Aufgaben zur Ökonometrie I

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1 Aufgabe zur Ökoomerie I 3. Sigifikazess ud Kofideziervalle 3. Wie groß is der Sadardfehler der Regressio vo GASV auf VEINKR ( Eergiemodell Ib, s. Ergebisse i Aufgabe.8) (mi Ierpreaio)? Der Sadardfehler der Regressio (SER) is gleich der Wurzel aus der Residualvariaz, bei der die Summe der quadriere Residue auf die Azahl der Freiheisgrade bezoge is: SER Arbeisabelle: û k y ŷ,0 0,995 0,005 0, ,8 0,995-0,95 0, ,7 0,638 0,06 0, ,9 0,876 0,04 0, ,,4 0,086 0, ,,4-0,04 0, ,4,35 0,048 0, , 7, 0,0586 Residualvariaz: û û û k 0,0586 0,0586 0, Sadardfehler der Regressio (SER): SER = 0, , 0 Ierpreaio: Der Sadardfehler der Regressio is die Wurzel aus der erwarugsreu geschäze Variaz der Sörgröße. Er gib die milere Abweichug der y-were vo de Regressioswere ŷ a. Bei der Regressiosschäzug des Gasverbrauchs i Abhägigklei vom verfügbare Eikomme wird daach ei durchschilicher Fehler vo 0,0 Eiheie gemach.

2 3. Die OLS-Schäzer der Regressioskoeffiziee ud der Nachfragefukio für Erdgas ( Eergiemodell Ia) laue (=7): 5, 809 ud 0, 368. Die Summe der quadriere Residue beräg 0,067, die Summe der Gaspreise 9, ud die Summe der quadriere Gaspreise 90,8. Tese Sie die OLS-Schäzer der Regressioskoeffiziee auf Sigifikaz (=0,0)! A. Sigifikazess (zweiseiig) über β. Schri Hypoheseformulierug: H 0 : ß = 0, H : ß 0. Schri Feslegug des Sigikaziveaus: = 0,0 3. Schri Bereche der Prüfgröße: Residualvariaz: û 0,067 0,034 k 7 Geschäze Variaz vo : ^ Var( ) x x ( x ) 0,0348,975,0985 Prüfgröße: 5,809 5,809 5,543 Vâr( ),0985, Schri Kriischer Wer: k; / 7 ;0,995 5;0, 995 4,03 90,8 0, ,8 9, 5. Schri Tesescheidug: = 5,543 > 5;0,995 = 4,03 Nullhypohese ablehe

3 B. Sigifikazes (zweiseiig) über β :. Schri Hypoheseformulierug: H 0 : ß = 0, H : ß 0. Schri Feslegug des Sigikaziveaus: = 0,0 3. Schri Bereche der Prüfgröße: Residualvariaz: û 0,067 0,034 k 7 Geschäze Variaz vo : ^ 7 Var( ) 0,034 x ( x ) 790,8 9, 0,0340,48 0,00646 Prüfgröße: 0,368 0,368 4,577 Vâr( ) 0, , Schri Kriischer Wer: k; / 7 ;0,995 5;0, 995 4,03 5. Schri Tesescheidug: = 4,577 > 5;0,995 = 4,03 Nullhypohese ablehe

4 3.3 Gegebe is die OLS-geschäze Nachfragefukio ( Eergiemodell II) ^ GASV,706 0,99 GASP 0,074 VEINK ud die Iverse der Produkmarix X X 55,7066 5,7459 4,50 ( X' X) 5,7459 0, ,6. 4,50 0,6 0,0998 Die Summe der quadriere Residue beräg 0,07. Tese Sie de Eifluss des Gaspreises (GASP) ud des verfügbare Eikommes (VEINK) auf die Nachfrage ach Erdgas auf Sigifikaz (=0,05)! A. Sigifikazes (zweiseiig) über β (Eifluss des Gaspreises). Schri Hypoheseformulierug: H 0 : ß = 0, H : ß 0. Schri Feslegug des Sigikaziveaus: = 0,05 3. Schri Bereche der Prüfgröße: Residualvariaz: û 0,07 0, , , k 7 3 Prüfgröße: x 0,99 0, , Schri Kriischer Wer: k; / 7 3;0,975 4;0, 975,776 0,99 0, , Schri Tesescheidug: = 3,536 > 4;0,975 =,776 Nullhypohese ablehe

