Simulationsbasierte stochastisch dynamische Programmierung

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1 Simulaiobaiere ochaich dyamiche Programmierug OLIVER MUßHOFF, BERLIN NORBERT HIRSCHAUER, BERLIN Abrac Deciio ree, repreeig he backward recurive dyamic programmig approach, are ofe o flexible eough o aalyze real world deciio problem i a riky evirome. The crux i he modelig of rik. Sochaic imulaio, i cora, i a very powerful ad flexible modelig ool for ochaic variable. However, he prevailig belief i ha imeierdepede deciio problem cao be aalyzed by mea of a forward movig imulaio of ochaic pah. I hi paper we demorae how o iegrae he ochaic imulaio procedure i a backward recurive dyamic programmig algorihm. Uig hi combiaio of ool, he opimal raegy ca be deermied i a fa ad efficie way. Our approach could be called "Bouded Recurive Sochaic Simulaio" (BRSS). 1 Eiführug ud Problemellug Bei zeiliche Ierdepedeze zwiche uerehmeriche Hadluge beeiflue Echeiduge i der Gegewar de mögliche Echeidugpielraum i der Zukuf. Beipielweie ka eie uverzügliche Iveiiodurchführug eie päere Iveiio auchließe. Ählich verhäl e ich bei mehrperiodige Produkioplauge (z.b. opimale Maedgewich), Machieerazprobleme oder Fiazopioe. Zur Aalye derariger Echeidugiuaioe wurde i der Vergagehei ibeodere da Echeidugbaumverfahre vorgechlage. Zur Beimmug der opimale Hadlugraegie wird dabei die dyamiche Programmierug (vgl. BELLMAN 1957) verwede, bei der die Opimierug ich für alle Variable gleichzeiig, oder i mehrere, aufeiader folgede Schrie vor ich geh. Ei allgemei bekae Problem i, da i realiiche Echeidugiuaioe (Vielzahl möglicher Durchführugzeipuke, Vielzahl vo Hadlugmöglichkeie ec.) au Echeidugbäume chell uüberchaubare ud chwer zu hadhabede Echeidugbüche werde. Die gil umo mehr, we e durch riikobehafee (ochaiche) Variable zu weiere Verzweiguge komm. Außerdem gib e grudäzliche Probleme, we ochaiche Prozee berückichig werde müe, die ich ich zuaddikre über eifache Wahrcheilichkeie abbilde lae. I dieem Beirag wird ei zur Aalye ochaich dyamicher Echeidugprobleme geeigee Verfahre ewickel, da die dyamiche Programmierug mi der ochaiche Simulaio kombiier. Diee Verfahre wird am Beipiel der Beimmug der opimale Iveiioraegie bzw. eie opimale Iveiiorigger augedrück al kriicher Barwer der Iveiiorückflüe V erklär. 2 Grudäzliche zur Beimmug der opimale Iveiioraegie Augagpuk i die ochaiche Ewicklug der Iveiiorückflüe. Durch uverzügliche Iveiioecheidug ei ei poiiver Kapialwer i 0 zu erziele. Der og. Forführugwer f gib de dikoiere Erwarugwer der bee zuküfige Iveiio a. Soforige Iveiere bedeue eie Realiaio de poiive Kapialwere ud eie gleichzeiige Verichug de Forführugwere. Ei raioal hadelder Iveor wird da uverzüglich iveiere, we der poiive Kapialwer de aleraiv zu erzielede Forführugwer überchreie. Aderfall ell Ware die zu präferierede Hadlugraegie dar. Der Wer der Iveiio eprich demach dem Maximum au dem poiive Kapialwer ud dem Forführugwer. 99

