Statistik im Bachelor-Studium der BWL und VWL Methoden, Anwendungen, Interpretation

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2 Saisik im Bachelor-Sudium der BWL ud VWL Mehode, Aweduge, Ierpreaio 3, akualisiere Auflage Max C Wewel

3 3 Progoseverfahre 3 Regressiosaalyse 3 Problemsellug Die Regressiosaalyse sell eie Weierewicklug der Korrelaiosaalyse dar (vgl Abschi 5), wobei hier grudsäzlich vorausgesez wird, dass die beide berachee Merkmale X ud Y quaiaiv sid Währed die Merkmale i der Korrelaiosaalyse völlig gleich behadel werde, wird i der Regressiosaalyse uersell, dass das erse Merkmal (X) uabhägig is ud das zweie Merkmal (Y) vom erse Merkmal abhägig is Diese Zusammehag beschreib die Regressiosfukio y = f(x) Welches Merkmal uabhägig ud welches abhägig is, riche sich ia ach der vermuee Kausaliä Sehr of is die im Modell erkläre (abhägige) Variable Y eie Zielgröße (Gewi, Umsaz ec) ud die erklärede (uabhägige) Variable X eie Isrumegröße (Absazpreis, Werbeausgabe ec) Als Regressiosfukio wird meis eie lieare Fukio gewähl, weil dies die eifachse Form der Abhägigkei is ud alle differezierbare Fukioe lokal durch eie lieare Fukio ageäher werde köe Ohehi habe Regressiosfukioe immer ur approximaive Charaker, weil sich Zusammehäge zwische ökoomische Merkmale, die idr das Verhale vo Wirschafssubjeke (Produzee, Kosumee ec) wiederspiegel, aurgemäß ich durch eifache Fukioe exak beschreibe lasse Dies bedeue, dass beim Eiseze vo asächliche zweidimesioale Beobachugswere ( x, y ) ( =,, ) (3) seie sie aus dem Schäz- oder Progosebereich fas immer eie Abweichug (bzw ei Fehler oder eie Sörug) u zwische dem Beobachugswer der abhägige Variable y ud dem Fukioswer f(x ) aufri Uer Berücksichigug dieser empirische Abweichug laue das allgemeie Regressiosmodell y = f( x ) + u ( =,, ) (3) bzw das lieare Regressiosmodell y = a+ b x + u ( =,, ) (33) Im Rahme eier Regressiosaalyse sid u im weseliche zwei Probleme zu behadel: Schäzproblem: Wie ka die Regressiosfukio bzw im lieare Fall wie köe die beide Regressioskoeffiziee a ud b opimal passed zu de vorliegede Beobachugswere des Schäzbereichs umerisch besimm werde? Beureilugsproblem: Wie läss sich die Aussagefähigkei der so geschäze Regressiosfukio ud dami die Güe der aus ihr abgeleiee Progose beureile? 6

4 3 Regressiosaalyse 3 Besimmug der Regressioskoeffiziee Empirischer Ausgagspuk des Schäzproblems der Regressiosaalyse sid die zweidimesioale Beobachugswere des Schäzbereichs ( x, y ) ( =,, ), welche i eiem Sreuugsdiagramm veraschaulich werde köe Die Regressiosfukio soll de uerselle lieare Zusammehag zwische diese Beobachugswere der beide Merkmale X ud Y opimal beschreibe Abbildug 3: Sreuugsdiagramm zur Umsazprogose (vgl Tabelle 3) Als Opimaliäskrierium wird das sog Kleis-Quadrae-Prizip (oder kurz: KQ- Prizip) agewad, ach dem die Summe der quadriere Fehler im Schäzbereich miimier wird Für das lieare Regressiosmodell bedeue das: = = u = ( y a bx ) = : q( a, b) mi! (3) Im Sreuugsdiagramm wird also diejeige Gerade gesuch, für die die Summe der quadriere sekreche Absäde zu de zweidimesioale Beobachugswere am kleise is Abbildug 33: Kleis-Quadrae-Prizip 7

