4 Messfehler. 4.1 Fehlerquellen und Fehlerarten

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1 Versuchsechik Es is eie Erfahrugsasache, dass eder Messwer aufgrud vo Uvollkommeheie i der Messechik ud i de Messverfahre mehr oder weiger vo dem zureffede, wirkliche Wer der zugehörige Messgröße abweich. Um qualiaiv gue Messuge vorehme ud die Geauigkei vo Messergebisse bewere zu köe, is deshalb die Keis möglicher Fehlerquelle ud -are, die Beureilug uvermeidlicher Messfehler, die Aalyse der Fehlerforpflazug bei der Messauswerug ud die Agabe der Messusicherhei im Ergebis uverzichbar. 4. Fehlerquelle ud Fehlerare Die Verfälschug eies ede Messwers beruh auf der Idealisierug des Messobeks, auf echische Uzuläglichkeie der Messgeräe ud der Messverfahre, außerdem auf Eiflüsse der Umwel ud der Beobacher, sowie auf zeiliche Veräderuge bei alle diese Fehlerquelle (Bild 4.). Hierbei muss zwische sysemaische ud zufällige Fehler uerschiede werde: Sysemaische Fehler werde i erser Liie hervorgerufe durch Uvollkommeheie der Messgeräe ud der Messverfahre sowie durch die Idealisierug des Messobekes, i zweier Liie durch Umweleiflüsse ud Beobachugsfehler. Sie habe eie besimme Berag wie auch ei besimmes Vorzeiche ud köe zumides prizipiell korrigier werde. Ihre Edeckug is im Allgemeie schwierig, am bese gelig sie durch de Eisaz eies adersarige Messisrumes oder Messverfahres. Bei Messgeräe sid zu sysemaische Fehler folgede zwei Begriffe defiier: (absoluer)fehler = Azeige richiger Wer, (4.) Azeige richiger Wer relaiver Fehler=. (4.) richiger Wer Zufällige Fehler werde hervorgerufe durch Äderuge, die währed der Messug ich erfassbar oder ich beeiflussbar sid: Wiederhol derselbe Beobacher a demselbe Messobek eie Messug der gleiche Messgröße mi demselbe Messgerä uer de gleiche Bediguge mehrmals, so werde die eizele Messwere voeiader abweiche, sie sreue. idealisier Messobek uvollkomme, gesör Messeirichug, Messgerä usicher Messergebis Umweleiflüsse (Temperaur, Feuche, ) Beobacher (Aufmerksamkei, Sehschärfe, ) Bild 4.: Fehlerquelle beim Messe

2 Versuchsechik Zufällige Fehler schwake ach Berag ud Vorzeiche ud mache das Ergebis usicher. Sie köe aber i ihrer Gesamhei durch geeigee Rechegröße zahlemäßig abgeschäz ud gekezeiche werde, ud zwar umso zuverlässiger, e größer die Azahl der ausgeführe Messuge is. Hierzu ehäl Abschi 4. die wichigse Hilfsmiel. 4. Beureilug der zufällige Fehler vo Messwere Die Beureilug zufälliger Fehler erfolg i erser Liie ahad der Rechegröße Mielwer, Sadardabweichug ud Verrauesgreze sowie i viele Fälle mi Hilfe der so geae Normalvereilug. 4.. Mielwer Sid bei eier Messreihe vo eiader uabhägige Eizelwere X, X,..., X i,..., X gemesse worde, so gil üblicherweise der arihmeische Mielwer x aus diese Eizelwere, kurz der Mielwer gea, als Ergebis: x= X i i=. (4.3) Der errechee Mielwer sez sich zusamme aus dem wahre (Miel-)Wer, dem Aeil der sysemaische Fehler sowie dem Mielwer aller zufällige Fehler. Ofmals wird allerdigs lezerer de sysemaische Fehler zugeschlage, so dass der Mielwer der zufällige Fehler sich da zu Null ergib. 4.. Sadardabweichug ud Variaioskoeffizie Die wichigse Rechegröße für die zufällige Abweichuge der Eizelwere vo ihrem Mielwer is die milere quadraische Abweichug (milerer quadraischer Fehler der Eizelbeobachug), die Sreuug oder Sadardabweichug s gea wird. Sie is defiier als s=+ i= ( X i x), (4.4) wobei x ach Gleichug (4.3) zu bereche is. I viele Fälle is es zweckmäßig, aselle vo s die relaive Sadardabweichug s r zu beuze, s s r =, (4.5) x die auch Variaioskoeffizie heiß ud gegebeefalls i % ausgedrück wird Normalvereilug Die zufallsbedige Variaio der eizele Were eier Messreihe gehorch häufig eier spezielle Wahrscheilichkeisvereilug, der Normal- oder Gaußvereilug f. Sie is eie seige Vereilug mi dem wahre Mielwer µ ud der wahre Sadardabweichug σ, die um µ symmerisch is: ( x µ ) σ f ( x) = e. (4.6) πσ

