richtige Entscheidung mit Wahrscheinlichkeit 1 α Fehlentscheidung 1. Art mit Wahrscheinlichkeit α

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1 II Lösug zu Aufgabe 7: -Tes für Erwarugswer Saisische Tess diee dazu Hypohese abzusicher oder begrüde zu verwerfe. Hypohese esehe aus eperimeelle Beobachuge oder formale Überleguge, die eier Prüfug uerzoge werde müsse. Im Allgemeie ka ma sie i eperimeelle Wisseschafe weder beweise, och widerlege. Aber mi Hilfe saisischer Tes köe sie abgesicher oder begrüde verworfe werde. Berache wir eie Messgröße X als Zufallsvariable, so ka die Hypohese zum Beispiel eie Aussage über de (ubekae) Erwarugswer oder die (ubekae) Sadardabweichug oder die zugrude liegede Vereilugsfukio sei. Die zu uersuchede Hypohese wird als Nullhypohese H bezeiche. Zur Nullhypohese eisier ses eie Aleraivhypohese H1. Es wird eie Tesgröße T T ( 1,...,,...) defiier, die so kosruier wird, dass T eier besimme Vereilugsfukio esprich (zum Beispiel: χ 2 -Vereilug oder Sudesche - Vereilug). Die Messwere werde i die Gleichug für T eigesez ud die Tesgröße wird bereche. Der Wer der Tesgröße wird mi eiem Schwellewer vergliche, der sich aus der Vereilugsfukio vo T ergib. Aus diesem Vergleich folg die Escheidug, ob H verworfe oder beibehale wird. Aschaulich esprich diese Vorgehesweise der Berechug der Wahrscheilichkei p, dass uer Aahme der Güligkei der Hypohese H das asächlich beobachee Ergebis aufri. Diese Wahrscheilichkei heiß Sigifikaziveau α oder p-wer. We der p-wer klei is, also das Eiree des asächlich beobachee Ereigisses uer der Aahme der Güligkei vo H klei is, wird die Hypohese H verworfe. Bei der Escheidug muss ses mi eier Fehlescheidug gereche werde. Folgede Siuaioe sid möglich: Nichablehug vo H Ablehug vo H Tasächlich: H richig richige Escheidug mi Wahrscheilichkei 1 α Fehlescheidug 1. Ar mi Wahrscheilichkei α Tasächlich: H falsch Fehlescheidug 2. Ar mi Wahrscheilichkei β richige Escheidug mi Wahrscheilichkei 1 β α : Irrumswahrscheilichkei oder Sigifikaziveau, ypische Were sid 5%; 1%;,1% 1 β: Güe des Tess Beide Fehler sid i der Prais uvermeidbar ud lasse sich im Allgemeie ich uabhägig voeiader beeiflusse. Verkleier vo α ha im Allgemeie eie Vergrößerug vo β zur Folge. Die Güe des Tess ka durch Vergrößer des Sichprobeumfags erhöh werde.

2 JJ a) Werde mi eier saisische Sicherhei vo 95% mideses 1 ml ausgeschek? Bei der vorliegede Aufgabe soll überprüf werde, ob die vo Wir Alois ausgescheke Biermege je Maßkrug sigifika geriger is, als die gefordere Füllmege vo 1 ml. Es gil also, de miels eier Sichprobe eperimeell besimme Schäzwer für de Erwarugswer der vorliegede Vereilug mi dem vorgegebee Referezwer vo 1 ml zu vergleiche. Diese Fragesellug ka mi eiem -Tes für de Erwarugswer beawore werde: Der -Tes für de Erwarugswer ese ahad eier Sichprobe, ob der Mielwer dieser Sichprobe vo eiem vorgegebee Teswer i der Grudgesamhei sigifika verschiede is. Dabei sei X ormalvereil ud μ ud σ seie ubeka. Der Erwarugswer wird als μ vermue, woraus die Hypohese H : μ μ folg. Zur Berechug der Tesgröße werde aus de Messwere 1,..., Mielwer ud Sreuug bereche. Die Formel zur Berechug der -vereile Tesgröße laue im Falle des -Tess für de Erwarugswer wie folg: μ S Hieri is der aus de eperimeell erhobee Messwere berechee arihmeische Mielwer als beser Schäzwer für de Erwarugswer der Vereilug, μ is der vorgegebee Vergleichswer, S is die empirische Sreuug der Messwere ud der Sichprobeumfag. Wir bereche zuächs de Mielwer ud die Sreuug S der vorliegede Messwere: 99 ml S 16,623 ml Ferer wisse wir, dass der Sichprobeumfag 2 beräg. Die Tesgröße ergib sich daher zu: 99 ml 1 ml 2,689 16,623 ml 2 De Wer dieser Tesgröße müsse wir u mi eiem kriische Wer vergleiche. Die Besimmug dieses kriische Weres sowie die Tesregel häge vo der ieressierede Aleraivhypohese H1 ab. Prizipiell köe wir zwische de folgede drei Variae uerscheide: 1) H : μ μ gege H : 1 μ < μ (eiseiige Hypohese) Is < 1;1 α auf dem Sigifikaziveau α abgeleh.

