Fehler-in-den-Variablen Modelle

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1 Adré Führer Fehler-i-de-Variable Modelle Semiar zur Ökoomerie im WS 998/999 vo Prof.Dr. Has-Peer Sahlecker am Isiu für Saisik ud Ökoomerie Ihalsverzeichis ABKÜRZUNGS- UND SYMBOLVERZEICHNIS...II EINLEITUNG... DAS LINEARE REGRESSIONSMODELL MIT FEHLERBEHAFTETEN DATEN. PROBLEMATISIERUNG VON FEHLERN IN EXOGENEN VARIABLEN.... MODELLIERUNG VON FEHLERN IN DEN VARIABLEN (FIDV-MODELL) INKONSISTENZ DES KQ-SCHÄTZERS IM FIDV-MODELL KONSISTENTE SCHÄTZER IM FIDV-MODELL DEFINITION UND BEDEUTUNG IDENTIFIZIERBARER MODELLE DIE METHODE DER INSTRUMENTVARIABLEN (IV-METHODE) DER MAXIMUM-LIKELIHOOD-SCHÄTZER IM FIDV-MODELL... 4 KURZER AUSBLICK AUF SPEZIFIKATIONSTESTS FÜR DAS FIDV- MODELL...7 LITERATURVERZEICHNIS... 9

2 Adré Führer: Fehler-i-de-Variable Modelle II Abkürzugs- ud Symbolverzeichis BLUE Bes Liear Ubiased Esimaor (= beser liearer uverfälscher Schäzer) FIDV Fehler i de Variable idr i der Regel IV Isrumee-Variable KQ Kleise-Quadrae ML Maimum-Likelihood N Mege der aürliche Zahle {,,...} R Mege der reelle Zahle R k Mege der reellwerige k Marize 0, I Nullmari geeigeer Dimesio bzw. Eiheismari der Dimesio. N k k-dimesioale Normalvereilug i.i.d. idepede ideically disribued (= uabhägig ideisch vereil).v. ach Voraussezug s.u. sochasisch uabhägig plim ( ) = lim ( P{ ω Ω: ε} ) > = 0 für jedes ε > 0 (schwache Kovergez) $ß (allgemeier) Schäzer für ß s, s y empirische Variaz vo bzw. empirische Kovariaz zwische ud y arihmeisches Miel r Vekor (Der Pfeil wurde jeweils eigefüg, we eie Abgrezug vo (eidimesioale) reelle Zahle owedig oder sivoll erschie.) T, der zu raspoiere Vekor X T, X die zu X raspoiere Mari kezeiche das Ede eies Sazes oder Beweises

3 Adré Führer: Fehler-i-de-Variable Modelle Eileiug Ausgehed vom ökoomerische Sadardmodell r r r y = X ß+ u für die lieare Regressio, wird i dieser Arbei die Frage ach der Sicherhei der zugrudeliegede Beobachuge gesell. Welche Auswirkuge ha es, we abgesehe vo dem modelliere Meßfehler u des Modells auch die vermeilich eogee Variable i X durch sochasische Fehlergröße verfälsch sid? Daß diese Fragesellug ich ur heoreische Charaker ha, wird sehr schell klar, we ma sich vor Auge häl, daß viele Aussage der Volkswirschafslehre auf Größe wie Volkseikomme oder Sozialproduk aufbaue. Die Ermilug dieser Größe erfolg zwagsläufig über Mielwerbildug, Schäzuge ud Ruduge, so daß sie dami ebeso zwagsläufig die übliche saisische Usicherheie ehale. Will ma u beispielsweise de Kosum i Abhägigkei vom Volkseikomme ermiel, so werde diese saisische Usicherheie zu Fehler i de (eogee) Variable. Regressiosmodelle, welche diese Ar Fehler berücksichige, bezeiche ma als Fehler-ide-Variable-Modelle (im folgede kurz FIDV-Modelle). Nach dieser eileiede Begriffsbeschreibug der Fehler i de Variable soll im folgede Kapiel zuächs die Nowedigkei eies eigee FIDV-Modells aufgezeig werde, welches aschließed hergeleie ud uersuch wird. Es sell sich heraus, daß die koveioelle Vorgehesweise der Berechug des KQ-Schäzers ich auf das FIDV-Modell überrage werde ka, da der KQ-Schäzer hier ikosise is; adere Schäzer müsse also gefude werde. Die Ewicklug ud Uersuchug dieser Schäzer sowie der dami verbudee Probleme selle de Schwerpuk der Arbei dar. Zum Abschluß wird ei kurzer Ausblick auf Tesverfahre gegebe, die eie Escheidugshilfe für oder wider die Verwedug der ewas aufwedigere FIDV-Modelle gebe. Im Rahme eier eiführede Darsellug des Themas müsse i dieser Arbei eiige vereifachede Aahme gemach werde. So wird ausschließlich der Fall der lieare Regressio berache, obwohl auch für beliebige fukioale Zusammehäge y r = f ( X) + u r eie Theorie eisier. Weiere Aahme beziehe sich auf die Vereilug der Fehlergröße ud werde a de esprechede Selle eplizi aufgeführ. Schließlich soll och erwäh werde, daß sich FIDV-Modelle aufgrud ihrer Symmerie i de Variable auch für Eremfälle abiee, wo Ukeis darüber beseh, welches die eogee ud welches die edogee Variable sid. Ierhalb dieser Arbei wird jedoch ses vo eiem bekae fukioale Zusammehag gemäß obiger Gleichug ausgegage.

4 Adré Führer: Fehler-i-de-Variable Modelle Das lieare Regressiosmodell mi fehlerbehafee Dae Dieses Kapiel beschreib die Nowedigkei, Herleiug ud das weseliche Problem der FIDV-Modelle. Um die Darsellug möglichs übersichlich zu hale, werde a dieser Selle für de Res der Arbei eiheiliche Variablebezeichuge eigeführ. Ausgegage wird vo eier reellwerige (edogee) Variable ~ y, die mi eiem Vekor ~ k R (k N ) reeller (eogeer) Kompoee i eier eake ~ ~ lieare Beziehug y = ' ß () seh, wo ß aus demselbe Raum wie ~ is. Die wahre Beziehug () is ubeka ud ka lediglich über isgesam Versuchspuke ( k N ) besimm werde, die mi y ud ( {,..., } ) bezeiche werde ud dere Gesamhei als Vekor bzw. Mari gegebe is: y y =... R bzw. X y,..., k = ,, k R () k Dabei wird die lieare Uabhägigkei der eizele Beobachuge, also Rag( X ) = k, vorausgesez. Uer dem (ökoomerische) Sadardmodell wird das bereis i der Eileiug erwähe Modell y = X ß+ u (3) versade. Nach diese eileiede Fesleguge solle u ahad eiiger Diagramme die Fehler-i-de-Variable defiier werde.. Problemaisierug vo Fehler i eogee Variable Es werde zuächs der heoreische Fall ageomme, daß die Beziehug () beka sei ud durch die i Diagramm bzw. Diagramm dargeselle Gerade beschriebe wird. Da die Beobachuge (, y ) i der Regel durch äußere Söreiflüsse verfälsch werde, weiche sie vo der wahre Gerade mehr oder weiger sark ab. Diagramm Diagramm Diagramm beschreib (ro) die im Sadardmodell (3) erfaße Sörgröße u. Dabei wird davo ausgegage, daß zwar die Beobachuge der y-were mi eiem gewisse Fehler behafe sid, ich jedoch die Beobachuge der -Were, die als fese eogee Größe vorgegebe werde. I der Prais wahrscheilicher wäre es aber i de meise Fälle, wie bereis der Eileiug zu eehme war, daß sowohl y- als auch -Were der Versuchsbeobachuge fehlerbehafe sid ud daß ei wahrer Puk ( ~, ~ y ) der Gerade zu meßbare Beobachugspuke (, y) i seier gesame Umgebug (durch die roe Isbesodere ka die erse Kompoee vo ~ de Wer aehme ( ihomogees Modell ). Auf die Differezierug zwische srukurellem ud fukioellem Modell wird späer eigegage.

