Unterlagen zur Vorlesung Algebra und Geometrie in der Schule: Grundwissen über Euklidische Geometrie. Sommersemester 2007.

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1 Uterlage zur Vorlesug Algebra ud Geometrie i der Schule: Grudwisse über Euklidische Geometrie Sommersemester 2007 Fraz Pauer INSTITUT FÜR MATHEMATIK, UNIVERSITÄT INNSBRUCK, TECHNIKERSTRASSE 25, 6020 INNSBRUCK, AUSTRIA

2 KAPITEL 5 Vektorräume mit Skalarprodukt I diesem Kapitel sei V ei reeller Vektorraum. Wir werde die folgede Eigeschaft der reelle Zahle verwede: Zu jeder reelle Zahl a 0 gibt es geau eie reelle Zahl b 0 mit b 2 = a. Schreibweise: b = a. Ist 0 a < b, da ist auch a < b. 1. Skalarprodukte Defiitio 1 : Ei Skalarprodukt auf V ist eie Abbildug, : V V R, (v,w) v,w, mit de folgede Eigeschafte: Für alle c R, u,v,w V gilt (1) v,w = w,v, ist symmetrisch ) (2) u,c(v + w) = c u,v + c u,w, ist biliear ) (3) Für v 0 ist v,v eie positive reelle Zahl,, ist positiv defiit ). Aus (1) ud (2) folgt: c(u + v),w = c u,w + c v,w. Defiitio 2 : Ei edlichdimesioaler reeller Vektorraum mit eiem Skalarprodukt heißt euklidischer Raum. Defiitio 3 : Ist, ei Skalarprodukt auf V, da heiße die Abbilduge : V R, v v := v,v, bzw. d : V V R, (v,w) v w := v w,v w, die vo, iduzierte Norm bzw. Metrik auf V. Die Zahl v heißt Norm, Betrag oder Läge vo v, die Zahl d(v,w) heißt Abstad zwische v ud w. Zwei Vektore v,w stehe zueiader sekrecht oder orthogoal, we v,w = 0 ist. 1

3 2 5. VEKTORRÄUME MIT SKALARPRODUKT Beispiel 1 : Die Abbildug, : R R R, ((a 1,...,a ),(b 1,...,b )) a i b i, ist ei Skalarprodukt auf R ud heißt Stadardskalarprodukt auf R. Für die Stadardbasis (e 1,...,e ) vo R gilt e i,e j = δ i j, e i = 1 ud e i e j = 2(1 δ i j ), für 1 i, j. Beispiel 2 : Es seie a,b reelle Zahle mit a < b ud V der Vektorraum aller stetige Abbilduge vom Itervall [a,b] ach R. Die Abbildug, : V V R, ( f,g) b ist ei Skalarprodukt auf V. Die Norm vo f V ist b a f (x) g(x)dx, f = a f (x) 2 dx. Satz 1 : Es seie V mit, ei reeller Vektorraum mit Skalarprodukt ud v,w Vektore i V. Da ist v,w v w Cauchy-Schwarz sche Ugleichug ). Weiters sid die Zahle v,w ud v w geau da gleich, we v ud w liear abhägig sid. Beweis: We v = 0 oder w = 0 ist, da ist v,w = 0 = v w. Seie u v 0 ud w 0. We v ud w liear abhägig sid, gibt es ei c K mit w = c v. Daher ist v,w = c v,v = c v 2 = v w. We v ud w liear uabhägig sid, da ist ud Daher ist 0 < w v,w v,v 0 w v,w v,v v v,w v,w 2 v,w v = w,w v,v v,v v,w 2 < v 2 w 2..

