Unterlagen zur Vorlesung Algebra und Geometrie in der Schule: Grundwissen über Lineare Gleichungen. Sommersemester 2009.

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1 Uterlage zur Vorlesug Algebra ud Geometrie i der Schule: Grudwisse über Lieare Gleichuge Sommersemester 2009 Fraz Pauer INSTITUT FÜR MATHEMATIK, UNIVERSITÄT INNSBRUCK, TECHNIKERSTRASSE 25, 6020 INNSBRUCK, AUSTRIA

2 KAPITEL 4 Systeme liearer Gleichuge I diesem Kapitel werde mit m,, p,q immer positive gaze Zahle ud mit K ei Körper (zb Q, R oder C) bezeichet 1 Matrize Defiitio 1 : Eie m -Matrix mit Koeffiziete i K (oder eie m - Matrix über K) ist eie Fuktio A : {1,2,,m} {1,2,,} K, (i, j) A(i, j) Statt A(i, j) schreibe wir kurz A i j Eie Matrix wird üblicherweise als Familie A 11 A 12 A 1 A A = (A i j ) 1 i m = 21 A 22 A 2 1 j A m1 A m2 A m geschriebe A i j heißt der i j-te Koeffiziet vo A (oder Koeffiziet i der i-te Zeile ud j-te Spalte vo A) Als Kurzschreibweise wird A = (A i j ) i, j verwedet Astelle vo Matrix-Koeffiziete spricht ma auch vo Matrix-Eiträge Eie m 1-Matrix heißt eie m-spalte, eie 1 -Matrix eie -Zeile Die -Zeile heißt i-te Zeile vo A, die m-spalte A i := (A i1,a i2,,a i ) A 1 j A A j := 2 j A m j j-te Spalte vo A Die Zahl i bzw j heißt Zeileidex bzw Spalteidex des Matrix-Eitrages A i j Die Mege aller m -Matrize mit Koeffiziete i K wird mit K m bezeichet Matrize mit Koeffiziete i Z oder Q werde kurz gazzahlige oder ratioale Matrize geat 1

3 2 4 SYSTEME LINEARER GLEICHUNGEN 1 1-Matrize mit Koeffiziete i K werde üblicherweise mit de etsprechede Elemete vo K idetifiziert, dh K 1 1 = K, (A i j ) 1 i 1 = A 11 1 j 1 1 -Matrize mit Koeffiziete i K werde üblicherweise mit de etsprechede -Tupel i K idetifiziert, dh die Fuktioe ud A : {1} {1,,} K, (1,i) A(1,i), {1,,} K, i A(1,i), werde als gleich aufgefasst, obwohl ihre Defiitiosbereiche ({1} {1,,} ud {1,,}) icht gleich sid Defiitio 2 : Seie A,B K m ud r,s K Da heißt A 11 + B 11 A 1 + B 1 A + B := (A i j + B i j ) 1 i m = K m 1 j A m1 + B m1 A m + B m die Summe vo A ud B, ud r A := (ra i j ) 1 i m = 1 j ra 11 ra 1 K m ra m1 ra m heißt das r-fache vo A Wir schreibe im Folgede statt r A kurz ra Weiters vereibare wir, dass ra + sb immer (ra) + (sb) bedeutet (dh ra ud sb sid zuerst zu bereche, da die Summe vo ra ud sb) Satz 1 : (1) (K m,+) ist eie kommutative Gruppe, wobei das eutrale Elemet die m -Nullmatrix 0 K 0 K 0 = K m 0 K 0 K ud das zu A K m iverse Elemet A = ( A i j ) 1 i m K m 1 j ist (2) Für r,s K ud A,B K m ist (r + s)a = ra + sa

4 3 4 SYSTEME LINEARER GLEICHUNGEN ud r(a + B) = ra + rb (3) Für r,s K ud A K m ist (rs)a = r(sa) ud 1 K A = A Beweis: (1) Wir zeige ur die Assoziativität, die adere Eigeschafte eier Gruppe werde aalog bewiese Für A,B,C K m ist (A + B) +C = (A i j + B i j ) i, j + (C i, j ) i, j = ((A i j + B i j ) +C i j ) i, j = = (A i j + (B i j +C i j )) i, j = (A i j ) i, j + (B i j +C i j ) i, j = A + (B +C) aufgrud des Assoziativgesetzes für die Additio i K (2), (3) Übug Defiitio 3 : Für A K m ud B K p heißt A B := ( k=1 A ik B k j ) 1 i m K m p 1 j p das Produkt vo A ud B (sprich A mal B ) Oft wird statt A B ur AB geschriebe Zur Berechug des Koeffiziete (AB) i j = A ik B k j k=1 werde die Koeffiziete i der i-te Zeile vo A der Reihe ach mit de etsprechede Koeffiziete i der j-te Spalte vo B multipliziert ud aschließed alle diese Produkte addiert Im Spezialfall m = 1 ud p = 1, dh A ist eie -Zeile ud B eie - Spalte, ergibt sich B 1 AB = (A 1,,A ) = A 1 B A B = B A i B i Beispiel 1 : Ei Korb voller Ware werde durch die Zeile S := (S 1,,S ) Q 1 beschriebe, wobei S i die Stückzahl der Ware i im Korb agibt Sei P := Q 1, P wobei P i de Preis der Ware i i Euro agibt Da ist der Wert des gaze Korbs SP = P 1 S i P i Q

5 4 4 SYSTEME LINEARER GLEICHUNGEN Beispiel 2 : Die Ware 1,,m werde aus Rohstoffe 1,, hergestellt, die vo Lieferate 1,, p bezoge werde Für die Erzeugug der Ware i werde Q i j Eiheite des Rohstoffes j beötigt Der Preis des Rohstoffes j beim Lieferate k beträgt P jk Setzt ma Q := (Q i j ) i, j Q m ud P := (P jk ) j,k Q p, da ist (QP) ik = Q i j P jk j=1 der Gesamtpreis der Rohstoffe für Ware i beim Lieferate k Solle jeweils S i Stück der Ware i produziert werde ud setzt ma S = (S 1,,S m ) Q 1, da ist (SQ) 1 j die Azahl der isgesamt beötigte Eiheite vo Rohstoff j ud ((SQ)P) 1k ist der Preis bei Lieferat k für alle beötigte Rohstoffe Satz 2 : Die Matrizemultiplikatio ist assoziativ, dh für Matrize A K m, B K p ud C K p q gilt (AB)C = A(BC) Beweis: Da AB eie m p-matrix ud BC eie q-matrix ist, sid sowohl (AB)C als auch A(BC) m q-matrize Für 1 i m ud 1 j q ist ((AB)C) i j = = = p k=1 p k=1 l=1 (AB) ik C k j = A il B lk C k j = p k=1( l=1 p l=1 k=1 ( p ) il B lk C k j = l=1a k=1 = (A(BC)) i j A il B lk )C k j A il B lk C k j A il (BC) l j l=1 Defiitio 4 : Für Elemete i, j eier beliebige Idexmege ist das Kroecker-Delta i K { 1 K falls i = j ist, δ i j := 0 K falls i j ist