5 Adré Führer: Fehler-i-de-Variable Modelle 3 Kreise i Diagramm agedeue) führe würde. Um dem Eiwad vorzubeuge, daß kaum Uerschiede im Ergebis zu erware wäre, soll ahad eies kleie Zahlebeispiels die Relevaz vo Fehler i de eogee Variable vorgeführ werde. Für die folgede Were vo ~,, ud y wurde jeweils die Regressiosgerade y( ) vo y bezüglich ~ bzw. die Regressiosgerade y $( ) für y bezüglich mi der KQ-Mehode bereche. Der Uerschied beider Vorgehesweise wird im Diagramm 3 deulich. ~,00,00 3,00,5,80,95 y 0,95,0,95 y $( ) = 0, , 577 y( ) = 0, , 5 $y y Diagramm 3 Zwar sid die -Abweichuge i diesem Beispiel relaiv groß gewähl, um de Effek deulich hervorree zu lasse, aber es ka deoch geschlosse werde, daß für Progosezwecke auch kleiere -Abweichuge zu ich akzepable Abweichuge i der y-kompoee führe würde, zumal die Regressiosgerade mi de jeweils aufreede Fehler variier.. Modellierug vo Fehler i de Variable (FIDV-Modell) Nach de obe gemache Ausführuge is im Prizip klar, wie ma zuächs zum eifache ud schließlich auch zum muliple FIDV-Modell komm: Ausgagspuk is die (eake) lieare Beziehug (), i der beide Variable ~ ud ~ y durch sochasische Fehlergröße v ud w verfälsch sid ud so zu de beobachbare Größe ud y führe. I eier mehr mahemaische Formulierug laue die Modellgleichuge für de eifache Fall dami: ~ y = ß ß ~ 0 + (4) y = ~ y + w (5) = ~ + v (6) Dabei möge die übliche Vereilugsaahme erfüll sei, welche och eimal eplizi gea werde:

6 Adré Führer: Fehler-i-de-Variable Modelle 4 Die Fehler (v, w ) sid für alle {,..., } uabhägig ideisch vereil (i.i.d.). (a) : E( v) = Ew ( ) = 0 ud für die Variaze σv, σw gil 0 < σv, σw <. (a) r r ( vw, ) is sochasisch uabhägig vo ~. (a3) r v ud w r sid voeiader sochasisch uabhägig. (a4) Aahme (a3) bedeue, daß keie sysemaische Fehler bei der Messug der -Were aufree, was i der Prais zum Beispiel durch Berachug der Differeze erreich werde ka. Diese Aahme is auch deshalb wichig, weil sich im FIDV-Modell mi ubekae sysemaische Fehler kei kosiseer Schäzer kosruiere läß (vgl. [Sch86], S.3ff). I obiger Schreibweise des Modells ri besoders deulich die Symmerie i de Variable ud y hervor, was die i der Eileiug gemache Bemerkug rechferig, daß sich FIDV-Modelle für Uersuchuge abiee, wo ich zwische edogee ud eogee Variable uerschiede werde ka. Durch Eiseze für ~ ud ~ y aus de Gleichuge (5) ud (6) i die Gleichug (4) erhäl ma die folgede, sark a das Sadardmodell erierde Form: y = ß0 + ß + u mi u:= w ß v (7) Der Uerschied zum Sadardmodell beseh i der vorliegede Aahmeverlezug, daß ud u über de gemeisame Term v mieiader korrelier sid: ( 67, ) Cov(, u) = Cov( ~ + v, w ßv) = Cov 4 ( ~ 4, 3 w) Cov( ~, ßv) + Cov( v, w) Cov( v, ßv) = 0 (a3) = ß 0 (a4) = 0 (a) = ß Cov( v, v) (a) = ß σ v 0 (8) Das leze Ugleichheiszeiche gil geau da, we ß 0 ud somi ei echer 3 Zusammehag zwische ud y beseh. Bisweile auch i der Lieraur (vgl. ewa [Sch86], S.3) och eie weiere Sörgröße ε i der Gleichug (4) auf, die eie weiere vo w uabhägige Beobachugsfehler beschreibe soll. Da eplizie Uerscheiduge vo ε ud w jedoch ur sele prakisch möglich sid, soll auf diese Darsellug verziche ud davo ausgegage werde, daß - sofer vorhade - beide Fehlergröße durch w bzw. u erfaß sid. Die Überragug des eifache Modells auf de muliple Fall is problemlos möglich, wobei zu beache is, daß die Fehler i de Variable i jeder Kompoee des Vekors aufree. Ma erhäl also zur Beobachugs-Mari X eie Sörmari V. Mi yyu, ~ k, R, ß R, k X, X ~, V R laue die Modellgleichuge des muliple FIDV-Modells: ~ ~ y = X ß (9) y = ~ y + u (0) ~ X = X + V () Ereu läß sich durch Eiseze (ma beache jedoch die verädere Bedeuug der Variable u) eie eifachere Form fide: y = Xß+ ( uvß) () Die i der Eileiug zu diesem Kapiel gemache Aahme ud die Forderug, daß keie zeiliche Ierdepedeze der Beobachuge vorliege, werde im weiere als A0 referier; zusamme mi ihe erhäl ma als modifiziere Modellaahme: () Die Vekore ( V, u ): = (( v, v,..., v ), u ) sid i.i.d. ( {,..., } ). (A),,, k () : EV ( ) = Ev (, v,..., v ) = 0 r ud Eu ( ) = 0 (A.),,, k idr Die Uabhägigkei der Vekore implizier für alle s, aus {,...,} die Uabhägigkei aller Kompoee v s ud w voeiader (vgl. [Sch86], S.4). Bei Keis des sysemaische Fehlers läß sich (aürlich!) ei kosiseer Schäzer herleie. 3 D.h. die y-were bilde keie Kosae bezüglich.