4 3 5. VEKTORRÄUME MIT SKALARPRODUKT Beispiel 3 : Für V = R mit dem Stadardskalarprodukt ud a,b R ergibt sich a i b i a 2 i als Cauchy-Schwarz sche Ugleichug. b 2 i Satz 2 : Es seie V mit, ei reeller Vektorraum mit Skalarprodukt, c R ud v,w Vektore i V. Da gilt: (1) v + w v + w Dreiecksugleichug ). (2) We v ud w zueiader orthogoal sid, da ist v + w 2 = v 2 + w 2 Satz vo Pythagoras ). (3) We v = w ist, da stehe v + w ud v w zueiader sekrecht Satz vo Thales ). (4) v + w 2 v w 2 = 4 v,w. Isbesodere: Eie Parallelogramm ist geau da ei Rechteck, we seie Diagoale gleich sid. Beweis: (1) v + w 2 = v + w,v + w = v,v + v,w + w,v + w,w (Satz 1) v 2 + w v w = ( v + w ) 2. (2) v + w 2 = v,v w,w = v 2 + w 2. (3) v + w,v w = v,v w,w = v 2 w 2 = 0. (4) v + w 2 v w 2 = v,v + 2 v,w + w,w ( v,v 2 v,w + w,w ) = 4 v,w. Defiitio 4 : Eie Norm auf V ist eie Abbildug mit de Eigeschafte: N : V R, v N(v), (1) Es gilt N(v) = 0 geau da, we v = 0 ist. (2) Für alle c R, v V ist N(cv) = c N(v). (3) Für alle v,w V ist N(v + w) N(v) + N(w). V zusamme mit eier Norm heißt ormierter Raum. Beispiel 4 : Ist v,v ei Skalarprodukt auf V, da ist eie Norm. : V R, v v,

5 4 5. VEKTORRÄUME MIT SKALARPRODUKT Defiitio 5 : Es seie u V ud v V, v 0. Mit R 0 bezeiche wir die Mege aller icht-egative reelle Zahle. Die Mege heißt Richtug i V. Die Mege R 0 v := {c v c R, c 0} u + R 0 v := {u + c v c R, c 0} heißt Halbgerade oder Strahl i V mit Afagspukt u ud Richtug v. Sei V ei ormierter Raum. Zu jeder icht-egative Zahl a R ud jeder Richtug H := {cv c R, c 0} gibt es geau ei Elemet w H mit a w = a, ud zwar v v. Also ist jeder Vektor i eiem ormierte Raum durch Richtug ud Betrag eideutig bestimmt. 2. Orthoormalbase Sei, ei Skalarprodukt auf V. Defiitio 6 : Eie Familie (v i ) i I i V heißt orthoormal bezüglich,, we für alle i, j I gilt: v i,v j = δ i j. Eie Familie (v i ) i I i V heißt Orthoormalbasis (kurz: ON-Basis) vo V bezüglich,, we sie eie Basis vo V ud orthoormal bezüglich, ist. Beispiel 5 : Die Stadardbasis vo R ist eie Orthoormalbasis bezüglich des Stadardskalarproduktes. Satz 3 : Eie orthoormale Familie ist liear uabhägig. Isbesodere: We V edlich-dimesioal ist, da ist jede orthoormale Familie mit dim R (V ) Elemete eie ON-Basis vo V. Beweis: Seie (v i ) i I eie orthoormale Familie ud (c i ) i I eie Koeffiziete-Familie i R. We i I c i v i = 0 ist, da ist für alle j I auch 0 = v j,c i v i = c i v j,v i = c j. i I i I Satz 4 : Es seie w V ud v := (v 1,...,v ) eie ON-Basis vo V. Da ist w = v i,w v i.

6 5 5. VEKTORRÄUME MIT SKALARPRODUKT Die Koordiate vo w bei v i ist das Skalarprodukt vo v i mit w.) Beweis: Sei w = j=1 c jv j. Da ist v i,w = v i, c j v j = j=1 c j v i,v j = j=1 c j δ i j = c i. j=1 Defiitio 7 : Eie Matrix A R heißt orthogoal, we A A T = I ist. Wir schreibe O für die Mege aller orthogoale -Matrize. Satz 5 : Die Mege O ist eie Utergruppe vo GL (R) ud heißt orthogoale Gruppe. Für A O ist A 1 = A T. Beweis: Übug. Satz 6 : Es seie v := (v 1,...,v ) eie ON-Basis vo V, S R ud u := (u 1,...,u ) = vs. Da ist S = ( v i,u j ) 1 i, j ud die folgede Aussage sid äquivalet: (1) u ist eie ON-Basis vo V ; (2) die Matrix S ist orthogoal; (3) die Spalte vo S bilde eie ON-Basis vo R 1 mit dem Stadardskalarprodukt; (4) die Zeile vo S bilde eie ON-Basis vo R 1 mit dem Stadardskalarprodukt. Beweis: Mit Satz 4 folgt u i,u j = vs i,vs j = S ki S l j v k,v l = k,l = S ki S l j δ kl = S ki S k j = S i,s j = (S T S) i j, k,l k damit ist die Behauptug leicht achzuprüfe. Defiitio 8 : Es seie W ei edlich-dimesioaler Utervektorraum vo V. Da ist W := {v V für alle w W ist v,w = 0}

