2. Ökonometrische Eingleichungsmodelle

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1 . Ökoomerische Eigleichgsmodelle. Das mliple Regressiosmodell.. Modellspezifikaio I der ökoomische Theorie werde Verhalesgleichge ewickel, i dee eie ökoomische Variable wie z.b. der Kosm oder die Ivesiioe i Abhägigkei vo besimme Eiflssgröße berache wird. So gib z.b. die makroökoomische Kosmfkio im keyesiaische Sysem die Beziehg zwische dem Privae Verbrach d dem verfügbare Eikomme a. Die Habi-Persisace-Hypohese ersell aßerdem eie Eiflss des i der Vergagehei realisiere Kosmiveas af die Verbrachsasgabe. Ach zr Erklärg des Ivesiiosvolmes biee die ökoomische Theorie aleraive Asäze. Währed die Akzeleraorhypohese af die Veräderg der Nachfrage absell, seh bei eier Ivesiiosfkio, i der die Gewie als abhägige Variable eigehe, die Fiaziergsseie im Mielpk der Aalyse des Ivesiiosverhales. I all de geae Fälle hadel es sich m Eigleichgsmodelle, bei dee besimme ökoomische Hypohese ersch werde. Die Relevaz vo Feedback-Effeke wird im Rahme ökoomerischer Mehrgleichgsmodelle behadel. Bei Eigleichgsmodelle is eie edogee Variable vo eier oder mehrere eogee Variable abhägig. Die edogee Variable is drch ei ökoomerisches Modell z erkläre, das sich as eier sysemaische d eier sysemaische Kompoee zsammesez. Bei lieare Modelle is die sysemaische Kompoee drch eie Liearkombiaio der k eogee Variable,,..., k d die sysemaische Kompoee drch eie Sörvariable gegebe. Das ökoomerische Eigleichgsmodell lae da allgemei (..) y β β... βk k,,,..., wobei der Ide die Beobachgsperiode oder de Beobachgszeipk agib 0. 0 Obwohl wir bei der Modelldarsellg primär af zeibezogee Variable abselle, ka das ökoomerische Eigleichgsmodell gleichermaße bei Qerschisaalyse eigesez werde. Der Ide würde da z.b. für de -e Hashal oder das -e Uerehme sehe. Allerdigs selle eiige Modellkozepioe speziell af zeiliche Beobachge ab. C. Dreger, R. Kosfeld, H.-F. Eckey, Ökoomerie, DOI 0.007/ _, Spriger Fachmedie Wiesbade 04 9

2 0. Ökoomerische Eigleichgsmodelle Gelegelich wird bei der mehodische Diskssio af die gleichwerige kompakere Modellform mi k y ' j j j ' k d ' k k zrückgegriffe.,,..., k sid die Regressioskoeffiziee, die für de Süzbereich vo = bis = as dem Daemaerial z schäze sid. Die eogee Variable ha hieri die Fkio eier Scheivariable, die für alle gleich gesez wird. Dadrch is der Regressioskoeffizie als absoles Glied oder Achseabschi ierpreierbar. Die Resgröße sell eie ich beobachbare sochasische Sörerm dar, für de die Aahme (..) E ( ) 0 für alle =,, k (..3) E ( ) für alle =,, (..4) E( j ) 0 für j0 geroffe werde. Wege (..) is der Erwargswer der Sörvariable i alle Periode gleich 0, was bedee, dass vom Sörerm keie sysemaische Eiflüsse af die edogee Variable y asgehe. Aders asgedrück, implizier diese Aahme, dass drch die k eogee Variable,,..., k sämliche sysemaische Eiflüsse af y modellier sid. Die Aahme (..3) d (..4) werde ers a späerer Selle (Kapiel.3) asführlicher diskier, so dass hier lediglich ihre Bedeg skizzier wird. Wege E( )=0 is die Variaz der Sörvariable drch Var E E E gegebe. Mi (..3) wird also ersell, dass diese Variaz im Zeiablaf kosa gleich is. Ma bezeiche diese Vorassezg als Aahme der Homoskedasiziä. Da E( )=0 is, wird i (..4) eie Aahme über die Kovariaz zwische de Sörerme erschiedlicher Periode formlier: Cov(, ) E ( E( ))( E( )) E( ). j j j j

3 . Das mliple Regressiosmodell Speziell wird ageomme, dass zwische de Sörgröße verschiedeer Zeipke keie lieare Abhägigkeie besehe, so dass ihre Kovariaz d dami ach die Korrelaio gleich 0 is. Ma sprich bei Gelg vo (..4) ach vo fehleder Aokorrelaio, weil sich hier die Aahme über die Korrelaio af r eie Zfallsvariable bezieh, die z erschiedliche Zeipke berache wird. Gleichg (..) gil für alle Beobachgszeipke =,,, so dass ma asführlicher y 3 3 k k y 3 3 k k y 3 3 k k schreibe ka. Mi de Vekor- d Marizedefiiioe y y y, X y k k, k β β, β βk is das obige Gleichgssysem kompaker als y X β (..5) ( ) ( k) ( k) ( ) darsellbar. Uer de Vekore d Marize wird i Klammer jeweils ihre Dimesio agegebe. So is z.b. X eie k-mari, d.h. die Mari X beseh as Zeile, die die Beobachge repräseiere d as k Spale, die für die eogee Variable sehe. Das Eleme j, j=,,, k; =,, bezeiche somi die Beobachg der j-e eogee Variable i der Periode. Die erse Spale i der X-Mari ehäl die Were der Scheivariable, die für alle gleich sid. Mi der eigeführe Schreibweise lasse sich ach die Aahme über die Sörerme (..) bis (..4) kompaker formliere. Äqivale wird (..6) (..7) E( ) 0 () Cov() E( ' ) I ()

