21. Euklidische und unitäre Räume

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1 250 Adreas Gathma 21. Euklidische ud uitäre Räume Wir wolle us u mit eiem gaz adere Thema beschäftige, ämlich wie ma Läge vo Vektore ud Wikel zwische zwei Vektore bereche (ud überhaupt erst eimal defiiere) ka. Zur Motivatio betrachte wir dazu zuächst eimal de sehr eifache Fall des Vektorraums R 2, i dem sich diese beide Frage mit Hilfe vo Elemetargeometrie ud Schulmathematik leicht beatworte lasse. Beispiel 21.1 (Läge ud Wikel i R 2 ). Wie ihr sicher aus der Schule wisst, ist das wesetliche Hilfsmittel für die Läge- ud Wikelmessug i R 2 das sogeate Skalarprodukt ( ) ( ) x1 y1 x,y = x 1 y 1 + x 2 y 2 R für x =, y = R 2. So ergibt sich z. B. wie im Bild ute liks dargestellt aus dem Satz des Pythagoras, dass die Läge eies Vektors x R 2 durch de Ausdruck x 2 x x2 2 = x,x gegebe ist, de wir im folgede kurz als x schreibe werde. y 2 x y x x 1 x 2 0 ϕ x x = x,x y y = eiϕ x x Wolle wir de Wikel ϕ zwische zwei Vektore x,y R 2 \{0} wie im Bild obe rechts bereche, betrachte wir dazu am beste zuächst eimal die Vektore x x ud y y, die i die gleiche Richtug wie x bzw. y zeige, aber die Läge 1 habe. Fasse wir da x = x 1 + ix 2 ud y = y 1 + iy 2 als Elemete der komplexe Ebee C = R 2 auf, so folgt aus de Bemerkuge 5.5 ud 9.10, dass y y = x eiϕ x ist, da sich die Wikel bei der komplexe Multiplikatio addiere ud e iϕ eie Zahl mit Wikel ϕ ud Betrag 1 ist. Eifache Umformuge i C ergebe u wege x 2 = xx xy xx x y = eiϕ xy = cosϕ + isiϕ. x y Wege xy = (x 1 ix 2 )(y 1 + iy 2 ) = x 1 y 1 + x 2 y 2 + i(x 1 y 2 x 2 y 1 ) besagt der Realteil dieser Gleichug x 1 y 1 + x 2 y 2 x y = cosϕ, woraus wir mit der obige Defiitio des Skalarprodukts folger, dass x,y ϕ = arccos x y ist (beachte hierbei, dass der Arkuskosius ur Werte zwische 0 ud π zurückliefert ud aufgrud der Symmetrie der Kosiusfuktio damit de uorietierte Wikel zwische x ud y ergibt).

2 21. Euklidische ud uitäre Räume 251 Sowohl Läge als auch Wikel lasse sich damit durch das Skalarprodukt ausdrücke. We wir diese beide Kozepte auch i adere Vektorräume defiiere wolle, sollte wir de Begriff des Skalarprodukts also auf beliebige Vektorräume verallgemeier. Das Problem dabei ist jedoch, dass die Formel x,y = x 1 y 1 + x 2 y 2 (oder eie etspreched verallgemeierte Versio für höhere Dimesioe) explizit die Koordiate der beide Vektore x ud y beutzt. I eiem allgemeie Vektorraum gäbe es solche Koordiate aber erst ach Wahl eier Basis ud die Formel würde atürlich auch uterschiedliche Ergebisse liefer, we ma die Koordiate bezüglich verschiedeer Base ehme würde. Wir schließe daraus, dass es i eiem allgemeie Vektorraum kei atürlich defiiertes Skalarprodukt gibt, soder dass ei Skalarprodukt eie Zusatzstruktur darstellt, die ma zusätzlich zum Vektorraum erst eimal festlege muss, bevor ma mit kokrete Rechuge afage ka. Wir müsse diese Zusatzstruktur also zuächst erst eimal geauer defiiere, d. h. kokret agebe, welche Eigeschafte ei Skalarprodukt habe soll. Klar ist, dass wir zwei Elemete eies K- Vektorraums V ei Elemet des zugrude liegede Körpers K zuorde wolle, also formal eie Abbildug vo V V ach K betrachte müsse. Mit solche Abbilduge wolle wir us u zuächst beschäftige. 21.A Biliearforme Die erste wichtige Eigeschaft eies Skalarprodukts ist, dass es liear i beide Vektore ist. Derartige Abbilduge bezeichet ma als Biliearforme. Defiitio 21.2 (Biliearforme). Es sei V ei K-Vektorraum. Eie Biliearform auf V ist eie Abbildug b: V V K, die i beide Kompoete eie lieare Abbildug gemäß Defiitio 14.1 ist, d. h. für die für alle x 1,x 2,x,y 1,y 2,y V ud λ K die Eigeschafte b(x 1 + x 2,y) = b(x 1,y) + b(x 2,y), b(λx,y) = λ b(x,y), b(x,y 1 + y 2 ) = b(x,y 1 ) + b(x,y 2 ), b(x,λy) = λ b(x,y) gelte. Wie ma leicht achprüft, ist die Mege aller Biliearforme auf V ei Uterraum vo Abb(V V,K) (siehe Beispiel 13.3 (d)) ud damit ei K-Vektorraum. Wir bezeiche ih mit BLF(V ). Beispiel (a) Die Abbildug b: R 2 R 2 R, (( x1 x 2 ), ( y1 x 2 y 2 )) x 1 y 1 + x 1 y 2 + x 2 y 1 + 4x 2 y 2 ist offesichtlich eie Biliearform: Hält ma y 1 ud y 2 fest, so ist der gegebee Ausdruck eie lieare Abbildug i x 1 ud x 2, ud umgekehrt. Higege ist (( ) ( )) b: R 2 R 2 x1 y1 R,, x 1 y 1 + x 1 + y 1 keie Biliearform: Da lieare Abbilduge ach Bemerkug 14.3 (b) stets 0 auf 0 abbilde, ka b wege (( ) ( )) 0 1 b, = bei festgehalteer zweiter Kompoete y icht liear im erste Argumet x sei. (b) Ist A Mat(,K) eie quadratische Matrix, so ist y 2 b: K K K, b(x,y) = x T Ay ( ) ach de Recheregel für Matrize aus Lemma 16.9 eie Biliearform beachte, dass das Ergebis hierbei als Produkt dreier Matrize der Größe 1, ud 1 eie