7 6 5. VEKTORRÄUME MIT SKALARPRODUKT ei Utervektorraum vo V ud heißt das orthogoale Komplemet vo W i V. Satz 7 : Es seie W ei edlich-dimesioaler Utervektorraum vo V ud w := (w 1,...,w ) eie ON-Basis vo W. Die Abbildug p W : V V, v w i,v w i, hägt icht vo der Wahl der ON-Basis w ab, ist liear ud heißt orthogoale Projektio vo V auf W. Jeder Vektor v V lässt sich eideutig als Summe eies Vektors i W ud eies Vektors i W schreibe, ud zwar v = p W (v) + (v p W (v)), wobei p W (v) W ud (v p W (v)) W ist. Isbesodere ist V die direkte Summe vo W ud W. Für v V ud w W mit p W (v) w ist v w > v p W (v), das heißt: p W (v) ist der eideutig bestimmte Vektor i W, der vo v de kleiste Abstad hat. Beweis: Es sei u := (u 1,...,u ) = ws eie ON-Basis vo W. Mit Satz 6 erhält ma j=1 u j,v u j = j=1 ws j,v ws j = = l=1 ( k=1 ( j=1 S k js l j ) w k,v )w l = l=1 w l,v w l = p W (v). Daher hägt p W icht vo der Wahl der ON-Basis w ab. Für x W ist v p W (v),x = v, j=1 w j,x w j j=1 w j,v w j,x = 0, daher ist v p W (v) W ud v = p W (v) + (v p W (v)) W +W. We x 0, da ist 0 < x,x, also x W. Daher ist die Summe W +W direkt. Für w W mit p W (v) w ist 0 p W (v) w W ud v p W (v) W. Deshalb ist v w 2 = (v p W (v)) + (p W (v) w) 2 = = v p W (v) 2 + p W (v) w 2 > v p W (v) 2. Defiitio 9 : Es seie M ei edlichdimesioaler affier Uterraum vo V mit Aufpukt z ud parallelem Utervektorraum W. Die affie Abbildug p M : V V, v (z p W (z)) + p W (v) = z + p W (v z), heißt orthogoale Projektio vo V auf de affie Uterraum M. Der Vektor p M (v) heißt Fußpukt des Lotes vo v auf de affie Uterraum M.