4 . Ökoomerische Eigleichgsmodelle ersell. Mi (..6) komm zm Asdrck, dass der Vekor der erwaree Sörerme dem Nllvekor esprich, ) E( ) E( ) E( E, d somi der Erwargswer der Sörerme z jedem Zeipk gleich 0 is. Gleichg (..7) ehäl sowohl die Aahme homoskedasischer Sörerme als ach die Aahme eier fehlede Aokorrelaio. Da ei -Vekor is, is der raspoiere Vekor ' vo der Dimesio. Somi bezeiche ' eie -Mari, die die Form,...,, ' ha. Drch Bildg des Erwargswers erhäl ma σ 0 σ σ = ) E( ) E( ) E( ) E( ) E( ) E( ) E( ) E( ) E( ') E( ) Cov( wobei die Aahme (..3) d (..4) asgez werde. E(') is die Variaz-Kovariaz-Mari der Sörvariable, die er de Aahme der Homoskedasiziä d fehleder Aokorrelaio eie Diagoalmari is. Der Skalar ka och vor die Mari gezoge werde, so dass ma schließlich die Darsellg I = σ σ ) ' E( ) Cov( erhäl, wori I die -Eiheismari bezeiche. Sa Variaz-Kovariaz-Mari wird of eifacher die Bezeichg Kovariazmari verwede, da die Variaz als Spezialfall der Kovariaz ierpreierbar is.

5 . Das mliple Regressiosmodell 3 Wege der Eibeziehg der Sörerme is das Modell (..5) sochasisch. Die k erklärede Variable werde als fese, deermiisische Größe ierpreier, so dass keierlei Abhägigkeie zwische ihe d de Sörerme besehe. Da y somi eie Liearkombiaio des Vekors is, bezeiche dieser Vekor eie -dimesioale Zfallsvariable, dere Erwargswer mi (..6) drch de -Vekor (..8) E( y) E( X) E( X) E( ) X gegebe is. Die Sörge erfolge daher ich sysemaisch, so dass die edogee Variable im Miel korrek drch die eogee Variable erklär wird. Für die -Kovariazmari vo y erhäl ma E ( ye( y))( ye( y))' E ( yx)( yx )' wege (..8) d (..9) E ( yx)( yx)' E( ') I afgrd vo (..7) d (..5). Die Kovariazmari der edogee Variable is also gleich der esprechede Mari der Sörvariable. I Gleichg (..5) sid die Elemee im y-vekor d i der X-Mari beobachbar. Die Parameer im Vekor, die die qaiaive Eiflüsse der eogee Variable af die edogee Variable agebe, sid dagege beka d müsse somi geschäz werde. Wir werde daher zächs die grdlegede Schäzechik z erörer habe.

6 4. Ökoomerische Eigleichgsmodelle.. Mehode der kleise Qadrae (OLS-Mehode) Um Schäzwere für die k Parameer im Vekor β z erhale, wird ei Krierim beöig, a dem sich der Schäzalgorihms orieier. Üblicherweise wird dabei vo der gewöhliche Mehode der kleise Qadrae (Ordiary Leas Sqares = OLS) asgegage. Die Begrüdg für diese Vorgehesweise lieg i de Güeeigeschafe, die diese Schäzmehode er de gegebee Aahme implizier d die späer geaer diskier werde. Das Krierim der kleise Qadrae verlag, dass die Parameer im bekae Vekor β so feszlege sid, dass sich für die Smme der qadriere Sörerme ei Miimm ergib. Die Smme der qadriere Sörerme is zächs drch (..0) S ' gegebe. Drch Eiseze vo (..5) erhäl ma ' S y Xβy Xβ oder (..) S y' y y' Xβ β' X'y β' X'Xβ afgrd der Regel über die Marizemliplikaio. Die reche Seie vo (..) läss sich och weier vereifache. Da alle Terme Skalare sid d ei Skalar ach seier Traspoierg erhale bleib, is β ' X' y y'xβ k k so dass sich schließlich als Smme der qadriere Sörerme (..) S y ' y y' Xβ β' X' Xβ ergib. Das Kleis-Qadrae-Krierim verlag, dass die Parameer im Vekor β so feszlege sid, dass die Smme S miimier wird. Daz is die Qadrasmme ach dem Vekor β z differeziere. Isbesodere wird vo der Regel ' β' X' Xβ Gebrach gemach.

7 . Das mliple Regressiosmodell 5 Bei der Differeaio wird die Ableig des Skalars y'y gleich 0, weil er ich vo β abhägig is. Der Asdrck y'xβ ergib, abgeleie ach β, X'y, währed die Ableig des drie Terms, der drch β 'X'X β gegebe is, X'X β ergib 3. Zsammefassed erhäl ma somi ds (..3) Xy ' ( XX ' ) β dβ. Nowedige Bedigg für ei Miimm vo S is, dass diese erse Ableig ach β gleich dem Nllvekor 0 is. Dami ergib sich Xy ' ( XX ' ) β 0! d ach Divisio drch sowie aschließeder Umsellg (..4) ( X ' X) β X' y.! Mi (..4) is ei Gleichgssysem esade, das as k Gleichge beseh. Diese Gleichge werde als Normalgleichge bezeiche. Die Schäzer ˆ ˆ, ˆ,..., k ach der Mehode der kleise Qadrae (OLS-Schäzer) bilde de Vekor βˆ, für de die Normalgleichge erfüll sid. Ma erhäl ih ach Iversio der Mari X'X, ˆ (..5) β ( XX ' ) X' y, sofer die Iverse vo X'X eisier. We der i (..5) bekae Vekor β drch βˆ geschäz wird, is die Qadrasmme der Sörerme miimal. Die hireichede Bedigg is hier ses erfüll, da das Miimm eier qadraische Fkio gesch is. Für die Herleig des OLS-Schäzers βˆ i (..5) mss vorasgesez werde, dass die Iverse (X'X) der symmerische k k-mari X'X eisier. Wie gezeig werde ka, is das gea da der Fall, we die Daemari X vom Rag k is, (..6) rg(x) = k, was vorassez, dass die erklärede Variable liear abhägig voeiader sid. Da die Mari X'X ses de gleiche Rag wie die Daemari X ha, 3 Hierbei sid die folgede Regel für die Differeaio vo Vekore d Marize z beache: (a) We y=a' is, da is dy/d= a, wobei y ei Skalar d a d Vekore sid. (b) We y='a is, wobei A eie symmerische Mari (A=A') bezeiche, gil dy/d=a. Speziell komme hier diese Regel mi a'=y'x d A=X'X zr Awedg.