5 B. Sigifikazes (zweiseiig) über β 3 (Eifluss des verfügbare Eikommes). Schri Hypoheseformulierug: H 0 : ß 3 = 0. H : ß 3 0. Schri Feslegug des Sigikaziveaus: = 0,05 3. Schri Bereche der Prüfgröße: Residualvariaz: û 0,07 0, , , k 7 3 Prüfgröße: x 0,074 0, , Schri Kriischer Wer: k; / 7 3;0,975 4;0, 975,776 0,074 0, ,69 5. Schri Tesescheidug: = 4,69 > 4;0,975 =,776 Nullhypohese ablehe

6 3.4 Besimme Sie die 95%-Kofideziervalle ubekae Regressioskoeffiziee β ud β des Eergiemodells Ia (s. hierzu Agabe i Aufgabe 3.)! A. 95%-Kofideziervall für β :. Schri Feslegug des Kofideziveaus -: 0, 95. Schri 95%-Kofideziervall für mi P j k; / j j k; / x x ( x ) û 0,067 ud 0, 034 0,034 0, 58 k 7 3. Schri (-/)-Quail der -Vereilug mi -k FG k; / 7 ;0,975 5;0, 975,57 4. Schri Kokrees 95%-Kofideziervall 5;0,975 ; 5;0,975 = x x 5;0,975 ; 5;0,975 = x ( x ) x ( x ) 5,809,57 0,58 90,8 ; 7 90,8 9, 5,809,57 0,58 5,809,570,58 8,975; 5,809,570,58 5,809,57,048; 5,809,57,048 5,809,694; 5,809,694 [3,5; 8,503] 8,975 90,8 7 90,8 9,

7 B. 95%-Kofideziervall für β :. Schri. Schri 3. Schri 4. Schri Feslegug des Kofideziveaus -: 0, 95 95%-Kofideziervall für mi x ( x ) û 0,067 ud 0, 034 0,034 0, 58 k 7 (-/)-Quail der -Vereilug mi -k FG k; / 7 ;0,975 5;0, 975,57 Kokrees 95%-Kofideziervall P j k; / j j k; / 5;0,975 ; 5;0,975 5;0,975 ; 5;0,975 = x ( x ) x ( x ) 7 7 0,368,57 0,58 ; 0,368,57 0, ,8 9, 7 90,8 9,,368,57 0,58 0,6943; 0,368,57 0,368,57 0,0804; 0,368,57 0,0804 0,368 0,07; 0,368 0,07 [ 0,575; 0,6] 0 0,58 0,6943

8 3.5 Bereche Sie für das Eergiemodell II (s. Aufgabe.5) die beide Residue für das erse ud leze Jahr des Süzbereichs! Welche Aussage über die Güe der Apassug a de Räder läss sich aus ihe gewie? OLS-geschäze Nachfragefukio (= Eergiemodell II) ^ GASV,706 0,99 GASP 0,074 VEINK ŷ x Regressioswere für das erse ud leze Jahr: ŷ,706 0,99 (x,9) 0,074 (x ),706,567 0,888,07 ŷ7,706 0,99 (x7,5) 0,074 (x7 5),706,488,0,38 Residue für das erse ud leze Jahr: û y ŷ,0,07 0,07 û7 y7 ŷ7,4,38 0,07 x Die Güe der Apassug wird über die prozeuale Verhäliszahl û 00% y ermiel. Die Verhäliszahl is bei eier opimale Apassug des Daepukes ull, da da der y-wer mi dem Regressioswer ŷ übereisimme würde. Je geriger der Wer, deso besser is die Apassug. Güe der Apassug bei = : û y 00% 0,07 00% 0,07 00%,7%,0 Der relaive Fehler i der erse Periode beräg,7%. Güe der Apassug bei = 7: û y % 0,07 00% 0,0500% 5,%,4 Der relaive Fehler i der erse Periode beräg 5,%. Die Apassug is i der erse Periode deulich besser als i der leze Periode, d.h. der Gasverbrauch läss sich i der erse Periode erheblich besser durch de Gaspreis ud das verfügbare Eikomme erkläre als i der leze Periode.