6 5 4 SYSTEME LINEARER GLEICHUNGEN Die Matrix I := (δ i j ) 1 i = 1 j heißt -Eiheitsmatrix K Satz 3 : Für eie beliebige Matrix A K m ist I m A = A ud AI = A Beweis: Für 1 i m ud 1 j ist (I m A) i j = m k=1 δ ika k j = A i j, also I m A = A Aalog beweist ma AI = A Satz 4 : Für A,B K m ud C K p gilt (A + B)C = AC + BC Für A K m ud B,C K p gilt A(B +C) = AB + AC Für A K m, B K p ud r K gilt r(ab) = (ra)b = A(rB) Beweis: Übug Satz 5 : (K,+, ) ist ei Rig mit Eiselemet I Wege ( )( ) ( ) = aber ( )( ) = ist K im Allgemeie icht kommutativ ( ) Beweis: Die Behauptug folgt aus Satz 1, Satz 2, Satz 3 ud Satz 4 Defiitio 5 : Eie Matrix A K heißt ivertierbar, we es eie Matrix B K gibt mit AB = I ud BA = I

7 6 4 SYSTEME LINEARER GLEICHUNGEN I diesem Fall et ma B die zu A iverse Matrix ud schreibt B = A 1 Sei GL (K) := {A K A ivertierbar} Nach Satz?? ist (GL (K), ) eie Gruppe, sie heißt allgemeie lieare Gruppe (auf Eglisch geeral liear group ) 2 Elemetare Umformuge Defiitio 6 : Seie 1 k m ud 1 l Da heißt die Matrix E kl K m mit Koeffiziete { 1 K falls i = k ud j = l ist, (E kl ) i j := δ ik δ jl = 0 K falls i k oder j l ist, eie Stadard-Matrix vo K m Zum Beispiel sid die Stadard-Matrize vo Q 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) E 11 =, E =, E = ud E = 0 1 Im Spezialfall m = 1 (oder = 1) schreibt ma statt E 1l (bzw E k1 ) kurz e l (bzw e k ) Zum Beispiel sid die Stadard-Zeile vo Q 1 3 e 1 = (1,0,0), e 2 = (0,1,0) ud e 3 = (0,0,1) ud die Stadard-Spalte vo Q 2 1 sid ( ( 1 0 e 1 = ud e 0) 2 = 1) Satz 6 : Für E kl K m m, A K m ud 1 i m ist { A (E kl A) i = l falls i = k ist, 0 falls i k ist Beweis: Sei 1 j Da ist (E kl A) i j = m p=1 (E kl ) ip A p j = m δ ki δ lp A p j = p=1 { A = δ ki A l j = l j falls i = k ist, 0 falls i k ist

8 7 4 SYSTEME LINEARER GLEICHUNGEN Defiitio 7 : Die folgede Matrize heiße Elemetarmatrize i K : Typ 1: I + re kl, wobei r K ud k l ist, Typ 2: I E kk E ll + E kl + E lk, wobei k l ist, Typ 3: I + (t 1)E kk, wobei t K ivertierbar ist Zum Beispiel sid (1 ) 2, 0 1 ( ) 0 1, 1 0 ( ) 1 0 Q Elemetarmatrize vom Typ 1, Typ 2 bzw Typ 3 Satz 7 : Sei A K m ud seie P K m m sowie Q K Elemetarmatrize Da erhält ma PA aus A, idem ma Typ 1: zur k-te Zeile vo A das r-fache der l-te Zeile addiert, Typ 2: die k-te ud l-te Zeile vo A vertauscht, Typ 3: die k-te Zeile vo A mit t multipliziert Diese Umformuge der Matrix A heiße elemetare Zeileumformuge Aalog erhält ma AQ aus A, idem ma Typ 1: zur l-te Spalte vo A das r-fache der k-te Spalte addiert, Typ 2: die k-te ud l-te Spalte vo A vertauscht, Typ 3: die k-te Spalte vo A mit t multipliziert Diese Umformuge der Matrix A heiße elemetare Spalteumformuge Beweis: Für P = I + re kl, wobei r K ud k l, ist PA = (I + re kl )A = A + re kl A Nach Satz 6 ist { ra (re kl A) i = l falls i = k ist, 0 falls i k ist Die adere Fälle beweist ma aalog We eie elemetare Zeileumformug vo A K m durchgeführt wird, etspricht das der Multiplikatio (vo liks) eier gewisse Elemetarmatrix P K m m mit A Wege P I m = P erhält ma diese Elemetarmatrix, idem ma diese elemetare Umformug a der Eiheitsmatrix I m durchführt Zum Beispiel ist die Elemetarmatrix i Q 2 2, die der elemetare Umformug addiere zur erste Zeile eier Matrix dere 4-fache zweite Zeile etspricht, jee Matrix, die ma erhält, idem ma zur erste Zeile der Eiheitsmatrix i Q 2 2 ihre 4-fache zweite Zeile addiert: ( )

9 8 4 SYSTEME LINEARER GLEICHUNGEN Satz 8 : Elemetarmatrize sid ivertierbar, geauer gilt: Typ 1: (I + re kl ) 1 = I re kl Typ 2: (I E kk E ll + E kl + E lk ) 1 = I E kk E ll + E kl + E lk Typ 3: (I + (t 1)E kk ) 1 = I + (t 1 1)E kk Somit köe alle elemetare Zeile- oder Spalteumformuge eier beliebige Matrix durch elemetare Zeile- oder Spalteumformuge wieder rückgägig gemacht werde Beweis: Die Matrix (I re kl )(I + re kl ) = (I re kl )[(I + re kl )I ] erhält ma aus I, idem ma zuerst zur k-te Zeile das r-fache der l-te Zeile addiert ud aschließed das r-fache der l-te Zeile subtrahiert Daher ist (I re kl )(I + re kl ) = I Die adere Fälle beweist ma aalog Ist P eie Elemetarmatrix, so bekommt ma A aus B := PA wieder zurück, idem ma B vo liks mit P 1 multipliziert 3 Systeme liearer Gleichuge Defiitio 8 : Ei System liearer Gleichuge mit Koeffiziete i K ist eie Aufgabe: Gegebe sid eie Matrix A K m ud eie Spalte b K m 1 Gesucht ist eie gute Beschreibug der Mege L(A,b) := {x x K 1 mit Ax = b} aller -Spalte x (mit Koeffiziete i K), für die Ax = b ist Die Mege L(A,b) heißt Lösugsmege des durch A ud b gegebee Systems liearer Gleichuge Ihre Elemete heiße Lösuge dieses Systems Das durch A ud b gegebee System liearer Gleichuge heißt homoge, we b die Nullspalte ist, asoste ihomoge Ohe Matrize ka ma das so formuliere: Gegebe sid Elemete A i j K ud b i K für 1 i m ud 1 j Gesucht ist eie gute Beschreibug der Mege aller -Tupel (x 1,,x ) mit Kompoete i K, für die A 11 x 1 + A 12 x A 1 x = b 1 A 21 x 1 + A 22 x A 2 x = b 2 ist A m1 x 1 + A m2 x A m x = b m