3 252 Adreas Gathma 1 1-Matrix, also ei Elemet vo K ist. Ist A = (a i, j ) i, j ud sid x 1,...,x ud y 1,...,y die Koordiate vo x ud y, so ist eie alterative Schreibweise für ( ) ach Defiitio 16.7 a 1,1 a 1, y 1 b(x,y) = (x 1 x )... = x i a i, j y j. i, j=1 a,1 a, y Wir wolle u sehe, dass ma i der Tat sogar jede mögliche Biliearform auf K auf diese Art aus eier eideutig bestimmte Matrix erhalte ka. Dies besagt der folgede Satz, der völlig aalog zu Satz über de Zusammehag zwische lieare Abbilduge ud Matrize ist, ud der damit letztlich besagt, dass Biliearforme auf K ud -Matrize über K im Prizip dasselbe sid. Satz ud Defiitio 21.4 (Biliearforme auf K ud Matrize). Für alle N ist die Abbildug Mat(,K) BLF(K ), A b A mit b A (x,y) := x T Ay ei K-Vektorraumisomorphismus mit Umkehrabbildug BLF(K ) Mat(,K), b A b mit A b := (b(e i,e j )) i, j. Ma et A b die Gramsche Matrix vo b. Beweis. Nach Beispiel 21.3 (b) ist b A wirklich eie Biliearform auf K. Wir zeige, dass die beide agegebee Abbilduge ivers zueiader sid: Starte wir mit eier Matrix A = (a i, j ) i, j, bilde die zugehörige Biliearform b A (x,y) = x T Ay ud dazu wieder die Gramsche Matrix, so erhalte wir A ba = (b A (e i,e j )) i, j = (e T i Ae j ) i, j = (a i, j ) i, j = A. Begie wir umgekehrt mit eier Biliearform b, ehme dazu die Gramsche Matrix A b ud bilde dazu wieder die zugehörige Biliearform, so erhalte wir aufgrud der Biliearität vo b für alle x,y K b Ab (x,y) = x T A b y = i, j=1 x i b(e i,e j )y j = b ( i=1 x i e i, j=1 y j e j ) = b(x,y), wobei x 1,...,x ud y 1,...,y die Koordiate vo x bzw. y bezeiche. Also sid die beide gegebee Abbilduge wirklich ivers zueiader. Schließlich ist die gegebee Abbildug A b A auch liear, de für A,B Mat(,K), λ K ud x,y K gilt Beispiel (a) Zur Biliearform b A+B (x,y) = x T (A + B)y = x T Ay + x T By = b A (x,y) + b B (x,y) ud b λa (x,y) = x T (λa)y = λ x T Ay = λ b A (x,y). b: R 2 R 2 R, (( x1 x 2 ), ( y1 y 2 )) x 1 y 1 + x 1 y 2 + x 2 y 1 + 4x 2 y 2 aus Beispiel 21.3 (a) ist die zugehörige Gramsche Matrix ( ) ( ) b(e1,e A b = 1 ) b(e 1,e 2 ) 1 1 =. b(e 2,e 1 ) b(e 2,e 2 ) 1 4 Eie alterative Beschreibug vo A b = (a i, j ) i, j ist offesichtlich, dass a i, j i eier Darstellug der Form ( ) vo b(x,y) geau der Koeffiziet vo x i y j ist. Umgekehrt köe wir u ach Satz 21.4 aus dieser Matrix auch die ursprügliche Biliearform durch die Formel ( ) ( ) 1 1 y1 b(x,y) = (x 1 x 2 ) = x y 1 + x 1 y 2 + x 2 y 1 + 4x 2 y 2 zurückgewie. y 2 ( )

4 21. Euklidische ud uitäre Räume 253 (b) Die Eiheitsmatrix E Mat(,K) etspricht i der Korrespodez aus Satz 21.4 geau der Biliearform b: K K K, (x,y) x T y = x 1 y x y, die wir i Beispiel 21.1 im Fall K = R ud = 2 scho beim gewöhliche Skalarprodukt auf R 2 gesehe habe. Geau wie bei lieare Abbilduge i Satz köe wir usere Korrespodez zwische Biliearforme ud Matrize u umittelbar vo K auf beliebige edlich erzeugte Vektorräume erweiter, idem wir dort eie Basis wähle ud mit de Koordiate bezüglich dieser Basis arbeite. Folgerug 21.6 (Biliearforme auf V ud Matrize). Es seie V ei edlich erzeugter K-Vektorraum sowie B = (x 1,...,x ) eie Basis vo V mit zugehöriger Koordiateabbildug Φ B : V K (siehe Defiitio (a)). Da ist die Abbildug Mat(,K) BLF(V ), A b B A mit b B A(x,y) := Φ B (x) T AΦ B (y) wieder ei K-Vektorraumisomorphismus mit Umkehrabbildug BLF(V ) Mat(,K), b A B b mit A B b := (b(x i,x j )) i, j. Wie obe et ma A B b die Gramsche Matrix vo b bezüglich der Basis B. Beweis. Die Abbildug BLF(K ) BLF(V ), ( ) b (x,y) b(φ B (x),φ B (y)), die eier Biliearform b auf K die Biliearform auf V zuordet, bei der ma eifach i b die Koordiatevektore der Vektore aus V eisetzt, ist offesichtlich ei Isomorphismus mit Umkehrabbildug ( BLF(V ) BLF(K ), b (x,y) b(φ 1 B (x),φ 1 B ). (y)) Verkette wir de Isomorphismus aus Satz 21.4 mit dieser Abbildug, erhalte wir also wie behauptet eie Isomorphismus Mat(,K) BLF(K ) BLF(V ), der eie Matrix A auf die Biliearform (x,y) b A (Φ B (x),φ B (y)) = Φ B (x) T AΦ B (y) abbildet, ud desse Umkehrug eier Biliearform b auf V die Matrix (b(φ 1 B (e i),φ 1 B (e j))) i, j = (b(x i,x j )) i, j zuordet. Natürlich hägt die Gramsche Matrix eier Biliearform wie i Folgerug 21.6 vo der gewählte Basis ab. Wie das folgede Lemma zeigt, ist die Trasformatiosformel bei eiem Basiswechsel jedoch eie adere als für Edomorphisme (siehe Bemerkug 19.3 (b)). Lemma 21.7 (Verhalte vo Gramsche Matrize uter Basiswechsel). Es seie b eie Biliearform auf eiem edlich erzeugte K-Vektorraum V sowie B ud B zwei Base vo V. Da gilt für die Gramsche Matrize vo b bezüglich B ud B A B b = T T A B b T, wobei T = A B,B die Basiswechselmatrix aus Defiitio ist. Beweis. Es seie B = (x 1,...,x ) ud B = (y 1,...,y ) die gewählte Base. Nach Bemerkug (a) ethält die k-te Spalte vo T = (a i, j ) i, j für k = 1,..., geau die Koordiate vo y k bezüglich B, d. h. es gilt y k = a 1,k x a,k x. Damit folgt für die Gramsche Matrize mit der Formel aus Folgerug 21.6 sofort ( ( j)) ( ) A B b = (b(y k,y l )) k,l = b a i,k x i, j,l x = a i,k b(x i,x j )a j,l = T i=1 j=1a T A B b T. k,l i, j=1 k,l

