Statistik Formelsammlung (gekürzt für 5 Abende Veranstaltung)

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1 Saisik Formelsammlug (gekür für 5 Abede Verasalug) Formel um Kurs "Saisik" a der VWA Esse vo Prof. Dr. Peer vo der Lippe Ihalsvereichis: (gesrichee Abschie sid grau markier). Häufigkeisvereiluge S.. Mielwere S. 3. Sreuug S. 4. Lorekurve 5. Verhälisahle, Wachsumsrae S. 6. Idexformel S. 7. Zweidimesioale Häufigkeisvereiluge S Regressiosaalyse S Zeireihe S. 4. Wahscheilichkeisrechug S. 4. Eiige Wahscheilichkeisvereiluge S. 5. Grewersäe S Schäheorie S Durchführug ud Ierpreaio eies Hypoheseess S Nowediger Sichprobeumfag S. 7. Häufigkeisvereiluge Eielwere : x i bedeue x,x,...,x (i =,..., ) Gruppiere Dae : x bedeue -e Ausprägug des Merkmals X (=,...,m) absolue Häufigkei der -e Merkmalsauspägug relaive Häufigkei (=,...,m) h Summehäufigkeie : absolu N k = k relaiv H k = h +h +...+h k Treppefukio (H =, H m = ) klassiere Dae : x u = Uergree.., x o = Obergree der -e Größeklasse $x = x + x = geschäer Klassemielwer. x = wahrer Klassemielwer, ( u o). Mielwere (geomerisches Miel weiger releva) arihmeisch x ugewoge (Berechug aus Eielwere) x x x = xi = geomerisch x G x G x x... x ( xi ) = = / gewoge (Berech. aus gruppiere/klassiere Dae) x = x = x h x G = ( x x x m ) m... = x h harmoisch x H = xh xi = = h x x x H

2 Prof. Dr. Peer. vo der Lippe Saisik Formelsammlug (VWA-Esse, geküre Fassug) Zeralwer (Media) : der i der Größe ach (vo kleie u große Merkmalswere) geordee Reihe vo Elemee i der Mie (a der + e Selle) sehede Wer, bw. der x-wer bei der 5% Liie der Summehäufigkeiskurve H k. 3. Sreuug = = xi x Varia ugewoge : s ( xi x) gewoge : ( ) s = x x h = x h x Sadardabweichug : s = + s Variaioskoeffiie: V = s x 5. Verhälisahle, Wachsumsrae Srukurbeschreibug : Quoe, Beiehugsahle y Beschreibug der Dyamik: Messahle m = ( Idies als Mielwere vo Messahle) sowie Wachsumsrae ud y fakore 6. Idexformel a) hisorische P D Duo: Messahl vo Mielwere Carli: Mielwer vo Messahle* p = mi p = C pi pi ud p p aalog P = p * Meßahlemielwer b) akuelle Preisidex vo Messahlemielwerformel Aggregaformel Laspeyres Paasche c) Aweduge = p p L P P P i i i i piq i = p p i i i = i piq i pi p i i i i i L P i = P P = pq L P L P Megeidies Q, Q esehe aus Preisidies P, P durch Verausche vo Mege ud Preise pq Weridex ( Lebeshalugskose): W = P L L Preisbereiigug (Deflaioierug) W = P Q = P Q P

3 Prof. Dr. Peer. vo der Lippe Saisik Formelsammlug (VWA-Esse, geküre Fassug) 3 7. Zweidimesioale Häufigkeisvereiluge a) Radvereiluge h i. ud h. y... y... Σ x h... h... h xi h i... h i... h i. Σ h..... h.... Radvereilug vo x (Summe über alle Spale) hi. = h i = hi = h ( X = xi ) m Radvereilug vo y: h. = h i = hi = h ( Y = y ) b) bedige Vereiluge ud bedige Mielwere h i bedige* Vereilug vo x hi i h( x Y y ) h.. i = k = bedige Vereilug vo y hi i = = = h y X = xi h = = = = h ( ) x y = x ( y ) = x h m i i * bedig heiß: we y =... c) Uabhägigkei: d) Kovaria i = i.. bw. h h h i.. bei Eielbeobachuge (="ugewoge") sxy = ( xi x)( yi y) oder ach Verschiebugssa = xiyi x y i i. i. = k i = y x = y ( xi ) = y h bei gruppiere Dae m k s xy = ( xi x)( y y) = ( )( ) = x x y y h = xiyhi x y i i i e) Korrelaioskoeffie: r xy sxy = r + s s xy x y 8. Regressiosaalyse (lieare eifache Regressio) ( ) y = f x + u = a + b x + u i i i i i, (,...,) bei liearer Regressiosfukio $y = a + b x Schäug der Koeffiee / Parameer mi der Mehode der kleisequadre + =. Normalgleichug a b x y. Normalgleichug a x + b x = xy Berechug der Regressiosgerade i wei Schrie i i

