Zentraler Grenzwertsatz für i.i.d. Zufallsvariablen mit endlicher Varianz

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1 Zetraer Grezwertsatz für i.i.d. Zufasvariabe mit edicher Variaz Es sei X ) N eie Foge vo i.i.d. Zufasvariabe auf Ω, A, ) mit edicher, positiver Variaz: 0 < Var X ) <. Es sei S = X k, ) Z = S [S ] σ S ) = S [S ] σ S ). ) Weiter sei Z eie stadardormaverteite Zufasvariabe. Da git für ae Itervae I R geichgütig, ob beschräkt oder ubeschräkt, offe, abgeschosse oder haboffe): [Z I] [Z I] = e z / dz. 3) π Bemerkuge. Das gibt eie Rechtfertigug für das häufige Auftrete der Normaverteiug für zufäige Schwakuge, we diese sich as eie Summe vo sehr viee uabhägige geichartige Beiträge ergebe. Es geteoch agemeiere Variate des Zetrae Grezwertsatzes, bei dee ma auf die idetische Verteiug aer X k verzichte ka, soage die eizee Summade ur weig zur gesamte Summe beitrage. Sebst die Uabhägigkeitsvoraussetzug ka ma etwas abschwäche. Soche Variate werde i höhere Stochastikvoresuge präzise formuiert ud bewiese. Wir führe de Zetrae Grezwertsatz auf die fogede Variate zurück: Satz 0. Es sei f : R R dreima stetig differezierbar ud beschräkt mit beschräkte Abeituge bis zur 3. Stufe Notatio dafür: f Cb 3 R).) Da git mit de Bezeichuge ud Voraussetzuge vo obe: [fz )] [fz)]. Beweis: Ohe Beschräkug der Agemeiheit gete [X ] = 0 ud Var X ) = ; sost ersetze wir die Zufasvariabe X durch ihre stadardisierte Versioe X = X [X ]. σ X ) I

2 Weiter existiere ohe Beschräkug der Agemeiheit auf dem geiche Wahrscheiichkeitsraum Ω, A, ) eie i.i.d. Foge ) N stadardormaverteiter Zufasvariabe, uabhägig vo der Foge X ) N. Weötig ersetze wir hierzu die Foge X ) N durch eie adere i.i.d. Foge mit der geiche Verteiug auf eiem adere Wahrscheiichkeitsraum, z.b. eiem roduktraum.) Da git: Weiter ist Z = X k. stadardormaverteit, de aus der Fatugseigeschaft der Normaverteiug fogt:,..., sid i.i.d. stadardormaverteit ist ormaverteit mit Erwartug 0 ud Variaz ist stadardormaverteit. 4) Wir müsse aso zeige: [f )] X k [f )] 0. 5) Hierzu zerege wir diese Differez i eie Teeskopsumme, idem wir sukzessive eie Summade X k ach dem adere durch das etsprechede ormaverteite austausche. Für de -te Austauschschritt, =,...,, bezeiche T, := + k=+ die Summe derjeige Summade, die gerade icht ausgetauscht werde. Es git aso T, + X = + T, + = + X k X k, k= k=+ X k 6)

3 ud wir erhate [f = = ) X k f )] [ ft, + X ) ft, + ) ] 7) Wir etwicke f ach Tayor mit zwei verschiedee Darsteuge des Restgieds: Für ae t, x R existiere θ, θ 3 [0, ] mit aso ft + x) = ft) + xf t) + x f t) + x3 6 f t + θ 3 x), 8) ft + x) = ft) + xf t) + x f t) + x f t + θ x) f t)), 9) ft + x) = ft) + xf t) + x f t) + rt, x) 0) mit eiem Restterm rt, x), der { } rt, x) mi x sup f t), x 3 t R 6 sup f t) c f mi{x, x 3 } ) t R erfüt, wobei { c f := max sup t R f t), } 6 sup f t). ) t R Es fogt für die Bestadteie des -te Summade i der Zeregug 7): [f T, + X )] X = [ft, )] + f T, ) + [ X E f T, ) + r T,, X )] 3) ud ebeso [f T, + )] = [ft, )] + f T, ) + [ )] f T, ) + r T,,. 4) 3