5 254 Adreas Gathma Bemerkug 21.8 (Matrize uter Basiswechsel). Bisher hatte wir Matrize ahezu ausschließlich zur Beschreibug vo lieare Abbilduge beutzt. Nach Defiitio ist eie Matrix aber zuächst eimal ichts weiter als ei rechteckiges Zahleschema, ohe Vorgabe eier Bedeutug dieser Zahle. I der Tat habe wir u gesehe, dass ma Matrize auch och für gaz adere Dige verwede ka, ämlich z. B. zur Darstellug vo Biliearforme. Ohe weitere Iformatioe ergibt es daher keie Si zu frage, wie sich eie Matrix uter eiem Basiswechsel trasformiert. Die Atwort auf diese Frage hägt ach Bemerkug 19.3 (b) ud Lemma 21.7 davo ab, welche Bedeutug die Eiträge i der Matrix habe: Bei eiem Basiswechsel mit zugehöriger Basiswechselmatrix T trasformiert sich eie zu eiem Edomorphismus gehörige Matrix A i die Matrix T 1 AT,... eie zu eier Biliearform gehörige Matrix A i die Matrix T T AT. Wie bei lieare Abbilduge oder Edomorphisme köte wir us u schließlich auch bei Biliearforme wieder ach eier Normalform frage: Wie köe wir zu eier gegebee Biliearform b BLF(V ) eie Basis vo V so wähle, dass die zugehörige Gramsche Matrix A B b möglichst eifach wird? Wir wolle diese Frage hier allerdigs icht i dieser volle Allgemeiheit beatworte, da wir im Folgede hauptsächlich a Biliearforme mit och weitere spezielle Eigeschafte iteressiert sid. Diese Eigeschafte wolle wir jetzt eiführe. 21.B Skalarprodukte Wir komme u zu de i der Eileitug zu diesem Kapitel bereits ageküdigte Skalarprodukte. Wir werde sie als Biliearforme mit de folgede beide Eigeschafte defiiere, die wir auch gleich wieder aalog für Matrize eiführe wolle. Defiitio 21.9 (Symmetrie ud positive Defiitheit). Es seie b BLF(V ) eie Biliearform auf eiem K-Vektorraum V ud A Mat(,K). (a) Die Biliearform b heißt symmetrisch, we b(x,y) = b(y,x) für alle x,y V. Die Matrix A heißt symmetrisch, we A T = A. (b) Es sei u zusätzlich K = R. Die Biliearform b heißt da positiv defiit, we b(x,x) > 0 für alle x V mit x 0. Die Matrix A heißt da positiv defiit, we x T Ax > 0 für alle x R mit x 0. Bemerkug (a) Die Bedigug der positive Defiitheit lässt sich offesichtlich ur für eie geordete Körper (siehe Kapitel 4) formuliere. Für us ist hierbei eigetlich ur der Fall K = R iteressat. Wir werde die Bedigug der positive Defiitheit i Kostruktio aber och etwas abäder, so dass sie da auch im Fall K = C awedbar ist. (b) Da eie Biliearform b liear i jedem Eitrag ist, gilt atürlich stets b(0,0) = 0. Eie positiv defiite Biliearform auf eiem R-Vektorraum V erfüllt damit also immer b(x, x) 0 für alle x V. Diese Bedigug, die wir später für Skalarprodukte forder werde, wird us da sicherstelle, dass wir aus b(x,x) die Wurzel ziehe ud so die Läge vo x defiiere köe. I mache Fälle (siehe Satz 26.20) beötigt ma allerdigs auch och die folgede zur positive Defiitheit aaloge Bediguge: Eie Biliearform b BLF(V ) auf eiem reelle Vektorraum V heißt egativ defiit, we b(x,x) < 0 für alle x V mit x 0;... positiv semidefiit, we b(x,x) 0 für alle x V ;... egativ semidefiit, we b(x,x) 0 für alle x V ;

6 21. Euklidische ud uitäre Räume idefiit, we sie weder positiv och egativ semidefiit ist, also we es x,y V gibt mit b(x,x) > 0 ud b(y,y) < 0. Etsprechede Eigeschafte defiiert ma atürlich auch für reelle quadratische Matrize. Als Erstes wolle wir u die wohl erwartete Aussage zeige, dass sich die i Defiitio 21.9 eigeführte Begriffe für Biliearforme ud Matrize etspreche. Lemma (Symmetrie ud positive Defiitheit bei Biliearforme ud Matrize). Es seie b eie Biliearform auf eiem edlich erzeugte K-Vektorraum V, B eie Basis vo V, ud A B b wie i Folgerug 21.6 die zugehörige Gramsche Matrix. Da gilt: (a) Die Biliearform b ist geau da symmetrisch, we die Matrix A B b symmetrisch ist. (b) Im Fall K = R ist b geau da positiv defiit, we A B b positiv defiit ist. Beweis. Es sei B = (x 1,...,x ). (a) : Ist b symmetrisch, so folgt atürlich sofort (A B b )T = (b(x j,x i )) i, j = (b(x i,x j )) i, j = A B b. : Ist umgekehrt A B b symmetrisch, so gilt ach Folgerug 21.6 für alle x,y V b(x,y) = Φ B (x) T A B b Φ B(y) ( ) = Φ B (y) T (A B b )T Φ B (x) = Φ B (y) T A B b Φ B(x) = b(y,x), wobei wir i ( ) gemäß Lemma 16.9 (d) die traspoierte 1 1-Matrix gebildet habe. (b) Da die Koordiateabbildug Φ B : V R ei Isomorphismus ist, ist A B b geau da positiv defiit, we Φ B (x) T A B b Φ B(x) > 0, ach Folgerug 21.6 also geau da we b(x,x) > 0 für alle x V mit x 0 gilt. Bemerkug (Ivariaz vo Symmetrie ud positiver Defiitheit). Sid A,A Mat(,K) zwei quadratische Matrize mit A = T T AT für ei T GL(,K), so besagt Lemma isbesodere, dass A geau da symmetrisch (bzw. im Fall K = R positiv defiit) ist, we dies für A gilt: A ud A beschreibe ach Lemma 21.7 ämlich die gleiche Biliearform bezüglich zweier evtl. verschiedeer Base, ud ach Lemma hägt es ur vo dieser Biliearform (aber ebe icht vo der gewählte Basis) ab, ob die Matrix symmetrisch bzw. positiv defiit ist. Mit Hilfe der eigeführte Kozepte köe wir u Skalarprodukte auf reelle Vektorräume defiiere. Defiitio (Skalarprodukte). Es sei V ei R-Vektorraum. Ei Skalarprodukt auf V ist eie positiv defiite, symmetrische Biliearform b: V V R. Ei R-Vektorraum V zusamme mit eiem Skalarprodukt heißt ei euklidischer Raum. Für x,y V schreibe wir statt b(x,y) da auch x,y. Die (wege der positive Defiitheit existierede) Zahl x := x,x R 0 heißt i Verallgemeierug vo Beispiel 21.1 die Norm oder Läge vo x. Ma et eie Vektor x V ormiert, falls x = 1. Bemerkug Ist V ei edlich erzeugter R-Vektorraum ud B = (x 1,...,x ) eie Basis vo V, so lässt sich ei Skalarprodukt auf V ach Lemma also geau durch eie positiv defiite, symmetrische Matrix A Mat(, R) beschreibe bzw. defiiere (ämlich durch die Gramsche Matrix des Skalarprodukts bezüglich der Basis B). Beispiel (a) Für V = R ist x,y := x T y = i=1 x i y i 50

