1 Korrelationsanalyse

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1 Korreaiosaayse I viee Aweduge der Sigaverarbeiug is es hireich ud häuig auch owedig, ei Maß ür die Ähichkei zweier Sigae besimmme zu köe. Ma bezeiche dieses Maß auch as de Grad der Korreaio, der zwische diese beide Sigae vorhade is. Im ogede werde die Begrie der Kreuzkorreaiosukio ür de Vergeich zweier im agemeie uerschiedicher Sigae ud der Begri der Auokorreaiosukio ür de Vergeich zweier ideischer, aber mögicherweise zeiverschobeer Sigae eigeühr sowie ihre Beziehuge zum Leisugsdichespekrum hergese. Des Weiere werde eiige Aweduge zur Korreaiosaayse augezeig.. Hereiug der Kreuz- ud Auokorreaiosukio As Ausgagspuk der achogede Abeiug ud Deiiio der Korreaiosukioe werde sogeae ergiesigae berache, dere ergie edich is: d Diese Bedigug wird beispiesweise vo Sigae erü, die ur i eiem begreze Zeiabschi vo u verschiedee, ediche Ampiudewere auweise ud dere Ampiude außerhab dieses Abschis geich u is. Viee Sigae, wie z.b. periodische Sigae oder zeiich ich begreze saioäre Sigae, dere igeschae späer och deaiier eräuer werde, besize keie ediche Sigaeergie. Diese Sigae werde as Leisugssigae bezeiche, we sie eie ediche miere Leisug besize: < P im T T T d < Um die Ähichkei zweier ergiesigae ud zu beschreibe, ka ma die Dierez [ ] berache ud die ergie dieses Dierezsigas besimme: [ ] d d d d Um dieses Maß vo der Ampiude bzw. der ergie uabhägig zu mache, ka ma die Sigae au ihre ergie ud ormiere: H.G. Hirsch DSS-WS /

2 H.G. Hirsch DSS-WS / orm d d d d Das so besimme Maß imm Were zwische ud 4 a. Um ei Maß zu erhae, dass ur Were zwische ud aimm, deiier sich der ormiere Korreaioskoeizie, ausgehed vo der Dierezberachug zweier Sigae, zu orm d ρ Berache ma des Weiere och eie zeiiche Verschiebug des Sigas um gegeüber dem Siga, so geag ma zur ormiere Kreuzkorreaiosukio d ρ Ohe ormierug au die ergie des Sigas beschreib der im Zäher sehede Term die Kreuzkorreaiosukio KKF d Mi Hie dieser Fukio geerier ma ei Maß, das die Ähichkei eies Sigas zu eiem zeiverschobee Siga i Abhägigkei der zeiiche Verschiebug beschreib. Für zeidiskree Sigae wird das Iegriere wieder durch eie Summebidug ersez:...,,, ± ± ür Die reaive zeiiche Verschiebug der beide Sigae um Abasiervae ka auch aeraiv bei dem Siga berücksichig werde ud ühr dami zu der ogede Beschreibug der Kreuzkorreaiosoge:

3 Verausch ma die Beziehugsabhägigkei der beide Sigae ud, so besimm sich die Kreuzkorreaiosoge φ zu Daraus äss sich umiebar die ogede Beziehug zwische φ ud φ abeie: Sid die beide Sigae ud ideisch, so erhä ma i diesem Fa die Auokorreaiosukio AKF ür zeikoiuieriche Sigae bzw. die Auokorreaiosoge ür zeidiskree Sigae: ür, ±, ±,.... igeschae vo AKF ud KKF Für bzw. esprich der Wer der Auokorreaiosukio der ergie dieses ergiesigas: Die AKF imm demach ür bzw. ihr Maimum a: Der Wer der AKF a der See beschreib ei Maß ür die Korreaio eies Sigas mi dem um Abasiervae zeiich verschobee, ideische Siga. Für die AKF gi des weiere die Symmeriebedigug: Beispieha is i Bid 5. das dreieckörmige Siga ud die zugehörige Auokorreaiosoge dargese. Die ormiere Kreuzkorreaios- ud Auokorreaiosoge ergebe sich, wie dies scho zuvor ür zeikoiuieriche Sigae eigeühr wurde, durch ormierug au die ergie der Sigae: ρ ρ Die ormiere Korreaiosoge ehme ur Were zwische - ud a ud sid dami uabhägig vo der Skaierug der Ampiudewere. H.G. Hirsch 3 DSS-WS /

