Ein Kreis mit dem Mittelpunkt M=(1 2) geht durch den Punkt P=(4-2). Bestimme den Radius des Kreises und die Kreisgleichung.
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- Dorothea Hofer
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1 9 Lösuge Beispiel 1: Bestimme Mittelpukt ud Radius des Kreises k: x²+4x+y²-2y-11=0. Diese Gleichug formt ma um i die Form (x-x M )²+(y-y M )²=r². I dieser Gleichug sid x M ud y M die Koordiate des Mittelpuktes M=(x M y M ) ud r ist der Radius des Kreises. We ma die Klammer auflöst erhält ma: x²-2x M.x+x M ²+y²-2y M.y+y M ² = r² -r² x²-2x M.x+y²-2y M.y+x M ²+y M ²-r² = 0 Vergleicht ma das mit der gegebee Gleichug, so erhält ma: -2x M.x = 4x -2x M = 4 x M = -2-2y M.y = -2y -2y M = -2 y M = 1 x M ²+y M ²-r² = 0 (-2)²+1²-r²= r²=-11 r²=16 r=4 Ma erhält: M=(-2 1) ud r=4 Beispiel 2: Ei Kreis mit dem Mittelpukt M=(1 2) geht durch de Pukt P=(4-2). Bestimme de Radius des Kreises ud die Kreisgleichug. Der Radius des Kreises ist der Betrag (die Läge) des Vektors MP MP =P-M= - = 4 r= MP = 3² + ( 4)² = =5 k:(x-1)²+(y-2)²=25 Beispiel 3: Die Pukte A=(2 4) ud B=(6 2) bilde de Durchmesser eies Kreises. Bestimme de Mittelpukt, de Radius ud die Kreisgleichug. We die Pukte A ud B auf dem Durchmesser des Kreises liege, da ist der Betrag des Vektors AB der Durchmesser des Kreises. Der Mittelpukt des Kreises ist der Halbierugs- Seite 68
2 pukt der Pukte A ud B M= (A+B)= = = 6 Der Radius ist der Betrag des Vektors AM AM =M-A= - = 1 r= AM = 2² + ( 1)² = = 5 k:(x-4)²+(y-3)²=5 Beispiel 4: Die Pukte A=(-1-2), B=(4 3) ud C=(0 1) liege auf eiem Kreis. Bestimme die Kreisgleichug. We zwei Pukte eies Kreises gegebe sid da liegt der Mittelpukt des Kreises auf der Streckesymmetrale dieser beide Pukte. Da hier drei Pukte bekat sid bestimmt ma zwei Streckesymmetrale (zum Beispiel vo A ud B bzw vo A ud C). Der Schittpukt dieser beide Gerade ist da der Mittelpukt des Kreises. Der Radius ist der Abstad des Mittelpuktes zu eiem der drei gegebee Pukte. Die Streckesymmetrale der Pukte A ud B geht durch de Halbierugspukt H AB vo A ud B. Der Vektor AB ist der Normalvektor dieser Gerade ,5 H AB = (A+B)= = = 2 0, AB =B-A= - = 5 Diese Vektor ka ma durch 5 teile ud erhält: =(1 1). x =.H AB 1 x 1 1,5. =. 1.x+1.y=1.1,5+1.0,5 g:x+y=2 0,5 Die Streckesymmetrale der Pukte A ud C geht durch de Halbierugspukt H AC vo A ud C. Der Vektor AC ist der Normalvektor dieser Gerade ,5 H AC = (A+C)= = = 2 1 0, AC =C-A= - = Dieser Vektor ist der Normalvektor der Streckesymmetrale: =(1 3). Daraus folgt:. x =. H AC Seite 69