3 Versuchsechik Nach dem zerale Grezwersaz der Wahrscheilichkeisrechug folg die Summe vo uabhägige Zufallsgröße gemäß Gleichug (4.3) mi wachsedem immer asympoisch der Normalvereilug (ud zwar gerade auch da, we die X i selbs ich ormalvereil sid). Diese Vereilug repräseier somi eie Messreihe vom Umfag. Messreihe mi edlichem erlaube keie exake Besimmug der Parameer σ ud µ, soder ur die obe agegebee Schäzwere s ud x. Deshalb werde die errechee Sadardabweichug ud der arihmeische Mielwer mi adere Symbole bezeiche, um sie vo de wahre Were zu uerscheide. Die Normalvereilug erlaub eie Aussage darüber, mi welcher Wahrscheilichkei ei Eizelwer X i sich ierhalb eies besimme Iervalls um µ befide. Tabelle 4. gib hierzu eiige Beispiele. Eie saisische Sicherhei vo z.b. P = 68,3% bedeue dabei, dass 68,3% eier sehr große Azahl vo Eizelwere ierhalb des Bereichs µ ±, 0σ zu erware sid. Aselle der saisische Sicherhei oder der Aussagewahrscheilichkei P wird i der mahemaische Saisik auch der Berag P als Überschreiugswahrscheilichkei verwede. Die Idusrie arbeie bei der Ferigugsüberwachug gere mi der saisische Sicherhei P = 95%, i adere Awedugsgebiee auch mi P = 99% (vgl. ebefalls Tabelle 4.) Verrauesgreze des Mielweres Der Mielwer wird meis als edgüliges Messergebis eier Messreihe mi voeiader uabhägige ud gleich zuverlässige Eizelwere agegebe. Der Beobacher darf edoch ich ohe weieres aehme, dass dieser Mielwer (als ebefalls zufällige Größe!) gleich dem gesuche wahre Wer der Messgröße is, der ur aus eier sehr große Zahl vo Eizelmesswere gewoe werde ka. Es is aber mi de Agabe aus Abschi 4..3 möglich, zwei Greze oberhalb ud uerhalb des gefudee Mielweres azugebe, zwische dee uer der Voraussezug eier Normalvereilug der wahre Wer mi eier zugleich gewähle saisische Sicherhei P zu erware is. Diese Greze heiße Verrauesgreze des Mielweres. Der Bereich, de die Greze eischließe, heiß Verrauesbereich des Mielweres. Für seie Besimmug sid zwei Fälle zu uerscheide: σ beka Falls die Sadardabweichug σ der Grudgesamhei (dies is die Gesammege aller dekbare relevae Messwere, vo der die asächliche Messuge eie Teilmege darselle) beka is, z.b. aus eier geügede Azahl früherer Messuge oder aufgrud Tabelle 4.: Beispiele für die saisische Sicherhei bei der Normalvereilug. Vo 000 uabhägige ormalvereile Eizelwere falle ca. aus dem Bereich was folgeder saisische Sicherhei P esprich 37 µ ±, 0σ 68,3% 46 µ ±, 0σ 95,4% 3 µ ± 3, 0σ 99,73% 50 µ ±, 96σ 95% 0 µ ±, 58σ 99%