5 3 Progoseverfahre Exkurs Exkurs Ableiug der Kleis-Quadrae-Schäzuge Gesuch wird das lokale (ud zugleich globale) Miimum der Fukio qab (, ) = ( a+ bx y) = Die owedige Bediguge für ei lokales Exremum sid die Normalgleichuge:! (, ) ( ) qa a b = a+ bx y = a+ b x y = Die hireichede Zusazbediguge für ei lokales Miimum sid erfüll: = σ > = = = a + bx y = a = y bx! q a b a bx y x a x b x x y (, ) ( ) b = + = + = = = = = + = ( ) y bx x b x = x y = a b = x x = x y xy = σ xy b = σ (, ) ud (, aa = > bb ) = > sowie = q a b q a b x (, ) (, ) ( ( aa bb ab, )) = = = = = q a b q a b q a b x x x x x x Nach dem Kleis-Quadrae-Prizip laue die geschäze Regressiosgerade also mi de Regressioskoeffiziee ud y = a + b x b σ = σ xy x â = y bx (35) (36) (37) Die Schäzformel (36) für de Asieg der Regressiosgerade zeig folgede Zusammehag zur Korrelaio der Merkmale X ud Y: seigede Regressiosgerade posiive Korrelaio fallede Regressiosgerade egaive Korrelaio horizoale Regressiosgerade keie Korrelaio 8

6 3 Regressiosaalyse Ferer erke ma durch Auflöse der Schäzformel (37) ach y, dass die geschäze Regressiosgerade durch de Schwerpuk ( xy, ) geh Sez ma u i die geschäze Regressiosgerade (35) bekae bzw ageommee Were x der uabhägige Variable ei, so erhäl ma bedige Progosewere y für die abhägige Variable Sowei es sich um Ex-pos-Progose hadel, köe diese mi de (bei der Schäzug beuze) Beobachugswere vergliche werde Die dabei aufreede Differeze heiße Ex-pos-Progosefehler oder kurz Residue: u = y y ( =,, ) (38) Für die Ex-pos-Progosewere y ( =,,) gil im lieare Regressiosmodell aufgrud der og Schwerpuk-Eigeschaf: y (37) = y = ( a + bx ) = a + bx = y, = = dh die Ex-pos-Progosewere y ( =,,) espreche im Miel de Beobachugswere y ( =,,) Es ree also keie sysemaische Progosefehler auf Für die Residue gil: u = y y = Umsazprogose Beispiel Aus de Dae i Tabelle 3 soll die küfige Umsazewicklug des Uerehmes mi Hilfe eies Regressiosmodells progosizier werde, bei dem uersell wird, dass der Umsaz des Uerehmes (Y) äherugsweise eie lieare Fukio der im gleiche Zeiraum geäige Werbeausgabe (X) is Zur Schäzug der Regressioskoeffiziee die die folgede Arbeisabelle Quaral x x x (x x) y y y (x x)(y y) / / / 3 / ,,7,5 3,,,5,7,,6,,, / / / 3 / ,,9 3, 3,7,,3,5,,6 3 / 3 / 3 / 3 3 / ,6 3, 3,6 3,8,,,, , 7,,8,,, Tabelle 3: Schäzug der Regressiosgerade ach dem Kleis-Quadrae-Prizip 9

7 3 Progoseverfahre 3 Ma erhäl: [ 3 8 x = = _] σ [ 6 _ x = = ] 38, [ 6 7, y = = 3, _] σ,6 [ 9 _ ] xy = =,6 ud somi: b = =,5 [ 3 ] a = 3,,5 =,55 [ 6 _] Die geschäze Regressiosgerade laue also: y =,55 +,5 x Die Regressioskoeffiziee b ud â lasse sich hier so ierpreiere, dass jeder zusäzlich für Werbug ausgegebee Euro de Umsaz um ca 5 _ erhöh ud ohe Werbeausgabe ur mi eiem Quaralsumsaz vo,55 Mio _ zu reche is Abbildug 3: Regressiosgerade im Sreuugsdiagramm Die geschäze Regressiosgerade ka u zu bedige Progose geuz werde Für die erse vier Quarale im Progosebereich (vgl Tabelle 3) ergebe sich die folgede Ex-ae-Progosewere Quaral x / / / 3 / y, 3,5,,7 Tabelle 33: Ex-ae-Progose mi dem Regressiosmodell