10 9 4 SYSTEME LINEARER GLEICHUNGEN Das durch A K m ud b K m 1 gegebee System liearer Gleichuge wird kurz mit (A,b) oder Ax = b bezeichet Die Zahl m heißt die Azahl der Gleichuge, die Zahl die Azahl der Ubekate We 0 bzw 0 m die Nullspalte i K 1 bzw K m 1 ist, da ist A0 = 0 m, also hat ei homogees System liearer Gleichuge immer midestes eie Lösug, ämlich die Nullspalte Higege gibt es ihomogee Systeme liearer Gleichuge ohe Lösug, zum Beispiel x 1 + x 2 = 0 2x 1 + 2x 2 = 1 Beispiel 3 : Es soll eie Legierug aus b i Gramm der Metalle M i, 1 i m, hergestellt werde Zur Verfügug stehe Legieruge L 1,,L der Metalle M 1,,M m, wobei 1 Gramm der Legierug L j jeweils A i j Gramm des Metalls M i ethält Wieviele Gramm vo L 1,,L müsse für die gewüschte Legierug verschmolze werde? Wir ehme dabei a, dass beim Verschmelze der Legieruge die Masse erhalte bleibt Das Verschmelze vo x 1,,x Gramm der Legieruge L 1,,L ergibt da eie Legierug mit jeweils A i j x j j=1 Gramm des Metalls M i Gesucht ist somit L(A,b) Defiitio 8 ist och uvollstädig, weil wir och icht präzise vereibart habe, was eie gute Beschreibug vo L(A,b) ist Um diese Defiitio zu vervollstädige, brauche wir ei paar Vorüberleguge Grudleged dafür sid zwei eifache Beobachtuge, die wir i de Sätze 9 ud 10 formuliere: Satz 9 : Seie (A, b) ei System liearer Gleichuge mit Koeffiziete i K ud z irgedeie Lösug davo (Wir ehme also isbesodere a, dass L(A,b) icht leer ist) Da ist L(A,b) = {z + v v L(A,0)} Beweis: Sei v L(A,0) Da ist A(z + v) = Az + Av = b + 0 = b, also z + v L(A,b) Sei y L(A,b) Da ist A(y z) = Ay Az = b b = 0, also y z L(A,0) ud y = z + (y z) {z + v v L(A,0)}

11 10 4 SYSTEME LINEARER GLEICHUNGEN Um die Lösugsmege eies ihomogee Systems liearer Gleichuge (A,b) zu beschreibe, geügt es somit, ur eie Lösug zu fide ud die Lösugsmege des homogee lieare Gleichugssystems (A, 0) zu beschreibe Satz 10 : Seie A K m, r,s K ud v,w L(A,0) Da ist auch rv + sw L(A,0) Beweis: A(rv + sw) = r(av) + s(aw) = = 0 Für die Lösugsmege L eies Systems liearer Gleichuge gilt geau eie der folgede drei Aussage: (1) L ist leer ( es gibt keie Lösug ) (2) L ethält geau ei Elemet ( eie Lösug existiert ud ist eideutig bestimmt ) (3) L ethält midestes zwei Elemete Im Fall (2) wird L durch die Agabe der eideutig bestimmte Spalte, die Lösug des gegebee Systems liearer Gleichuge ist, gut beschriebe Im Fall (3) ist das aber schwieriger We K uedlich ist (zb K = Q), da ethält L im Fall (3) ach Satz 9 ud Satz 10 uedlich viele Elemete Wie köe wir L da durch edlich viele Date beschreibe? Um diese Frage zu beatworte, führe wir im ächste Abschitt die Begriffe Vektorraum ud Basis ei 4 Vektorräume Beim Reche mit m -Matrize mit Koeffiziete i eiem Körper K habe wir zwei Recheoperatioe keegelert: (1) Die Additio vo zwei m -Matrize, (2) Die Multiplikatio eies Elemetes vo K (eies Skalars ) mit eier m -Matrix Im Satz 1 wurde die dafür geltede Recheregel agegebe Defiitio 9 : Sei V eie Mege ud seie + : V V V sowie : K V V Fuktioe Wir schreibe statt +(v,w) kurz v + w ud statt (r,v) kurz r v oder ur rv Das Tripel (V,+, ) ist ei Vektorraum über K, we die folgede drei Bediguge erfüllt sid: (1) (V,+) ist eie abelsche Gruppe (2) Für alle r,s K ud für alle v,w V ist r(v + w) = (rv) + (rw) ud (r + s)v = (rv) + (sv)

12 11 4 SYSTEME LINEARER GLEICHUNGEN (3) Für alle r,s K ud für alle v V ist (rs)v = r(sv) ud 1 K v = v Ist (V,+, ) ei Vektorraum über K, da heiße die Elemete vo V Vektore, die Elemete vo K Skalare, + Additio ud Skalarmultiplikatio Statt (V, +, ) wird oft ur V geschriebe Das eutrale Elemet vo (V,+) wird mit 0 V bezeichet ud heißt der Nullvektor Ei Vektor v heißt ei skalares Vielfaches eies Vektors w, we es ei Elemet r K gibt mit v = rw I diesem Fall sagt ma auch, daß v das r-fache vo w ist Ma beachte, dass der Begriff Vektor erst ach dem Begriff Vektorraum eigeführt werde ka, so wie der Begriff Tiroler erst ach dem Begriff Tirol eigeführt werde ka Die Eigeschafte vo Vektore köe kurz so beschriebe werde: Vektore köe miteiader addiert ud mit Skalare multipliziert werde Dabei gelte gewisse Recheregel Ei Beispiel aus der Physik: alle Kräfte, die i eiem vorgegebee Pukt agreife, bilde eie Vektorraum, weil sie addiert ud mit Zahle multipiziert werde köe ud dabei obige Recheregel gelte Daher sid solche Kräfte Vektore Die Additio ud die Skalarmultiplikatio vo m -Matrize mit Koeffiziete i eiem Körper erfülle die Recheregel eies Vektorraums Daher: Matrize sid Vektore Die Additio ud die (Skalar-)Multiplikatio vo ratioale Zahle erfülle die Recheregel eies Vektorraums Daher: Ratioale Zahle sid Vektore Satz 11 : Die Mege K = {(a 1,,a ) a 1,,a K} aller -Tupel i K mit der kompoeteweise Additio (a 1,,a ) + (b 1,,b ) := (a 1 + b 1,,a + b ) ud der kompoeteweise Skalarmultiplikatio r(a 1,,a ) := (ra 1,,ra ) ist ei Vektorraum über K ud heißt Stadard-Vektorraum über K der Dimesio I diesem Vektorraum ist 0 V = (0,,0) ud (a 1,,a ) = ( a 1,, a ) Beweis: Übug Beispiel 4 : Ei Kaufhaus bietet Ware a Sei U i j die Azahl der am Tag i verkaufte Eiheite der Ware j Da gibt U i = (U i1,,u i ) K