9 3.6 Gegebe is die OLS-geschäze Nachfragefukio für Erdgas ^ GASV 5,809 0,368GASP, =,,...,7. a) Gebe Sie die Quelle der Sreuug der Nachfrage ach Erdgas i Form eier ANOVA-Tabelle wieder! Abhägige Variable (y): Nachfrage ach Erdgas (GASV) Uabhägige Variable (x): Erdgaspreis (GASP) Regressioswere: =: ŷ 5,809 0,368(x,9), 06 =: ŷ 5,809 0,368(x 3,8) 0, 73 =3: ŷ 5,809 0,368(x3 3,7) 0, 767 =4: ŷ 5,809 0,368(x4 3,) 0, 95 =5: ŷ 5,809 0,368(x5,), 39 =6: ŷ 5,809 0,368(x6,9), 06 =7: ŷ 5,809 0,368(x7,5), 09 Arihmeisches Miel der abhägige Variable: y y 7,,04 7 Arbeisabelle: x y ŷ û y ŷ ( y y) ( ŷ y) û,9,0,06-0,06 (-0,04) = 0,000 0,048 = 0,00 0,004 3,8 0,8 0,73 0,069 (-0,4) = 0,046 (-0,83) = 0,080 0, ,7 0,7 0,767-0,067 (-0,34) = 0,099 (-0,47) = 0,06 0, , 0,9 0,95-0,05 (-0,4 = 0,03 (-0,063) = 0,004 0,003 5,,,39-0,9 0,86 = 0,035 0,305 = 0,093 0,04 6,9,,06 0,038 0,086 = 0,007 0,048 = 0,00 0,00 7,5,4,09 0,9 0,386 = 0,49 0,95 = 0,038 0,036 9, 7, 7,0-0,00 0,349 0,80 0,067 ANOVA-Tabelle: Quelle der Sreuug Regressio Summe der Abweichugsquadrae Freiheis-grade Milere Abweichugsquadrasumme (erklär) ŷ y 0, 80 k = = ŷ y /(k ) 0,80/ 0, 80 Residue (uerklär) 0, 067 û k = 7 = 5 k 0,067/5 0, 03 gesam y y 0, 349 = 7 = 6 û

10 b) Tese Sie de Gesamzusammehag des Nachfragemodells uer Verwedug der i der ANOVA-Tabelle ermiele Abweichugsquadrasumme (=0,05)! F-Tes über de Gesamzusammehag. Schri Formulierug der Nullhypohese H 0 : = 0, H : 0. Schri Feslegug des Sigifikaziveaus = 0,05 3. Schri Bereche der Prüfgröße: F 4. Schri Kriischer Wer: ŷ y /(k ) 0,80/( ) 0,80,538 û k 0,067 /(7 ) 0,03 Fk ; k; F ;7 ; 0,0 F;5;0, 95 6,6 5. Schri Tesescheidug: F=,538 > F ;5;0, 95 6, 6 Nullhypohese ablehe c) Tese Sie de Gesamzusammehag uer Verwedug des Besimmheismaßes (=0,05)! F-Tes über de Gesamzusammehag. Schri Formulierug der Nullhypohese H 0 : = 0, H : 0. Schri Feslegug des Sigikaziveaus = 0,05 3. Schri Bereche der Prüfgröße ŷ y R y y 0,80 0,80 0,349 R /(k ) 0,80/( ) F ( R )/( k) ( 0,80)/(7 ) 4. Schri Kriischer Wer: 0,80 0,0396 Fk ; k; F ;7 ; 0,0 F;5;0, 95 6,6 5. Schri Tesescheidug: 0,53 F=0,53 > F ;5;0, 95 6, 6 Nullhypohese ablehe