7 Adré Führer: Fehler-i-de-Variable Modelle 5 0 < Var( u ) = :σ u < V ha die reguläre Kovariazmari ( Cov( v, v )) wobei 0 < σ, < i {,..., k} vi i,, j i, j k = σv, σ, L σ, σ, σv, M M O σk σ L σ σ k, k k k, k v, k, i = σi, = 0 für i {,..., k} (A.) (A.3) Im Falle des ihomogee Modells sid die σ, ud i der Lieraur fide sich auch - um späere Eischräkuge vorzubeuge - die Forderuge ( Cov( v, v )) = σ Ω oder ( Cov( v, v )) = σ I. i,, j i, j k i,, j i, j k k (V, u) sid sochasisch uabhägig vo X ~. V ud u sid voeiader sochasisch uabhägig. (A3) (A4) Die bisherige Modellaahme habe sich i erser Liie mi der Vereilug der Fehlergröße beschäfig; eie weseliche Uerscheidug vo Modelle, die auch im ächse Kapiel bei der Ideifizierbarkei eie Rolle spiele wird, erhäl ma jedoch i Abhägigkei vo de Aahme, die ma über ~ mach. Ma uerscheide hier zwische fukioelle/ fukioale ud srukurelle/sochasische Modelle. Bei eiem fukioelle Modell wird ~ als deermiisische Größe aufgefaß, so daß jedes eier Versuchsbeobachug eie eue ubekae Variable ~ repräseier. Dami wächs die Azahl der Ubekae mi der Zahl der Beobachuge, ud eie Schäzug is - ohe särkere Zusazaahme - ich möglich. Ewas eifacher gesale sich die Schäzug beim sochasische Modell, wo ~ als Zufallsvariable aufgefaß wird, dere uabhägig ideisch vereile Realisieruge ~ durch die (verfälsch) gemesse werde. I diesem Fall verbesser eie höhere Azahl vo Beobachuge die Schäzergebisse, da ur eie fese Azahl Ubekaer - ämlich die Vereilugsparameer - eisiere. Eigelich solle ma u ach Bereisellug des heoreische Rüszeugs as Werk gehe ud FIDV-Modelle auch quaiaiv uersuche köe. Leider is dies jedoch ich möglich mi de bisherige Mehode, de es zeig sich schell, was das eigeliche Problem der Fehler i de Variable is: Der herkömmliche KQ-Schäzer $ ß is ich erwarugsreu, ud - was och schlimmer is - er is sogar ikosise..3 Ikosisez des KQ-Schäzers im FIDV-Modell Die Ikosisez des KQ-Schäzers beruh auf der i (8) gezeige Aahmeverlezug des Sadardmodells. Eie kokree Modellspezifikaio (fukioelles oder sochasisches Modell) is dabei och uerheblich, de die Ikosisez is vo de spezielle Aahme uabhägig. Aus der Ikosisez vo ß $ (also plim( ß $ ) ß) ergib sich aürlich auch, daß $ß kei erwarugsreuer Schäzer sei ka; es geüg also, die Ikosisez-Aussage zu beweise, was als ächses geschehe soll. Der Beweis folg i seie Grudzüge ([Joh9], S.48). Zusäzlich zu de obige Aahme wird sillschweiged vorausgesez, daß die Sid die Fehler V i de eogee Variable ud die Fehler u i de edogee Variable ich sochasisch uabhägig voeiader, da sprich ma vo FIDV-Modelle im weiere Sie (vgl. [Sch86], S.5); diese Arbei befaß sich allerdigs ur mi Modelle im egere Sie. Dem Eiwad i ([Sch7], S.03 f.) folged, daß der Srukurbegriff bereis aderweiig beleg is, wird im weiere der Begriff sochasisches Modell verwede.

8 Adré Führer: Fehler-i-de-Variable Modelle 6 obige Uabhägigkeis- ud Regulariäs-Aahme über Sörgröße ud Marize auch für de asympoische Fall och gele ud daß die Kovariaz-Marize vo ~ X ud V sowie dere Summe auch asympoisch eisiere ud regulär sid. Das Modell aus () liefer für de übliche KQ-Schäzer: ß $ = ( X ' X ) X '( Xß+ uvß ) = ß+ ( X' X) X'( uvß) ( ) = ß+ ( X' X) ( X ~ ' + V') ( uvß) = ß+ ( X' X) ( X ~ ~ ' u+ V' u X ' VßV ' Vß ) (3) Uer obiger Voraussezug der asympoische Güligkei der Uabhägigkeisaahme i (A3) ud (A4) erhäl ma für die Kovariaze plim Vu r ' = 0, plim XV ~ ' = 0 ud plim Xu ~ r ' = 0, (4) woraus (Eiseze vo () ud Ausmulipliziere) weier folg: plim plim plim X X X ~ X ~ = VV ' ' + ' = :Σ+ Ω (5) Die Marize ΣΩ, R k k sid - wiederum uer Voraussezug der asympoische Güligkei der Aahme (isbesodere (A0), (A.3)) - regulär. (6) Durch Eiseze vo (4) ud (5) erhäl ma für de i (3) hergeleiee Schäzer ß $ : plim( ß $ ) = plim( ß+ ( XX ' ) ( Xu ~ ~ ' + Vu ' XVß ' VVß ' ) ) ~ ~ X' X Xu ' + Vu ' XVß ' VVß ' = ß + plim r r = ß+ ( Σ+ Ω) ( ßΩß) = ß ( Σ+ Ω) Ωß ß (7) Das leze Ugleichheiszeiche, welches die Ikosisez des Schäzers ß $ zeig, folg aus der Bemerkug (6), woach der Ausdruck ( Σ+ Ω) Ω immer eie reguläre Mari (also iemals die Null-Mari) is ud dami immer ei vo 0 r verschiedeer Vekor vo ß subrahier wird. Der uieressae Fall ß = r 0 wird i diesem Koe igorier espreched der Bemerkug i Fußoe 3 auf Seie 4 dieser Arbei.

9 Adré Führer: Fehler-i-de-Variable Modelle 7 3 Kosisee Schäzer im FIDV-Modell Nachdem im vorige Kapiel die Uauglichkei des KQ-Schäzers im FIDV-Modell vorgeführ wurde, solle i diesem Kapiel aleraive Schäzer vorgesell werde, die im FIDV-Modell zumides die Kosisezeigeschaf aufweise. Hierzu sid Zusazaahme öig über die Sörerme (u, v, w) oder die Dae ~. Die Lieraur e drei Klasse vo Schäzer, die sich abiee, das Problem zu löse: die Maimum-Likelihood-Schäzer (ML- Schäzer), die Momee-Schäzer ud die Isrumeal-Variable-Esimaors (IV-Schäzer). Bevor jedoch das Kosisezproblem gelös werde ka, ri als ei weieres das Ideifikaiosproblem hizu, welches Awore auf die Frage liefer, ob überhaup kosisee Schäzer i eiem Modell eisiere köe. Obgleich sich die Ideifizierbarkei vorrefflich für absrake heoreische Uersuchuge eige würde, wurde doch auf eie möglichs kokree, am eigeliche Schäzproblem orieiere Darsellug Wer geleg. 3. Defiiio ud Bedeuug ideifizierbarer Modelle Für die Uersuchug der Kosisez vo Schäzer vom besage heoreische Sadpuk aus werde hier - ohe zu ief i die allgemeie Theorie eizuseige - die weseliche Defiiioe ud Säze kurz zusammegesell ud schließlich i eie Beziehug zum Kosisezproblem gesez. Defiiio (Srukur): (8) Eie Srukur S = ( F~ z, Φ ) beseh aus eier Wahrscheilichkeisvereilug F~ z für die (ubeobachbare) sochasische Variable ~ z ud eier srukurelle Beziehug Φ( zz, ~ ) = 0, die eie Besimmug der beobachbare z aus de ~ z mi Wahrscheilichkei ermöglich. Um de Begriff ewas aschaulicher zu mache, selle ma sich vor, daß z der Vekor aus de Modellvariable, y, u, v is ud daß Φ die Gesamhei der Modellgleichuge beschreib. I der allgemeie Berachug wird da ei ökoomerisches Modell agesehe als Mege aller Srukure S, welche die spezielle Modellaahme erfülle. Da im Rahme dieser Arbei ohehi ur lieare Regressiosmodelle berache werde, dere Srukur im zweie Kapiel durch die Gleichuge (4)-(6) bzw. (9)-() weiesgehed bis auf eiige Parameer ß, σ ec. fesgeleg wurde, wird im weiere auf de Begriff Srukur verziche ud ur och vo de jeweilige Parameer der Vereilug F~ z gesproche. Sowohl auf der Mege dieser Parameer als auch auf der Mege der empirisch beobachbare Vereiluge F z lasse sich u Äquivalezrelaioe defiiere, die i beide Mege zur Klassebildug führe. Beispielsweise ließe sich auf der Beobachugsseie alle Vereilugsfukioe mi deselbe erse ud zweie Momee zu eier Äquivalezklasse zusammefasse. Währed jeder Parameer ϑ aus der Parameermege Θ (ϑ beseh z.b. aus Koeffiziee, Erwarugswere, Variaze ud Kovariaze eies Regressiosmodells) eideuig eie Modell-Srukur ud dami über Φ die mögliche Beobachugsergebisse fesleg, köe vorliegede Beobachuge durchaus i verschiedee Parameer aus Θ ihre Ursprug habe, wie folgedes Gegebeispiel zeig (vgl. [Zwa97], S.5 oder auch [Sch7], S.08): Im eifache sochasische FIDV-Modell y = α + ß + u mi u:= w ß v (vgl. (7)) werde für die zufällige Größe ~, u, v Normalvereiluge ageomme, gemäß Die Defiiioe ud Säze sid ageleh a [Auf8], S.6 ff.