13 12 4 SYSTEME LINEARER GLEICHUNGEN de Umsatz am Tag i a, ( k U 1 + +U k = U i1,, ist der Umsatz vom erste bis zum k-te Tag, ud k U i ) 1 k (U 1 + +U k ) K ist der durchschittliche Tagesumsatz währed der erste k Tage Satz 12 : Seie V ei Vektorraum über K, r K ud v V Da gilt: (1) Es ist rv = 0 geau da, we r = 0 oder v = 0 ist (2) ( r)v = r( v) = (rv) Beweis: (1) Aus 0 V + 0 K v = 0 K v = (0 K + 0 K )v = 0 K v + 0 K v folgt 0 V + 0 K v 0 K v = 0 K v + 0 K v 0 K v ud daher 0 K v = 0 V Ebeso folgt aus 0 V + r0 V = r0 V = r(0 V + 0 V ) = r0 V + r0 V, dass r0 V = 0 V ist We umgekehrt rv = 0 aber r 0 ist, da ist r ivertierbar, weil K ei Körper ist, ud v = 1 K v = (r 1 r)v = r 1 (rv) = r 1 0 V = 0 V (2) Wege (rv)+( r)v = [r+( r)]v = 0 K v = 0 V ist (rv) = ( r)v Wege (rv) + (r( v)) = r[v + ( v)] = r0 V = 0 V ist (rv) = r( v) Defiitio 10 : Sei V ei Vektorraum über K Eie Teilmege U vo V heißt Utervektorraum vo V, we die folgede drei Bediguge erfüllt sid: (1) 0 V U (2) Sid zwei Vektore u,v Elemete vo U, da auch ihre Summe u + v (3) Ist ei Vektor v Elemet vo U, da auch alle seie skalare Vielfache rv, r K Ma schreibt da U K V oder kurz U V Beispiel 5 : Sei V ei Vektorraum über eiem Körper K Da sid {0}, V ud Kv := {cv c K} (für jede Vektor v V ) Utervektorräume vo V

14 13 4 SYSTEME LINEARER GLEICHUNGEN Satz 13 : Seie (V,+, ) ei Vektorraum über K ud W ei Utervektorraum vo V Da ist W mit W W W, (u,w) u + w, ud K W W, (c,w) c w, selbst ei Vektorraum über K Beweis: Übug Satz 14 : Die Lösugsmege eies homogee Systems liearer Gleichuge mit der kompoeteweise Additio ud Skalarmultiplikatio ist ei Vektorraum (Aders formuliert: Die Nullspalte ist eie Lösug, die Summe zweier Lösuge ist wieder eie Lösug ud alle skalare Vielfache vo Lösuge sid wieder Lösuge) Beweis: Folgt aus Satz 10 5 Erzeugedesysteme, lieare Uabhägigkeit ud Base Defiitio 11 : Seie V ei Vektorraum über K ud v 1,,v Vektore i V Ei Vektor w V heißt eie Liearkombiatio vo v 1,,v, we es Elemete c 1,,c i K gibt, sodass w = c 1 v 1 + c 2 v c v (= c i v i ) ist Die Elemete c 1,,c heiße Koeffiziete vo w bezüglich v 1,,v Die Mege { c i v i c 1,,c K} aller Liearkombiatioe vo v 1,,v ist ei Utervektorraum vo V (achprüfe), ethält v 1,,v ud heißt der vo v 1,,v erzeugte Utervektorraum vo V Er wird mit bezeichet K v 1,,v oder Kv i Defiitio 12 : Sei V {0} ei Vektorraum über K Ei -Tupel (v 1,,v ) vo Vektore i V heißt geau da ei Erzeugedesystem vo V bzw liear uabhägig i V bzw eie Basis vo V, we jeder Vektor i V auf midestes eie bzw höchstes eie bzw geau eie Weise als Liearkombiatio vo (v 1,,v ) geschriebe werde ka Wir schreibe liear abhägig astatt icht liear uabhägig

15 14 4 SYSTEME LINEARER GLEICHUNGEN Satz 15 : Sei A K m ud y K 1 (1) Die Spalte Ay ist die Liearkombiatio der Spalte A 1,,A mit Koeffiziete y 1,,y, das heißt Ay = y 1 A 1 + y A (2) L(A,0) ethält geau da ur ei Elemet (ud zwar 0 K 1 ), we das -Tupel der Spalte (A 1,,A ) liear uabhägig ist (3) Für b K m 1 hat das lieare Gleichugssystem (A,b) geau da eie Lösug, we b ei Elemet des vo de Spalte vo A erzeugte Utervektorraums vo K m 1 ist (4) Das -Tupel (A 1,,A ) der Spalte vo A ist geau da eie Basis vo K m 1, we für jede Spalte b K m 1 das System liearer Gleichuge (A,b) geau eie Lösug hat Beweis: (1) ist leicht achzureche, (2), (3) ud (4) folge aus (1) Satz 16 : Sei V {0} ei Vektorraum über K ud (v 1,,v ) ei -Tupel vo Vektore i V (1) Eie Basis vo V ist ei liear uabhägiges Erzeugedesystem (2) Das -Tupel (v 1,,v ) vo Vektore ist geau da ei Erzeugedesystem vo V, we K v 1,,v = V ist (3) Das -Tupel (v 1,,v ) vo Vektore ist geau da liear uabhägig, we für jedes -Tupel (c 1,,c ) K aus folgt, dass ist c i v i = 0 c 1 = c 2 = = c = 0 Beweis: (1) ud (2) folge aus der Defiitio der Begriffe Erzeugedesystem, liear uabhägig ud Basis (3) We sich jeder Vektor aus V auf höchstes eie Weise als Liearkombiatio vo (v 1,,v ) schreibe lässt, da folgt aus c i v i = 0 V = 0 K v i

16 15 4 SYSTEME LINEARER GLEICHUNGEN auf Grud der Eideutigkeit c i = 0 K für 1 i Sei umgekehrt (v 1,,v ) liear uabhägig i V ud w V so, dass es ei -Tupel (c 1,,c ) K mit w = c i v i gibt Falls (d 1,,d ) K eie weiteres -Tupel mit ist, erhält ma 0 V = w w = w = c i v i d i v i d i v i = (c i d i )v i Nach Aahme folgt c i d i = 0 K für 1 i, also c i = d i für 1 i Beispiel 6 : Sei V ei Vektorraum über K Ei eizeler Vektor v V ist liear uabhägig geau da, we v 0 ist, weil aus rv = 0 ach Satz 12 r = 0 oder v = 0 folgt Satz 17 : Das m -Tupel (E 11,,E 1,E 21,,E 2,,E m1,,e m ) der Stadard-Matrize (siehe Defiitio 6) ist eie Basis vo K m ud heißt die Stadardbasis vo K m Isbesodere ist das -Tupel (e 1,,e ) der Stadard-Zeile (siehe Defiitio 6) eie Basis vo K ud heißt die Stadardbasis vo K Beweis: Da für eie beliebige Matrix A K m A = 1 k m 1 l A kl E kl ist, ist das m -Tupel (E 11,,E 1,E 21,,E 2,,E m1,,e m ) ei Erzeugedesystem vo K m Um die lieare Uabhägigkeit zu zeige, ehme wir a, dass für gewisse c kl K 1 k m 1 l c kl E kl = 0 ist Da folgt für alle 1 i m ud 1 j 0 = c kl (E kl ) i j = c i j, 1 k m 1 l