4 H.G. Hirsch 4 DSS-WS / Bid 5.: Siga ud zugehörige Auokorreaiosoge Hade es sich bei de Sigae ud bzw. dem Siga um zeiich begreze Foge vo Abaswere, dere Ampiudewere geich u sid ür < ud >, so asse sich die Kreuzkorreaios- ud Auokorreaiosoge bereche zu Repräseiere ud bzw. keie ergiesigae, soder periodische Foge vo Abaswere mi eier Periodeäge vo Abasiervae, so asse sich Kreuzkorreaios- ud Auokorreaiosoge deiiere zu Der Fakor / ka as ormierugsakor agesehe werde. ud sid ebeas periodische Sigae mi der Periodeäge.

5 H.G. Hirsch 5 DSS-WS /.3 Das Leisugsdichespekrum as Fourier-Trasormiere der AKF Die Deiiio der Korreaiosukioe is der Deiiio des Faugsproduks sehr ähich, wobei sich beispiesweise die AKF beschreibe äß as : : d Faug d AKF Trasormier ma diese Beziehug mi Hie der Fourier Trasormaio i de Frequezbereich, so erhä ma π d e X X X X j * De Term X bezeiche ma as ergiedichespekrum bzw. bei der Berachug vo saioäre Sigae as Leisugsdichespekrum. Diese Beziehug zwische der AKF ud dem ergie- bzw. Leisugsdichespekrum bezeiche ma as Wieer-Khichie Theorem. Berache ma die Auokorreaiosukio φ yy am Ausgag eies ieare, zeiivariae Sysems mi der Soßawor h, so äß sich dabei der ogede Zusammehag zu de Auokorreaiosukioe φ des igagssigas ud φ hh der Soßawor h hereie: hh yy yy h h h h y y Diese Zusammehag bezeiche ma as Wieer-Lee Beziehug. Uer Verwedug des Wieer-Khichie Theorems ergib sich dami der ogede Zusammehag zwische de Auokorreaiosukioe ud de zugehörige ergie- bzw. Leisugsdichespekre bei Überragug eies Sigas über ei Sysem mi der Soßawor h:

6 hh yy X H Y Das ergie- bzw. Leisugsdichespekrum am Ausgag des Überragugssysems ergib sich as Produk der ergie- bzw. Leisugsdichespekre vo igagssiga ud Soßawor des Überragugssysems..4 Aweduge der Korreaiosaayse Im Fogede wird beispieha die Awedug der Korreaiosaayse zur Besimmug vo Lauzeiuerschiede gezeig. s wird die Aordug zweier Idukiosscheie berache, die sich i eiem deiiere Absad im Beag eier Srasse beide. Fähr ei Kraahrzeug über diese Scheieaordug, so werde i de Scheie Sröme iduzier, dere zeiicher Verau sehr ähich sei wird, die jedoch espreched der Geschwidigkei des Fahrzeugs zeiich versez sid. Mi Hie eier Korreaiosaayse ka der zeiiche Versaz der beide Sigae ud dami auch die Geschwidigkei des Fahrzeugs besimm werde bei Keis des Absads der beide Idukiosscheie. I Bid 5. sid die de iduziere Sröme esprechede Sigaveräue sowie die aus de beide Sigae resuierede ormiere Kreuzkorreaiosukio dargese. De beide Sigaveräue is i diesem Fa ei Rauschsiga überager, wie es bei Messaorduge i der Prais häuig der Fa sei wird. Zur Berechug der i Bid 5. dargesee ormiere Kreuzkorreaiosukio wird zuächs der Pus vo Siga im Bereich vo 5 bis 3 ms deekier. Aschießed wird die Korreaio durch Verschiebe eies 5ms breie Fesers über das Siga hiweg besimm, wobei bei eiem Zeipuk vo 5 ms, bei dem der Begi des Sigapuses vo deekier wurde, begoe wird. Dami ka ma aus dem Verau der Kreuzkorreiere umiebar die Verzögerug der beide Sigae abese. s äss sich ei Maimum bei ewa 4 ms besimme, was dem asächiche Zeiversaz esprich. Aerdigs ri das Maimum der KKF ür die gezeige Awedug ich sehr deuich hervor, so dass bei eier särkere Sörug der Sigae die Lauzeimessug eherbehae sei ka. H.G. Hirsch 6 DSS-WS /