8 6. Ökoomerische Eigleichgsmodelle rg(x) = rg(x'x) = k, is da eie Berechg der Iverse (X'X) möglich. We die Azahl der Beobachge die Azahl k der eogee Variable (eischl. der Scheivariable) überseig, so is die Vorassezg (..6) im Allgemeie erfüll. De bei empirische Dae liege da i der Regel keie eake lieare Abhägigkeie zwische de Beobachgswere der erklärede Variable vor 4. We jedoch die Azahl der erklärede Variable die Azahl der Beobachge überseig, also <k is, ka der Rag vo X maimal gleich sei, so dass i diesem Fall rg(x) = rg(x'x) = < k gil. Da X'X jedoch eie k k-mari is, ka i dieser Siaio ihre Iverse ich bereche werde, so dass keie Schäzwere für die Regressioskoeffiziee,,, k besimmbar sid. Eie Schäzg des Parameervekors sez somi ses voras, dass mehr Beobachge vorliege als eogee Variable i das Regressiosmodell eibezoge werde. Nach der OLS-Schäzg geh das ökoomerische Eigleichgsmodell (..) i die geschäze Regressiosgleichg (..7) y βˆ βˆ... βˆ k k û,,,... über. Hieri gebe ˆ ˆ, ˆ,..., k die geschäze Regressioskoeffiziee a. û is das Residm (= geschäzer Wer der Sörgröße) der Periode. Die Regressioswere ŷ, die als geschäze Were der abhägige Variable y bei gegebee -Were ierpreier werde köe, lasse sich as der Beziehg (..8) ŷ βˆ βˆ... βˆ k k,,,... erreche. Der Vekor ŷ der Regressioswere Mariprodk X β ˆ besimm werde: ŷ, y ˆ (ŷ ŷ... ŷ )', ka as dem (..9) yˆ X βˆ. 4 Allerdigs lasse sich of hohe Korrelaioe zwische de eogee Variable fesselle, die zwar ich die Berechg des OLS-Schäzers βˆ i Frage selle, jedoch gewisse Schäzprobleme afwerfe. Diese Problemaik wird späer er dem Begriff Mlikollieariä afgegriffe d erörer.

9 . Das mliple Regressiosmodell 7 Mi (..7) d (..8) sid die Reside (..0) û y ŷ,,,...,, oder kompak drch (..) ˆ y yˆ mi ˆ (û û... û )' gegebe. û drch Das mliple Regressiosmodell (..) ehäl das eifache Regressiosmodell y im Spezialfall für k=. Die Scheivariable, die i alle Periode de Wer aimm, is i 0 weggelasse worde. Währed drch die OLS-Mehode bei drei Regressore (eischl. der Scheivariable) eie Regressiosebee im dreidimesioale Ram fesgeleg wird, is bei zwei Regressore (eischl. der Scheivariable) eie Regressiosgerade z besimme: (..) y. Der Ordiaeabschi der Regressiosgerade, der als absoles Glied bezeiche wird, is drch gegebe. Ihre Seigg wird drch de Regressioskoeffiziee gemesse. Um die OLS-Schäzfkioe d i eplizier Form as (..5) z erhale, is zächs eimal die Iverse (X'X) für eie ( )-Mari X z besimme. Hierz is vo der Prodkmari X'X aszgehe, die speziell (..3) X' X lae. Smmier wird dabei ses über alle Periode vo bis. Die Iverse vo X'X ka besimm werde, idem die adjgiere Mari (X'X) adj drch die Deermiae X' X dividier wird: 5 5 Diese Iveriergsmehode is ich af die eifache Regressio beschräk, soder sie ka allgemei i der mliple Regressio agewede werde.

10 8. Ökoomerische Eigleichgsmodelle XX ' X'X XX ' adj. Da die Prodkmari X'X eie -Mari is, ergib sich ihre Deermiae als Differez as dem Prodk der beide Hapdiagoalelemee d dem Prodk der beide Nebediagoalelemee: ' X X. Die adjgiere Mari (X'X) adj beseh as de Adjke (Kofakore) XX i j XXij, ij mi de Uerdeermiae (Miore) XX ij, die ach Sreiche der i-e Zeile d j-e Spale der Prodkmari X'X z bereche sid. Für die -Mari X'X, dere Srkr as (..3) hervorgeh, erhäl ma XX XX, XX XX so dass die adjgiere Mari (X'X) adj als raspoiere Mari der Adjke drch X ' X adj XX XX XX XX gegebe is. Somi lae die Iverse vo X'X X ' X. Aßerdem ergib das Prodk as der Traspoiere vo X d dem Vekor y eie -Vekor: Xy= ' y y y y. y Dami imm der OLS-Schäzvekor βˆ bei der eifache Regressio die Form

11 . Das mliple Regressiosmodell 9 βˆ XX ' X' y a. Der Ordiaeabschi is demzfolge drch y y (..4) d das Seiggsmaß drch (..5) gegebe. y y y y y y Drch elemeare Umformg läss sich zeige, dass das Seiggsmaß dem Qoiee as der Kovariaz s y zwische de Were der abhägige Variable y d der abhägige Variable d der Variaz s lezer Größe esprich: y (..6) s s mi d s s y y y. Die Kezahle d y bezeiche die Mielwere beider Größe i der Sichprobe. Dass i der Form (..6) darsellbar is, ergib sich mielbar as de Verschiebgssäze für die Kovariaz d Variaz: y y sy d s.