10 Adré Führer: Fehler-i-de-Variable Modelle 8 ~ µ σ 0 0 u ~ N 3 0, 0 σ u 0 i.i.d. (9) v σ v Da is auch ~ y mihi y eie Zufallsgröße ud die Beobachugspaare (, y ) sid vereil wie µ σ + σv ßσ ~ N y, α + ßµ ß ß + u i.i.d., (0) σ σ σ was umielbar aus der Regressiosgleichug bzw. de Recheregel für Erwarugswer ud Variaz folg. I diesem Fall wäre ϑ = ( α, ß, µ, σ, σu, σv ) ei 6-dimesioaler Parameer, der das Modell eideuig fesleg. Es is jedoch beka, daß eie zweidimesioale Normalvereilug bereis durch eie 5-dimesioale Parameer ( µ, µ y, σ, σy, σy) eideuig beschriebe wird. Uabhägig davo, wie die geaue Beziehuge zwische de Kompoee der verschiedee Parameer-Vekore sid, is klar, daß eie Projekio auf de höherdimesioale Raum ich eideuig sei ka. Das bedeue jedoch ichs aderes, als daß sich aus de reie Beobachugsdae keie eideuige Modellsrukure (d.h. Parameerwere) ablese lasse. Diese Problemaik führ zum Begriff der Ideifizierbarkei eies Modells. Im Grude geomme is die Ideifizierbarkei eies Modells vergleichbar mi der Iverierbarkei eier Fukio; die Defiiio () ue espräche da der Defiiio der Ijekiviä. Je achdem, welche Äquivalezrelaioe (siehe obe) ma auf der Mege der beobachbare Vereiluge eiführ, uerscheide ma drei Ideifizierbarkeisbegriffe, ud zwar vereilugsgesüze, momeegesüze ud rajekoriegesüze Ideifizierbarkei. Auf die geaue Defiiioe ud Uerschiede soll hier ich eigegage werde (vgl. hierzu ausführlich [Auf8]); es reich für das weiere Vorgehe die folgede (leich versädliche) Defiiio der Ideifizierbarkei: Defiiio (Ideifizierbarkei): () Ei Modell mi zugehörige Wahrscheilichkeisvereiluge ( P ϑ : ϑ Θ ) der Sichprobe heiß ideifizierbar, we gil: ϑ ϑ Pϑ P ϑ (bzw. Pϑ = Pϑ ϑ = ϑ ). Die Ideifizierbarkei eies Modells sicher also, we ma auf der Beobachugsseie eie Vereilugsübereisimmug bezüglich der zugrudeliegede Äquivalezdefiiio (hier: Gleichhei) gefude ha, daß die zugehörige Parameer ϑ (ebefalls bezüglich der jeweilige Äquivalezrelaio) übereisimme ud das zugehörige ökoomerische Modell dami das richige is. Richig bedeue i diesem Fall, daß die Wahl eies adere Modells (mi aderem Parameer ϑ ) ich zu der beobachee Vereilugsfukio geführ häe. Diese Uerscheidbarkei zwische de Parameer is isbesodere für Tesverfahre ieressa, mi dee sos keie Escheiduge über Modellparameer möglich wäre. Wozu aber dieser gaze Aufwad? Wo is der Zusammehag mi dem Kosisezproblem des vorige Kapiels zu sehe? Eie Awor hierauf erhäl ma, we ma i der Defiiio () de Parameer ϑ als heoreische Größe deue, die de zu schäzede Parameer ß beihale. Adererseis möge der Parameer ϑ empirisch aus eier Sichprobe gewoe sei ud de Schäzer ß $ ehale. Sofer sich da die empirische Vereilug P ϑ der Die Defiiio is ageleh a ([Zwa97], S.9) ud beschreib ach ([Auf8], S.8) die vereilugsgesüze oder srege Ideifizierbarkei, bei der die Gleichhei vo Vereiluge als Äquivalezrelaio die.