8 7 5. VEKTORRÄUME MIT SKALARPRODUKT Die Zahl v p M (v) heißt Abstad des Puktes v vom affie Uterraum M. Satz 8 : Es seie M ud M edlichdimesioale affie Uterräume vo V mit Aufpukte p, p ud parallele Utervektorräume U,U. Da gibt es Elemete v M, v M so, dass für alle w M, w M gilt: w w v v. Die Zahl v v heißt Abstad der affie Uterräume M ud M ud ist gleich dem Abstad des Puktes p p vom Utervektorraum U +U. Beweis: Es seie u u U +U der Fußpukt des Lotes vo p p auf U +U, v := p u ud v := p u. Für alle x U, x U ist da (p x) (p x ) = (p p ) (x x ) (p p ) (u u ) = v v. Satz 9 : Es sei w := (w 1,...,w ) eie Basis vo V. Mit dem folgede Verfahre ( Schmidt sches Orthoormalisierugsverfahre ) ka eie ON- Basis v := (v 1,...,v ) vo V berechet werde: u 1 := w 1 v 1 := 1 u 1 u 1 Für 2 j seie u j := w j j 1 v i,w j v i ud v j := 1 u j u j. Isbesodere: Jeder euklidische Raum hat eie ON-Basis. Für alle j ist K v 1,...,v j = K w 1,...,w j. Beweis: Nach Satz 3 geügt es zu zeige, dass für alle 1 i < j die Vektore v i ud v j zueiader sekrecht stehe. Seie 1 i < j ud x j der Fußpukt des Lotes vo w j auf W j := K v 1,...,v j 1. Da ist u j = w j x j W j ud v j W j, also v j v i. 3. Lieare Gleichuge mit ugeau bestimmte Date Es seie, ei Skalarprodukt auf V, y V, U ei R-Vektorraum ud f : U V eie lieare Abbildug. We y Bild( f ) =: W, da hat das durch f ud y gegebee System liearer Gleichuge keie Lösug. We etwa die Koordiate vo y durch Messuge (mit Fehler) bestimmt wurde, ka L( f, y) leer sei, obwohl bei exakter Messug eie Lösug existiert. I diesem Fall legt Satz 7 ahe, y durch de Fußpukt des Lotes vo y auf W zu ersetze ud da L( f, p W (y)) zu bereche.

9 8 5. VEKTORRÄUME MIT SKALARPRODUKT Beispiel 6 : Methode der kleiste Quadrate Gegebe sid ei edlichdimesioaler Utervektorraum U des Vektorraums Abb(R, R), paarweise verschiedee reelle Zahle x 1,...,x ud reelle Zahle y 1,...,y. Gesucht ist eie Abbildug g U so, dass die Zahle g(x i ) möglichst ahe bei y i liege, 1 i. Wir betrachte dazu die lieare Abbildug f : U R, h (h(x 1 ),...,h(x )). Die gesuchte Abbildug ist ei Urbild vo y := (y 1,...,y ) bezüglich f. Sei u := (u 1,...,u m ) eie Basis vo U, da wird das Bild W vo f vo de -Tupel f (u 1 ),..., f (u m ) erzeugt. Wir wähle auf R das Stadardskalarprodukt. Da ist der Abstad vo y zu jedem Pukt vo W größer oder gleich dem Abstad vo y zu p W (y), also ist die gesuchte Abbildug jees Elemet g U mit (g(x i ) y i ) 2 (h(x i ) y i ) 2, für alle h U. Die Summe (g(x i) y i ) 2 der Quadrate der Fehler i x i ist daher für g am kleiste. Wir betrachte zwei Spezialfälle: (1) Sei U := Li R (R, R). Eie Basis vo U ist (Id R ). Das Bild vo f ist die Gerade durch Null ud f (Id R ) = (x 1,...,x ) =: x. Eie ON-Basis vo W ist ( 1 x x). Daher: p W (y) = 1 x x,y 1 x x = x,y x,x x ud das Urbild vo p W (y) bezüglich f ist g : R R, α x,y x,x α. (2) Sei U der Vektorraum aller affie Abbilduge vo R ach R. Eie Basis vo U ist (E,Id R ), wobei E die kostate Abbildug R R, x 1, bezeichet. Das Bild vo f ist die vo (1,...,1) =: 1 ud (x 1,...,x ) =: x erzeugte Ebee. Eie ON-Basis vo W ist ( 1, 1 z x,1 z), wobei z := x 1. Daher ist p W (y) = 1,y 1 + z,y ( 1,y z,z z = 1,x ud das Urbild vo p W (y) bezüglich f ist ( 1,y g : R R, α 1,x Der Graph vo g heißt Regressiosgerade der Pukte (x 1,y 1 ),...,(x,y ). ) z,y 1 + z,y z,z z,z x ) z,y + z,y z,z z,z α.