17 16 4 SYSTEME LINEARER GLEICHUNGEN was zu zeige war Defiitio 13 : Sei V ei Vektorraum über K, w V ud (v 1,,v ) eie Basis vo V Das eideutig bestimmte -Tupel (c 1,,c ) vo Skalare mit w = heißt das Koordiate--Tupel des Vektors w bezüglich der Basis (v 1,,v ) Das Elemet c i K heißt die Koordiate vo w beim Basisvektor v i (oder die i-te Koordiate vo w bezüglich der Basis (v 1,,v )) Die Spalte c 1 c i v i K 1 c heißt Koordiatespalte des Vektors w bezüglich der Basis (v 1,,v ) Satz 18 : Sei V ei Vektorraum über K ud (v 1,,v ) eie Basis vo V Seie w 1,,w m V ud T 1,,T m dere Koordiatespalte bezüglich (v 1,,v ) (1) Seie c 1,,c K Die Koordiatespalte vo m c iw i bezüglich (v 1,,v ) ist m c it i ( Die Koordiatespalte der Liearkombiatio ist die Liearkombiatio der Koordiatespalte ) (2) Das m-tupel (w 1,,w m ) ist geau da ei Erzeugedesystem vo V bzw liear uabhägig i V bzw eie Basis vo V, we das etsprechede für das m-tupel (T 1,,T m ) seier Koordiatespalte gilt Beweis: (1) ist leicht achzuprüfe, (2) folgt aus (1) Beispiel 7 : Sei V ei Vektorraum über K ud (v 1,,v ) V eie Basis vo V Seie w 1,,w l V, u V ud c K 1 die Koordiatespalte vo u bezüglich (v 1,,v ) Die Aufgabe Überprüfe, ob u eie Liearkombiatio vo (w 1,,w l ) ist ud - we ja - bereche ei (oder alle) l-tupel (d 1,,d l ) mit u = l j=1 d jw j ka als System liearer Gleichuge betrachtet werde: Sei T die l-matrix, dere Spalte T 1,,T l die Koordiatespalte der Vektore w 1,,w l bezüglich der Basis (v 1,,v ) sid Gesucht ist eie l-spalte (oder alle l-spalte) d K l 1 so, dass c i v i = u = l d j w j = j=1 ( l j=1 T i j d j )v i

18 17 4 SYSTEME LINEARER GLEICHUNGEN ist Daher ist eie solche Spalte d eie Lösug des Systems liearer Gleichuge (T,c) Nach Eiführug des Begriffes Basis ka die Defiitio eies Systems liearer Gleichuge (A,b) präzisiert werde Eie gute Beschrei- bug vo L(A,b) fide heißt: Bereche irgedeie Lösug vo (A,b) ud eie Basis des Lösugsraums vo (A,0) Ma beachte, dass damit ur edlich viele Date zu bereche sid, diese bestimme aber vollstädig die (möglicherweise uedliche) Lösugsmege L(A,b) 6 Der Gauss-Algorithmus Wir werde u eie Methode zum Löse eies Systems liearer Gleichuge (A, b) keelere Zuächst betrachte wir eie Spezialfall, i dem die Matrix A eie besoders eifache Gestalt hat I diesem Fall köe wir die Lösugsmege direkt aschreibe (Satz 19) Daach werde wir de allgemeie Fall auf de eifache Fall zurückführe, idem wir die Date (A, b) schrittweise so veräder, dass die geäderte Date (A,b ) schließlich die eifache Gestalt habe ud L(A,b) = L(A,b ) ist (Satz 21 ud Satz 23) De Übergag vo de Date (A,b) zu (A,b ) et ma die Gleichuge umforme Gilt dabei L(A,b) = L(A,b ), da sid die Umformuge erlaubt Defiitio 14 : Eie Matrix A K m hat Stufeform, we die folgede vier Bediguge erfüllt sid: (1) Ist A i = 0, da sid auch A (i+1) = = A m = 0 (2) Der (vo liks gelese) erste Koeffiziet 0 i jeder Zeile heißt Pivot ud ist 1 (3) Der Pivot vo Zeile i + 1 steht rechts vom Pivot vo Zeile i (4) Der Pivot jeder Zeile ist der eizige Koeffiziet 0 i seier Spalte Eie Matrix i Stufeform hat die Gestalt , wobei die Stere für beliebige Elemete vo K stehe

19 18 4 SYSTEME LINEARER GLEICHUNGEN Defiitio 15 : Der Spalteraum bzw Zeileraum eier Matrix mit m Zeile ud Spalte ist der Utervektorraum vo K m 1 bzw K 1, der vo de Spalte bzw Zeile dieser Matrix erzeugt wird Beispiel 8 : A K m sei eie Matrix i Stufeform mit r Pivots Da ist das r-tupel (e 1,,e r ) der erste r Stadard-Spalte i K m 1 eie Basis des Spalteraums vo A We p 1,, p r die Spalteidizes der Pivots sid, da ist ud 1 A p1 = e 1 = 0,,A 0 p r = e r = A l = r A il e i = r A il A pi 1 Satz 19 : Sei (A,b) ei System liearer Gleichuge über K mit A K m i Stufeform Sei r die Azahl der Pivots p 1 < p 2 < < p r die Spalteidizes der Pivots ud {q 1,,q r } := {1,,} \ {p 1,, p r } Da gilt: (1) L(A,b) ist geau da icht leer, we für alle i > r gilt: b i = 0 I diesem Fall ist 0 0 b 1 z := 0 L(A,b), 0 b r 0 0 wobei die Elemete b 1,,b r i de Zeile mit Idex p 1,, p r stehe

20 19 4 SYSTEME LINEARER GLEICHUNGEN (2) Sei w j := 0 0 A 1q j A rq j 0 0, 1 j r, wobei die Elemete A 1q j,, A rq j i de Zeile mit Idex p 1,, p r sowie 1 i der Zeile mit Idex q j stehe Da ist (w 1,,w r ) eie K-Basis vo L(A,0) Beweis: Seie e 1,,e m die Stadardspalte vo K m 1 Da ist A p1 = e 1,,A pr = e r (1) We L(A,b) icht leer ist, da gibt es ei y mit Ay = b, ud es folgt b i = A i y = 0 für i > r Sei umgekehrt b i = 0 für i > r Sei z K 1 Nach Satz 15 ist Az = b geau da, we r b i e i = b = z i A i = r r z pi A pi + z qi A qi = r r z pi e i + z qi A qi ist Wählt ma daher z qi := 0 für 1 i r ud z pi := b i, 1 i r, da ist Az = b (2) Für 1 j ist also A j = r A j A i j e i = r r A i j A pi, A i j A pi = 0 Nach Satz 15 ist also w j L(A,0) Seie t 1,,t r K Für 1 j r ist da die q j -te Kompoete der Spalte r t iw i gleich t j We die Liearkombiatio gleich 0 ist, müsse auch alle t j, 1 j r gleich 0 sei Daher ist (w 1,,w r ) liear uabhägig