4 Prof. Dr. Peer. vo der Lippe Saisik Formelsammlug (VWA-Esse, geküre Fassug) 4.) b = ( xi x)( yi y) ( xi x) sxy = = s x Kovaria Varia.) a = y bx das heiß: die Regressiosgrade geh durch de Schwerpuk Variaerlegug ( yi y) = ( y$ i y) + ( yi y$ i ) 9. Zeireiheaalyse a) Kompoeemodell Gesamvaria s y erkläre Varia s y$ Residualvaria s u Kompoee der Zeireihe y sysemaische ichsysemaische aperiodisch (mooo) periodisch (yklisch) Zufalls-, Reskompoee* r Srukurbrüche Tred m Ausreißer Koukur k Saiso s glae Kompoee: m + k * oder irreguläre Kompoee addiive Überlagerug y = m + k + s + r b) Besimmug des Treds, bw. der glae Kompoee. Mehode der kleise Quadrae - liearer Tred $y = m = a + b (Besimmug vo a ud b wie i der Regressiosaalyse) Nichlieare Treds ach Variablesubsiuio oder liearisiereder Trasformaio. Mehode der gleiede Mielwere p ugerade Zahl p = k + ~ y = p y + y + + y + + y + y p gerade ( p k) ( ) k k + + k + k = erierer gleieder Durchschi ~ y = y + y y y + y p k k + + k + k c) Expoeial Smoohig (expoeielles Gläe) gesriche. Wahrscheilichkeisrechug a) Biomialkoeffiie Aahl der Kombiaioe ohe Wiederholuge K = i =! i! ( i)! Die Ewicklug des Bioms ( ) a + führ u folgeder Summe b

5 Prof. Dr. Peer. vo der Lippe Saisik Formelsammlug (VWA-Esse, geküre Fassug) 5 a b a b a b a i b + a b i i Nach Defiiio gil = = ud =, Symmerie i = i b) Addiiossa P( A B) Muliplikaiossa P( A B) P( AB) = bei wei Ereigisse Säe Addiiossäe Muliplikaiossäe a) allgemei () P( A B) P( A) P( B) P( AB) P AB = P A P B A = P B P A B b) speiell = + (3) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) P A B = P A + P B we A ud B disuke Ereigisse sid, also A B = () ( ) ( ) ( ) P AB = P A P B we e wei Ereigisse A ud B paarweise uabhägig sid (4) ( ) ( ) ( ) c) bedige Wahrscheilichkei ud (sochasische)uabhägigkei P(A B) is die Wahrscheilichkei des Eireffes des Ereigisses A uer der Vorausseug, P( A B) P( A B) daß Ereigis B eigeree is P( A B) = espreched P( B A) =. P( B) P( A) P A B P A B P( A) Uabhägigkei bedeue ( ) ( ). Eiige Wahrscheilichkeisvereiluge a) Diskree Vereiluge = = ud dami auch P( AB) P( A) P( B) =. Name Wahrscheilichkeis- ud Vereilugsfukio x x f( x) = ( ) x π π M N M x x f( x) = N Momee E( X) = π V( X) = π( π) E( X) = π N V( X) = π ( π ) ( ) F N = π π F = fiie muliplier geomer. Vereilug gesriche b) seige Vereilug: Normalvereilug (Tabelle siehe Seie 8) Biomialvereilug hypergeomerische Vereilug Wahrscheilichkeisfukio (Diche) Vereilugsfukio (Tabellierug) Parameer we X ( ) σ ( ) x µ fn ( x) = exp < x < + σ π σ N µ, σ, da is Z = X µ N, (Sadardormalvereilug). Die N (,)-vereilug is abellier (siehe ue). µ (ugleich E(X)) ud σ (ugleich V(X))