10 9 5. VEKTORRÄUME MIT SKALARPRODUKT 4. Wikel Sei V mit, ei euklidischer Raum. Defiitio 10 : Es seie u V ud r R 0. Die Mege {v V v u = r} heißt Kreis mit Mittelpukt u ud Radius r. Der Kreis mit Mittelpukt u ud Radius 1 heißt Eiheitskreis um u. Es seie u,v,w V mit v 0, w 0. Wir möchte die Lage der zwei Halbgerade u+ R 0 v ud u+ R 0 w zueiader durch eie Zahl beschreibe, welche der Läge des (kürzere) Boges zwische u + v v ud u + w w auf dem Eiheitskreis um u etspreche soll. Wir verwede dafür die folgede Eigeschafte der Abbilduge si : R R (Sius) ud cos : R R (Cosius). Satz 10 : (1) Zu jeder Zahl a [ 1,1] gibt es geau ei α [0,π] mit cos(α) = a. (2) Für alle α [0,π] bzw. α [π,2π] ist si(α) 0 bzw. si(α) 0. (3) si 2 +cos 2 = 1. Beweis: Aalysis 1 Eie Zahl, die ma de zwei Halbgerade zuorde ka, ist v v, w w. Aus Satz 1 folgt, dass diese Zahl im Itervall [ 1,1] liegt. Defiitio 11 : Es seie u,v,w V, v 0 ud w 0. Die eideutig bestimmte Zahl α [0,π] mit cos(α) = v,w v w heißt Wikel zwische de Halbgerade u+ R 0 v ud u+ R 0 w oder kurz Wikel zwische v ud w.

11 10 5. VEKTORRÄUME MIT SKALARPRODUKT Somit ist v,w = v w cos(α), wobei α der Wikel zwische v ud w ist. Der Fußpukt des Lotes vo w auf der Gerade Rv ist v p(w) := v,w v v = cos(α) w v v, daher ist cos(α) = p(w) w. Satz 11 : Cosiussatz ) Es seie v,w V mit v 0, w 0 ud α der Wikel zwische v ud w. Da ist v w 2 = v 2 + w 2 2 v w cos(α). Beweis: v w 2 = v w,v w = v 2 + w 2 2 v,w = = v 2 + w 2 2 v w cos(α). Satz 12 : Siussatz ) Es seie v,w V mit v 0, w 0, β der Wikel zwische w v ud 0 v ud γ der Wikel zwische 0 w ud v w. Da ist v si(γ) = w si(β). Beweis: Da si(β) ud si(γ) icht egativ sid, geügt es zu zeige, dass ist. Wege v,v si 2 (β) = w,w si 2 (γ) si 2 (β) = 1 cos 2 (β) = 1 ist das leicht achzuprüfe. v,v w 2 v,v v w,v w 5. Orietierug Defiitio 12 : Es seie M eie Mege ud R eie Teilmege vo M M. Da heißt R Äquivalezrelatio auf M, we die folgede drei Bediguge erfüllt sid: (1) Für alle m M ist (m,m) R R ist reflexiv ). (2) We (m,) R, da ist auch (,m) R R ist symmetrisch ). (3) We (l,m) R ud (m,) R, da ist auch (l,) R R ist trasitiv ). Die Elemete m, sid (bezüglich R) äquivalet, we (m,) R ist (Schreibweise: m ).

12 11 5. VEKTORRÄUME MIT SKALARPRODUKT Die Äquivalezklasse vo m M ist die Mege { M m }. Statt Elemet eier Äquivalezklasse sagt ma oft Repräsetat eier Äquivalezklasse. Satz 13 : Es seie M eie Mege ud R eie Äquivalezrelatio auf M. Da ist M die disjukte Vereiigug der Äquivalezklasse vo R. Beweis: Übug. Defiitio 13 : Es seie V sei ei reeller Vektorraum, v ud w Base vo V ud T die Trasformatiosmatrix vo v ach w. Die Base v ud w = vt heiße gleich orietiert, we det(t ) > 0 ist, ud verschiede orietiert, we det(t ) < 0 ist. Durch v w : v ud w sid gleich orietiert wird auf der Mege aller Base vo V eie Äquivalezrelatio defiiert. Die zwei Äquivalezklasse bezüglich dieser Relatio heiße Orietieruge vo V. Durch die Wahl eier Basis vo V wird eie Orietierug (die Äquivalezklasse dieser Basis) festgelegt. V zusamme mit eier Orietierug heißt orietierter Vektorraum. Die Base i der gegebee Orietierug heiße da positiv orietiert, die adere egativ orietiert. Werde die Zeicheebee bzw. der physikalische Raum als reeller Vektorraum betrachtet, da et ma seie zwei Orietieruge Orietierug im Uhrzeigersi ud Orietierug gege de Uhrzeigersi bzw. Orietierug ach der Like-Had-Regel ud Orietierug ach der Rechte-Had-Regel. Beispiel 7 : Die Stadardbasis (e 1,...,e 1,e ) vo R ud die Basis (e 1,...,e 1, e ) sid verschiede orietiert. Jede Basis vo R ist also gleich orietiert wie geau eie dieser zwei Base. 6. Volume ud Vektorprodukt Sei V mit, ei -dimesioaler euklidischer Raum. Defiitio 14 : Es seie v eie ON-Basis vo V, S R ud w := vs. Die Mege P(w) := {c 1 w c w 0 c i 1, c i R}