7 Bid 5.: Zeiverseze Sigaveräue ud zugehörige ormiere Kreuzkorreaiosukio Daher verwede ma i viee Aweduge speziee Sigae, die besimme Korreaioseigeschae auweise. i Beispie eier soche Awedug is die Messug der erug eies Fugobjeks mi Hie der Radarechik. Dabei wird ei Siga ausgesede ud zusamme mi dem vo dem Objek reekiere Siga zur Besimmug der Lauzei des Sigas ud dami der erug des Objeks beuz. Dazu werde Sigae beuz, dere Auokorreaiosukio mögichs keie Were ür aimm. i Beispie socher Sigae ide sich i de sogeae Barker Codes, wie sie i der ogede Tabee zusammegese sid: Läge des Codes 3 4 H.G. Hirsch 7 DSS-WS /

8 5 7 3 i seh ür eie posiive Pege z.b., ei ür eie egaive Pege z.b. -. Die Auokorreaiosukio eies Barker Codes imm ür eie der Läge des Codes esprechede Wer a, ür ree jedoch keie Were au, dere Berag größer as is. ür Beispieha wird die Auokorreaiosukio des Barker Codes der Läge i Bid 5.3 gezeig. Bid 5.3: Barker Code der Läge ud zugehörige Auokorreaiosukio Derarige Codes mi de sie auszeichede Korreaioseigeschae köe ogich gu zur Lauzeimessug verwede werde, i dem die Kreuzkorreiere des ausgesedee Codes ud des H.G. Hirsch 8 DSS-WS /

9 reekiere, empagee, im agemeie durch die Überragug gesöre Codes besimm wird: y M y M Läge des Codes Die gesöre Überragug, die zur zeiiche Verzögerug des Sigas ühr ud die durch die addiive Überagerug eies Rausches beschriebe werde ka, äss sich durch das i Bid 5.4 dargesee Bockschabid modeiere. a y Bid 5.4: Bockschabid zur Modeierug eier gesöre Überragug Verachässig ma zuächs das addiive Rausche ud sez de Fakor a, so gi: y M Dem ka ma eehme, dass die Kreuzkorreiere ür de Wer der Auokorreaiosukio φ aimm ud ür adere zeiiche Verschiebuge ur vergeichsweise keie Were. Rausche r Die Berechug der KKF ka ma, wie es scho zuvor ür die AKF gezeig wurde, auch as eie Faug des Sigas mi dem empagee Siga y- darsee: y y y y Die Besimmug der Kreuzkorreaiosukio ka i diesem Fa somi as eie Überragug des Sigas y über ei LTI Sysem mi der Impusawor h- beschriebe werde. y h- φ y Bid 5.5: Die Kreuzkorreaio as mached Fier Da die Impusawor dem zeiich umgekehre, ausgesedee Siga esprich, werde daher häuig a dieser See die Begrie des agepasse oder im egischsprachige des mached Fiers oder des Korreaiosiers beuz. H.G. Hirsch 9 DSS-WS /