4 Versuchsechik sysemaischer Überleguge, da bereche sich die Were für die Verrauesgreze ud de Verrauesbereich des Mielweres aus Messuge ach Tabelle 4.. σ ich beka I diesem Fall lasse sich ach folgede Formel ur Schäzwere besimme: obere Verrauesgreze uere Verrauesgreze Verrauesbereich x+ s, (4.7a) x s, (4.7b) ± s. (4.7c) Der Fakor esamm eier weiere, spezielle Wahrscheilichkeisvereilug, der Sudesche -Vereilug (Sude war das Pseudoym des Mahemaikers Gosse). Sie gil für Quoiee espreched x / s ud is ebe der gewähle saisische Sicherhei P eie Fukio der Azahl der Eizelwere, d.h. = (P,) (Tabelle 4.3). Das über ede physikalisch sivolle Greze hiausgehede Awachse vo bei kleier Azahl besoders für hohe saisische Sicherhei P zeig, dass bei ur zwei Messuge überhaup keie reale saisische Aussage mehr gemach werde ka, we σ oder zumides s ich aus frühere Uersuchuge beka sid Zusammefassug ud Versuchsvoraussezuge Das vollsädige Ergebis eier Messreihe vo Eizelwere (Messergebis) gib ma durch de Mielwer ud de Verrauesbereich a, wobei im Fall eies ubekae Parameers σ (wie aürlich auch eies ubekae µ ) gil: Ergebis i de Eiheie der Messgröße: x E = x± s, (4.8a) Ergebis relaiv im Verhälis zum Mielwer: x E s = x ( ± ε ) mi ε =. (4.8b) x Tabelle 4.: Verrauesgreze bei bekaer Sadardabweichug σ. Verrauesgreze Saisische Sicherhei P σ x± 68,3% 3σ x± 99,73%,96σ x± 95%,58σ x± 99%

5 Versuchsechik Tabelle 4.3: -Were, d.h. Were der Sude-Vereilug (gerude). P = 68,3% P = 99,73% P = 95% P = 99% () (,84) (35,77) (,7) (63,66) 3,3 9, 4,30 9,9 4,0 9, 3,8 5,84 5,4 6,6,78 4,60 6, 5,5,57 4,03 8,08 4,53,36 3,50 0,06 4,09,6 3,5 0,03 3,45,09,86 50,0 3,6,0,68 00,0 3,08,98,63 >00,00 3,00,96,58 Vor der saisische Behadlug vo Messwere eier Messgröße is allerdigs zu prüfe, ob die Messuge uer de gleiche Versuchsbediguge ud uabhägig voeiader durchgeführ worde sid. Es is üblich, zwische folgede beide Grezfälle prakischer Versuchsvoraussezuge zu uerscheide: Wiederhol-Bediguge: Ei Beobacher besimm de Messwer mi ei ud demselbe Messgerä acheiader uer de gleiche Arbeisbediguge. Uer Wiederholbediguge sid sysemaische Fehler ich erkebar. Vergleich-Bediguge: Verschiedee Beobacher führe Messuge i verschiedee Laboraorie uer Verwedug vo verschiedee Messgeräe der gleiche Bauar durch. I diesem Fall is die Sadardabweichug im Allgemeie größer als im Fall der Wiederhol-Bediguge, weil uer Vergleichsbediguge die Messergebisse auch och ifolge sysemaischer Fehler zwische de Laboraorie vo eiader abweiche. We sich eie geüged große Zahl vo Laboraorie a eiem Rigversuch beeilig, bei dem i alle Laboraorie Messuge uer vergleichbare Bediguge durchgeführ werde, da lasse sich die Sadardabweichuge ierhalb der Laboraorie (Wiederhol- Bediguge) ud zwische de Laboraorie (Vergleich-Bediguge) mi Hilfe eier Variazaalyse ree. 4.3 Fehlerforpflazug Die agegebee Defiiioe des sysemaische Fehlers ud der Rechegröße für die zufällige Fehler sid bisher auf die experimeelle Ermilug eier eizele Messgröße beschräk. Is das Messergebis aber eie Fukio eier oder mehrerer Messgröße (mi de zugehörige Messwere), so is der Fehler des Messergebisses ach de Fehlerforpflazugsregel zu ermiel. Die Fehlerforpflazug is für die erfasse sysemaische Fehler aders zu behadel als für die Rechegröße der zufällige Fehler