8 3 Regressiosaalyse 33 Beureilug des Regressiosmodells Nach dem Kleis-Quadrae-Prizip ka gemäß de Formel (36) ud (37) immer eie opimale lieare Regressiosfukio besimm werde, selbs we aus dem Sreuugsdiagramm klar hervorgeh, dass zwische de Beobachugswere der beide Merkmale, x ud y, überhaup kei Zusammehag beseh Daher is es owedig, das Schäzergebis eier kriische Prüfug zu uerziehe Die geschäze Regressiosgerade ud die daraus abgeleiee Progose sid offebar umso zuverlässiger, je kleier die Residue beragsmäßig sid Ei Maß für die absolue Größe der Residue is dere Variaz: σ = u u = Sie häg allerdigs vo der Dimesio der abhägige Variable Y ab ud muss och geeige ormier werde Hierzu biee sich die im lieare Regressiosmodell allgemei gülige Sreuugszerlegug a: σ =σ +σ y y u (39) Diese Beziehug besag, dass die Variaz der Beobachugswere σ y addiiv zerleg werde ka i die Variaz der Ex-pos-Progosewere σ ŷ (= erkläre Sreuug) ud die Variaz der Residue σ û (= Ressreuug) Die Variaz der Ex-pos-Progosewere σ ŷ wird als erkläre Sreuug bezeiche, weil sie derjeige Teil der Sreuug der y -Were is, der aufgrud der Regressiosgerade aus der Sreuug der x -Were resulier oder aders ausgedrück mi der Sreuug der x -Were erklär werde ka Es gil der folgede i Abbildug 35 verdeuliche Zusammehag: (36) σ xy σ xy y b x x σ x σ x σ = σ = σ = Abbildug 35: Sreuugserklärug im Regressiosmodell

9 3 Progoseverfahre Im güsigse Fall lieg ei perfeker liearer Zusammehag zwische de x - ud y -Were vor (vgl Abbildug 36) Da liege alle zweidimesioale Beobachugswere auf der geschäze Regressiosgerade Die Ex-pos-Progosewere y sid mi de Beobachugswere y ideisch Für die Variaze i der Sreuugszerlegug gil somi: σ =σ y y ud σ = u I diesem Fall wird die Sreuug der y -Were mi dem Regressiosmodell also vollsädig durch die Sreuug der x -Were erklär Umgekehr is die Siuaio, we überhaup kei liearer Zusammehag erkebar is (vgl Abbildug 37) Im ugüsigse Fall völlig ukorrelierer x - ud y -Were verläuf die Regressiosgerade horizoal Alle Ex-pos-Progosewere y espreche da dem arihmeische Miel y ud es gil für die Variaze i der Sreuugszerlegug: σ = y ud σ =σ, u y dh die Sreuug der y -Were bleib vollsädig uerklär, weil sie ich auf die Sreuug der x -Were zurückgeführ werde ka Abbildug 36: Perfeker liearer Zusammehag Abbildug 37: Kei liearer Zusammehag Als Ergebis dieser Überleguge is feszuhale, dass ei Regressiosmodell umso besser is, je größer der Aeil der erkläre Sreuug a der Gesamsreuug is Dieser Aeil heiß Besimmheismaß ud esprich dem Quadra des Korrelaioskoeffiziee ach Bravais/Pearso: r σ σ σ = = = σ σ σ σ y xy u y x y y (3) Das Besimmheismaß is auf das Eiheisiervall ormier: r (3)