21 20 4 SYSTEME LINEARER GLEICHUNGEN Es bleibt och zu zeige, dass jedes v L(A, 0) als Liearkombiatio vo (w 1,,w r ) geschriebe werde ka Wir zeige dazu, dass ist Für 1 i r ist r ( j=1 v = v q j w j ) qi = r v q j w j j=1 r v q j δ i j = v qi, j=1 es geügt also zu zeige, dass ( r j=1 v q j w j ) pi = v pi ist, 1 i r Aus Av = 0 folgt für alle i r: Somit gilt für 1 i r v pi = 0 = A i v = r j=1 ( A i j )v q j = r A i j v j = v pi + A i j v q j j=1 j=1 r j=1 (w j ) pi v q j = ( r j=1 v q j w j ) pi Beispiel 9 : Der Lösugsmege der lieare Gleichug ((1 a 2 a 3 a ),(b 1 )) (oder, aders geschriebe, x 1 + a 2 x 2 + a 3 x a x = b 1 ) ist b 1 a 2 a 3 a { 0 +c 1 0 +c 2 ++c 1 0 c 1,,c 1 K} User ächstes Ziel ist es, beliebige Systeme liearer Gleichuge zu löse Ei erster Schritt dazu ist der folgede Satz Satz 20 : Sei (A,b) ei System liearer Gleichuge mit A K m Da gilt für alle P GL m (K) L(PA,Pb) = L(A,b) Beweis: Ist y L(A,b), da ist Ay = b, also auch PAy = Pb ud y L(PA,Pb) Daher ist L(A,b) eie Teilmege vo L(PA,Pb) Ist y L(PA,Pb), da ist PAy = Pb, also auch Ay = P 1 PAy = P 1 Pb = b ud y L(A,b) Daher ist L(PA,Pb) eie Teilmege vo L(A,b)

22 21 4 SYSTEME LINEARER GLEICHUNGEN Satz 20 legt ahe, zu eiem gegebee System liearer Gleichuge (A,b) eie ivertierbare Matrix P zu suche, sodass das System (PA,Pb) Stufeform hat Da ka die Lösugsmege mit Satz 19 bestimmt werde Satz 21 : Jede Matrix A K m ka durch elemetare Zeileumformuge auf Stufeform gebracht werde, geauer gesagt gibt es eie Matrix P GL m (K), die Produkt vo höchstes m Elemetarmatrize ist, sodass PA Stufeform hat Diese Matrix PA ka mit dem folgede Algorithmus berechet werde (Gauss-Elimiatio): (1) Setze C := A, i := 1 ud j := 1 (2) Falls C i j 0 ist, gehe zu Schritt 4 Asoste suche ei k {i + 1,,m} mit C k j 0 (3) Falls es kei k {i + 1,,m} mit C k j 0 gibt, erhöhe j um 1 ud wiederhole Schritt 2 Asoste vertausche die i-te ud k-te Zeile vo C ud ee die eue Matrix wieder C (Da ist C i j 0) (4) Multipliziere die i-te Zeile vo C mit Ci 1 j ud ee die eue Matrix wieder C (Da ist C i j = 1) (5) Für l {1,,m} \ {i} mit C l j 0 subtrahiere das C l j -fache der i-te Zeile vo der l-te Zeile ud ee die eue Matrix wieder C (Da ist C j = e i ) (6) Erhöhe i ud j um 1 ud gehe zu Schritt 2 Der Algorithmus wird abgebroche, sobald i > m oder j > ist Da hat die Matrix C Stufeform Beweis: Der Algorithmus bricht ach höchstes Durchläufe ab, weil i jedem Durchlauf j um 1 erhöht wird Seie P 1,,P s die Elemetarmatrize zu de im Algorithmus der Reihe ach durchgeführte elemetare Zeileumformuge Da pro Durchlauf höchstes m elemetare Zeileumformuge durchgeführt werde, ist s m Nach Satz 7 erhält ma am Ede des Algorithmus die Matrix ud ach Satz 8 ist (P s (P 2 (P 1 A))) = (P s P 2 P 1 )A, P := P s P 2 P 1 GL m (K) Schließlich hat die Matrix PA Stufeform, weil i jedem Durchlauf die erste j 1 Spalte icht mehr verädert werde ud i der j-te Spalte etspreched umgeformt wird

23 22 4 SYSTEME LINEARER GLEICHUNGEN Der Beweis zeigt, dass ma die Matrix P erhält, idem ma die elemetare Zeileumformuge icht ur auf A, soder auch auf die Eiheitsmatrix I m awedet: (A I m ) (P 1 A P 1 I m ) (P s P 1 A P s P 1 I m ) = (PA P) Satz 22 : Sei A K m m Auf die folgede Weise ka überprüft werde, ob A ivertierbar ist ud, we ja, die zu A iverse Matrix A 1 berechet werde: Brige A durch Gauss-Elimiatio auf Stufeform, wobei die elemetare Zeileoperatioe auch auf die Eiheitsmatrix agewedet werde: (A I m ) (PA P) Da ist A ivertierbar geau da, we PA = I m A 1 = P ist I diesem Fall ist Beweis: We A ivertierbar ist, da sid A,P GL m (K) ud somit auch B := PA GL m (K) Da B Stufeform hat, ist B = I m oder B m = 0 Aus B m = 0 würde aber 0 = B m (B 1 ) m = (BB 1 ) mm = 1, folge, also muss B = I m sei Umgekehrt folgt aus PA = I m auch AP = P 1 (PA)P = I m ud somit P = A 1 Beispiel 10 : Die Matrix ( ) a b A := c d ist geau da ivertierbar, we ad bc 0 ist I diesem Fall ist ( ) A 1 := (ad bc) 1 d b c a Satz 23 : Ei System liearer Gleichuge (A,b) über dem Körper K ka gelöst werde, idem ma die Matrix A durch Gauss-Elimiatio auf Stufeform brigt ud b mittrasformiert Dazu führt ma die elemetare Zeileumformuge a der erweiterte Matrix (A b) aus ud erhält (PA Pb) Da ist L(A,b) = L(PA,Pb), ud L(A,b) ka ach Satz 19 berechet werde Isbesodere gibt es geau da geau eie Lösug, we ( ( I c PA = ud Pb = 0) 0)

24 23 4 SYSTEME LINEARER GLEICHUNGEN mit c K 1 ist Die eideutige Lösug ist da c 1 c We A sogar ivertierbar ist, da hat (A,b) die eideutige Lösug A 1 b Beweis: Die Behauptug folgt aus Satz 20 ud Satz 19 Satz 24 : Ei homogees System liearer Gleichuge (A, 0) über dem Körper K hat immer die triviale Lösug 0 We A K m mit m < ist, dh es sid weiger Gleichuge als Ubekate vorhade, da gibt es auch eie Lösug, die icht trivial ist Beweis: We m < ist, da ka PA K m icht die Form ( I 0) habe, ud ach Satz 23 gibt es mehr als eie Lösug 7 Kirchhoff sche Gesetze ud Systeme liearer Gleichuge Mit de Methode vo 6 ka die folgede Aufgabe aus der Elektrotechik gelöst werde I der folgede Schaltug sid die Spauge U q1 ud U q2, sowie die Widerstäde R 1,R 2,R 3,R 4,R 5 bekat Gesucht sid die Ströme I 1,I 2,I 3,I 4,I 5 durch die Widerstäde R 1,R 2,R 3,R 4,R 5 Die Spaug wird i Volt (V ), die Stromstärke i Ampère (A) ud der Widerstad i Ohm (Ω) gemesse K 1 U q1 R 5 R 2 R 4 R 1 U q2 K 2 R K3 3