12 30. Ökoomerische Eigleichgsmodelle Gleichermaße läss sich zeige, dass der Achseabschi er Verwedg des Seiggsmaßes vo der Form y (..7) ˆ βˆ y ˆ is. Die Ideiä vo (..4) d (..7) ergib sich mielbar drch Eiseze vo (..5) i (..7) ach eiige elemeare Umformge. Lös ma Gleichg (..7) ach y af, so erhäl ma die Beziehg y, as der ersichlich is, dass die Regressiosgerade drch de Schwerpk y, verlafe mss. Beispiel..: Das verfügbare Eikomme Y v wird als escheidede Eiflssgröße des privae Verbrachs C agesehe. Ma erhäl es, idem ma das Broeikomme vo Seer d Sozialabgabe bereiig, die bei de privae Hashale ich asgabewirksam werde köe, d aßerdem die Trasferzahlge berücksichig. We poeielle Eiflssgröße, wie z.b. die Eikommesvereilg, das Vermöge, der Zissaz für Kosmeekredie oder die soziale Sellg verachlässigbar sid, ka die makroökoomische Kosmfkio er Eibeziehg eier Sörvariable mi eiem Erwargswer vo Nll ökoomerisch geschäz werde: (..8) v 0 C C c Y. Der Parameer c is as der Makroökoomik als margiale Kosmeigg beka: dc c dy v. Er gib die Veräderg der Kosmasgabe a, die drch eie Erhöhg oder Verrigerg des verfügbare Eikommes m Eihei idzier wird. Der Ordiaeabschi C 0 seh dagege für de aoome Kosm, der vom verfügbare Eikomme abhägig is.

13 . Das mliple Regressiosmodell 3 Die Kosmfkio soll für die Bdesrepblik Deschlad für de Zeiram vo 994 bis 0 er Verwedg vo Jahresdae mi der OLS-Mehode geschäz werde. Währed der Privae Verbrach i Preise des Jahres 00 vorlieg, is das verfügbare Eikomme i jeweilige Preise agegebe. Eie Preisbereiigg ka er Verwedg des Preiside des Privae Verbrachs vorgeomme werde. Jahr Verfügbares Eikomme Mrd. Ero (i jeweilige Preise) Preiside Privaer Verbrach (00=00) Privaer Verbrach Mrd. Ero (i Preise vo 00) ,37 79, 03, ,4 80,5 066, ,08 8,6 088, ,89 83, 0, ,8 84,0 30, ,5 84,5 6, ,59 85,7 95, ,85 87,4 33, ,30 88,6 40, ,88 89,6 64, ,88 9,0 83, ,80 9,5 306, ,33 93,9 339, ,8 96, 356, ,54 98,6 389, ,8 98,9 39, ,76 00,0 433, ,83 0, 487, ,64 04, 5,59 Qelle: Sachversädigera zr Begachg der gesamwirschafliche Ewicklg, Jahresgache 0 Es bezeiche y de reale Wer des Privae Verbrachs (C ) d de reale Wer des verfügbare Eikommes Y v im Jahr. Die Beobachgsmari X d der Vekor y der abhägige Variable sid da drch

14 3. Ökoomerische Eigleichgsmodelle 59,39 03,75 90,6 066,47,7 088,64 3,47 0,8 5, 30,4 78,66 6,86 300,70 95,04 347,78 33,43 363,6 40,58 X 394,6 d y 64,5 9 49,00 83,6 448,3 306,98 480,5 339,54 50,37 356,73 54,5 389,6 533,4 39,55 578,89 433,6 630,4 487,66 666,05 5,59 9 gegebe. Der OLS-Schäzer β X' X X' y ˆ ehäl da die Schäzwere für die Parameer C 0 d c der Kosmfkio. Da es sich bei der Kosmfkio jedoch m ei eifaches Regressiosmodell hadel, lasse sich die OLS-Schäzer C 0 d c für de aoome Kosm d die margiale Kosmeigg mielbar as (..4) d (..5) ermiel. Hierz biee es sich a, die dafür beöige Smme i eier Arbeisabelle z bereche:

15 . Das mliple Regressiosmodell 33 y y 59,39 03, , ,0 90,6 066, , ,85 3,7 088, , ,6 4 3,47 0,8 5658, ,5 5 5, 30, , , ,66 6, , , ,70 95, , , ,78 33, , , ,6 40, , , ,6 64, , ,94 49,00 83,6 0356,00 844,59 448,3 306, , , ,5 339, , , ,37 356,73 575, , ,5 389, ,56 475, ,4 39, , , ,89 433, ,63 680, ,4 487, , , ,05 5, , ,0 659, , , ,83 Bei 9 Jahreswere (=9) erhäl ma dami d C c 0 y y ,364034,68 659, ,83 = ,36 659, ,3 38,5 8480,83 y y ,83 659,904034, ,36 659, ,86 0, ,83