11 3.7 Uer Verwedug der Zeireihedae über die Ivesiioe (I), de Nomialzis (i) ud die Iflaiosrae () I i ,8, 3 5, ,8 3, ,5 soll die Ivesiiosfukio I = + i u ökoomerisch geschäz ud geese werde. Die Sörvariable u erfüll hierbei die Sadardaahme. a) Schäze Sie die Ivesiiosfukio mi der gewöhliche Mehode der kleise Quadrae uer Verwedug des Marizekalküls! Hiweis: Die Iverse (X X) - laue: 43,48 49,786 6,36 ( X' X) 49,786 5,98 7,7. 6,36 7,7 9,4 Gesuch is der OLS-Schäzvekor die Beobachugsmarix X, zu raspoiere: 6 5,8, X 5,6, 4,8 3, 4 3,5 X' 6 5,8 5 4,8 4.,,6 3, 3,5 β ( X' X) Mi dem Vekor der abhägige Variable, erhäl ma y 8 34 X' y. Zur Berechug des Produks X y is

12 X' y 6 5,8 5 4, ,8.,,6 3, 3, ,4 34 Der Vekor der geschäze Regressioskoeffiziee, β, laue dami 43,48 49,786 6,36 59 β ( X' X) X' y 49,786 5,98 7,7 986,8 6,36 7,7 9,4 633,4 3 38,99 9,5. 0,04 b) I der makroökoomische Theorie wird uersell, dass die Ivesiioe I allei vom Realzis i- abhägig sid ud vo der Iflaiosrae sos keie weiere Effeke ausgehe. Gebe Sie die hier dieser Aussage sehede lieare Resrikio i skalarer Form ud Marixoaio a! - Lieare Resrikio i skalarer Form: Realzis: i -, Effek auf Ivesiioe I : (i - ) Ivesiiosfukio mi Realzis: I = + (i - )+ u = + i - + u 3 = - oder + 3 = 0 (lieare Resrikio) - Lieare Resrikio i Marixoaio: r' β 3 0 0

13 c) Tese Sie die i Teil b) agegebee lieare Resrikio mi dem -Tes (=0,05) uer Verwedug des erwarugsreue Schäzers der Sörvariaz vo 6,950! Ierpreiere Sie das Tesergebis!. Schri. Schri 3. Schri Hypoheseformulierug Nullhypohese H 0 : + 3 = 0 Aleraivhypohese H : Feslegug des Sigifikaziveaus Sigifikaziveau = 0,05 Bereche der Prüfgröße des -Tess r'β c Prüfgröße: mi c=0 r'( X' X) r 4. Schri 5. Schri r' β 6, ,7 38, ,5 0, 889 r' ( X' X) r 43, 48 0,04 s. Teil a) 49, 786 6, , 786 5, 98 7, 7 47, 335, 6, 68 9, 763 6, 36 7, 7 9, 4 s. Teil a) 0, ,889 0,889 Wer der Prüfgröße: 0, 040 4,7 9,763 4,7 5,456,46 Kriischer Wer 0,975-Quail der -Vereilug mi -k = 5-3 = Freiheisgrade: ;0,975 = 4,303 Tesescheidug = 0,040 < ;0,975 = 4,303 Nullhypohese aehme Ierpreaio: Die Aahme, dass allei der Realzis r- Eifluss die Ivesiioe ud die Iflaiosrae keie darüber hiausgehede Effeke auf sie ha, ka ich widerleg werde. 0