25 24 4 SYSTEME LINEARER GLEICHUNGEN Wir beschreibe diese Aufgabe als System liearer Gleichuge Für die Modellierug brauche wir die folgede physikalische Gesetze: Ohm sches Gesetz R I = U (Widerstad mal Stromstärke ist Spaug) Kirchhoff sche Gesetze Die Kirchhoff sche Gesetze beschreibe jeweils de Zusammehag zwische mehrere elektrische Ströme bzw zwische mehrere elektrische Spauge i eiem elektrische Netzwerk Werde mehrere Leituge i eiem Pukt verbude, et ma diese eie Kote der Schaltug (im Bild obe sid K 1, K 2 ud K 3 Kote) Leituge zwische zwei Kote et ma Zweige der Schaltug Für jede Zweig wird eie Richtug vorgegebe, dh eie Reihefolge seier zwei Kote Die Spaug ud die Stromstärke habe positives Vorzeiche, we die (ageommee) Richtug des Stroms mit der Richtug des Zweiges übereistimmt, sost egatives Ei Strom durch eie Zweig heißt i a zufließed, we a der zweite Kote des Zweiges ist, ud vo a abfließed, we a der erste Kote des Zweiges ist 1 Kirchhoff sches Gesetz (Kotesatz): Die Summe der zufließede Ströme i eiem Kote ist gleich der Summe der abfließede Ströme Eie edliche Mege M vo Zweige mit der folgede Eigeschaft heißt Masche: Ist l M ud ist a ei Kote vo l, da gibt es eie eideutig bestimmte Zweig k M \ {l}, sodass a auch ei Kote vo k ist Auf die folgede Weise lege wir eie Umlaufrichtug der Masche fest: Es sei M eie Masche ud {a 1,,a } die Mege aller Kote dieser Masche Wir setze a +1 := a 1 Wir köe die Idizes so wähle, dass die Zweige der Masche zwische de Kote a i ud a i+1, 1 i + 1, verlaufe ud dass a 1 der erste Kote des Zweiges zwische a 1 ud a 2 ist Da ist der Zweig zwische a i ud a i+1 i der Umlaufrichtug der Masche, we a i sei erster Kote ist, sost gege die Umlaufrichtug 2 Kirchhoff sches Gesetz (Maschesatz): Die Summe der Spauge vo Zweige eier Masche i der Umlaufrichtug ist gleich der Summe der Spauge vo Zweige eier Masche gege die Umlaufrichtug

26 25 4 SYSTEME LINEARER GLEICHUNGEN Wir wähle Stromrichtuge vo I j, für j = 1,,5 ud Richtuge für die Quellspauge, somit auch Richtuge der Zweige I 1 K 1 I 5 U q1 M R 5 1 M 3 I 2 I 4 I 1 I 5 R 2 M 2 R 4 R 1 U q2 I 2 I 3 I I 4 3 K 2 R K3 3 Aus de Kirchhoff sche Gesetze erhalte wir die folgede Bediguge für die Zahle I 1,,I : Kotegleichuge: K 1 : I 1 + I 5 = I 2 + I 4 K 2 : I 2 = I 1 + I 3 K 3 : I 3 + I 4 = I 5 Maschegleichuge: M 1 : I 1 R 1 + I 2 R 2 = U q1 M 2 : I 2 R 2 + I 3 R 3 = I 4 R 4 M 3 : I 4 R 4 + I 5 R 5 = U q2 M 4 : I 1 R 1 + I 4 R 4 = I 3 R 3 +U q1 M 5 : I 2 R 2 + I 3 R 3 + I 5 R 5 = U q2 M 6 : I 1 R 1 +U q2 = U q1 + I 3 R 3 + I 5 R 5 Die Bediguge K 1,M 4,M 5,M 6 folge aus K 2,K 3,M 1,M 2,M 3, also köe wir sie weglasse Ma erhält u das System liearer Gleichuge R 1 R R 2 R 3 R R 4 R 5 I 1 I 2 I 3 I 4 I U q2 = U q1 0 Wir bereche I 1,I 2,I 3,I 4,I 5 für U q1 = 186V, U q2 = 132V ud R 1 = 15 kω, R 2 = 680 Ω, R 3 = 470 Ω, R 4 = 520 Ω, R 5 = 710 Ω:

27 26 4 SYSTEME LINEARER GLEICHUNGEN I 1 I 2 I 3 I 4 I 5 0 = , 132 die (eideutig bestimmte) Lösug ist I 1 = A = 859 ma I 2 = A = 841 ma I 3 = A = 018 ma I 4 = A = 1083 ma I 5 = A = 1066 ma Das egative Vorzeiche vo I 3, bedeutet, dass dieser Strom gege die gewählte Richtug des Zweiges fließt 8 Dimesio Satz 25 : Seie V ei Vektorraum über K, (u 1,,u m ) ei liear uabhägiges m-tupel vo Vektore i V ud v V mit v K u 1,,u m Da ist auch das m + 1-Tupel (u 1,,u m,v) liear uabhägig Beweis: Seie c 1,,c m K ud d K mit m c j u j + dv = 0 We d 0 ist, wäre v = j=1 m d 1 c j u j K u 1,,u m j=1 im Widerspruch zur Voraussetzug Somit ist d = 0 ud, da (u 1,,u m ) liear uabhägig ist, auch c j = 0 für alle 1 j m Defiitio 16 : Ei Vektorraum V heißt edlich-erzeugt, we es ei edliches Erzeugedesystem vo V gibt