11 Adré Führer: Fehler-i-de-Variable Modelle 9 heoreisch vermuee Vereilug P ϑ bis auf Gleichhei aäher (Vereilugskovergez), ka ma auch vo eier kosisee Schäzug vo ß durch $ ß ausgehe. Diese fas offesichliche Beschreibug des Zusammehags is och keie soderlich spekakuläre Erkeis ud würde de beriebee Aufwad kaum rechferige. Es läß sich jedoch gaz allgemei folgeder Saz formuliere, der die Bedeuug des Ideifikaiosproblems uersreich: Saz (Zusammehag zwische Kosisez ud Ideifizierbarkei) () Is ei Modell mi Vereilug ( P ϑ : ϑ Θ ) im obige Sie ich ideifizierbar, da eisier kei kosiseer Schäzer für ϑ. Is ei Modell ideifizierbar, so läß sich i der Regel ei kosiseer Schäzer für ϑ kosruiere. Dami seh vor der Suche ach kosisee Schäzer i eiem Modell die Frage, ob gewisse Modelle überhaup ideifizierbar sid. Hierzu gib es eie Reihe vo Resulae, die bereis ewas iefer liege ud die auch auf die im Abschi. vorgeommee Differezierug zwische fukioelle ud sochasische Modelle abhebe. Für eake Beweise der Aussage wird auf die esprechede Lieraur verwiese. Saz (Ideifizierbare Modelle) (3) I fukioelle Modelle is die obige (vereilugsgesüze) Ideifizierbarkei ses zu erreiche, währed dies i sochasische Modelle ich der Fall sei muß. Eie Beweis für de zweie Teil des Sazes (3) liefer der Saz vo Reiersøl, für de asazweise im Beispiel obe (siehe (9) ud (0)) eie Beweisidee skizzier wurde. Saz vo Reiersøl (Ikosisez im sochasische Modell, 950) 3 (4) Im eifache lieare sochasische Modell y = α + ß + u, = ~ + v seie die Fehler u, v uabhägig vo de ~ u ormalvereil gemäß: ~ N( 0S, ) i.i.d. ud v ~ ~ G i.i.d. Da is ß (ud dami das gaze Modell) geau da ich ideifizierbar, we G eie Normalvereilug is oder ~ = cos. Ma ka sich die Aussage des Reiersøl-Sazes so vorselle, daß durch die Überlagerug der Normalvereiluge vo ~ ud (u, v ) ich mehr klar auszumache is, welche Abweichug dem Meßfehler ud welche Abweichug der Variaz vo ~ zuzuschreibe is. Saz (Zusammehag zwische sochasischem ud fukioellem Modell) 4 (5) Is das sochasische Modell ich ideifizierbar, da eisier im esprechede fukioelle Modell keie kosisee Schäzug für de Parameer ß. Mi eiem Hiweis aus ([Auf8], S.73), daß sich fukioelle i sochasische Modelle überführe lasse, idem ma die asympoische empirische Vereilug der ~ des fukioelle Modells als Wahrscheilichkeisvereilug im sochasische Modell ierpreier, soll dieser Ausflug i die Theorie der Ideifizierbarkei beede werde. Vgl. [Auf8], S. f. ud [Zwa97], S.9 Vgl. [Auf8], S. f. ud S.70 f. 3 Vgl. [Zwa97], S.9 oder [Wei87], S.7; [Auf8] liefer eie Erweierug für allgemeiere Modelle. 4 Vgl. [Zwa97], S.0

12 Adré Führer: Fehler-i-de-Variable Modelle 0 3. Die Mehode der Isrumevariable (IV-Mehode) Die der IV-Mehode zugrudeliegede Überlegug sez bei de Gleichuge (7) ud (8) des zweie Kapiels a. Dor wurde fesgesell, daß sich FIDV- ud Sadardmodell im Grude geomme ur i eiem Puk uerscheide, ämlich daß mi u korrelier is. Also versuch ma eie Hilfsvariable z zu fide, die zwar mi ~ hoch korrelier is - also möglichs viele Iformaioe aus dem Modell berücksichig - die aber mi u ukorrelier is, so daß die vom Sadardmodell her bekae Mehode agewad werde köe. Das Problem wird dami auf das Fide eier geeigee Hilfs- oder Isrumevariable verlager. Zuächs soll wege der Aschaulichkei ei spezieller, vo WALD 940 erdacher Gruppierugs-Schäzer vorgesell werde, bevor allgemeier auf die Kosrukio vo Isrumevariable eigegage wird. Für die folgede Beobachuge wird davo ausgegage, daß sich die eogee Variable ~ aus Beobachuge so i zwei disjuke Gruppe G ud G zerlege lasse (d.h. {,..., } = G + G), daß gil: ~ ~ k < l für alle k G, l G. Ma hale sich vor Auge, daß eie solche Ordugsrelaio ich eisiere bzw. ich beka sei muß, weil ja lediglich die aus Messuge beka sid ud diese uer Umsäde keie Rückschlüsse auf eie Aordug der ~ erlaube! Eisier jedoch eie solche Aordug, da defiier WALD gaz allgemei (vgl. [Zwa97], S. f.): y y $ G G G G y( ) y ( ) ßW : = = (6) ( ) ( ) G G G G Als besodere Treliie zur Gruppeeieilug biee sich der Media der -Were a, ud des weiere werde eie gerade Azahl vo Beobachuge ageomme, 3 wodurch sich der Schäzer wege G = G = zu ß $ W = y y vereifach. G G G G Wie aber komm ma auf die Idee, de Schäzer i (6) zu ewerfe? Diese Idee läß sich für das eifache FIDV-Modell mi der Regressiosbeziehug y = α + ß + u schell ahad eier Skizze erkläre ud ergib sich eigelich bereis aus der zweie Darsellug i (6). Dor beschreib $ y( ) y( ) ßW = die Seigug eier ( ) ( ) Gerade durch die Mielwerpuke ( (), y() ) ud ( ( ), y( )) beider Gruppe G ud G. Idem ur die Mielwere (bzw. die arihmeische Miel als kosisee Schäzer dieser Mielwere) für die Berechug vo ß $ W verwede werde, hoff ma, daß sich die Fehler i de Variable gegeseiig Diagramm 4 elimiiere. Diese Hoffug is aufgrud der Aahme (a) durchaus berechig. Sofer ß $ W asympoisch eisier (Neer ugleich Null), is ß $ W kosise ud sogar asympoisch ormalvereil. 4 Die eglische Bezeichug isrumeal variable (eigelich Hilfsvariable ) ha sich auch i der deusche Lieraur als Isrumevariable eigebürger. Dieses Problem ri z.b. auf, we der Absad der wahre ~ vo der Größeordug des Meßfehlers is. 3 Gegebeefalls läß sich dies durch Sreichug des milere Beobachugsweres erreiche. 4 Vgl. [Ful87], S.53

13 Adré Führer: Fehler-i-de-Variable Modelle Eie allgemeiere Zugag zu de IV-Schäzer erhäl ma, we ma eie Isrumevariable Z ur auf Basis der afags agesprochee Aforderuge (korrelier mi ~ X ud ukorrelier mi u) kosruier. Ausgehed vom Modell () y = Xß+ ( uvß) erhäl ma da auf dem herkömmliche Weg durch Prämuliplikaio vo Z de allgemeie IV- Schäzer b $ : b$ = ( Z' X) Z' y (7) Für b $ läß sich relaiv eifach ud aalog wie im Abschi.3 die Kosisez achweise; als zusäzliche Aahme ri lediglich die asympoische Eisez ud Regulariä der eue Kovariazmari Σ Z, X vo Z mi X auf. Des weiere is zu bedeke, daß wege (A3) aürlich auch Z vo de V uabhägig is. Dami ergib sich folgede Gleichugskee: plim( b $ ) = plim( ( Z' X) Z'( Xß+ ( uvß)) ) (( ZX ' ) ZXß ' ( ZX ' ) Z'( u Vß) ) = plim + = ß + plim ' Zu ' ZX ' ZV ' ß ZX = ß+ ( Σ 0Σ 0 ß) = ß (8) Z, X Z, X Daß die Eisez eies kosisee Schäzers keie Widerspruch zum vorige Abschi bilde, auch we hier ichs über die Ideifizierbarkei des Modells gesag wurde, lieg dara, daß vo eiem verädere Modell (ebe mi eier eue Variable Z) ausgegage wurde. Für eie Eiordug i de Koe der im ächse Kapiel aufgezeige Schäzmehode, wo die Ideifizierbarkei auf a-priori Keisse über die Sörgröße- Vereilug beruh, mag ma sich die i diesem Kapiel kosruiere Isrumevariable als Zusaziformaioe über das Modell oder über die Beobachuge vorselle. Verschiedee Ausgesaluge vo Z führe zu verschiedee IV-Schäzer, vo dee für das eifache FIDV-Modell eiige vorgesell werde solle. I de beide Fälle (9) ud (30) wird, wie scho beim WALD-Schäzer obe, ageomme, daß eie grobe Gruppierug der ~ -Were möglich is. Im Fall (3) muß darüberhiaus eie Ragordug ~ ~... ~ < < < für die eizele ~ eisiere, welche es ermöglich, jedem eie esprechede Ragzahl i zuzuorde (begied mi für das kleise Eleme). Zu der z Regressiosmari X = M M wird die Isrumevariable Z:= M M defiier durch die z G Wahl der jeweilige Koeffiziee z := falls. (9) + falls G falls G bzw. z := (30) 0 falls G i bzw. z := falls i die Ragzahl der Beobachug is (i {,..., } ). (3) Offesichlich is für alle drei Fälle Z defiiiosgemäß mi ~ korrelier ud, weil die z-were ur vo der Gruppezugehörigkei der abhäge, mi u ukorrelier. Für (9) ergib sich: Vgl. [Jud88], S.578 oder [Joh9], S.430 Die Korrelaio vo Z ud X ergib sich aus der Korrelaio vo Z ud ~ X.