6 Versuchsechik 4.3. Fehlerforpflazug für sysemaische Fehler Der sysemaische Fehler y eier Fukio y = F(x, x,..., x,..., x ) der voeiader uabhägige Messgröße x ka bei geüged kleie sysemaische Fehler x bis x ach folgeder Formel bereche werde: F F F F y = x = x + x x, (4.9) x = x x x wobei die parielle Ableiuge a der Selle [ x,, x ] zu bereche sid. We bei eier Messug die sysemaische Fehler beseiig wurde, efäll auch die Berechug der Fehlerforpflazug für die sysemaische Fehler Fehlerforpflazug für Rechegröße der zufällige Fehler Es wird die Voraussezug gemach, dass alle Messgröße x ormalvereile Messwere aufweise ud voeiader uabhägig sid. Sid aus de gewoee Messreihe mi gleicher Azahl der Eizelwere die arihmeische Mielwere x bis x ud die Sadardabweichuge s bis s beka, so bereche ma das Messergebis y ud die zugehörige Sadardabweichug s y wie folg: Messergebis y= F x,..., x,..., x ), (4.0a) ( Sadardabweichug F s y = s, (4.0b) = x wobei die parielle Ableiuge a der Selle [ x,, x ] zu bereche sid ud die Voraussezug geüged kleier s für alle zu erfülle is. Sid die Sadardabweichuge σ der Grudgesamheie beka, so ri a die Selle der s die eweilige Größe σ (die Formel (4.0b) gil sreg ohehi ur für σ y ud alle σ.) Is im Besodere das Messergebis eie Fukio vo Mielwere x, vo dee eder aus eier Sichprobe mi der gleiche Azahl uabhägiger Eizelwere samm, so ka der Verrauesbereich des Messergebisses y bereche werde: ± s y =± = F x s. (4.) 4.4 Messusicherhei Die prakisch agegebee Usicherhei eies Messergebisses, die Messusicherhei, ehäl zum eie immer die zufällige Fehler aller Eizelvariable, aus dee das Messergebis bereche wird (recherisch ausgedrück durch die Sadardabweichug oder durch de Verrauesbereich). Sie schließ zum adere zusäzlich ubekae, weil ich messbare ud daher ur abschäzbare sysemaische Fehler ei. (Es wird dabei vorausgesez, dass die erfasse sysemaische Fehler berichig sid.) Grudsäzlich laue also das Edergebis x eier Messreihe vo uabhägige Eizelwere, we * E x wieder der Mielwer ud u u allgemei die Messusicherhei sid: * x E = x± u. (4.)

7 Versuchsechik Für die Feslegug der Messusicherhei u komme im Weseliche drei Möglichkeie i Frage: Verrauesbereich: Charakerisierug der Messusicherhei u eies spezielle Messergebisses durch de Verrauesbereich des gefudee Mielweres aus Eizelmessuge. Der hierzu erforderliche Wer is abhägig vo der vorliegede Azahl ud der gewähle saisische Sicherhei P. u= s. (4.3a) Sadardabweichug σ : I der Praxis is vielfach eie vo der Azahl uabhägige Beureilug der Zuverlässigkei vo größerer Bedeuug. I diese Fälle is es üblich, als Messusicherhei die Größe σ oder ei Vielfaches hiervo azugebe, we σ auf Grud hireicheder messechischer Erfahruge als beka vorausgesez werde darf. I der Idusrie sid die Were =, = oder = 3 üblich: u = σ. (4.3b) Differez zwische zwei Eizelwere: I besimme Bereiche der Idusrie is es üblich, die Messusicherhei eies Verfahres durch die Differez zwische zwei beliebige, uabhägig voeiader ermiele ( zufällig erhalee ) Eizelwere X ud X zu kezeiche, die erwarugsgemäß ur i eiem vo zwazig Fälle überschrie werde soll. Saisisch is i diesem Fall mi P = 95% zu erware, dass der Uerschied der beide uabhägige Eizelwere achseheder Beziehug geüg. Diese Feslegug empfiehl sich i der Praxis beispielsweise da, we i eiem Laboraorium ur zwei Eizelmessuge bei bekaem Parameer r (s.u.) gemach werde. x = x x r mi r =,96σ =, 77σ. (4.3c) Für ukriische Fälle wird empfohle, bei der Agabe vo Fehler mi der saisische Sicherhei P = 95% zu reche, was eier Überschreiugswahrscheilichkei vo P = 0,05 oder 5% esprich. Der Ausdruck Messgeauigkei is im Übrige bei quaiaive Agabe zu vermeide