6 Prof. Dr. Peer. vo der Lippe Saisik Formelsammlug (VWA-Esse, geküre Fassug) 6. Grewersäe Zeraler Grewersa (vo Lapuoff) : Uer sehr allgemeie, prakisch immer erfülle Bediguge sid Summe ud Durchschie vo uabhägige Zufallsvariable für große ageäher ormalvereil. 3. Schäheorie a) Are der Schäug Frageselluge (Begriffspaare) homograd / heerograd Schlussweise (direk / idirek) Are saisischer Ifere: Schäe / Tese mi Zurücklege (m.z.) / ohe Zurücklege (o.z.) direker Schluss vo der Grudgesamhei auf die Sichprobe heerograd µ x x µ homograd π p p π b) Kofideiervalle (idireker Schluß) idireker Schluss vo der Sichprobe auf die Grudgesamhei Iervalle für µ bw. π bei eier Sicherheiswahrscheilichkei vo -α heerograd homograd Ziehe mi Zurücklege (Z.m.Z.) σ x ± α p ± α Ziehe ohe Zurücklege (Z.o.Z.) x ± α σ N N p ± α N N 4. Durchführug ud Ierpreaio eies Hypoheseess a) Are vo Tess Beispiele für die Fragesellug bei Tess (Parameeress) a) Abahmekorolle (Tess mi eier Sichprobe; eiseiiger Tes des Ausschußaeils [homograd]) b) Qualiäskorolle (Tess mi eier Sichprobe; weiseiiger Tes, Füllmege [heerograd]) c) Korollgruppeexperime (Tess mi wei Sichprobe) b) Arbeissschrie. Feslegug vo Nullhypohese H o ud Aleraivhypohese H (ud dami Escheidug ob ei- oder weiseiig u ese is). Feslegug des Sigifikaiveaus α ud dami der Sigifikaschrake α 3. Berechug der Prüfgröße 4. Escheidugsregel: Vergleich vo mi α c) Schema der Fehlerare weier uereil i Puk- ud Iervallschäug

7 Prof. Dr. Peer. vo der Lippe Saisik Formelsammlug (VWA-Esse, geküre Fassug) 7 sae of aure (wahrer Zusad) acio (Escheidug) H is richig H is falsch H o ablehe Fehler erser Ar (α-fehler) kei Fehler H o aehme kei Fehler Fehler weier Ar (ß-Fehler) d) Prüfgröße (ur paramerische Tess, ur mi Normalvereilug, Prüfgröße ohe Edlichkeiskorrekur Prüfgröße bei homograd heerograd eier Sichprobe wei Sichprobe = p π π( π) uers bereche da = p = p + ( p ) p p p( p) + Bei alle Prüfgröße is mi der Normalvereilug u reche x µ = σ uers bereche da Ei häufig mißversader Begriff is "sigifika": = $σ = + x x $σ + ( s s ) so uwahrscheilich, daß es bei Gelug der Nullhypohese kaumu erware is; ich mehr durch Zufall u erkläre; "überufällig" 5. Nowediger Sichprobeumfag Um π (homograd) oder µ (heerograd) mi eiem absolue Fehler vo e (das is die halbe Läge des Kofideiervalls) ud eier Sicherhei -α (dami is auch α gegebe) u schäe sid σ α bw. e heerograd Persoe u befrage. π α ( ) π e homograd Beispiel: Ma will das Durchschiseikomme µ mi eier Geauigkei (ausgedrück durch de Fehler) vo ± 8 DM ud eier Sicherhei vo 9 % (also - α =,9 ud α = ±,6449) schäe. Aus frühere Uersuchuge is u vermue, daß die Sadardabweichug der Eikomme (, 6449) ( ) DM beräg. Es sid dau mideses 8 = 69, 6 also mideses 69 Persoe u befrage. Bei eier gerigere Geauigkei, ewa e = ± 5 DM (sa 8 DM) würde es scho ausreiche, mideses 48 Persoe u befrage.

8 Prof. Dr. Peer. vo der Lippe Saisik Formelsammlug (VWA-Esse, geküre Fassug) 8 Sadardormalvereilug N(,) Zur Erklärug der Fukioe F() ud Φ() vgl. Vorlesug f ( ) = e π Dichefukio Vereilugsfukio Symmerische Iervallwahrscheil. F( ) = π e u du Φ( ) = π e u du Wichige Sigifikaschrake ud Wahrscheilichkeie a) -Were für gegebee Wk. - α P=-α eiseiig F() weiseiig φ() 9%,86 ±, %,6449 ±,96 99%,363 ±, ,9% 3,9 ± 3,9 b) Wk. für gegebees F() φ(),5,,843,687,977,9545 3,9987,9973