14 d) Tese Sie die i Teil b) agegebee lieare Resrikio mi dem F-Tes (=0,05)!. Schri Hypoheseformulierug Nullhypohese H 0 : + 3 = 0 Aleraivhypohese H : Schri Feslegug des Sigifikaziveaus Sigifikaziveau = 0,05 3. Schri Bereche der Prüfgröße des -Tess Prüfgröße: ( r'β c) F mi c=0 r'( X' X) r Wer der Prüfgröße (Were des Zählers ud Neers s. Teil c)): (0,889 0) F 6,950 9,763 0, ,483 0, Schri Kriischer Wer 0,95-Quail der F-Vereilug mi ud 5-3 = Freiheisgrade: F ;;0,95 = 8,5 5. Schri Tesescheidug F = 0,0056 < F ;;0,975 = 8,5 Nullhypohese aehme

15 3.8 Die OLS-Schäzug der Nachfrage ach Erdgas (GASV) i Abhägigkei vom Erdgaspreis (GASPR), dem Preis für Ferwärme (FERNWPR) ud dem verfügbare Eikomme (VEINKR) (Eergiemodell III) laue wie folg: Depede Variable: GASV Mehod: Leas Squares Sample: Icluded observaios: 6 Variable Coefficie Sd. Error -Saisic Prob. C GASPR FERNWPR VEINKR R-squared Mea depede var Adjused R-squared S.D. depede var S.E. of regressio Akaike ifo crierio Sum squared resid Schwarz crierio Log likelihood F-saisic Durbi-Waso sa Prob(F-saisic) a) Welche Iformaioe über die Gesamapassug der Nachfrage ach Erdgas lasse sich der Oupu-Tabelle eehme? Besimmheismaß (Deermiaioskoeffizie) R = 0,796 79,6% der Sreuug des Gasverbrauchs wird durch de Gaspreis, de Fer-wärmepreis ud das verfügbare Eikomme erklär. Korrigieres Besimmheismaß R 0,745 Besimmhei uer Berücksichigug der Freiheisgrade Awedbar beim Vergleich der Güe der Apassug uerschiedlicher Modelle F-Tes über de Gesamzusammehag H 0 : = 3 = 4 = 0 Sigifikaziveau =0,0 F=5,596 > F k-;-k;0,99 = F 3;;0,99 = 5,95 H 0 ablehe oder p = 0,00093 < = 0,0 H 0 ablehe

16 b) Zeige Sie die Beziehug zwische S.E. of regressio ud Sum squared resid auf! S.E. of regressio (sadard error of regressio Sum squared resid SER 6 û k 0, SSR 6 û 6,0608 SSR = SER (-k) = 0, (6-4) = 0,5080 = 6,06

17 c) Besimme Sie 99%-Kofideziervalle für die Regressioskoeffiziee der erklärede Variable (ohe Scheivariable)! Welche Aussage über die Sigifikaz der geschäze Regressioskoeffiziee köe Sie daraus mache? 99%-Kofideziervall für j : P - = 0,99 99,5%-Quail der -Vereilug mi -k=6-4= Freiheisgrade: -k;0,995 = ;0,995 = 3,055 Kokrees 99%-Kofideziervall für (Regressioskoeff. des Gaspreises) j k; / j j k; / j j ;0,995 ; ;0,995 [ 4,50 3,055,90; 4,50 3,055,90] [ 4,50 8,890; 4,50 8,890] [ 3,400; 4,380] Keie Sigifikaz bei =0,0, da das Kofideziervall de Wer 0 überdeck Kokrees 99%-Kofideziervall für 3 (Regressioskoeff. des Ferwärmepreises) 3 ;0,995 ; 3 ;0, [ 6,8 3,0554,035; 6,8 3,0554,035] [ 6,8,37; 6,8,37] [3,89; 8,545] Sigifikaz bei =0,0, da das Kofideziervall de Wer 0 ich überdeck Kokrees 99%-Kofideziervall für 4 (Regressioskoeff. des verfügbare Eikommes) 4 ;0,995 ; 4 ;0, [ 0,0060 3,0550,009; 0,0060 3,0550,009] [ 0,0060 0,0058; 0,0060 0,0058] [0,000; 0,08] Sigifikaz bei =0,0, da das Kofideziervall de Wer 0 ich überdeck