14 Adré Führer: Fehler-i-de-Variable Modelle $ b = ( Z' X) Z' y = 0 y =,..., =,..., G G G G y = y ( ( ) ( ) ) ( y( ) y( ) ) = 0 ( y y ( ) ( ) ) ( ( ) ( ) ) ( ( ) ( ) ) y( ) y( ) y ( y ( ) y( ) ) ( ( ) ( ) ) y ß$ W = = ( y( ) y( ) ) ( ( ) ( ) ) ß$, W also der scho bekae WALD-Schäzer. Der Fall (30) führ zu eiem ähliche Ergebis ud soll ich eigeheder uersuch werde. Der Fall (3) is deshalb ieressa, weil es sich hier um de sogeae DURBIN-Schäzer ßD $ hadel. Die Bedeuug ud der Voreil des DURBIN-Schäzers gegeüber de beide aus (9) ud (30) lieg dari, daß er weselich mehr Iformaioe auswere ud dadurch eie höhere Effiziez erreich. Gleichwohl ließe sich auch für die Gruppierugsmehode die Effiziez des Schäzers seiger, idem sa zweier drei Gruppe gebilde würde ud ur die äußerse Gruppe für die Schäzug heragezoge würde. Auf eie eplizie Berechug vo ß $ D wird hier verziche, sadesse soll beispielhaf gezeig werde, wie die Z-Mari im Falle eier muliple Regressio forzuseze is, die Feslegug der z-were geschieh ämlich für jede eogee Variable eizel: T T T 4 3 X = 5 3 führ zu Z( 9): = bzw. zu Z( 3): = Das agesprochee Effiziezproblem der IV-Schäzer leg die Suche ach adere, bessere Verfahre ahe. Dabei spreche Erfahruge aus der Schäzheorie für die Verwedug vo Maimum-Likelihood-Schäzer, de im Falle ihrer Eisez sid ML-Schäzer i der Regel asympoisch uverzerr, kosise ud i große Sichprobe effizie! y y 3.3 Der Maimum-Likelihood-Schäzer im FIDV-Modell Zuächs wird das Prizip ud die Idee der ML-Schäzer repeier, bevor auf die Eisazmöglichkeie dieser Schäzer im FIDV-Modell eigegage wird. ML-Schäzer eige sich für Fälle, i dee ur gerige Iformaio vorlieg. Verkürz gesproche, wird eie gezogee Sichprobe als das - uer der vorliegede Vereilug - wahrscheilichse Ereigis ierpreier. I formal korreker Sprechweise geh ma davo aus, daß eie Zufallsvariable Z vereil is gemäß eier parameerabhägige Vereilugsfukio F ϑ mi ubekaem Parameer ϑ Θ ud Dichefukio f ϑ. Zur Sichprobe (z, z,..., z ) defiier Θ R ma die Likelihoodfukio L:, ud durch L( ϑ L ϑ a fϑ( z)... fϑ( z ) $ ) = ma{ ( ϑ)} wird ϑ Θ da der ML-Schäzer ϑ $ gegebe. Sofer ϑ $ fukioal vo de Sichprobewere abhäg, Vgl. [Joh9], S.43 Vgl. [Sch93], S.9

15 Adré Führer: Fehler-i-de-Variable Modelle 3 sprich ma vo eier ML-Schäzfukio, zu der ma i de meise Fälle gelag, idem ma die Ableiug der logarihmiere Likelihoodfukio gleich Null sez. Berache wird das eifache sochasische FIDV-Modell mi Normalvereilugsaahme (0) wie es bereis im Abschi 3. (v.a. i (4)) problemaisier wurde. Dor ra das Problem auf, daß für die 6 zu schäzede Parameer ur 5 Gleichuge respekive 5 empirisch berechebare Größe (, y, s, syy, sy ) vorlage, die i folgede Beziehuge sade: $µ = (3) α $ + ß $ $ µ = y (33) σ$ σ$ + v = s (34) $ ß σ$ $ + σ u = s yy (35) ß$ σ$ = s y (36) Aus diesem Momeegleichugssysem ließe sich allefalls och für $µ aus (3) eie eideuige Lösug aus de Beobachugsdae besimme. Um alle Parameer auch im Falle eier Normalvereilug ideifiziere zu köe, müsse Zusazaahme geroffe werde, welche die Dimesio des Parameersraums vermider. Ideifizierbarkeisbediguge bereffe die Variaz der Sörgröße ud werde i der Lieraur üblicherweise i drei Fälle uerschiede:. Die Variaz σ v des -Fehlers is beka ud wird approimaiv durch s v beschriebe. Es vereifach sich (34) zu $ σ s s ( 36) sy = v ß$ =. (37) s sv. Die Variaz σ u des kombiiere Beobachugsfehlers sei approimaiv s u, mi (35) folg da: ß $ s yy su ( 36) s σ$ = syy su ß$ yy su = ß$ =. (38) $ σ sy 3. Das Verhälis der Fehlervariaze σu σ v = λ is beka, woraus sich herleie läß: ( 34') σ$ $ s = σ $ v ( 35') $ ß σ$ σ$ syy = u ß σ$ syy = λ + λ s $ $ syy λ σ ß = 0 $ σ s $ σ ( 36) ß$ ß$ + erw. ß $ s s y s s λ λ ( ) ( ) yy y sy 0 = $ß = sy ( ) ( ) yy yy y s λ s ± s λ s + 4λ s s syy λ s + syy λ s + 4λ sy $ß =, der egaive Zähler komm ich i (39) sy Frage, sos häe ß $ ud s y uerschiedliche Vorzeiche im Widerspruch zu (36). Iwiewei die verschiedee a-priori Keisse als praisah ageomme werde köe, wird uerschiedlich diskuier ud muß vo Fall zu Fall kriisch geprüf werde. Uumsrie is dagege, daß uer Normalvereilugsaahme weder i der sochasische och i der fukioelle Variae des eifache FIDV-Modells kosisee Schäzer eisiere, falls keie Zusaziformaioe vorliege (vgl. Säze i [Sch86], S.5 f.). I der y Vgl. [Jud85], S.74; [Sch86], S.03 f.; [Joh9], S.433 f.; [Zwa97], S. Da u sowohl de Beobachugsfehler i y als auch de eifließede -Fehler berücksichig, is die Keis i der Prais rech uwahrscheilich (vgl. [Joh9], S.434).