4 Bide wir die Differez: [f T, + X ) f T, + )] X = f T, ) f T, ) + + [r T,, X )] [r T,, X f T, ) E f T, ) )]. 5) Nu ist T, bezügich σ,...,, X +,..., X ) meßbar ud fogich uabhägig vo X ud. Wir schieße: X f T, ) = [X ] [f T, )] = 0 6) wege [X ] = 0 ud X E f T, ) wege [X ] =. Aaog für : f T, ) wege [ ] = 0 ud E f T, ) = [X ] [f T, )] = [f T, )] 7) = [ ] [f T, )] = 0 8) = [ ] [f T, )] = [f T, )] 9) wege [ ] =. I 5) eigesetzt beibe auf der rechte Seite ur die Restterme übrig, ud wir erhate [ f T, + X ) f T, + )] [ = r T,, X )] [r T,, [ r T,, X ) ] [ + r T,, { X c f [mi c [ f mi )] ) ] ) }] {, X 3 ) + c f [mi }], 3 {X, X }] 3 + c [ { f mi, }] 3 0) 4

5 wobei wir die Restgiedabschätzug ) verwedet habe ud im etzte Schritt die Zufasvariabe X bzw. durch X bzw., die jeweis die geiche Verteiug habe, ersetzt habe. Eigesetzt i die Teeskopsumme 7) habe wir für ae Summade die geiche Abschätzug: [ f = ) X k f )] [ ft, + X ) ft, + )] [ E cf mi {X, X }] { 3 + [mi }{{ }, }]) 3 0, ) =c f de es git für ae X L Ω, A, ) ud damit auch für X = X ud X = ): }] [mi {X, X 3 [0] = 0. ) Die etzte Aussage ) fogt aus dem Satz vo der domiierte Kovergez. Seie Voraussetzuge sid hier erfüt: Eierseits git puktweise Kovergez: } ω Ω : mi {Xω), Xω) 3 0 Adererseits habe wir die itegrierbare Majorate } 0 mi {X, X 3 X L Ω, A, ). Die Abschätzug ) zeigt geau die Behauptug des Satzes. Ei ukt a R heißt Stetigkeitspukt eier Fuktio F : R R, we F stetig a der Stee a ist. Der Zetrae Grezwertsatz fogt u aus der Impikatio ) 3) im fogede Satz: Satz 0. Es sei Z ) N eie Foge vo reewertige Zufasvariabe ud Z eie weitere reewertige Zufasvariabe. Z besitze die Verteiugsfuktio F. Da sid äquivaet: ) Für jede beschräkte stetige Fuktio f : R R git [fz )] [fz)]. 3) ) Für jedes f C 3 b R) git [fz )] [fz)]. 4) 3) Für jedes Iterva I = [a, b], ]a, b], [a, b[ oder ]a, b[ mit a, b R {± }, so dass a ud b Stetigkeitspukte vo F oder ± sid, git: [Z I] [Z I] 5) 5

6 Bemerkug. Ist Z stadardormaverteit, so ist F stetig. I diesem Fa iefert die Eischräkug i 3) auf Stetigkeitspukte vo F keie Bedigug. Sprechweise: Fas die äquivaete Bediguge ) 3) des Satzes gete, sagt ma: Z kovergiert i Verteiug gege Z oder auch Z kovergiert schwach gege Z. Wir beweise hier ur die Impikatio ) 3) des Satzes, die wir im Beweis des Zetrae Grezwertsatzes brauche: Beweis zu ) 3): Nach der Stetigkeitsvoraussetzug vo F a de Greze a, b des Itervas I gibt es ei offees Iterva I [a, b] R ud ei abgeschossees Iterva I ]a, b[ mit [Z I ] [Z I] < ɛ ud [Z I] [Z I ] < ɛ. 6) Wir wähe f, f : R [0, ] mit f, f Cb 3 R) ud I f I f I Soche f ud f existiere. Da git aufgrug der Voraussetzug ): [Z I] [f Z )] [f Z)] [Z I ] [Z I] + ɛ, 7) [Z I] [f Z )] [f Z)] [Z I ] [Z I] ɛ. 8) Wei ɛ > 0 beiebig war, fogt die Behauptug 3): [Z I] [Z I]. 9) Ma ka f ud f sogar uedich oft differezierbar wähe, we ma wi. Hierzu eie Iustratio im Beispie I = [a, [ mit a R, I =]a δ, [, I = [a + δ, [: Setze wir { exp g : R R, gx) = x x für 0 < x < 0 für x R\]0, [ so ist g beiebig oft differezierbar, aso auch ihre Stammfuktio h : R R, hx) = x gt) dt. Normiere wir och h mittes h := h/ im t ht), so git: h C R), 0 h, h x) = 0 für x 0 ud h x) = für x. Da eiste das Gewüschte. f x) = hx a δ)/δ), f x) = hx a)/δ) 6