28 27 4 SYSTEME LINEARER GLEICHUNGEN Satz 26 : Seie {0} = V ei edlich-erzeugter Vektorraum über K, (w 1,,w ) ei Erzeugedesystem vo V ud (u 1,,u m ) ei liear uabhägiges m-tupel vo Vektore i V Da gilt: (1) Aus (w 1,,w ) ka eie Basis ausgesodert werde, dh es gibt eie Teilmege {i 1,i 2,i l } vo {1,,}, sodass (w i1,,w il ) eie Basis vo V ist Isbesodere hat jeder edlich-erzeugte Vektorraum V über K eie Basis (2) (u 1,,u m ) ka durch Vektore aus {w 1,,w } zu eier Basis ergäzt werde, dh es gibt Idizes j 1,, j k {1,,}, sodass (u 1,,u m,w j1,,w jk ) eie Basis vo V ist Beweis: (1) Wir beweise die Aussage durch Iduktio ach Für = 1 ist wege {0} = V auch w 1 0, also ist der Vektor w 1 liear uabhägig ud somit eie Basis vo V Sei u > 1 We (w 1,,w ) liear uabhägig ist, da ist (w 1,,w ) eie Basis vo V ud die Behauptug bewiese We (w 1,,w ) liear abhägig ist, da gibt es c 1,,c K so, dass c i w i = 0 aber c k 0 ist für ei k {1,,} Es folgt w k = c 1 k c i w i i k Da ist auch (w 1,,w k 1,w k+1,,w ) ei Erzeugedesystem vo V, weil es für eie beliebige Vektor y V Elemete d 1,,d K mit y = d i w i = i k (d i d k c 1 c i )w i gibt Nach Iduktiosaahme ka aus (w 1,,w k 1,w k+1,,w ) eie Basis vo V ausgesodert werde, also auch aus (w 1,,w ) (2) Sei U der vo u 1,,u m erzeugte Utervektorraum vo V Wir zeige die Behauptug durch Iduktio ach p := #{i {1,,} w i U} Für p = 0 ist w i U für alle i, daher U = V ud (u 1,,u m ) eie Basis vo V Sei u p > 0 Da gibt es ei j 1 {1,,}, für das w j1 U ist Nach Satz 25 ist (u 1,,u m,w j1 ) liear uabhägig Nach Iduktiosaahme ka (u 1,,u m,w j1 ) durch Vektore aus {w 1,,w m } zu eier Basis vo V ergäzt werde, also auch (u 1,,u m ) k

29 28 4 SYSTEME LINEARER GLEICHUNGEN Satz 27 : Sei V ei edlich-erzeugter Vektorraum über K Da ethalte je zwei Base vo V gleich viele Vektore Beweis: Sei (v 1,,v ) ei Erzeugedesystem vo V ud (w 1,,w m ) i V liear uabhägig Wir zeige zuerst, dass m sei muss Weil (v 1,,v ) ei Erzeugedesystem vo V ist, köe wir w j als Liearkombiatio vo (v 1,,v ) schreibe: w j = A i j v i,1 j m Wäre < m, hätte die Matrix A := (A i j ) 1 i,1 j m mehr Spalte als Zeile, also gäbe es ach Satz 24 eie -Spalte x 0 mit Ax = 0 Daher wäre m j=1 x j w j = j x j ( i A i j v i ) = i ( j A i j x j )v i = 0 v i = 0, i im Widerspruch zu x 0 ud (w 1,,w m ) liear uabhägig We u sowohl (v 1,,v ) als auch (w 1,,w m ) eie Basis ist, ist eierseits m, weil (v 1,,v ) ei Erzeugedesystem vo V ud (w 1,,w m ) liear uabhägig ist, ud adererseits m, weil auch (w 1,,w m ) ei Erzeugedesystem vo V ud (v 1,,v ) liear uabhägig ist Defiitio 17 : Sei {0} = V ei edlich-erzeugter Vektorraum über K Die Zahl dim K (V ) := Azahl der Elemete eier Basis vo V (ist ach Satz 27 wohldefiiert ud) heißt die Dimesio vo V Für de Nullraum {0} defiiere wir: die leere Mege ist eie Basis vo {0} ud dim K (V ) = 0 Sprechweise: We dim K (V ) = ist, da et ma V -dimesioal Ei edlich-erzeugter Vektorraum heißt edlich-dimesioal Ei icht edlich-erzeugter Vektorraum W heißt uedlich-dimesioal Die Dimesio eies Vektorraums ist also die kleiste Azahl vo Zahle (oder, allgemeier, vo Elemete vo K), die für die vollstädige Beschreibug eies Vektors i V ötig sid Beispiel 11 : Nach Satz 17 ist dim K (K ) = ud dim K (K m ) = m

30 29 4 SYSTEME LINEARER GLEICHUNGEN Satz 28 : Sei V ei Vektorraum über K der Dimesio ud (v 1,,v ) V Da sid die folgede Aussage äquivalet: (1) (v 1,,v ) ist eie Basis vo V (2) (v 1,,v ) ist ei Erzeugedesystem vo V (3) (v 1,,v ) ist liear uabhägig Beweis: Aus (1) folge immer (2) ud (3) (2) (1): Nach Satz 26 ka aus (v 1,,v ) eie Basis ausgesodert werde, die wege dim K (V ) = wieder aus Vektore besteht Somit muss (v 1,,v ) eie Basis sei (3) (1): aalog Defiitio 18 : Der Rag eier Matrix A K m ist die Dimesio des Spalteraums vo A (siehe Defiitio 15) Schreibweise: rg(a) Satz 29 : Es sei A K m ud P GL m (K) Da gilt: (1) Das -Tupel der Spalte (A 1,,A ) vo A ist geau da liear uabhägig, we das -Tupel der Spalte ((PA) 1 = PA 1,,(PA) = PA ) vo PA liear uabhägig ist (2) Das -Tupel der Spalte (A 1,,A ) ist geau da eie Basis des Spalteraums vo A, we das -Tupel der Spalte ((PA) 1 = PA 1,,(PA) = PA ) eie Basis des Spalteraums vo PA ist Isbesodere sid der Rag vo A ud vo PA gleich Beweis: Seie c 1,,c K Weil P ivertierbar ist, ist geau da, we ist c i (PA) i = P( c i A i = 0 c i A i ) = 0 Satz 30 : Seie A K m ud P GL m (K) so, dass PA Stufeform hat Sei r die Azahl der Pivots i PA Da ist r = rg(a) ud die Dimesio vo L(A,0) ist rg(a) Beweis: Nach Satz 19 ist r die Dimesio vo L(PA,0) Da PA Stufeform hat, ist leicht achzuprüfe, dass rg(pa) = r ist Weiters ist L(PA,0) = L(A,0) Also folge die Behauptuge aus Satz 29

31 30 4 SYSTEME LINEARER GLEICHUNGEN Satz 31 : Sei A K m (1) Mit dem folgede Verfahre ka rg(a) berechet ud aus dem - Tupel der Spalte vo A eie Basis des Spalteraums vo A ausgesodert werde: Brige A durch elemetare Umformuge auf Stufeform PA Sei r die Azahl der Pivots vo PA, ud die Pivots seie i de Spalte mit Idizes p 1,, p r Da ist rg(a) = r ud (A p1,,a pr ) eie Basis des Spalteraums vo A (2) We die Spalte vo A liear uabhägig sid, ka (A 1,,A ) mit dem folgede Verfahre zu eier Basis vo K m 1 ergäzt werde: Brige (A I m ) durch elemetare Umformuge wie i Satz 21 auf Stufeform Q(A I m ) Da stehe die Pivots i de Spalte mit Idizes 1,2,,, + r 1,, + r m, ud (A p1,,a pr,e r1,,e rm ) ist eie Basis vo K m 1 Dabei sid die Spalte e j, j = r 1,,r m, Stadardspalte i K m 1 Beweis: (1) Das r-tupel (PA p1,,pa pr ) vo Spalte ist eie Basis des Spalteraums vo PA, ach Satz 29 ist daher (A p1,,a pr ) eie Basis des Spalteraums vo A (2) Der Spalteraum vo (A I m ) ist K m m Da die Spalte vo A liear uabhägig sid, stehe i de erste Spalte vo Q(A I m ) Pivots Wede (1) auf die Matrix (A I m ) a