3 1 x 1 0,5. =. 1.x+3.y=1.(-0,5)+3.(-0,5) h:x+3y=-2 0,5 Der Mittelpukt des Kreises ist der Schittpukt dieser beide Gerade: x +y = 2 x +3y = -2.(-1) x +y = 2 -x -3y = 2 }+ -2y = 4 :(-2) y = -2 Setze ma y=-2 i x+y=2 ei, so erhält ma: x -2 = 2 +2 x = 4 Der Schittpukt der beide Gerade ist M=(4-2). Der Radius ist der Betrag (die Läge) des Vektors AM AM =M-A= - = 0 r= AM = 5 ² + 0² = = 25 =5 k:(x-4)²+(y+2)²=25 Beispiel 5: Die Pukte A=(10-3) ud B=(4-7) liege auf eiem Kreis desse Mittelpukt auf der Gerade g:5x-y=1 liegt. Gesucht ist die Kreisgleichug. We zwei Pukte eies Kreises gegebe sid da liegt der Mittelpukt des Kreises auf der Streckesymmetrale dieser beide Pukte. Da der Mittelpukt auch auf der Gerade g liegt, berechet ma de Kreismittelpukt, idem ma diese beide Gerade scheidet. Der Radius ist der Abstad des Mittelpuktes zu eiem der beide gegebee Pukte. Die Streckesymmetrale der Pukte A ud B geht durch de Halbierugspukt H AB vo A ud B. Der Vektor AB ist der Normalvektor dieser Gerade H AB = (A+B)= = AB =B-A= - = = 10 5 We ma diese Vektor durch (-2) dividiert, so erhält ma =(3 2). Daraus folgt:. x =.H AB 3 x 3 7. =. 3.x+2.y=3.7+2.(-5) h:3x+2y=11 5 Der Mittelpukt des Kreises ist der Schittpukt dieser beide Gerade: Seite 70
4 5x -y = 1.2 3x +2y = 11 10x -2y = 2 3x +2y = 11 }+ 13x = 13 :13 x = 1 Setze ma x=1 i 5x-y=1 ei, so erhält ma: 5.1 -y = 1 5 -y = 1-5 -y = -4 :(-1) y = 4 Der Schittpukt der beide Gerade ist M=(1 4). Der Radius ist der Betrag des Vektors AM AM =M-A= - = 3 7 r= AM = ( 9)² + 7² = = 130 k:(x-1)²+(y-4)²=130 Beispiel 6: Die Pukte A=(5 4) ud B=(4-3) liege auf eiem Kreis desse Mittelpukt auf der Gerade g: x =(4-1)+t(3-2) liegt. Bestimme de Mittelpukt ud de Radius dieses Kreises. We zwei Pukte eies Kreises gegebe sid da liegt der Mittelpukt des Kreises auf der Streckesymmetrale dieser beide Pukte. Da der Mittelpukt auch auf der Gerade g liegt, berechet ma de Kreismittelpukt, idem ma diese beide Gerade scheidet. Der Radius ist der Abstad des Mittelpuktes zu eiem der beide gegebee Pukte. Die Streckesymmetrale der Pukte A ud B geht durch de Halbierugspukt H AB vo A ud B. Der Vektor AB ist der Normalvektor dieser Gerade ,5 H AB = (A+B)= = = 3 2 0, AB =B-A= - = 3 7 We ma diese Vektor mit (-1) multipliziert, so erhält ma =(1 7). Daraus folgt:. x =.H AB 1 x 1 4,5. =. 1.x+7.y=1.4,5+7.0,5 h:x+7y= ,5 Der Mittelpukt des Kreises ist der Schittpukt dieser beide Gerade: Aus der Gerade g erhält ma: x=4+3t ud y=-1-2t. Nu setzt ma diese beide Ausdrücke i die Geradegleichug x+7y=8 ei, ud erhält: 4+3t+7.(-1-2t) = 8 4+3t-7-14t = 8 Seite 71