7 256 Adreas Gathma (wobei x 1,...,x ud y 1,...,y die Koordiate vo x bzw. y bezeiche) ei Skalarprodukt: Die Biliearität ud Symmetrie sid offesichtlich, ud die positive Defiitheit ergibt sich sofort daraus, dass für alle x R mit x 0 atürlich x,x = i=1 x 2 i > 0 gilt. Es ist die direkte Verallgemeierug vo Beispiel 21.1 ud wird als das Stadardskalarprodukt auf R bezeichet. Bezüglich der Stadardbasis ist die Gramsche Matrix dieses Skalarprodukts offesichtlich die Eiheitsmatrix (siehe Beispiel 21.5 (b)). ( ) 1 1 (b) Die i Beispiel 21.5 (a) bereits betrachtete reelle Matrix A = ist positiv defiit: Für 1 4 alle x R 2 ist zuächst x T Ax = x x 1 x 2 + x 2 x 1 + 4x 2 2 = (x 1 + x 2 ) 2 + 3x 2 2 0, ud die Gleichheit ka hier ur gelte für x 1 + x 2 = x 2 = 0, also für x = 0. Da A auch symmetrisch ist, ist die durch diese Matrix (bezüglich der Stadardbasis) defiierte Biliearform also ei Skalarprodukt auf R 2. x,y = x T Ay = x 1 y 1 + x 1 y 2 + x 2 y 1 + 4x 2 y 2 (c) Es sei V der reelle Vektorraum der stetige Fuktioe auf dem Itervall [0,1]. Wir behaupte, dass da die Abbildug 1 f,g := f (x)g(x)dx 0 ei Skalarprodukt auf V defiiert. Die Biliearität ergibt sich hierbei eifach aus de Eigeschafte des Itegrals, z. B. ist für f 1, f 2,g V f 1 + f 2,g = ( f 1 (x) + f 2 (x))g(x)dx = f 1 (x)g(x)dx + f 2 (x)g(x)dx = f 1,g + f 2,g. Die Symmetrie ist atürlich offesichtlich. Für die positive Defiitheit bemerke wir zuächst, dass die Fuktio f 2 für jedes f V überall icht-egativ ist ud damit scho eimal f, f = 1 0 f (x) 2 dx 0 gilt. Ist u zusätzlich f 0 icht die Nullfuktio, so gibt es also ei x 0 [0,1] mit c := f (x 0 ) 0. Da f ud damit auch f 2 stetig ist, gibt es da aber wie im Bild rechts ei ε > 0, so dass f (x) 2 c2 2 für alle x [0,1] mit x x 0 < ε ist. Uter dem Graphe vo f 2 liegt also sicher ei positives Flächestück (der Breite 2ε ud Höhe c2 2, falls x 0 icht zu weit am Rad des Itervalls liegt), ud somit ist wie gewüscht f, f = 1 0 f (x)2 dx > 0. c 2 c 2 2 x 0 ε x 0 f 2 (x) x x 0 + ε Beachte, dass hierfür die Stetigkeit der betrachtete Fuktioe etscheided ist: Wäre z. B. die icht stetige Fuktio { 0 für x 1 f : [0,1] R, x 2, 1 für x = 1 2 zugelasse, so wäre hier zwar f 0, aber trotzdem f, f = 1 0 f (x)2 dx = 0. Wir hätte i diesem Fall also kei Skalarprodukt (siehe auch Aufgabe (c)). (d) Die Eischräkug eies Skalarprodukts auf eie Utervektorraum ist offesichtlich wieder ei Skalarprodukt. So köe wir z. B. das Skalarprodukt aus (c) geauso auch auf de Räume aller differezierbare Fuktioe oder aller Polyomfuktioe betrachte.

8 21. Euklidische ud uitäre Räume 257 Aufgabe Es sei N >0. Überprüfe, ob die folgede Abbilduge b Skalarprodukte auf dem reelle Vektorraum V sid: (a) V = R, b(x,y) = x T Ay mit A = ; (b) V = Mat(,R), b(a,b) = Spur(AB). Aufgabe (Duale Vektorräume). Es sei V ei K-Vektorraum. Ma et V := Hom(V,K) de Dualraum zu V. (a) Ist V ei euklidischer Vektorraum, so zeige ma, dass eie ijektive lieare Abbildug ist. Φ: V V, x ϕ x mit ϕ x (y) := x,y (b) Zeige, dass die Abbildug Φ aus (a) sogar ei Isomorphismus ist, we V edlich erzeugt ist. (c) Im Fall des euklidische Raumes V aller stetige Fuktioe auf dem Itervall [0, 1] mit dem Skalarprodukt f,g = 1 0 f (x)g(x)dx aus Beispiel (c) zeige ma, dass die Abbildug Φ aus (a) icht surjektiv ud damit kei Isomorphismus ist. Im Rest dieses Kapitels wolle wir u die grudlegede Eigeschafte vo euklidische Räume utersuche. Da es i der Praxis öfters eimal vorkommt, werde wir de Begriff des Skalarprodukts aber zuächst och auf de Fall vo komplexe Vektorräume erweiter. Kostruktio (Skalarprodukte im komplexe Fall). Wolle wir die Defiitio auf eie komplexe Vektorraum übertrage, so habe wir das Problem, dass die Bedigug der positive Defiitheit über C zuächst eimal keie Si ergibt, da C kei geordeter Körper ist. Dies hat zur Folge, dass wir die Norm eies Vektors icht mehr wie gewoht defiiere köe: Würde wir wie beim Stadardskalarprodukt im Reelle auch i C die Formel x,y = i=1 x i y i ud x = x,x = x x2 verwede, so müsste wir hier die Wurzel aus eier im Allgemeie komplexe Zahl x x2 bilde was icht eideutig möglich ist ud auch icht wie gewüscht zu eier icht-egative reelle Zahl als Läge eies Vektors führe würde. Die Lösug dieses Problems besteht dari, im Skalarprodukt grudsätzlich jede Koordiate des erste (aber icht des zweite) Eitrags komplex zu kojugiere, so dass wir z. B. für das Stadardskalarprodukt die Formel x,y = i=1 x i y i ud damit x = x,x = x 1 x x x = x x 2 erhalte, die wieder zu eier reelle, icht-egative Läge eies Vektors führe. Mit dem Hitergrud dieser Idee sid die etsprechede Abäderuge für beliebige Skalarprodukte auf komplexe Vektorräume relativ offesichtlich. Wir werde die sich daraus ergebede Defiitioe ud Resultate im Folgede kurz aufliste; die Beweise dieser Aussage sid völlig aalog zu dee im reelle Fall.