2 I Abb. 1 (like Bildhälfe) i der Fukioverlauf vo poiivem Kapialwer ud Forführugwer i Abhägigkei vom erwaree Gegewarwer der Iveiiorückflüe für eie beliebige poezielle Durchführugzeipuk chemaich dargeell. Bildlich geproche olle die Iveiio bei eiem Barwer der Iveiiorückflüe V lik de Schipuke zwiche poiivem Kapialwer ud Forführugwer ich uverzüglich iiiier werde; rech davo i eie oforige Realiierug der Iveiio azurae. Miel dyamicher Programmierug gil e, de (kriiche) Barwer zu beimme, für de der poiive Kapialwer ud der Forführugwer gleich hoch id. Währed ich die like Darellug i Abb.1 auf ur eie Zeipuk bezieh, id i der reche Darellug die kriiche Barwere zu verchiedee poezielle Durchführugzeipuke agezeig. Jeder der kleie Sere eprich dem für eie poezielle Durchführugzeipuk gelede kriiche Wer. Der kriiche Pfad, der uabhägig vom gegewärig erwaree Barwer für die Iveiiorückflüe gil (Free-Boudary), defiier alo die opimale Hadlugraegie zu alle poezielle Durchführugzeipuke. Bildlich geproche wird oberhalb de kriiche Pfade ofor iveier ud uerhalb die weiere Ewicklug abgeware. Charakeriich für de Verlauf de kriiche Pfade i die expoeielle Abahme, die Audruck der ich mi der Abahme de poezielle Durchführugzeiraume verrigerde uerehmeriche Hadlugflexibiliä i. Da bedeue, da der Iveor mi der Abahme de poezielle Durchführugzeiraume immer weiger zurückhaled bei der Durchführug eier Iveiio ei olle. Da im leze mögliche Durchführugzeipuk T hiichlich eie weiere Aufchub der Iveiio keie zeiliche Flexibiliä mehr vorhade i, wird jede gewibrigede Iveiio durchgeführ. i, f, F V Poiiver Kapialwer i Forführugwer f Iveiere Ware I Ware I V Iveiere V T-4 T-3 T-2 T-1 T Abbildug 1: Darellug de Verhälie zwiche poiivem Kapialwer ud Forführugwer (lik; < T) ud de kriiche Pfade (rech) 3 Die begrez rekuriv-ochaiche Simulaio (BRSS) Bei der begrez rekuriv-ochaiche Simulaio (vgl. auch GRANT e al. 1997) wird die ochaiche Simulaio i eie dyamiche Programmierugablauf iegrier. Die Beimmug der opimale Sraegie mu rückwär-rekuriv erfolge, weil auf die ochaiche Simulaio ur da zurückgegriffe werde ka, we die zuküfige Hadlugraegie hiichlich der uverzügliche oder päere Iveiiodurchführug beka i. Bei der Umezug der BRSS ergib ich folgede Ablaufchema: 100

3 Schri 1: Beimmug de kriiche Were V T T T Augagpuk der rekurive Bewerug i der kriiche Wer im leze poezielle Durchführugzeipuk. Zu dieem Zeipuk gib e keie Flexibiliä mehr ud die Iveiio wird durchgeführ, we der Barwer der Iveiiorückflüe V T die Iveiiokoe I deck ( V = I). Die Kei vo V i Vorauezug für die Berechug vo V. Schri 2: Beimmug de kriiche Were Der kriiche Wer V V i f T 1 eprich dem Barwer der Iveiiorückflüe, bei dem der Kapialwer ud der Forführugwer ideich id. Zur Beimmug de Schipuke der Kurve i ( ) ud f ( ) werde die Fukiowere für de Kapialwer ud für de Forführugwer ierhalb eie vorgegebee Bereich i Abhägigkei vo uerchiedliche Barwere V, = 1, 2,..., N, bereche. Bei der Beimmug vo V i wie folg vorzugehe (vgl. ): Schri 2.1: Felegug vo Tebarwere E wird ei relaiv großer Parameriierugbereich für de Barwer der Iveiiorückflüe vorgegebe. Aufgrud de expoeiell abfallede Verlauf de Pfade i klar, da der kriiche Barwer de achfolgede poezielle Durchführugzeipuke (hier: V T ) die heoreiche Uergreze für de kriiche Wer de berachee Zeipuke darell. Die Obergreze mu i jedem Fall pragmaich gewähl werde. Der gewähle Bereich wird i gleich große Iervalle uereil, dere Greze die eizele defiiere. N V Schri 2.2: Beimmug der Forführugwere miel ochaicher Simulaio Augehed vo jedem Tebarwer V werde auf der Grudlage derelbe Zufallzahlefolge Simulaioläufe, = 1, 2,..., S, durchgeführ. Die Ewicklugpfade baiere auf der zeidikree Verio eie vorgegebee ochaiche Prozee (vgl. MUßHOFF ud HIR- SCHAUER 2003, Kapiel 3). Für jede V wird der Forführugwer f währed jede Simulaiolauf al dikoierer Rückflu der opimale Iveiioecheidug beimm: f = max, r ( 0 V I ) e T (1) Der Erwarugwer für de Forführugwer f i wie folg zu bereche: S 1 ft 1 = ft (2) S = 1 Schri 2.3: Algorihmiche Beimmug der poiive Kapialwere Um eie Vergleich zwiche de mögliche Sraegie: (1) Uverzüglich iveiere ud (2) Ware vorehme zu köe, wird ebe dem erwaree Forführugwer für jede der poiive Kapialwer beimm: V i ( 0 V I ) it =, max (3) 101