13 12 5. VEKTORRÄUME MIT SKALARPRODUKT heißt das vo w erzeugte Parallelotop. We = 2, da heißt ei Parallelotop Parallelogramm. Die Zahl heißt das Volume vo P(w). vol(p(w)) := det(s) Satz 14 : Die Determiate eier orthogoale Matrix ist 1 oder 1. Beweis: Sei A eie orthogoale Matrix. Da ist 1 = det(i ) = det(a A T ) = det(a) det(a) = det(a) 2. Satz 15 : Es seie v eie ON-Basis vo V, S R ud w := vs. (1) Die Zahl vol(p(w)) hägt icht vo der Wahl der ON-Basis v ab, das heißt: ist T R eie Matrix so, dass vt eie ON-Basis ist, da ist det(t 1 S) = det(s). Isbesodere: We w eie ON-Basis vo V ist, da ist vol(p(w)) = 1. (2) We f eie lieare Abbildug vo V ach V ist, da ist vol( f (P(w))) = det( f ) vol(p(w)). (3) vol(p(w)) = det(( w i,w j ) 1 i, j ). Beweis: (1) We vt eie ON-Basis ist, da ist ach Satz 6 die Matrix T orthogoal. Mit Satz 14 ist daher det(t 1 S) = det(t ) 1 det(s) = det(s). (2) Es sei A die Matrix vo f bezüglich v. Da ist f (P(w)) = f (P(vS)) = P(vAS) ud vol( f (P(w)) = det(as) = = det(a) det(s) = det(a) vol(p(w)). (3) Für 1 i, j ist Daher ist w i,w j = vs i,vs j = (S T S) i j. det(( w i,w j ) 1 i, j ) = det(s T S) = det(s) 2 = vol(p(w)) 2. Satz 16 : Es seie u,v,w V, v 0, w 0 ud α der Wikel zwische v ud w. Da ist vol(p(v,w)) = v w si(α).

14 13 5. VEKTORRÄUME MIT SKALARPRODUKT Beweis: Nach Satz 15, (3) ist ( ) vol(p(v,w)) 2 v,v v,w = det = v v,w w,w 2 w 2 v,w 2 = = v 2 w 2 (1 cos 2 (α)) = ( v w si(α)) 2. Defiitio 15 : Es seie V ei dreidimesioaler euklidischer Raum ud u,w Elemete vo V. Das Vektorprodukt u w (Sprechweise u kreuz w ) vo u ud w ist 0 V, we u ud w liear abhägig sid ud der eideutig bestimmte Vektor v V so, dass (u,w,v) eie positiv orietierte Basis vo V, v u, v w ud v = vol(p(u,w)) ist. Satz 17 : Es seie V ei dreidimesioaler orietierter euklidischer Raum ud ud v eie positiv orietierte ON-Basis vo V. Für a i,b i R, 1 i 3, ist ( 3 ( ) a2 a = det 3 v b 2 b 1 det 3 a i v i ) ( 3 b i v i ) = ( ) a1 a 3 v b 1 b 2 + det 3 ( ) a1 a 2 v b 1 b 3. 2 Beweis: Nachreche.