16 Adré Führer: Fehler-i-de-Variable Modelle 4 Lieraur am häufigse uersuch - ud da mach diese Arbei keie Ausahme - is der Fall 3, wo es sich bei der Voriformaio um eie Ar Ipu-Oupu-Koeffizie zwische de uersuche Größe hadel. Ma beache, daß bisher ur die empirische erse (, y ) ud zweie Momee ( s, syy, sy ) beüz wurde, um de Momeeschäzer ß $ herzuleie, ud obwohl och keie Spezifika des ML-Verfahres beuz wurde, is ß $ auch gleichzeiig auch der ML-Schäzer! Das ergib sich aus der Tasache, daß die beuze Momeeschäzer (, s, ec.) gleichzeiig die ML-Schäzer der esprechede Parameer ( µ, σ + σv, ec.) sid, so daß alle ML-Schäzuge aus de Beziehuge (3)-(36) gewoe werde köe. Aufgrud der Kosisezeigeschaf der empirische Momee sid alle i (37)-(39) hergeleiee Momeeschäzer ud dami auch die jeweilige ML- Schäzer kosise ud asympoisch effizie. Eie Problemaik des ML-Schäzes zeig sich ers bei fukioeller Modellspezifikaio, weil dor die Likelihood-Fukio auch für die ubekae Parameer ~,..., ~ zu maimiere is, währed im sochasische Modell eifach wie obe (Eiseze des arihmeische Miels als Momeeschäzer für ~ ) verfahre werde ka. Für das eifache fukioelle Modell mi Normalvereilugsaahme (9) läß sich die Likelihood-Fukio herleie. 3 v Für die Fehlererme gil wege (9): f ( v ) = ep v v (40) π σ σ u f ( u ) = ep u u (4) π σ σ Aufgrud der vorausgeseze sochasische Uabhägigkei is die gemeisame Diche f ( v,..., v, u,..., u ) = f ( v ) f ( u ) = v + v u v = u = = ep u (4) πσ σ σ σ ud ach Eiseze vo v = ~, u = y α ß ~ ud der a-priori Keis σu = λ σv des Falles 3 erhäl ma die Likelihood-Fukio i + 4 Parameer: L( α, ß, σ, σ, ~,..., ~ ) v u = = + ep ( ~ ) ( y α ß ~ ) (43) πσ λ σ = λ = v v bzw. dere vereifache log-likelihood-fukio l L cos l l ( ~ ) = ( y ß ~ v u ) σ σ α (44) σv = σu = Uer Beuzug der Ideifizierbarkeisbedigug σu = λ σv liefer eiiger Recheaufwad (siehe [Sch86], S.76 f.) als ML-Schäzer für ß de i (39) hergeleiee Momeeschäzer. Bemerkeswer is, daß für die Variazschäzuge σ = 05. σ (für σ u aalog) is, 4 vml, vmomee, was bedeue, daß die ML-Schäzuge für die Variaze ich kosise sid, worauf Vgl. [Zwa97], S.5 ud [Sch7], S.09 Vgl. [Zwa97], S.4; ausführliche ud eake Aussage über die Effiziez der ML-Schäzer mi de jeweilige Voraussezuge würde de Rahme sprege ud fide sich [Sch7], S.0 ud ab S Vgl. [Sch86], S.75 4 Vgl. [Sch86], S.78

17 Adré Führer: Fehler-i-de-Variable Modelle 5 bereis LINDLEY 947 higewiese ha. Ähliche Ergebisse erhäl ma auch für de muliple Fall, i dem die ML-Schäzug allerdigs weselich kompleer wird. Obwohl das Verfahre im eifache Modell i offesichlicher Weise auf de muliple Fall überrage werde ka, fide ma i der Lieraur kaum eie muliple ML-Schäzug, die ich auf die verallgemeiere Theorie mulivariaer Modelle zurückzugreif. Im Sie eier eiführede ud übersichliche Darsellug verziche der resliche Abschi auf Rechuge ud Beweise ud sell sa desse die wichigse Zwischeschrie ud Ergebisse i Alehug a ([Sch86], S.78-86) zusamme. Berache wird das symmerische Modell, welches durch Umformug aus (9)-() eseh: ~ ~ ( ~ ~ r y = X ß y, X) = 0 (9 ) 3 ß 3 = : X ~ 0 = : ß y = ~ y + u ~ X = X + V, = ~ ~, ( y X) ( y X) ( u, V) = : X = : V 0 0 (0 ) u Cov u v j Uer der Aahme, daß ΣVV = 0 0 σ (, ), die gemeisame Kovariazmari Cov( vi, u) ΣVV der Fehler eie Darsellug ΣVV = l Λ mi bekaer posiiv semidefiier Mari Λ ha, 0 0 lasse sich Momeeschäzer für ß 0 ud l fide als Lösug des Eigewerproblems T mi l: l X X l ß 0 0 Λ 0 = 0 (45) Dabei is die Lösug l $ der miimale Eigewer ud ß $ 0 der zugehörige Eigevekor. Wiederum sid i der sochasische Modellspezifikaio mi Normalvereilugsaahme alle ML-Schäzer mi de aus (45) resulierede Momeeschäzer ideisch; wiederum gil dies ich für die Fukioalvariae des Modells. Dor läß sich uer sos gleiche Voraussezuge die Maimum-Likelihood-Fukio schreibe als: k L( X ~ ( ),) l = cos + ~ l ~ 0 ep r( ( X 0 X 0 ) ( X 0 X 0 )' ) Λ (43 ) π Die Maimierug dieser Fukio esprich der Miimierug des Spur-Operaors ud führ uer der Nebebedigug (9 ) ach Awedug des Lagrage-Verfahres ud eiiger Rechug ebefalls auf ei Miimierugsproblem der Form T mi q: q X X q ß 0 0 Λ 0 = 0 (45 ) Der ML-Schäzer des Regressioskoeffiziee ß $ 0 aus der Lösug ( q, $ mi ß 0 ) vo (45 ) simm, wie scho im eifache Modell, mi dem Momeeschäzer aus (45) überei, allerdigs gil die Übereisimmug ich mehr für de Parameer q bzw. l, de es beseh der Zusammehag $ qmi l ML = (46) k + Auch hier folg also die Ikosisez der ML-Variaz-Schäzug im fukioelle Fall. Es zeig sich abschließed, daß die Verwedug vo ML-Schäzer i FIDV-Modelle mi Vorsich zu geieße is, zumides i fukioelle Modelle. Asose sid ML-Schäzer ach wie vor adere Schäzer vorzuziehe, da sie weigses asympoisch effizie sid, was für IV-Schäzer i der Regel ich gil. Deoch habe die IV-Schäzer ihre Berechigug, da ML-Schäzer ich immer berechebar sei müsse. Über de Rückgriff auf die IV-Mehode schreib ([Jud88], S.59 f.): A isrumeal variable esimaor may o be efficie, bu i he absece of oher aleraives i a leas provides a cosise esimaor.