5 -3-11t = t = 11 :(-11) t = -1 Nu setzte ma t=-1 i die Gleichug für die Gerade g ei, ud erhält: M= +(-1) = + = Der Radius ist der Betrag des Vektors AM AM =M-A= - = 3 r= AM = ( 4)² + ( 3)² = =5 k:(x-1)²+(y-1)²=25 Beispiel 7: Die Gerade g:x-2y=1 berührt de Kreis im Pukt T=(5 2). Vom Mittelpukt M ist die Koordiate x M =3 gegebe. Bestimme die Kreisgleichug. Die Gerade g berührt de Kreis im Pukt T. Eie Gerade h, die ormal auf diese Gerade ist ud durch de Pukt T geht geht auch durch de Mittelpukt des Kreises. Der Normalvektor der Gerade g ist h =(2 1). Daraus folgt: g =(1-2). Der Normalvektor der Gerade h ist ormal auf g, also h. x = h.t 2 x 2 5. =. 2.x+1.y= h:2x+y=12 Der Mittelpukt M des Kreises liegt auf der Gerade h. Die y-koordiate vo des Mittelpuktes erhält ma, idem ma x M =3 für x i die Geradegleichug eisetzt: 2.3+y=12 6+y=12 y=6 M=(3 6) r= TM = 2² + ( 4)² = = 20 k:(x-3)²+(y-6)²=20 Beispiel 8: Die Gerade g: x =(9-9)+t(1-1) berührt de Kreis im Pukt T=(1-1). Vom Mittelpukt M ist die Koordiate x M =-3 gegebe. Bestimme die Kreisgleichug. Seite 72
6 Die Gerade g berührt de Kreis im Pukt T. Eie Gerade h, die ormal auf diese Gerade ist ud durch de Pukt T geht geht auch durch de Mittelpukt des Kreises. Der Richtugsvektor der Gerade g ist der Normalvektor der Gerade h: h =(1-1). Daraus folgt: h. x = h.t 1 x 1 1. =. 1.x+(-1).y=1.1+(-1).(-1) h:x-y= Der Mittelpukt M des Kreises liegt auf der Gerade h. Die y-koordiate vo des Mittelpuktes erhält ma, idem ma x M =-3 für x i die Geradegleichug eisetzt: -3-y=2 -y=5 y=-5 M=(-3-5) r= TM = 4 ² + 4² = = 32 k:(x+3)²+(y+5)²=32 Beispiel 9: Die Gerade g:3x-y=3 berührt de Kreis im Pukt T=(2 3). Der Mittelpukt liegt auf der Gerade h: x =(0 3)+t(4-1). Bestimme die Kreisgleichug. Die Gerade g berührt de Kreis im Pukt T. Eie Gerade, die ormal auf diese Gerade ist ud durch de Pukt T geht geht auch durch de Mittelpukt des Kreises. Der Normalvektor g =(3-1) vo g ist also der Richtugsvektor der Gerade. Da de Pukt T=(2 3) ethält folgt: : x =(2 3)+s(3-1) Der Schittpukt dieser Gerade mit der Gerade h ist der Mittelpukt des Kreises. Aus der Gerade erhält ma: x=2+3s ud y=3-s. Aus h folgt: x=4t ud y=3-t. We ma sowohl x als auch y gleichsetzt, so erhält ma ei Gleichugssystem mit de Ubekate s ud t: 2 +3s = 4t 3 -s = 3 -t s = 4t 12-4s = 12-4t }+ 14 -s = s = -2.(-1) s = 2 Diese Wert setzt ma i die Gleichug der Gerade ei ud erhält: M= +2. = + = 1 Seite 73