10 3 Regressiosaalyse Als sehr grobe Orieierug für die Ierpreaio mag die folgede Fausregel diee: r < 3 r < r kei liearer Zusammehag zwische X ud Y schwach ausgepräger liearer Zusammehag zwische X ud Y sark ausgepräger liearer Zusammehag zwische X ud Y Umsazprogose Beispiel I Forführug des Beispiels aus Tabelle 3 werde zur Beureilug des Regressiosmodells die Ex-pos-Progosewere ud Residue sowie die Kompoee der Sreuugszerlegug ermiel (vgl Tabelle 3) Dabei ergib sich wege,9 [ _,8 ] [ _,8 σ,6 ] [ _ y = = σ y = =,9 σ ] u = =,7,9 das Besimmheismaß r = =,565,,6 dh 56,5 % der Sreuug des Umsazes köe mi dem Regressiosmodell durch die Sreuug der Werbeausgabe erklär werde Somi is der uerselle lieare Zusammehag ur mäßig sark ausgepräg Ma solle daher versuche, das Regressiosmodell zb durch Verwedug eies adere Fukiosyps oder durch zusäzliche erklärede Variable zu verbesser (ich-lieares bzw muliples Regressiosmodell) Quaral y / / / 3 / 3 3,,7,5 3, y,75,9,9 3,5 u ( y y) ( y y),5,,,5,,5,9,,5,9,9,5 u,65,,6,5 / / / 3 / ,,9 3, 3,7 3,5,9 3, 3,,5,5,,9,5,9,9,5,5 3 / 3 / 3 / 3 3 / 9 3,6 3, 3,6 3,8 3,5 3,35 3,35 3,8,,5,5,6,,6,36,9,5,5,36,,5, , 38,,9,8,8 Tabelle 3: Ex-pos-Progosewere, Residue ud Sreuugszerlegug 3

11 3 Progoseverfahre 33 Zeireiheaalyse 33 Problemsellug Eie Zeireihe is eie Folge vo zeilich hiereiader, meis i regelmäßige Absäde bei demselbe Merkmalsräger erhobee Beobachugswere eies Merkmals: Typische Beispiele für Zeireihe sid y ( =,,, +, +, ) (3) die ägliche Schlusskurse eies börsegehadele Werpapiers, die moalich fesgeselle Arbeislosezahle i Deuschlad, die Quaralsumsäze eies Uerehmes oder die jährliche Produkiosmege eies Sahlwerks Üblicherweise werde solche Zeireihe i eiem Zeireihediagramm grafisch dargesell, wobei die lieare Verbidug aufeiader folgeder Were ur der bessere Veraschaulichug die Abbildug 38: Zeireihediagramm der Umsazreihe (Dae aus Tabelle 3) I der Zeireiheaalyse werde Zeireihe auf Gesezmäßigkeie uersuch, die sich aus der zeiliche Abfolge der Beobachugswere ergebe Die eifachse Verfahre ziele darauf ab, de Zeireiheverlauf so gu es geh auf sysemaische Kompoee wie Tred ud Saisoeiflüsse zurückzuführe Nebe de sysemaische Kompoee wird och eie Reskompoee berücksichig, i der alle ich-sysemaische ( zufällige ) Eiflüsse auf die Zeireihe zusammegefass werde Das addiive Modell der Zeireihezerlegug laue: y = g + s + r ( =,, ), (33)

12 33 Zeireiheaalyse wobei die Zeireihe y i eie glae Kompoee (Tred) g, eie zyklische Kompoee (zb Saisofigur) s ud eie Reskompoee r zerleg wird Wie i der Regressiosaalyse sid auch bei der Zeireiheaalyse zwei Probleme zu behadel: Schäzproblem: Wie lasse sich die sysemaische Kompoee g ud s aus de vorliegede Zeireihewere schäze? Beureilugsproblem: Wie läss sich die Güe bzw Aussagefähigkei der Zeireihezerlegug beureile? 33 Besimmug der glae Kompoee Bei der Zeireihezerlegug begi ma mi der glae Kompoee, idem ma eie besimme Fukiosyp für die Tredfukio uersell Die eifachse Aahme is die eier lieare Tredfukio g = a+ b Durch Eiseze i die Modellgleichug (33) erhäl ma die Gleichug y = a+ b+ ( s + r), die dem lieare Regressiosmodell esprich, we ma die Were der uabhägige Variable x durch die Zeiperiode ud die Söruge u durch die kombiiere Saiso- ud Reskompoee s + r ersez Demach köe die Koeffiziee a ud b der lieare Tredfukio wieder ach dem Kleis-Quadrae-Prizip geschäz werde: ( s+ r) = ( y a b) = : q( a, b) mi! = = Das Ergebis is die geschäze Tredgerade g = a+ b (3) mi de aalog zu (36) ud (37) besimme Koeffiziee b σ = σ y (35) + ud = a y b (36) Da die Were vo die Zahle,, sid, gil bei der Berechug: + = = = 5

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