16 34. Ökoomerische Eigleichgsmodelle Abbildg..: Kosmfkio Mrd. Ero Privaer Verbrach Regressioswere Der Achseabschi C 0 beräg also 38,5 d das Seiggsmaß c imm de Wer 0,9335 a. Eie ökoomische Ierpreaio des Achseabschis wäre eigelich r da sivoll, we der Süzbereich de Koordiaersprg mi eischließe würde, was bei eier makroökoomische Kosmfkio jedoch ich gegebe is. Isofer is bei der Ierpreaio des Weres 38,5 als aoomer Kosm der Volkswirschaf Vorsich geboe. Er is keiesfalls als Mideskosm im Sie eies Sbsiseziveas z ierpreiere. Die ökoomische Theorie läss lagfrisig eie proporioale Beziehg zwische dem Privae Verbrach d dem Eikomme erware. G ierpreierbar is dagege das Seiggsmaß. Der Schäzwer vo 0,9335, der die margiale Kosmeigg im Süzbereich agib, besag, dass im berachee Zeiram ei Eikommeszwachs vo Mrd. Ero im Miel z eier Erhöhg der Kosmasgabe m 934 Mill. Ero geführ ha. We die Kosmfkio sabil is, ka davo asgegage werde, dass ewa 93 % des zsäzliche verfügbare Eikommes für Kosmasgabe verwede werde. Afgrd der Komplemeariä ergib sich daras eie margiale Sparqoe vo 7 %.

17 . Das mliple Regressiosmodell 35 Beispiel..: Die Nachfrage ach Geld is Gegesad vielfäliger geldheoreischer d geldpoliischer Diskssioe. So komm z.b. dem Problem der Sabiliä der Geldachfragefkio bei eier Bereilg der Effiziez geldpoliischer Maßahme ei hoher Sellewer z. Eie Spezifikaio der Geldachfragefkio sez eie Defiiio der relevae Geldmege voras. Aßerdem is z kläre, ob sich die Modellierg af die omiale oder reale Geldmege beziehe soll. Als escheidede Eiflssgröße für die Nachfrage ach Geld werde das Trasakiosvolme d die Opporiäskose der Geldhalg agesehe: Währed das Trasakiosvolme im allgemeie drch das Broiladsprodk y gemesse wird, werde die Opporiäskose drch die Redie aleraiver Akiva erfass, die meis drch eie repräseaive Zissaz r charakerisier werde. Bei fehleder Geldillsio läss sich die Nachfrage ach Geld m da drch die Fkio m f y,r wiedergebe, i der m d y reale Größe sid, die ma dadrch erhäl, dass ma die omiale Geldmege M d das omiale Iladsprodk Y af das Preisivea P bezieh: m M P d y Y. P Sofer die Eiheisperiode hireiched lag is, köe Apassgsverzögerge berücksichig bleibe. Bei eiem logarihmisch-lieare Asaz, de ma bei empirische Uerschge zr Geldachfrage häfig zgrde leg, lae die ökoomerische Geldachfragefkio da l m l y l r 3 mi der Sörvariable, die die klassische Modellaahme erfülle soll. I diesem Modell lasse sich die Regressioskoeffiziee d 3 mielbar als Eikommes- d Ziselasiziä ierpreiere. Da der Geldbedarf mi zehmedem Trasakiosvolme seig, wird i der ökoomische Theorie eie posiive Eikommeselasiziä vorasgesez. Adererseis is eie egaive Ziselasiziä z erware, da die Opporiäskose der Geldhalg mi seigedem Zissaz zehme. Bei der ökoomerische Schäzg der Geldachfragefkio wird die Geldmege M, die sich as dem Bargeld d de Sichghabe des Pblikms zsammesez, als

18 36. Ökoomerische Eigleichgsmodelle BOR (Ero ierbak offered rae) als krzfrisigem Zissaz erfass. Als Deflaor zr Besimmg der reale Geldmege wird der Preiside für das Broiladsprodk zr Basis 00 heragezoge. Im Beobachgszeiram vo 994 bis 0 ergib sich dami folgede Daebasis: Jahr Geldmege M Mrd. z erklärede Variable verwede. Der repräseaive Zissaz wird drch de EURI- Broiladsprodk Mrd. (i Preise des Jahres 00) Krzfrisiger Zissaz % Preiside für das Broiladsprodk (00=00) ,90 78, 5,3 87, ,80 848,5 4,5 89, ,00 875,0 3,3 90, ,80 9,6 3,3 90, ,00 959,7 3,5 90, ,40 000,,9 9, ,60 047,5 4,3 90, ,60 0,9 4, 9, ,60 3, 3,3 9, ,50 47,5,3 93, ,90 95,7, 94, ,40 4,4, 95, ,80 33,9 3,0 95, ,00 48,5 4, 97, ,70 473,8 4, 97, ,90 374,5, 99, 00 6,80 496, 0,8 00,0 0 7,50 59,6,3 00, ,0 643,9 0,5 0, Qelle: Moasberiche der Desche Bdesbak (verschiedee Hefe); Jahresgache 0 des Sachversädigeras zr Begachg der gesamwirschafliche Ewicklg Da die Geldachfragefkio eie logarihmisch-lieare Form besiz, sid zächs die Logarihme der Beobachgswere z ermiel: 6 6 Wir arbeie hier mi de aürliche Logarihme der Variable.

19 . Das mliple Regressiosmodell 37 l m l y l r 5, , , , ,5978, , , , , ,556885, , , , , ,600045, ,6483 7,643748, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,83507, , , , ,0873 7, , , , , , , , Um die Parameer, d 3 mi der OLS-Mehode z schäze, beöige wir zächs eimal die Prodkmarize X'X d X'y: ly lr 9,000 45,986 7,779 X'X l y l y l y l r 45, 986, , l r l r l y l r 7,779 35,657 3,963 d l m,708 X'y l y l m 936, l r l m 09,843. Die Iverse der Prodkmari X'X lae 45,8 57,873 7,59 X'X 57,873 7, 46 0, ,59 0,956 0,60. Der OLS-Schäzvekor läss sich mielbar als Prodk der Marize (X'X) d (X'y) besimme:

20 38. Ökoomerische Eigleichgsmodelle ˆ 5, 07 ˆ ˆ,8 3 ˆ 3 0,89. Abbildg..: Geldachfragefkio Geldmege M (logarihmier) Regressioswere l m Währed das kosae Glied bei der ökoomische Ierpreaio ich vo Belag is, riche sich das Ieresse af die Schäzer d 3. Zächs eimal weise beide Regressioskoeffiziee im Süzbereich das erwaree Vorzeiche af: Die Geldachfrage seig mi zehmedem Eikomme d sik mi zehmedem Zissaz. Darüber hias lasse sich die Regressioskoeffiziee i serem Modell als Elasiziäe ierpreiere. As dem Wer der Eikommeselasiziä der Geldachfrage is z eehme, dass die Geldachfrage überproporioal af Veräderge des Eikommes reagier ha. Eie %ige Erhöhg des Eikommes gig im berachee Zeiram im Miel mi eier ewa,8%ige Erhöhg der reale Geldachfrage eiher. Hieri zeige sich disecoomies of scale, da die Geldhalg bei eier Seigerg des Eikommes relaiv särker zgeomme ha als die Halg Errag brigeder Akiva. Dami besäig sich die Lsghypohese, ach der bei seigedem Vermöge d

21 . Das mliple Regressiosmodell 39 Eikomme ei überproporioaler Aeil als Kasse gehale wird, da die Taschbereischaf als Lsbedürfis agegebe wird (vgl. Ehrlicher, 97, S. 384). Der Wer der Ziselasiziä der Geldachfrage vo 0,89 gib dagege a, dass sich die Geldachfrage bei eier %ige Ziserhöhg im Miel m ewa 0,9 % verriger ha. Das Pblikm ha eie Erhöhg der Opporiäskose der Geldhalg somi zm Alass geomme, sei Porfolio zgse Errag brigeder Fiazalage mzschiche. We ma de Parameervekor ach dem Kleis-Qadrae-Krierim ermiel ha, läss sich der Vekor der Reside, der die Schäzfehler ehäl, wege (..) d (..9) drch (..8) ˆ y Xβˆ bereche. Die Reside,,, im -Vekor lasse sich als realisiere Sörerme ierpreiere. Da ach der OLS-Mehode ewickel wrde, sprich ma i diesem Zsammehag ach vo OLS-Reside. Wird Gleichg (..3) vo liks mi der Traspoiere vo X mliplizier, ergib sich (..9) X' ˆ Xy ' XXβ ' ˆ 0. Das Prodk as der raspoiere Beobachgsmari X' d dem Residevekor is daach gleich eiem k -Nllvekor 0. Diese Bedigg is afgrd der Normalgleichge (..4) erfüll, as dee der OLS-Parameervekor berechebar is. Für die OLS-Reside gele also k lieare Resrikioe der Form û û 0 û û X ' ˆ, 0 û k k k kû die zm Asdrck brige, dass die Reside orhogoal af de eogee Variable sehe. As der erse Resrikio 0

22 40. Ökoomerische Eigleichgsmodelle is ersichlich, dass die Smme der OLS-Reside d daher ach ihr arihmeisches Miel (..30) gleich 0 sid. Diese Implikaio is mi der Aahme über die Sörerme E( )=0 g verräglich. Sie ergib sich asächlich jedoch r da, we im Regressiosasaz ei Absolglied berücksichig wird. Die k resliche Resrikioe, die (..3) j 0 fü rj=,... k. lae, lasse sich ebefalls g ierpreiere. Sie verkörper ämlich implizi die Assage, dass die Kovariaz s, zwische de OLS-Reside d jeder eogee Variable gleich 0 is. De er Berücksichigg vo (..30) gil mi woras s s û, j û, (û û)( j, û j j j) û ( j j) û folg. Die OLS-Reside sid also mi de eogee Variable ich korrelier. Wie sich zeige wird, komm diesem Befd bei der Diskssio der Güeeigeschafe des OLS-Schäzers βˆ eie erhebliche Bedeg z. j j û..3 Schäzeigeschafe der OLS-Mehode..3. Güekrierie Die Eigg der OLS-Mehode zr Schäzg ökoomerischer Modelle häg vo de Eigeschafe ihrer Schäzfkioe ab. Ihre Awedg is daher drch die Qaliä der Schäzg z begrüde. Bei der Bereilg der Güe der Schäzg erscheide ma Schäzeigeschafe, die vom Sichprobemfag abhägig sid, d solche, die

23 . Das mliple Regressiosmodell 4 asschließlich bei großem Sichprobemfag gele. Isbesodere sid die Eigeschafe im ersere Fall ach bei kleie Sichprobe gülig, die häfig i der ökoomerische Prais vorzfide sid. Güeeigeschafe, die allei bei große Sichprobe Güligkei besize, bezeiche ma als asympoische Eigeschafe. Wir diskiere hier als Güeeigeschafe, die abhägig vom Sichprobemfag sid, die Erwargsree d Effiziez des OLS-Schäzers βˆ. We βˆ erwargsre is, da wird er zwar im Eizelfall ich völlig mi dem Vekor β der wahre Regressioskoeffiziee ideisch sei. We ma die OLS-Schäzer βˆ aber über alle mögliche Sichprobe gleiche Umfags miel würde, so würde die Uerschiede jedoch bei eiem erwargsree Schäzer verschwide. Der Vekor β der bekae Regressioskoeffiziee köe da drch de OLS-Schäzer βˆ verzerr geschäz werde. Dami is jedoch och ichs über die Geaigkei der Schäzg asgesag. Je kleier die Variaze der geschäze Regressioskoeffiziee sid, mso präziser ka β geschäz werde. Ei Schäzer mi der kleismögliche Variaz heiß effizie. Wir werde s hier bei der Effiziezüberprüfg af die Klasse der lieare Schäzfkioe beschräke. Wie sich ämlich zeige läss, habe die Kompoee des OLS-Schäzers βˆ er alle lieare verzerre Schäzer die kleismögliche Variaze. Sie sid daher bese lieare verzerre Schäzfkioe, was als BLUE-Eigeschaf (bes liear biased esimaor) bezeiche wird. Dies is die Assage des Gaß-Markow- Theorems, das hier as didakische Grüde i die Bereiche Lieariä, Erwargsree d Effiziez afgespale wird. Welches Verhale is vo eier ge Schäzfkio z erware, we der Sichprobemfag ach d ach vergrößer wird? Offebar würde ei zehmeder Sichprobemfag Voreile mi sich brige, we die zsäzliche Iformaio zm Zwecke eier präzisere Schäzg gez werde köe. We der Sichprobemfag immer größer wird, solle die Schäzfkio da schließlich mi dem bekae Parameervekor β zsammefalle. Ei Schäzer, der diese Eigeschaf besiz, heiß kosise. Die Kosisez kezeiche eie Grezzsad, der heoreisch ers da erreich is, we der Sichprobemfag über alle Greze wächs.