7 r= TM = ( 6)² + 2² = = 40 k:(x-8)²+(y-1)²=40 Beispiel 10: Die Gerade g: x =(10 3)+s(3-4) berührt de Kreis im Pukt T=(7 7). Der Mittelpukt liegt auf der Gerade h: x =(6-8)+t(1-4). Bestimme die Kreisgleichug. Die Gerade g berührt de Kreis im Pukt T. Eie Gerade, die ormal auf diese Gerade ist ud durch de Pukt T geht geht auch durch de Mittelpukt des Kreises. Der Richtugsvektor vo g ist also der Normalvektor =(3-4) der Gerade. Da de Pukt T=(7 7) ethält folgt:. x =.T 3 x 3 7. =. 3.x+(-4).y=3.7+(-4).7 :3x-4y= Der Schittpukt dieser Gerade mit der Gerade h ist der Mittelpukt des Kreises. Aus der Gerade h erhält ma: x=6+t ud y=-8-4t. Nu setzt ma diese beide Ausdrücke i die Geradegleichug 3x-4y=-7 ei, ud erhält: 3.(6+t)-4.(-8-4t) = t+32+16t = t = t = -57 :19 t =-3 Nu setzte ma t=-3 i die Gleichug für die Gerade h ei, ud erhält: M= +(-3). = + = r= TM = 4 ² + 3² = =5 k:(x-4)²+(y-3)²=25 Beispiel 11: Die Gerade g:7x-y=-16 berührt de Kreis im Pukt T=(-1 9). Der Mittelpukt liegt auf der Gerade h:2x+3y=36. Bestimme die Kreisgleichug. Seite 74
8 Die Gerade g berührt de Kreis im Pukt T. Eie Gerade, die ormal auf diese Gerade ist ud durch de Pukt T geht geht auch durch de Mittelpukt des Kreises. Der Normalvektor g =(7-1) vo g ist also der Richtugsvektor der Gerade. Da de Pukt T=(-1 9) ethält folgt: : x =(-1 9)+t(7-1) Der Schittpukt dieser Gerade mit der Gerade h ist der Mittelpukt des Kreises. Aus der Gerade erhält ma: x=-1+7t ud y=9-t. Nu setzt ma diese beide Ausdrücke i die Geradegleichug h:2x+3y=36 ei, ud erhält: 2.(-1+7t)+3.(9-t) = t+27-3t = t = t = 11 :11 t = 1 Nu setzte ma t=-3 i die Gleichug für die Gerade ei, ud erhält: M= +1. = + = r= TM = ( 7)² + 1² = = 50 k:(x-6)²+(y-8)²=50 Beispiel 12: Die Gerade g: x =(10 12)+t(2 5) berührt de Kreis im Pukt T=(4-3). Der Mittelpukt liegt auf der Gerade h:x-4y=29. Bestimme die Kreisgleichug. Die Gerade g berührt de Kreis im Pukt T. Eie Gerade, die ormal auf diese Gerade ist ud durch de Pukt T geht geht auch durch de Mittelpukt des Kreises. Der Richtugsvektor vo g ist also der Normalvektor =(2 5) der Gerade. Da de Pukt T=(4-3) ethält folgt:. x =.T 2 x 2 4. = x+5.y=2.4+5.(-3) :2x+5y=-7 Der Schittpukt dieser Gerade mit der Gerade h ist der Mittelpukt des Kreises: 2x +5y = -7 x -4y = 29.(-2) 2x +5y = -7-2x +8y = y = -65 :13 y = -5 Seite 75
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Schwerpunkt 1 E Ma 1 Lubov Vassilevskaya
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Abschlussprüfung 200X Wahlteil Mathematik I Aufgabe A 1
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Abschlussprüfung 2017 an den Realschulen in Bayern
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Michael Buhlmann Mathematik > Analysis > Newtonverfahren
Michael Buhlma Mathematik > Aalysis > Newtoverfahre Eie Abbildug {a }: N -> R, die jeder atürliche Zahl eie reelle Zahl a zuordet, heißt (uedliche (Zahle- Folge: -> a oder {a } εn, a das -te Folgeglied.