9 258 Adreas Gathma Es sei also V ei C-Vektorraum. Eie Sesquiliearform auf V ist eie Abbildug s: V V C, so dass für alle x 1,x 2,x,y 1,y 2,y V ud λ C die Eigeschafte s(x 1 + x 2,y) = s(x 1,y) + s(x 2,y), s(λx,y) = λ s(x,y), s(x,y 1 + y 2 ) = s(x,y 1 ) + s(x,y 2 ), s(x,λy) = λ s(x,y) gelte. Der eizige Uterschied zu Biliearforme besteht also i der komplexe Kojugatio des Skalars i der zweite Zeile obe ud i der Tat kommt der Begriff Sesquiliearform aus dem Lateiische ud bedeutet eieihalbfach lieare Form. Die Sesquiliearforme auf V bilde eie C-Vektorraum, de wir mit SLF(V ) bezeiche wolle. Ist V edlich erzeugt ud B = (x 1,...,x ) eie Basis vo V, so ist SLF(V ) wie i Folgerug 21.6 isomorph zu Mat(,C) über die beide zueiader iverse Isomorphisme Mat(,C) SLF(V ), A s B A mit s B A(x,y) := Φ B (x) T AΦ B (y) ud SLF(V ) Mat(,C), s A B s mit A B s := (s(x i,x j )) i, j, wobei der Querstrich über Φ B (x) C bedeutet, dass jede Kompoete des Vektors komplex kojugiert wird. Ma bezeichet A B s wieder als die Gramsche Matrix vo s. Ist B eie weitere Basis vo V, so trasformiere sich die Gramsche Matrize aalog zu Lemma 21.7 gemäß A B s = T T A B s T mit T = A B,B, wobei T = A B,B die übliche Basiswechselmatrix ist. Eie Sesquiliearform s auf eiem C-Vektorraum V heißt hermitesch, we s(y, x) = s(x, y) für alle x,y V. Ist dies der Fall, so erhalte wir daraus isbesodere mit y = x s(x,x) = s(x,x), also s(x,x) R für alle x V. Wir köe daher frage, ob diese reelle Zahl immer icht-egativ ist, ud ee eie hermitesche Sesquiliearform s aalog zum reelle Fall positiv defiit, we s(x, x) > 0 für alle x V mit x 0. Etspreched heißt eie Matrix A Mat(,C) hermitesch, we A T = A. I diesem Fall ist x T Ax R für alle x C, de es ist x T Ax = x T Ax = (x T Ax) T = x T A T x = x T Ax ach Lemma 16.9 (d). Gilt sogar x T Ax > 0 für alle x C mit x 0, so heißt A positiv defiit. Wie i Lemma ist eie Sesquiliearform auf eiem edlich erzeugte Vektorraum geau da hermitesch, bzw. eie hermitesche Sesquiliearform geau da positiv defiit, we ihre Gramsche Matrix zu eier beliebige Basis diese Eigeschaft besitzt. Die adere Defiitheitsbegriffe aus Bemerkug (b) defiiert ma atürlich sowohl für hermitesche Sesquiliearforme als auch für hermitesche Matrize aalog. Ei Skalarprodukt auf eiem komplexe Vektorraum V ist u eie positiv defiite, hermitesche Sesquiliearform s auf V, die wir da typischerweise als x,y := s(x,y) schreibe. Ei C- Vektorraum zusamme mit eiem Skalarprodukt heißt ei uitärer Raum. Für x V ee wir i diesem Fall wieder x := x,x R 0 die Norm (oder Läge) vo x. Das Stadardskalarprodukt auf C ist dasjeige, das bezüglich der Stadardbasis der Eiheitsmatrix etspricht, also x,y := x T y = x 1 y x y,

10 21. Euklidische ud uitäre Räume 259 wobei x 1,...,x ud y 1,...,y die Koordiate vo x bzw. y sid. Beachte, dass die Norm eies Vektors x C i diesem Fall da x = x,x = x x 2 = (Rex 1 ) 2 + (Imx 1 ) (Rex ) 2 + (Imx ) 2 ud damit gleich der Norm dieses Vektors i R 2 bezüglich des Stadardskalarprodukts ist. Im Folgede wolle wir de reelle ud komplexe Fall i der Regel zusamme behadel. Wie i der Aalysis schreibe wir daher wieder K für eie der Körper R oder C, ud spreche vo eiem Vektorraum mit Skalarprodukt, we wir eie euklidische bzw. uitäre Raum meie. Die Formel werde wir dabei wie i Kostruktio mit der komplexe Kojugatio schreibe, so dass sie da für K = R ud K = C gleichermaße gelte im reelle Fall ist die komplexe Kojugatio da zwar uötig, schadet aber atürlich auch icht. Als erstes Resultat über Skalarprodukte wolle wir u eie sehr wichtige Ugleichug beweise. Satz (Cauchy-Schwarz-Ugleichug). I jedem Vektorraum V mit Skalarprodukt gilt x,y x y für alle x,y V, wobei die Gleichheit geau da gilt, we x ud y liear abhägig sid. Beweis. Für y = 0 ist die Aussage des Satzes offesichtlich, de da sid beide Seite gleich Null ud die Vektore liear abhägig. Aderfalls setze wir λ := y,x x,y y,y (ud damit λ = y,y wege der Symmetrie bzw. Hermitizität des Skalarprodukts) ud folger aus der positive Defiitheit, dass 0 x λy,x λy ( ) = x,x λ x,y λ y,x + λ λ y,y = x,x y,x x,y y,y = x,x x,y y,x y,y = x 2 x,y 2 y 2 x,y y,x y,y + x,y y,x y,y ud damit x,y 2 x 2 y 2 gilt. Wurzelziehe liefert u die behauptete Ugleichug. Gilt i dieser Ugleichug sogar die Gleichheit, gilt also die Gleichheit i ( ), so ergibt sich aus der positive Defiitheit des Skalarprodukts sofort x λy = 0, d. h. x ud y sid liear abhägig. Sid umgekehrt x ud y liear abhägig, gilt also x = µ y für ei µ K, so ist y,x = y, µ y = µ y,y ud damit µ = λ, so dass i ( ) obe ud damit auch i der Cauchy-Schwarz-Ugleichug sogar die Gleichheit gilt. Mit der Cauchy-Schwarz-Ugleichug köe wir die folgede Eigeschafte der Norm herleite: Satz (Eigeschafte der Norm). I jedem Vektorraum V mit Skalarprodukt gilt (a) λx = λ x für alle λ K ud x V ; (b) x > 0 für alle x V \{0}; (c) x + y x + y für alle x, y V (Dreiecksugleichug). Beweis. (a) Es ist λx = λx,λx = λλ x,x = λ 2 x,x = λ x. (b) folgt sofort aus der positive Defiitheit des Skalarprodukts.

11 260 Adreas Gathma (c) Es gilt x + y 2 = x + y,x + y = x,x + x,y + y,x + y,y = x 2 + x,y + x,y + y 2 = x 2 + 2Re x,y + y 2 (wege Rez = 1 (z + z) für alle z C) 2 x x,y + y 2 (wege Rez z für alle z C) x x y + y 2 (Satz 21.19) = ( x + y ) 2, woraus durch Wurzelziehe die Behauptug folgt. Bemerkug (Norme i der lieare Algebra ud Aalysis). I der Aalysis werde wir später ormierte Vektorräume defiiere als reelle oder komplexe Vektorräume mit eier reellwertige Normabbildug, die die drei Eigeschafte aus Satz erfüllt (siehe Defiitio 23.1). I diesem Sie sid Vektorräume mit Skalarprodukt also immer ormierte Vektorräume aus der Sicht der Aalysis. Wir werde allerdigs sehe, dass es auch sehr viele Norme gibt, die icht vo eiem Skalarprodukt komme, z. B. i R 2 die Summeorm x = x 1 + x 2 oder die Maximumsorm x = max{ x 1, x 2 }. Wir komme u zum Wikel zwische zwei Vektore. Ma defiiert ih i der Regel ur im reelle Fall ud orietiert sich dabei a der geometrische Deutug aus Beispiel 21.1 im Fall des Stadardskalarprodukts. Kostruktio (Wikel). Es seie V ei euklidischer Raum ud x, y V \{0}. Nach der Cauchy-Schwarz-Ugleichug aus Satz ist da Die Zahl x,y x,y 1, also 1 x y x y 1. x,y ϕ = arccos x y [0,π] ist daher wohldefiiert; wir ee sie i Aalogie zu Beispiel 21.1 de (uorietierte) Wikel zwische x ud y. Aufgabe (Skalarprodukte aus positiv semidefiite Forme). Zu eier symmetrische Biliearform b auf eiem reelle Vektorraum V sei U b = {x V : b(x,x) = 0}. Ma zeige: (a) U b ist im Allgemeie kei Uterraum vo V. (b) Ist b jedoch positiv semidefiit, so ist U b ei Uterraum, ud b(x,y) := b(x,y) ist ei wohldefiiertes Skalarprodukt auf V /U b. (c) Was ergibt sich aus dieser Kostruktio, we V der Vektorraum aller stückweise stetige Fuktioe auf eiem Itervall [a,b] ud b( f,g) = b a f (x)g(x)dx ist? Wie ka ma sich i diesem Fall die Elemete vo U b ud V /U b aschaulich vorstelle? Aufgabe Es sei f : V V ei Edomorphismus eies K-Vektorraums mit Skalarprodukt, so dass f (x),x = 0 für alle x V. Ma zeige: 51 (a) Ist V ei uitärer Raum (also ist K = C), so ist f die Nullabbildug. (b) Ist V ei euklidischer Raum (also ist K = R), so ist f icht otwedig die Nullabbildug.