3 KK 2) H : μ μ gege H:μ 1 >μ (eiseiige Hypohese) Is > 1;1 α auf dem Sigifikaziveau α abgeleh. 3) H : μ μ gege H:μ 1 μ (zweiseiige Hypohese) Is > 1;1 α 2 auf dem Sigifikaziveau α abgeleh. Wie zu erkee, is die Nullhypohese H i alle drei Fälle ideisch. Der Uerschied lieg i der Aleraivhypohese H1. Bei de Fälle 1 ud 2 wird jeweils eie eiseiige Gegehypohese überprüf, das heiß, es ieressier ur der Fall, dass der zu esede Wer μ kleier als der Vergleichswer μ (Fall 1) bzw. größer als der Vergleichswer μ (Fall 2) is. Im Fall 3 wird higege eie zweiseiige Aleraivhypohese geese, bei der sowohl Abweichuge ach ue als auch ach obe vo Ieresse sid ud die Aleraivhypohese daher H:μ 1 μ laue. Im vorliegede Fall beseh das Ieresse des Miarbeiers des Ordugsames dari, zu besäige oder auszuschließe, dass Wir Alois weiger als die gefordere 1 ml je Maßkrug ausschek, da dies eie Ordugswidrigkei darselle würde. Der umgekehre Fall, dass der Wir mehr als die gefordere 1 ml ausschek is für de Prüfer higege ich vo Ieresse, da dies rechlich zulässig wäre. Vergleiche wir das so formuliere Ieresse mi de drei obe uerschiedee Fälle, so selle wir fes, dass für us der Fall 1 der relevae is, i dem die Gegehypohese H1 : μ < μ laue. Die i diesem Fall azuwedede Tesregel laue: Is < 1;1 α auf dem Sigifikaziveau α abgeleh. Der kriische Wer, mi dem usere obe berechee Tesgröße vergliche werde muss, laue demach 1;1 α. De Zahlewer vo 1;1 α besimme wir wie gewoh mi Keis des Sichprobeumfags ud des Sigifikaziveaus α aus der Tabelle der Sude sche -Vereilug. Mi 2 ud α,5 erhale wir: 1;1 α 19;, 95 1,729 Die auszuwerede Tesbedigug laue dami: 2,689 < 1,729 Diese Bedigug is offesichlich erfüll. Die Tesregel besag u weier, dass für de Fall, dass obige Bedigug erfüll is, die Nullhypohese H auf dem Sigifikaziveau α abzulehe is. Wie schließe also: Die Nullhypohese H : μ μ wird auf dem Sigifikaziveau α,5 abgeleh

4 LL Ihallich besage usere Nullhypohese, dass Wir Alois mi eier saisische Sicherhei vo P 95% im Miel mideses die gefordere 1 ml je Maßkrug ausschek. Die Ablehug der Nullhypohese bedeue daher im vorliegede Fall: Es ka ich mi eier saisische Sicherhei vo P 95% davo ausgegage werde, dass Wir Alois im Miel 1 ml oder mehr je Maß ausschek b) Milere Fehlmege je Krug bei erragsopimierem Zapfe? Um ei Bußgeld wege zu geriger Füllmege zu vermeide, darf der Tes der Nullhypohese H : μ μ mi der Aleraivhypohese H1 : μ < μ ich zu eier Ablehug der Nullhypohese führe. Eie Ablehug der Nullhypohese würde für de Fall erfolge, dass gil: < 1;1 α Usere Forderug, diese Fall zu vermeide, köe wir daher wie folg formuliere: 1;1 α Mi de i der Aufgabesellug gegebee Parameer, 2 ud α,25, ergib sich für de kriische Wer 1;1 α : 1;1 α 19;, 975 2,93 Für die Tesgröße forder wir daher: 2,93 Die Formel zur Berechug der Tesgröße laue wie bereis obe eigeführ: μ S Im vorliegede Fall sid folgede Zahlewere durch die Aufgabesellug vorgegebe: μ 1 ml S 2ml 2 Amerkug: Bei der Aahme, dass die Sadardabweichug mideses 2 ml beräg, hadel es sich um eie Abschäzug des für de Wir ugüsigse Falls. De je größer die Sadardabweichug is, deso schwieriger wird es, de Nachweis zu führe, dass eie Abweichug vom Erwarugswer asächlich saisisch sigifika is. Bei eier kleiere Sadardabweichug seig higege die Sigifikaz eier Abweichug vom Erwarugswer. Für

5 MM de Grezfall eier Sadardabweichug vo Null wäre jede Abweichug auomaisch sigifika. Für die Tesgröße gil folglich: 1 ml 2 ml 2 Seze wir dies i usere obige Forderug für die Tesgröße ei, erhale wir: 1 ml 2 ml 2 2,93 Diese Ausdruck köe wir ach der gesuche milere Füllmege auflöse ud erhale: 2 ml 2, ml 99,64 ml 2 Die milere Füllmege je Maß, bei der gerade och ei Bußgeld vermiede wird, beräg also ugefähr 99,64 ml. Da i der Aufgabesellug ach der milere Fehlmege Δ je Maß gefrag is, bereche wir weier: Δ 1 ml 99,64 ml 9,36 ml Die milere Fehlmege je Maßkrug, bei der ei Bußgeld gerade och vermiede wird, beräg ewa 9,36 ml.