4. Mathematikschulaufgabe
10 Gegebe sid die Pukte A(/4), B(/8) ud Z 1 (5/6) eier zetrische Streckug mit dem Zetrum Z 1 ud k = - 11 Fertige eie Zeichug a ud kostruiere die Bildstrecke [A`B`] Platzbedarf: - < x < 15 ud 0 < y < 14
Stochastik: Binomialverteilung Stochastik Bernoulli-Experimente, binomialverteilte Zufallsvariablen Gymnasium ab Klasse 10
Stochastik Beroulli-Experimete, biomialverteilte Zufallsvariable Gymasium ab Klasse 0 Alexader Schwarz www.mathe-aufgabe.com November 203 Hiweis: Für die Aufgabe darf der GTR beutzt werde. Aufgabe : Ei
SS 2017 Torsten Schreiber
SS 07 Torste Schreier e Wert eier etermite köe wir is zu eiem Formt vo mittels dem Verfhre vo Srrusestimme. Für Mtrize, die ei höheres Formt he, köe wir die etermite mit dem estimme. zu sollte Sie im erste
Proseminar: Mathematisches Problemlösen. Ungleichungen 2. Pierre Schmidt. Vortragstermin: 19. Juni Fakultät für Mathematik
Prosemiar: Mathematisches Problemlöse Ugleichuge Pierre Schmidt Vortragstermi: 19. Jui 015 Übugsleiteri: Dr. Natalia Griberg Fakultät für Mathematik Karlsruher Istitut für Techologie Ihaltsverzeichis 1
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athematische Probleme, 2015 otag 1.6 $Id: cove.te,v 1.19 2015/06/01 09:26:03 hk Ep $ 3 Kovegeometrie 3.2 Die platoische Körper I der letzte itzug habe wir mit de Vorarbeite zur Berechug der platoische
A 2 Die Cramersche Regel
Die Crmersche egel Mtrixschreibweise eies liere Gleichugssystems Die Crmersche egel 5 Wir gehe vo der llgemei Gestlt eies liere Gleichugssystems us : Gegebe seie m (reelle oder komplexe) Zhle ik (i,,,
Sinus- + Cosinus-Funktion und komplexe Wurzel
Dr. Siegfried Echterhoff Aalysis 1 Vorlesug WS 08 09 6 Polarkoordiate Sius- + Cosius-Fuktio ud komplexe Wurzel 6.1 Im folgede seik 1 1 := {z C z = 1} der Kreis i C mit Radius 1 ud Mittelpukt 0. Wir defiiere
ABITURPRÜFUNG 2007 GRUNDFACH MATHEMATIK
ABITURPRÜFUNG 007 GRUNDFACH MATHEMATIK (HAUPTTERMIN) Arbeitszeit: Hilfsmittel: 0 Miute Wörterbuch zur deutsche Rechtschreibug Tascherecher (icht programmierbar, icht grafikfähig) Tafelwerk Wähle Sie vo
Expertentipps für die Prüfung:
Epertetipps für die Prüfug: Alle Aufgbestelluge im Überblick! Wertvolle Hiweise uf Stolperflle! Elegte Rechetipps! Übersicht ller wichtige Formel! Mthemtik Bde-Württemberg Ihlt:. Pflichtteilufgbe........................................