12 21. Euklidische ud uitäre Räume C Orthogoalität Der mit Abstad wichtigste Fall der Wikeldefiitio ist derjeige, i dem die beide betrachtete Vektore sekrecht aufeiader stehe, also dieser Wikel gleich π 2 ud ach Kostruktio damit das Skalarprodukt gleich 0 ist. Im Gegesatz zu allgemeie Wikel köe wir diese Spezialfall auch wieder sowohl für reelle als auch für komplexe Vektorräume defiiere. Defiitio (Orthogoale Vektore). Es sei V ei Vektorraum mit Skalarprodukt. (a) Zwei Vektore x, y V heiße orthogoal bzw. sekrecht zueiader (i Zeiche: x y), we x, y = 0 gilt. (b) Eie Familie B = (x i ) i I i V heißt orthogoal, we x i x j für alle i, j I mit i j gilt, also we die gegebee Vektore paarweise zueiader sekrecht sid. Gilt zusätzlich x i = 1 für alle i I, so et ma B orthoormal. (c) Eie Orthoormalbasis vo V ist eie orthoormale Familie, die gleichzeitig eie Basis vo V ist. Beispiel (a) Nach Defiitio ist der Nullvektor orthogoal zu jedem adere Vektor. (b) Die Stadardbasis vo R bzw. C ist atürlich eie Orthoormalbasis bezüglich des Stadardskalarprodukts. Lemma I eiem Vektorraum mit Skalarprodukt ist jede orthogoale Familie, die icht de Nullvektor ethält, liear uabhägig. Beweis. Es sei B = (x i ) i I eie orthogoale Familie mit x i 0 für alle i I. Weiterhi seie i 1,...,i I verschiede ud λ 1,...,λ K mit λ 1 x i1 + + λ x i = 0. Bilde wir da das Skalarprodukt dieser Gleichug mit eiem x ik für k {1,...,}, so folgt 0 = x ik,λ 1 x i1 + + λ x i = λ1 xik,x i1 + + λ xik,x i = λk x ik 2, weil B orthogoal ist. Da weiterhi ach Voraussetzug x ik 0 ud damit aufgrud der positive Defiitheit x ik 0 ist, folgt λ k = 0. Dies gilt aber für alle k, d. h. die ursprügliche Liearkombiatio ist trivial, ud B ist damit liear uabhägig. Wir wolle u sehe, dass Orthoormalbase i jedem (edlich erzeugte) Vektorraum mit Skalarprodukt existiere ud zu besoders schöe Eigeschafte führe. I der Tat gilt sogar och mehr, ämlich eie Basisergäzugseigeschaft aalog zu Folgerug für Orthoormalbase. Um dies zu beweise, brauche wir die folgede Kostruktio der orthogoale Projektio auf eie Uterraum. Lemma ud Defiitio (Orthogoale Projektioe). Es sei V ei Vektorraum mit eier symmetrische Biliearform b. Ferer seie U V ei edlich erzeugter Uterraum, auf dem b positiv defiit ist, ud (x 1,...,x ) eie Orthoormalbasis vo U bezüglich des Skalarprodukts b. Da gibt es zu jedem x V geau ei f (x) U mit b(y,x f (x)) = 0 für alle y U, ud zwar f (x) = i=1 b(x i,x) x i. Isbesodere ist f : V U damit eie lieare Abbildug. Ma et sie die orthogoale Projektio vo V auf U.

13 262 Adreas Gathma Beweis. Es seie λ 1,...,λ K die Koordiate des Vektors f (x) bezüglich der gegebee Basis (x 1,...,x ) vo U, also f (x) = λ 1 x λ x. Da gilt b(y,x f (x)) = 0 für alle y U b(x i,x f (x)) = 0 für alle i = 1,..., b(x i,x λ 1 x 1 λ x ) = 0 für alle i = 1,..., ( ) b(x i,x) λ i = 0 für alle i = 1,..., f (x) = b(x 1,x)x b(x,x)x, wobei die Äquivalez ( ) gilt, da b liear im zweite Eitrag ist sowie b(x i,x j ) ach Voraussetzug gleich 0 für i j ud 1 für i = j ist. Bemerkug (Geometrische Deutug orthogoaler Projektioe). Der wichtigste Fall vo Lemma ist sicher derjeige, i dem b auf gaz V positiv defiit ud damit ei Skalarprodukt ist. Ma ka sich die orthogoale Projektio da auch leicht geometrisch vorstelle; im Bild ute rechts ist dies für eie eidimesioale Uterraum U = Li(x 1 ) mit x 1 = 1 dargestellt. Die Abbildug kostruiert i diesem Fall zu eiem x V das Lot auf de Uterraum U; der so etstehede Pukt ist da die orthogoale Projektio f (x). Nach Kostruktio ist da ämlich x 1,x f (x) = x cosϕ = x x 1 x = x 1,x, ud damit wie i Lemma f (x) = f (x) x 1 = x 1,x x 1. x f (x) 0 f (x) Beachte, dass die Differez x f (x) da wie i Lemma sekrecht zu x 1 ist. Wir köe also eie Vektor kostruiere, der auf (alle Vektore vo) U sekrecht steht, idem wir vo eiem beliebige Vektor x / U seie orthogoale Projektio auf U abziehe. Dies ist die Grudidee des folgede Verfahres zur Bestimmug vo Orthoormalbase. Satz (Gram-Schmidtsches Orthoormalisierugsverfahre). Es seie V ei edlich erzeugter Vektorraum mit Skalarprodukt ud U V ei Utervektorraum. Da lässt sich jede Orthoormalbasis vo U zu eier Orthoormalbasis vo V ergäze. Isbesodere besitzt also jeder edlich erzeugte Vektorraum mit Skalarprodukt eie Orthoormalbasis. Beweis. Der Beweis dieses Satzes ist kostruktiv ud erlaubt daher auch eie eifache (iterative) Kostruktio solcher Orthoormalbase. Es sei (x 1,...,x k ) die gegebee Orthoormalbasis vo U. Ist bereits U = V, so sid wir atürlich fertig. Asoste führe wir die folgede Schritte aus: Wähle eie beliebige Vektor x V \U. Wir subtrahiere vo x die orthogoale Projektio vo x auf U ud erhalte so ach Lemma de auf x 1,...,x k sekrecht stehede Vektor y k+1 := x k i=1 x i,x x i. Wege x / U = Li(x 1,...,x k ) ist dies icht der Nullvektor, ud damit ist die Familie (x 1,...,x k,y k+1 ) ach Lemma liear uabhägig. Normiere wir y k+1 u zu x k+1 := y k+1 y k+1, so ist (x 1,...,x k+1 ) also eie Orthoormalbasis eies Uterraums U U. ϕ x x 1 U

