug V o = f d+g f Mit Spiegel ist das Bild =. Objekt bei b = f g/f +g ud seie Vergrösserug. V k = f g f. Dieses Bild ist für das Auge der Gegestad, mit eier Gegestadsweite d b. Also ist die Vergrösserug V A = f d b f Die Gesamtvergrösserug mit Spiegel ist V s = V k V A = f f g f d b f f < 0! Wir setze A < als de Vergrösserugsfaktor. Die Breweite f ist da gd f f = g + d f/a Wir erhalte mit d = m ud f = 5mm f = Das Porro-Prisma besteht aus zwei Gruppe vo zwei Spiegel. Die gemeisame Kate der Spiegel steht sekrecht aufeiader. Deshalb werde alle Objekte um π gedreht. Zusamme mit eiem Galilei-Ferrohr erhält ma ei aufrechtes Bild. Zudem wird die optische Achse verschobe. Awedug: Fergläser. 5. a Das austretede Strahlebüdel ist, wie das eifallede, parallel. Die 0., 6. ud c 003 Uiversity of Ulm, Othmar Marti

11 Fokuspukte der beide Lise falle zusamme. Da gilt G a = f f Damit muss f = G a f = 0 9.5mm = 90mm sei. Die gesamte Läge der Aordug ist e = f +f = 90mm+9.5mm = 99.5mm b Hier gilt wieder G a = f f Damit muss f = G a f = 0 6.6mm = 3mm sei. Die gesamte Läge der Aordug ist e = f + f = 6.6mm + 3mm = 5.4mm c Wählt ma i der Breebee vo L de bildseitige Brepukt vo L mittels eier Blede aus, so köe ur Lichtstrahle durch, die i diesem Pukt kovergiere ud demach ur die, die am Ausgag streg parallel zu der optische Achse sid. 6. a Das System der beide Lise ist afokal, we der bildseitige Brepukt vo L mit dem objektseitige Brepukt vo L zusammefällt. Nach der vorherige Aufgabe ist der Abstad der beide Lise e = f + f = 45cm. Die Vergrösserug ist G = f 7f = 50/5 = 0. Mit dem blosse Auge wird der Turm uter dem Wikel Θ = arcta 0/ rad = wahrgeomme. Mit dem istrumet sieht ma de Turm uter dem Wikel Θ = 0 Θ = , 6. ud c 003 Uiversity of Ulm, Othmar Marti

12 b Dreht ma das Istrumet um, so wird der Wikel, uter dem ma das Bild sieht Θ = Θ/0 = = , 6. ud c 003 Uiversity of Ulm, Othmar Marti