24 4. Ökoomerische Eigleichgsmodelle..3. Lieariä Das Gaß-Markow-Theorem mach eie Assage über besimme Schäzeigeschafe ierhalb der Klasse der lieare Schäzer für de Parameervekor β. Allgemei läss sich ei beliebiger liearer Schäzer β ~ für β i der Form ~ (..3) β Cy + a schreibe, wobei C ei k -Mari d a ei k -Vekor is. Währed die Kompoee y des Vekors y i Abhägigkei vo de Sörvariable Zfallsvariable sid, seze sich die Mari C d der Vekor a as kosae Elemee zsamme. Da β as dem Daemaerial geschäz wird, sid die Elemee der Mari C geaer Fkioe der eogee Variable j. Wie sich späer zeige wird, komme für die BLUE- Eigeschaf allei lieare Schäzfkioe i Berach, bei dee der Vekor a dem Nllvekor 0 esprich. Der OLS-Schäzer ˆ β ( XX ' ) ha die Form (..3) mi Xy ' C ( XX ' ) X' d a=0. Die Mari C sez sich hierbei as dem Prodk der Iverse (X'X) d der raspoiere Beobachgsmari X zsamme, so dass die Elemee vo C Fkioe der eogee Variable j sid. Die Lieariä der Schäzfkio βˆ ergib sich da er der Vorassezg, dass die Were der eogee Variable als fese Größe agesehe werde köe Erwargsree Ei Schäzer is erwargsre, we sei Erwargswer mi dem Parameer der Grdgesamhei übereisimm. We sich Schäzfehler scho ich vermeide lasse, so is ei erwargsreer Schäzer zmides frei vo sysemaische Verzerrge. Es is da sichergesell, dass der Schäzfehler allei as sichprobebedige Zfallsschwakge m de bekae Parameer der Grdgesamhei beseh. Um die Erwargsree des OLS-Schäzers βˆ z zeige, seze wir zächs das Regressiosmodell (..5) i (..5) ei:

25 . Das mliple Regressiosmodell 43 ˆ β ( XX ' ) Xy ' ( XX ' ) X'( Xβ + ). Nach Asmlipliziere erhäl ma so dass ˆ β ( XX ' ) XXβ ' ( XX ' ) X ', ˆ (..33) β β ( XX ' ) X' folg. N ka der Erwargswer vo βˆ leich besimm werde. Afgrd der Lieariä des Erwargsweroperaors erhäl ma β ( XX ' ) X) ' E( β) E ( XX ' ) X ' E(ˆ) β E. Da der Erwargswer eier Kosae gleich der Kosae selbs is, folg E(ˆ) β β E ( XX ' ) X '. Für de leze Schri is och z berücksichige, dass die eogee Variable fese, ich-sochasische Größe sid. Ma ka daher E(ˆ) β β ( XX ' ) X'E( ) schreibe, so dass sich mi (..6) schließlich (..34) E (ˆ) β β ergib. Dami is die Erwargsree des OLS-Schäzers βˆ gezeig. As der asführliche Schreibweise vo (..34), E(ˆ ) E(ˆ ), E(ˆ k ) k is ersichlich, dass die Erwargswere der OLS-Schäzer,,..., k mi de bekae Regressioskoeffiziee des ökoomerische Modells (..) übereisimme. Das bedee, dass der bekae Parameervekor β des Regressiosmodells (..5) mi dem OLS-Schäzer βˆ verzerr geschäz werde ka.

26 44. Ökoomerische Eigleichgsmodelle..3.4 Kovariazmari des OLS-Schäzers βˆ Die Kovariazmari Cov(βˆ ) des OLS-Schäzers βˆ, die eie symmerische k k-mari is, wird bei der Diskssio der Effiziez d Kosisez beöig. As diesem Grd biee es sich a, ihre Srkr vorab z berache, womi eie Grdlage zr Diskssio der beide geae Güeeigeschafe gegebe wird. Für die Effiziez sid isbesodere die Variaze Var ˆ ) der geschäze Regressioskoeffiziee j vo Be- ( j deg, die i der Hapdiagoale der Kovariazmari vo βˆ sehe. Sie werde aßerdem bei der Kosrkio vo Kofideziervalle d Sigifikazess beöig. Aßerhalb der Hapdiagoale sehe dagege die Kovariaze Cov( i, j ) zwische de Schäzer i d j, ij. Bei der Defiiio der Kovariazmari OLS-Schäzers βˆ vo seiem Erwargswer Cov βˆ geh ma vo de Abweichge des E βˆ as. Geaer erhäl ma die Variaze d Kovariaze i der esprechede Aordg as der Defiiio (..35) Cov(ˆ) β E{[ˆ β E(ˆ)][ˆ β β E(ˆ)]' β } Wege (..34) ka (..35) gleichwerig i der Form Cov(ˆ) β E βˆ β βˆ β ' (..36) geschriebe werde. Die asführliche Darsellg vo (..36) lae: E(ˆ E (ˆ Cov(ˆ) β E (ˆ mi d ) E (ˆ )(ˆ ) E (ˆ )(ˆ k k ) )(ˆ ) E(ˆ ) E (ˆ )(ˆ ) )(ˆ ) E (ˆ )(ˆ ) E(ˆ ) k k Var(ˆ ) E j ˆ j Cov( i, j ) E i i j j j, i j. k k Uer Verwedg vo Gleichg (..33) läss sich die Srkr der Kovariaz-Mari wie folg besimme: k k k k