18 Adré Führer: Fehler-i-de-Variable Modelle 6 Als erücherdes Edresula dieses Kapiels muß fesgesell werde, daß es eie Ar BLUE wie im radiioelle Regressiosmodell ich mehr gib.

19 Adré Führer: Fehler-i-de-Variable Modelle 7 4 Kurzer Ausblick auf Spezifikaiosess für das FIDV-Modell Nachdem die Modellierug vo Fehler i de Variable eigehed erörer wurde ud deulich geworde is, welcher Mehraufwad - vor allem bei der Besimmug geeigeer Schäzer - dami verbude is, erheb sich die Frage, i welche Fälle auf die Modellierug vo Fehler i de eogee Variable verziche werde ka. Aders ausgedrück: Ka ma das Vorhadesei vo Fehler i de eogee Variable durch geeigee Tesverfahre prüfe? Die Awor auf diese Frage laue Jai. Für ich ideifizierbare Modelle (z.b. de Reiersøl-Fall) is eie Prüfug ich möglich; sofer aber ei kosiseer Schäzer eisier, ka dieser mi der (im FIDV-Modell ikosisee) KQ-Schäzug vergliche werde. Eie sigifikae Uerscheidug beider Schäzer würde da für das Vorhadesei eogeer Fehler ud die Verwedug eies esprechede Modells spreche. Die eifache KQ-Schäzug solle - we möglich - immer vorgezoge werde, da sie ich ur eifach, soder gegeüber IV-Schäzer oder Momeeschäzer auch effizie is. Ob die eifache KQ-Schäzug möglich is, bleib freilich mi eiem geeigee Tes zu prüfe. Ei spezieller Spezifikaiosess is derjeige vo WU, desse Grudidee dieselbe wie bei eier gaze Reihe aderer Tess is. Bevor auf diese Grudidee eigegage wird, sei ochmals kurz a die gülige Modellgleichuge ud Bezeichugsweise des muliple FIDV-Modell erier. Die Modellgleichuge ware (9)-() ~ ~ y = X ß, y = ~ ~ y + u, X = X + V bzw. zusammegefaß zu () y = Xß+ ( uvß). Der gewöhliche KQ-Schäzer wird mi ß $ KQ, der aleraive Schäzer dagege mi ß $ IV bezeiche, ud für alle Fehlervariable wird die Normalvereilugsaahme (isbesodere Euu ( ') = σ u I) gemach. Der aleraive Schäzer is ei irgedwie gewoeer kosiseer Schäzer, wobei zu beache is, daß i der vorliegede Tessiuaio keie a- priori Keisse über die Vereilug der Fehler i de eogee Variable zur Verfügug sehe! Dami scheide die drei Fälle des Abschis 3.3 aus, ud die Ideifizierbarkei ud Kosisez des Modells is ur gesicher, we ~ ich ormalvereil is oder ma als Zusaziformaio eie Isrumevariable ke. Auf de lezere Fall, der Keis eier Isrumevariable, bezieh sich auch der Tes vo WU; ßIV $ is also als ei spezieller IV- Schäzer azusehe. Uer de gemache Voraussezuge läß sich jez die Tesidee beschreibe: Liege keie Fehler i de Variable vor, da is V = 0 ud ebeso is die zugehörige Kovariazmari Cov( vi, v j), welche im weiere mi Σ VV bezeiche wird, die Nullmari. Is adererseis der Uerschied ß $ ß $ KQ IV sigifika, da ka davo ausgegage werde, daß Fehler i de Variable vorliege ud dami Σ VV 0 gil. Diese Erkeis beuz ma, um die Teshypohese zu formuliere: Als Nullhypohese die H0: Σ VV = 0 (47) ud als Aleraive H: ΣVV 0 (48) Die berachee Schäzer sid $ ß ( X' X) X' y KQ = ud $ ßIV = ( Z' X) Z' y (49) (50) Vgl. [Sch86], S.39 Die Darsellug des Tess erfolg i Alehug a [Sch86], S.393 ff.

20 Adré Führer: Fehler-i-de-Variable Modelle 8 Der obige Idee folged, wird die Differez d: = ß$ IV ß$ KQ gebilde ud aschließed der Wer 0 subrahier, allerdigs i der Form: 0 = ß ß = ( Z' X) Z' Xß( X' X) X' Xß (5) d = ß$ ß$ = ( Z' X) Z' y( X' X) X' y 5 IV KQ ( ZX Zy ZX ZXß) ( XX Xy XX XXß) ( ) = ( ' ) ' ( ' ) ' ( ' ) ' ( ' ) ' = ( ZX ' ) Z'( y Xß) ( XX ' ) X'( y Xß), ud wege u = y Xß folg ( ( ' ) ' ( ' ) ') = ZX Z XX X u = : C' u (5) Die Mari C is ebefalls aus R k ud ha i der Regel maimale Rag, falls X ud Z ich allzu uglücklich gewähl sid, so daß auch C' C regulär is. Dami läß sich für die Differez d eie Vereilug ermiel, de uer der Nullhypohese gil X = X ~, ud u is sochasisch uabhägig vo beide Marize sowie defiiiosgemäß auch vo Z. Dami ha ma: ( 5) ( H0 ) s. u. ~ ~ ~ r r EdXZ (, ) = ECuXZ ( ', ) = CEuXZ ' (, ) = C ' 0= 0 (53) ( 5) V.. ~ ~ ~ Cov( d X, Z ) E ( dd ' X, Z ) C ' E ( uu ' X, Z ) = = C = σ C ' C (54) Aus (5), (53), (54) läß sich umehr auf die Vereilug vo d uer der Nullhypohese r schließe: d ~ Nk( 0, σ u C' C) (55) Die Nullhypohese wäre zu verwerfe, falls der ermiele Differezvekor r d außerhalb eies esprechede Kofidezbereichs der Normalvereilug um 0 herum liege solle. Allerdigs is die i (55) agegebee Vereilug für prakische Berechuge och ich geeige, da σ u ubeka is. Uer wiederholer Aahme der Nullhypohese ka jedoch auch σ u geeige geschäz werde. Für die Feiheie dieses Verfahres wird auf [Sch86] verwiese. u

21 Adré Führer: Fehler-i-de-Variable Modelle 9 Lieraurverzeichis [Auf8] Helge Aufm Kampe, Ideifizierbarkei i mulivariae Fehler-i-de-Variable- Modelle, Diss., Bo 98 [Ful87] Waye A. Fuller, Measureme errors models, New York 987 [Joh9] J. Johso, Ecoomeric mehods, Sigapore 3 /99 [Jud85] George G. Judge u.a., The Theory ad Pracice of Ecoomerics, New York 985 [Jud88] George G. Judge u.a., Iroducio o he Theory ad Pracice of Ecoomerics, Sigapore /988 [Sch7] Peer Schöfeld, Mehode der Ökoomerie, Bd. II, Müche 97 [Sch86] Has Scheeweiss & Has-Joachim Miag, Lieare Modelle mi fehlerbehafee Dae, Heidelberg 986 [Sch93] Raier Schlige, Eiführug i die Saisik, Müche 4 /993 [Wei87] Claus Weihs, Auswirkuge vo Fehler i de Variable auf Parameerschäzuge ud Progose, Diss., Heidelberg 987 [Zwa97] Silvely Zwazig, Skrip zu Fehler-i-Variable Modelle, Ui Hamburg 997