Wiederholung: Linearer Ausgleich 1. Linearer Ausgleich. Vorlesung April. Aufgabe Gegeben Naturgesetz
Vorlesug 4 6 + 9 April Bei w,, w m, v R ; (w,, w m =: A R (,m ud ieres Produkt = euklidisches Produkt schrieb sich das Approximatiosproblem so: Fide w = Wiederholug: m ζ k w k mit w v w v w spa{w,, w m
1 Funktionen und Flächen
Fuktioe ud Fläche. Fläche Defiitio: Die Ebee R ist defiiert als Mege aller geordete Paare vo reelle Zahle: R = {(,, R} Der erste Eitrag heißt da auch Koordiate ud der zweite Koordiate. Für zwei Pukte (,,
Abschlussprüfung 2015 an den Realschulen in Bayern
Prüfugsdauer: 50 Miute Abschlussprüfug 05 a de Realschule i Bayer Mathematik I Name: Vorame: Klasse: Platzziffer: Pukte: Aufgabe A Nachtermi A 0 Für Trapeze ABC D mit de parallele Seite [AD ] ud [BC ]
Geometrische Folgen. Auch Wachstumsfolgen Viele Aufgaben. Lösungen nur auf der Mathe-CD Hier nur Ausschnitte. Datei Nr
ZAHLENFOLGEN Teil Geometrische Folge Auch Wachstumsfolge Viele Aufgabe Lösuge ur auf der Mathe-CD Hier ur Ausschitte Datei Nr. 00 Friedrich Buckel März 00 Iteretbibliothek für Schulmathematik 00 Geometrische
Übungsblatt Folgen, Reihen, Finanzmathematik
Tutorium zu Mathematik für WFB Übugsblatt Folge, Reihe, Fiazmathematik Aufgabe (Grezwerte vo Folge) Bestimme Sie die Grezwerte der Folge ( ), N 4 b) c) d) e) si( ) f) a () g) a cos( ) Aufgabe (4 ) 4 b)
Kapitel VII: Der Körper der komplexen Zahlen
Lieare Algebra II SS 011 - Prof Dr Mafred Leit 3 Der Körper der komplexe Zahle 3 Der Körper der komplexe Zahle A Die Mege der komplexe Zahle B Grudrechearte im Bereich der komplexe Zahle C Realteil Imagiärteil
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9. Übungsblatt Aufgaben mit Lösungen
9. Übugsblatt Aufgabe mit Lösuge Aufgabe 1: Gegebe sei die folgede Differetialgleichug 15u(x) + 3xu (x) + x u (x) = 8x 3, x > 0. (a) Gebe Sie ei reelles Fudametalsystem der zugehörige homogee Differetialgleichug
TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN
Prof Dr R Köig Dr M Prähofer Zetralübug TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Zetrum Mathematik Mathematik für Physiker (Aalysis ) MA90 Witersem 07/8 Lösugsblatt 4 http://www-m5matumde/allgemeies/ma90 07W (007)
Grundwissen. Gymnasium Eckental Mathematisch-naturwissenschaftliches Gymnasium Neusprachliches Gymnasium. Jahrgangsstufe: 9 G8
Gymasium Ecketal Mathematisch-aturwisseschaftliches Gymasium Neusprachliches Gymasium Gymasium Ecketal Neukircheer Straße 904 Ecketal Grudwisse Jahrgagsstufe: 9 G8. Wurzel, Poteze mit ratioalem Expoete
Kleingruppen zur Service-Veranstaltung Mathematik I fu r Ingenieure bei Prof. Dr. G. Herbort im WS12/13 Dipl.-Math. T. Pawlaschyk,
Musterlo suge zu Blatt 0 Kleigruppe zur Service-Verastaltug Mathematik I fu r Igeieure bei Prof. Dr. G. Herbort im WS/3 Dipl.-Math. T. Pawlaschyk, 9.. Theme: Kovergez vo Folge Aufgabe P (i) Sei a : k kk.