14 21. Euklidische ud uitäre Räume 263 Ist jetzt U = V, so sid wir fertig. Asoste setze wir das obige Verfahre iterativ mit dem eue Uterraum U = Li(x 1,...,x k+1 ) fort, bis wir geüged Vektore gefude habe. Beispiel Wir wolle eie Orthoormalbasis vo R 2 für das Skalarprodukt ( ) x,y = x T 1 1 y 1 4 aus Beispiel (b) bestimme. Beachte zuächst, dass die Stadardbasis (e 1,e 2 ) keie Orthoormalbasis ist, de es ist z. B. ( )( ) e 1,e 2 = (1 0) = Wir wede also das Gram-Schmidtsche Orthoormalisierugsverfahre aus Satz a. De erste Vektor köe wir dabei (ugleich 0) beliebig wähle, z. B. y 1 = e 1. Wege e 1,e 1 = 1, also e 1 = 1, erhalte wir ach Normiere mit de Notatioe wie im Beweis des Satzes x 1 = y 1 y 1 = e 1 1 = e 1. Für de zweite Vektor starte wir mit eiem beliebige Elemet vo R 2 \Li x 1, z. B. x = e 2, ud subtrahiere vo ihm die orthogoale Projektio auf Li e 1 : ( ) 1 y 2 = e 2 x 1,e 2 x 1 = e 2 e 1,e 2 e 1 = e 2 1e 1 =. 1 Wege y 2 2 = y 2,y 2 = ( 1 1) ( erhalte wir ach Normiere also die Orthoormalbasis (( ) ( )) 1 1 1, vo R 2 bezüglich des gegebee Skalarprodukts. )( 1 1 ) = 3 Bemerkug (Gram-Schmidt als Normalformesatz). Es sei V ei edlich erzeugter Vektorraum mit Skalarprodukt x,y = b(x,y). Ist da B = (x 1,...,x ) gemäß Satz eie Orthoormalbasis vo V, so ist die Gramsche Matrix vo b bezüglich B ach Folgerug 21.6 gerade A B b = ( x i,x j )i, j = E, de es ist ja x i,x j gleich 1 für i = j ud 0 für i j. I Aalogie zu de Normalformaussage aus Satz ud Folgerug ka ma die Existez vo Orthoormalbase damit auch so auffasse, dass es zu jedem Skalarprodukt eie Basis gibt, bezüglich der die Gramsche Matrix die Eiheitsmatrix ist, also diese sehr eifache Form hat. Da sich Gramsche Matrize uter Basiswechsel wie i Lemma 21.7 bzw. Kostruktio verhalte, ist die etsprechede Aussage i Matrixform gemäß Lemma also, dass es zu jeder positiv defiite, symmetrische (im Fall K = R) bzw. hermitesche (im Fall K = C) Matrix A Mat(,K) eie ivertierbare Matrix T GL(,K) gibt mit T T AT = E: Ma muss i die Spalte vo T eifach eie Orthoormalbasis vo K bezüglich des Skalarprodukts x,y = x T Ay schreibe. Für das Skalarprodukt ud die Orthoormalbasis aus Beispiel ergibt sich also z. B. T T AT = E mit A = ( ) ud T = ( was ma durch direkte Berechug des Matrixprodukts auch sofort bestätige ka. Eie Verallgemeierug dieser Aussage auf icht otwedig positiv defiite symmetrische Biliearforme bzw. hermitesche Sesquiliearforme werde wir i Satz bzw. Bemerkug keelere. ),

15 264 Adreas Gathma Folgerug (Determiate hermitescher ud positiv defiiter Matrize). Für jede hermitesche Matrix A Mat(,C) gilt: (a) deta R. (b) Ist A zusätzlich positiv defiit, so ist sogar deta R >0. Beweis. (a) Ist A T = A, so folgt deta = deta = deta T = deta ud damit deta R. (b) Nach Bemerkug gibt es eie ivertierbare Matrix T mit T T AT = E. Damit ist 1 = dete = dett T deta dett = deta dett dett = deta dett 2, woraus deta > 0 folgt. Aufgabe Es sei U ei edlich erzeugter Uterraum eies Vektorraums V mit Skalarprodukt. Zeige, dass die orthogoale Projektio eies Vektors x V auf U der eideutig bestimmte Pukt y U ist, für de der Abstad y x vo x zu y miimal ist. Aufgabe Es sei V der reelle Vektorraum aller stetige Fuktioe auf dem Itervall [ π, π] mit dem Skalarprodukt f,g := π π f (x)g(x)dx aus Beispiel (c). Wir betrachte dari das Elemet g V defiiert durch g(x) := 1 π 2 x. Für N >0 seie weiterhi f V mit f (x) := 1 π cos(x), ud U := Li( f 1,..., f ) V. (a) Zeige, dass ( f 1,..., f ) für alle eie Orthoormalbasis vo U ist. (b) Für alle N bestimme ma mit Hilfe vo Aufgabe das Elemet g U, für das g g miimal ist (also das g am beste approximiert ). (c) Zeiche die Fuktioe g für kleie mit eiem Computerprogramm ud vergleiche sie mit der ursprügliche Fuktio g. Wir wolle u och zwei Aweduge vo Orthoormalbase betrachte. Die erste betrifft Komplemete vo Uterräume i edlich erzeugte Vektorräume: Wir wisse ja ach Bemerkug (b) ud Lemma bereits, dass solche Komplemete zwar immer existiere, aber i der Regel icht eideutig bestimmt sid. Falls im zugrudeliegede Vektorraum aber ei Skalarprodukt gegebe ist, wolle wir jetzt sehe, dass es zu jedem Uterraum stets ei besoderes Komplemet gibt ämlich das orthogoale Komplemet das immer eideutig bestimmt ist. π 1 1 π g(x) Defiitio (Orthogoales Komplemet). Es seie V ei Vektorraum mit Skalarprodukt ud U V ei Uterraum vo V. Da ee wir die Mege U := {x V : x y für alle y U} = {x V : x,y = 0 für alle y U} das orthogoale Komplemet vo U. (Das Bild rechts illustriert dies für de Vektorraum R 2 mit dem Stadardskalarprodukt.) U U Satz Es seie V ei edlich erzeugter Vektorraum mit Skalarprodukt ud U V ei Uterraum. Da ist das orthogoale Komplemet U ei Komplemet vo U im Sie vo Defiitio 15.27, d. h. es gilt V = U U. Beweis. Nach Satz köe wir eie Orthoormalbasis (x 1,...,x k ) vo U fide ud zu eier Orthoormalbasis (x 1,...,x ) vo V ergäze. Nach Beispiel ist U := Li(x k+1,...,x ) da