4 f T-1 i T-1 Poiiver Kapialwer 7i T-1 7f T-1 6f T-1 5f T-1 4f T-1 3f T-1 2f T-1 1f T-1 Forführugwer 6i T-1 5i T-1 4i T-1 3i T-1 2i T-1 1V T-1 =V T 2 V T-1 3V T-1 4V T-1 5V T-1 6V T-1 7V T-1 V Parameriierugbereich 1i T-1 Abbildug 2: Beimmug de kriiche Barwere V uer Verwedug der BRSS Schri 2.4: Lieare Ierpolaio Prakich wird e iemal gelige, ad-hoc eie Tebarwer Ideiäbedigug erfüll i, d.h. der dem geuche V V zu wähle, für de die eprich. Dehalb werde zuäch die beide V geuch, bei dee die Differez zwiche dem eifach zu berechede poiive Kapialwer ud dem imuliere Forführugwer da Vorzeiche wechel. Die beide gewähle Barwere werde im Folgede mi ud bezeiche. Die zu bzw. gehörede poiive Kapialwere ud bzw. die V V i i f V Forführugwere f ud fließe i die achließede Berechug vo ei. Grafich geproche werde die zwei Barwere de Iveiiorückflue geuch, die am dichee uerhalb bzw. oberhalb de Schipuke liege. Zwiche diee beide Barwere wird ierpolier. Die Beimmug de kriiche Were V ka uer Verwedug der allgemeie Ierpolaioformel wie folg vorgeomme werde: [ ( i f )] V = + (4) ( i f ) ( i f ) I dem i dargeelle Beipiel mu zwiche de Were liear ierpolier werde. Korollchri: Vermiderug de Ierpolaiofehler ud V = 4V V = 5V Um de Ierpolaiofehler o gerig wie möglich zu hale, köe der zuäch gewähle Parameriierugbereich durch Veregug hi zum aächliche Schipuk zwiche poiivem Kapialwer ud Forführugwer agepa werde ud die Schrie 2.2 bi 2.4 ereu durchlaufe werde. Diee Korrekur mu erfolge, we der Parameriierugbereich zu eg gewähl wurde ud ich die Fukioabchie vo poiivem Kapialwer ud Forführugwer ich cheide. Aoe wäre der Ierpolaiofehler zu hoch. 102

5 Schri 3: Beimmug der kriiche Were V T 2 Die bechriebee Vorgeheweie fide rückwär geriche für die Berechug der kriiche Were zu alle weiere poezielle Durchführugzeipuke Awedug. Dabei müe jeweil alle zuvor beimme kriiche Were berückichig werde. Die bedig bi eie zuehmede Komplexiä der Berechug vo lä ich allgemei wie folg darelle: e r κ ) f = max 0, V I e, mi κ ( ) ( + 1, we V + 1 V + 2, we V + 2 V : T, aderfall κ + 1 < = + 2 V + 1 V + 1 V 0 f. Die dabei zu verwedede Formel (5) bedeue, da die Iveiio i + 1 durchgeführ wird ud eie zu dikoierede poiive Kapialwer liefer, we der ich dor im Simulaiolauf eiellede Barwer +1 größer oder gleich dem kriiche Barwer V i. Sie wird i + 2 durchgeführ, we der ich dor im Simulaiolauf eiellede Barwer Barwer V +2 i, uw. V +2 (5) V +1 größer oder gleich dem kriiche 4 Zuammefaug Bei der begrez rekuriv-ochaiche Simulaio wird die ochaiche Simulaio mi der dyamiche Programmierug kombiier. Die ermöglich eie außerordeliche Flexibiliä hiichlich der Abbildug vo Uicherhei. Da heiß, da owohl beliebige ochaiche Prozee al auch muliple ochaiche Variable (ikl. Korrelaioe) problemlo abgebilde werde köe. Da gleiche gil für eie hohe Azahl poezieller Echeidugzeipuke. Zudem i die BRSS problemlo i MS-EXCEL umezbar (vgl. MUßHOFF e al. 2002). Obwohl diee Verfahrekombiaio immer och komplex i, ell ie eie deulich hadlichere Aaz zur Berückichigug ochaicher Eiflufakore dar al da Echeidugbaumverfahre. Nach eier eprechede Programmierug ließe ich dadurch auch komplexe ochaiche Plaugprobleme für de prakiche Aweder zugäglich mache. 5 Lieraur BELLMAN, R. (1957): Dyamic Programmig. Priceo Uiveriy Pre, Priceo. GRANT, D., VORA, G., WEEKS, D., (1997): Simulaio ad he Early-Exercie Opio Problem. Joural of Fiacial Egieerig, 5 (3), pp MUßHOFF, O., HIRSCHAUER, N. (2003): MS-EXCEL-baiere Bewerug komplexer Opioe - Numeriche Opiobewerugverfahre ud Awedugmöglichkeie der Opiopreiheorie auf Sachiveiioe -. PD-Verlag (im Druck). MUßHOFF, O., HIRSCHAUER, N., PALMER, K. (2002): Bouded Recurive Sochaic Simulaio - A Simple ad Efficie Mehod for Pricig Complex America Type Opio -. Workig Paper Nr. 65/2002, Humbold-Uiveriä zu Berli, Wirchaf- ud Sozialwiechafe de Ladbau, Berli ( 103

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