0.1 E: Der Haupsatz der Mineralogie
0. E: Der Haupsatz der Mieralogie Satz: I eiem Kristall gibt es ur,,3,4 ud 6-zählige Symmetrie. Defiitio: Seie u, v 0 zwei Vektore, die icht auf eier Gerade liege. Die Mege heißt Gitter. Satz: Die Vektore
( ), der genau auf der Geraden ( ) 2 ( ) #( ) 8. Lineare Regression. = f i. Nach der Summe der kleinsten. mx i
8. Lieare Regressio 8.1. Die Methode der kleiste Quadrate Regressiosgerade bzw. Ausgleichsgerade sid eie Auswertug vo statistische Messdate. Ziel dieses Verfahres ist es, Beziehuge zwische zwei Merkmale
Aufgaben zur Übung und Vertiefung
Aufgabe zur Übug ud Vertiefug ARITHMETISCHE ZAHLENFOLGEN Berufliches Gymasium / Uterstufe () Stelle Sie fest, welche der gegebee Folge arithmetisch sid: Bestimme Sie zuächst die erste füf Folgeglieder,
Musterlösung Schnellserie 4
D-ITET Aalysis HS 3 Prof. Richard Pik Musterlösug Schellserie 4. a Wir sete a : + 3 ud bereche a a + + + + + 7 3 + + 7 3 +. Der Limes existiert isbesodere ud liefert damit, ach dem Quotietekriterium, de
b) Alle ganzen Zahlen die auf 0 enden sind durch 5 teilbar Spezialisierung: 120 endet auf ist durch 5 teilbar
d) Die Beweismethode der vollstädige Iduktio Der Übergag vo allgemeie zu spezielle Aussage heisst Deduktio Beispiele: a) Allgemeie Aussage: Spezialisierug: Schluss: Alle Mesche sid sterblich Sokrates ist
Kapitel VI. Einige spezielle diskrete Verteilungen
Kapitel VI Eiige spezielle diskrete Verteiluge D 6 (Hypergeometrische Verteilug) Eie Zufallsvariable X heißt hypergeometrisch verteilt, we sie folgede Wahrscheilichkeitsfuktio besitzt: M N M P ( X ) p
Mathematische Probleme, SS 2015 Donnerstag $Id: convex.tex,v /05/21 18:28:20 hk Exp $
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Technische Universität München Zentrum Mathematik. Übungsblatt 1
Techische Uiversität Müche Zetrum Mathematik Mathematik (Elektrotechik) Prof. Dr. Ausch Taraz Dr. Michael Ritter Übugsblatt Hausaufgabe Aufgabe. Bestimme Sie de Kovergezbereich M der folgede Reihe für
KAPITEL 11. Ungleichungen. g(x) g(x 0 ) + K 0 (x x 0 ).
KAPITEL 11 Ugleichuge 111 Jese-Ugleichug Defiitio 1111 Eie Fuktio g : R R heißt kovex, we ma für jedes x R ei K = K (x ) R fide ka, so dass für alle x R gilt: g(x) g(x ) + K (x x ) Bemerkug 111 Eie Fuktio
Lösung: Die Zahl ist die größte Zahl mit der in der Aufgabenstellung genannten Eigenschaft.
Ladeswettbewerb Mathematik ade-württemberg 005 Rude ufgabe Eie atürliche Zahl besteht aus paarweise verschiedee Ziffer, vo dee keie Null ist. Streicht ma i dieser Zahl eie beliebige Ziffer k, so ist die
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bschlussprüfug 0 a de Realschule i Bayer usterlösug Lösug Diese Lösug wurde erstellt vo orelia azebacher. ie ist keie offizielle Lösug des Bayerische taatsmiisteriums für Uterricht ud Kultus. ufgabe.0
... a ik) i=1...m, k=1...n A = = ( a mn
Zurück Stad: 4..6 Reche mit Matrize I der Mathematik bezeichet ma mit Matrix im Allgemeie ei rechteckiges Zahleschema. I der allgemeie Darstellug habe die Zahle zwei Idizes, de erste für die Zeileummer,
Abschlussprüfung 200X Wahlteil Mathematik I Aufgabe A 1
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Lösungen zum Thema Folgen und Reihen