16 21. Euklidische ud uitäre Räume 265 ei Komplemet vo U. Es geügt also zu zeige, dass U = U gilt: Für eie Vektor x V mit der Darstellug x = λ 1 x λ x gilt x U x i,λ 1 x λ x = 0 für alle i = 1,...,k λ i x i 2 = 0 für alle i = 1,...,k λ i = 0 für alle i = 1,...,k x U. Bemerkug Der Beweis vo Satz zeigt auch, wie ma das orthogoale Komplemet eies Uterraums U i V bereche ka: Ma ergäzt eie Orthoormalbasis (x 1,...,x k ) vo U zu eier Orthoormalbasis (x 1,...,x ) vo V ; die dabei eu hizu geommee Vektore (x k+1,...,x ) bilde da eie Orthoormalbasis vo U. Da i diesem Fall atürlich auch x 1,...,x k die Vektore x k+1,...,x zu eier Orthoormalbasis vo V ergäze, folgt aus dieser Beschreibug auch sofort, dass (U ) = U. Beispiel (Orthogoale Komplemete i icht edlich erzeugte Vektorräume). Als abschreckedes Beispiel dafür, dass Satz icht so selbstverstädlich ist, wie er vielleicht scheit, wolle wir kurz zeige, dass dieser Satz für icht edlich erzeugte Vektorräume im Allgemeie falsch ist, dass das orthogoale Komplemet da also icht ubedigt immer ei Komplemet im Sie vo Defiitio ist. Dazu sei V der Vektorraum aller stetige Fuktioe auf dem Itervall [0,1] mit dem i Beispiel (c) betrachtete Skalarprodukt f,g = 1 0 f (x)g(x)dx. Wir betrachte hieri de Uterraum U V aller differezierbare Fuktioe; offesichtlich ist U V. Wir werde aber zeige, dass U = {0} ist, so dass also isbesodere U +U = U V, d. h. U kei Komplemet vo U ist. Dazu sei f V mit f 0 beliebig; wir werde zeige, dass f / U ist. Wege f 0 gibt es ei x 0 [0,1] mit f (x 0 ) =: c 0. Wir köe ohe Eischräkug aehme, dass c > 0 ist. Da f stetig ist, gibt es ei ε > 0, so dass f (x) 2 c für alle x mit x x 0 < ε ist. Es sei u g U eie differezierbare Fuktio wie im Bild rechts. Da ist offesichtlich f,g = 1 0 f (x)g(x)dx > 0, de die Fuktio f (x)g(x) ist überall icht egativ ud hat außerdem eie icht verschwidede Fläche uter ihrem Graphe. 0 x 0 ε x 0 f (x) g(x) 1 x 0 + ε Wir habe damit also ei g U mit f,g 0 gefude. Damit ist f / U. Da f beliebig war, folgt also wie behauptet U = {0}. Aufgabe Es seie N ud V der Vektorraum aller reelle Polyome vom Grad höchstes. (a) Für welche m N defiiert ei Skalarprodukt auf V? f,g := m i=0 f (i)g(i) (b) Bereche für dieses Skalarprodukt eie Orthoormalbasis vo V 2 im Fall m = = 2. Die zweite Awedug der Existez vo Orthoormalbase aus Satz ist das folgede eifache Kriterium für die positive Defiitheit eier Matrix. Satz (Hurwitz-Kriterium, Hauptmiorekriterium). Es sei A = (a i, j ) i, j Mat(,K) eie symmetrische (im Fall K = R) bzw. hermitesche (im Fall K = C) Matrix. Für k = 1,..., bezeiche wir mit A k = (a i, j ) i, j=1,...,k Mat(k k,k) die Matrize, die ma erhält, we ma vo A ur die erste k Zeile ud Spalte betrachtet. Ihre Determiate, die ach Folgerug (a) reell sid, bezeichet ma auch als Hauptmiore (siehe Aufgabe 18.25). Da ist A geau da positiv defiit, we deta k > 0 für alle k = 1,...,. c x 52

17 266 Adreas Gathma Beweis. Es sei b die zu A gehörige symmetrische Biliearform bzw. hermitesche Sesquiliearform auf K, also b(x,y) = x T Ay für alle x,y K. Ist A positiv defiit ud b damit ei Skalarprodukt, so ist ach Beispiel (d) auch die Eischräkug vo b auf de Uterraum Li(e 1,...,e k ) ei Skalarprodukt. Die zugehörige Gramsche Matrix (b(e i,e j )) i, j=1,...,k = A k ist also ebefalls positiv defiit ud hat damit ach Folgerug (b) eie positive Determiate. Wir zeige die Aussage mit Iduktio über, wobei der Iduktiosafag für = 1 trivial ist. Für de Iduktiosschritt + 1 bemerke wir zuächst, dass ach Aahme isbesodere deta k > 0 für k = 1,..., gilt. Damit ist A ach Iduktiosvoraussetzug positiv defiit, ud wir köe ach Satz eie Orthoormalbasis (x 1,...,x ) für das zugehörige Skalarprodukt fide, das gerade die Eischräkug vo b auf U := Li(e 1,...,e ) ist. Subtrahiere wir u vom letzte Eiheitsvektor e +1 seie orthogoale Projektio auf U wie i Lemma (beachte, dass b dafür ur auf U positiv defiit sei musste), also setze wir x +1 := e +1 i=1 b(x i,e +1 )x i, so gilt b(x i,x +1 ) = 0 für alle i = 1,...,, ud damit hat die Gramsche Matrix vo b bezüglich der Basis B = (x 1,...,x +1 ) die Form ( ) A B b = T T E 0 AT = (b(x i,x j )) i, j =, 0 b(x +1,x +1 ) wobei wir wie üblich T = (x 1 x +1 ) gesetzt habe. Isbesodere folgt damit b(x +1,x +1 ) = deta B b = det(t T AT ) = dett deta dett = dett 2 deta > 0. Ist u x = λ 1 x λ +1 x +1 0 beliebig, so ergibt sich daraus b(x,x) = +1 i, j=1 λ i λ j b(x i,x j ) = λ λ 2 + b(x +1,x +1 ) λ +1 2 > 0. }{{} >0 Also ist b ud damit auch A positiv defiit. Beispiel Wir betrachte och ei letztes Mal die symmetrische reelle Matrix ( ) 1 1 A = 1 4 aus Beispiel (b), die wir dort scho durch eie direkte Rechug als positiv defiit erkat habe. Mit dem Hurwitz-Kriterium köte wir dies aber u auch och eifacher zeige, idem wir (mit de Notatioe vo Satz 21.41) die beide Determiate deta 1 = det(1) = 1 > 0 ud deta 2 = deta = 3 > 0 bereche ud sehe, dass sie beide positiv sid. Aufgabe Für ei λ R sei A = λ (a) Für welche λ ist A positiv defiit? Für welche λ ist A egativ defiit? (b) Wir betrachte u V = R 3 als euklidische Vektorraum mit dem Skalarprodukt b A für de Wert λ = 1. Bereche zu U = Li(e 1 ) V eie Orthoormalbasis des orthogoale Komplemets U.