Schülerzirkel Mathematik Fakultät für Mathematik. Uiversität Regesburg Lösuge zum Thema Folge ud Reihe Lösug zu Aufgabe 1. a) (a ) N ist eie arithmetische Folge mit d = 11 ud damit ist a 75 = 7 + (75 1)
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Formelsammlug Meßtechik Ihaltsverzeichis: Thema Bereiche Seite Ideale Messug Keliie ud Erklärug 3-2 Osetehler Keliie ud Erklärug 3-3 Absoluter Osetehler 3-3 Relativer Osetehler 3-3 Empidlichkeitsehler
DEFINITION Unter einer mxn-matrix versteht man ein rechteckiges Zahlenschema aus m Zeilen und n Spalten k k k Μ Μ Μ Μ Μ Μ Ο Μ
3 Matrize, Vektore ud Determiate 3. Matrix DEFINIION Uter eier mx-matrix versteht ma ei rechteckiges Zahleschema aus m Zeile ud Spalte. a a a Λ a 2 k a a a Λ a 22 2k 2 a a a Λ a 3 32 3k 3 Μ Μ Μ Μ Μ a a
Mathematik II Haupttermin Aufgabe A 1
50 Miute a de Realschule i ayer Mathematik II Haupttermi ufgabe.0 Gegebe ist ei Kreissektor mit M = M= 7cm ud der ogeläge» = 8cm (siehe Skizze). M. ereche Sie das Maß α des Mittelpuktswikels M des Kreissektors
Angewandte Mathematik (BHS) Berufsreifeprüfung Mathematik
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Abschlussprüfung 2014 an den Realschulen in Bayern
Prüfugsdauer: 150 Miute Name: Abschlussprüfug 014 a de Realschule i ayer Mathematik II Vorame: Klasse: Platzziffer: Pukte: Aufgabe A 1 Nachtermi A 10 Agler verwede sogeate Schwimmer, die a der Agelschur
provadis School of International Managemet & Technology
Testvorbereitug Mathematik, V9 Prof. Dr. L. Eicher provadis School of Iteratioal Maagemet & Techology Hiweis: Alle Aufgabe sid ohe Hilfsmittel zu löse.. Bereche Sie: a 7, b, c, d, e 7, f 4. Kürze Sie ud
Rudolf Steiner Schulen Hamburg, Schriftliche Realschulprüfung Mathematik am , Lösungen. Aufgabe 1 (ohne Taschenrechner) (insgesamt 34P)
Rudolf Steier Schule Hamburg, Schriftliche Realschulprüfug Mathematik am.4.3, Lösuge Aufgabe (ohe Tascherecher) (isgesamt 34P) Aufgabe. a) b) c) d) Zuordug, Bewertug: a) b) c) d) Summe: 7 Aufgabe. 373,5
Physikalische Grundlagen: Strahlengang durch optische Systeme
ieser Text ist ür iteressierte Leser gedacht, die sich über die klausur-relevate, physiologische Grudlage hiaus mit der Optik des Auges beschätige wolle! Physikalische Grudlage: Strahlegag durch optische
Numerische Integration (s. auch Applet auf
Numerische Itegratio (s. auch Applet auf www.mathematik.ch) Voraussetzuge ud Zielsetzug Voraussetzug: Eie Fuktio f sei auf dem abgeschlossee Itervall I = [a,b] stetig. b Gesucht: Bestimmtes Itegral J =
Abschlussprüfung 20XX Muster an den Realschulen in Bayern
Prüfugsdauer: 50 Miute Abschlussrüfug 0XX Muster a de Realschule i ayer Mathematik II Hilfsmittelfreier Teil Name: Vorame: Klasse: Platzziffer: Pukte: Aufgabeteil A Hauttermi A ereche Sie. a) vo 40 sid
4 Andreas Gathmann. x 2 +y 2 x 2 +y 2 x 2 +y 2
4 Adreas Gathma 1. Komplexe Zahle Bevor wir mit der komplexe Aalysis begie, wolle wir uächst die grudlegede Defiitioe ud Eigeschafte der komplexe Zahle och eimal kur wiederhole. Defiitio 1.1. Die Mege
4. Reihen Definitionen
4. Reihe 4.1. Defiitioe Addiere wir die Glieder eier reelle Zahlefolge (a k ), so heißt diese Summe S (uedliche) (Zahle-) Reihe S (Folge: Fuktio über N; Reihe: 1 Zahl): S := a 1 + a 2 + a 3 +... := Σ a