27 . Das mliple Regressiosmodell 45 Cov βˆ β ˆ ββ ˆ β' X' X X' ' X' X X' X' X X' ' X X' X. Da bei symmerische Marize die Operaioe des Traspoieres d der Iverierg i ihrer Reihefolge veraschbar sid, gil [( X ' X) ]' [( X' X)']. Weier is ( X ' X)' X' X, so dass isgesam [( X ' X) ]' ( X' X) is. Dami ha ma d mi (..7) Cov(βˆ ) = E[(X'X) X''X(X'X) ] = (X'X) X'E(')X(X'X) Cov(βˆ )=(X'X) X' IX(X'X) = (X'X) X'IX(X'X) = (X'X) X'X(X'X), woras schließlich (..37) Cov(βˆ ) = (X'X) folg. Mihi ergib sich die Variaz-Kovariaz-Mari vo βˆ als Prodk as der kosae Variaz der Sörvariable d der Iverse der Mari X'X. We ma die Diagoalelemee der iverse Prodkmari (X'X) mi jj bezeiche, da sid die Variaze der geschäze Regressioskoeffiziee j i der Form Var ˆ jj (..38) darsellbar. j..3.5 Effiziez Ei erwargsreer Schäzer, der im Vergleich z alle aleraive verzerre Schäzer die kleise Variaz ha, heiß effizie. Ma bezeiche eie solche Schäzfkio als bese verzerre Schäzer. Beim Gaß-Markow-Theorem wird jedoch eie bese verzerre Schäzg ierhalb der Klasse der lieare Schäzfkioe ersch. Ierhalb dieser Klasse erweis sich der OLS-Schäzer als effizie. Um dies z zeige, berache wir eie beliebige lieare Schäzfkio β ~, wie sie i (..3) defiier is: ~ β Cy a.

28 46. Ökoomerische Eigleichgsmodelle Drch Eiseze des Regressiosmodells (..5) für y erhäl ma ~ β C Xβ a CXβ C, (..39) a so dass sich für de Erwargswer vo β ~ mi der Aahme (..6) ~ E β CXβ CE( ) a CXβ a ergib. Dami βˆ erwargsre is, d.h. ~ E β β gil, müsse offebar die Resrikioe (..40) CX = I d a = 0 mi der k k-eiheismari I d dem k -Vekor 0 gele. Die k k-kovariazmari für β ~ läss sich da as der Beziehg (..30) Cov ~ ~ β E βˆ β β β' besimme. Uer Berücksichigg vo (..40) geh (..39) i ~ β β C über, so dass die Abweichg zwische β ~ d β drch ~ (..4) β β C gegebe is. Uer Verwedg vo (..4) erhäl ma für die Kovariazmari vo β ~ die Form Cov ~ β E CC woras sich mi der Aahme (..7) Cov ~ β CC (..4) ' ' ECC ' C E' C, ergib. Der OLS-Schäzer βˆ ha die BLUE-Eigeschaf, d.h. er is der bese lieare verzerre Schäzer für de bekae Parameervekor β, we gezeig werde ka, dass die Hapdiagoalelemee vo (..37) ses kleier oder gleich de Hapdiagoalelemee vo (..4) sid. De da köe die Variaze der Regressioskoeffiziee j eies aleraive lieare verzerre Schäzers β ~ die esprechede Variaze ach der OLS-Mehode ich erschreie: Var( j ) Var( j ), j=,,, k.

29 . Das mliple Regressiosmodell 47 As formale Grüde defiiere wir hierz eie k -Mari D: D = C (X'X) X'. Die k -Mari C is da i der Form C = D + (X'X) X' darsellbar, womi (..4) i die Darsellg Cov( β ~ ) = [D+(X'X) X'][D+(X'X) X']' = [DD'+DX(X'X) + (X'X) X'D' + (X'X) ] übergeh. Wege CX=X'C'=I sid die beide milere Terme i der eckige Klammer Nllmarize, DX(X'X) = CX(X'X) (X'X) = 0 d (X'X) X'D' = (X'X) X'C' (X'X) = 0, so dass ma für die Kovariazmari vo β ~ schließlich Cov( β ~ ) = [DD'+(X'X) ] erhäl. Da alle Hapdiagoalelemee d jj der Prodkmari DD' Qadrasmme sid, mss offebar d jj 0 gele. Dami is aber ach gesicher, dass Var( j ) = jj Var( j ) = (d jj + jj ) gil, womi die BLUE-Eigeschaf des OLS-Schäzers βˆ gezeig is. Die geschäze Regressioskoeffiziee j habe vo alle lieare erwargsree Schäzfkioe für j die kleise Variaz. I diesem Sie is der OLS-Schäzer βˆ ei beser Schäzer für de Vekor β der bekae Regressioskoeffiziee j des ökoomerische Modells (..5) Kosisez We ei Schäzer mi zehmedem Sichprobemfag eie Parameervekor immer geaer reffe soll, da is isbesodere sei Grezverhale für vo Ieresse, also eie Eigeschaf bei große Sichprobe. Bei der Kosisez geh es m die Frage, ob ei Schäzer bei eiem über alle Greze wachsede Sichprobemfag schließlich mi dem Parameervekor β zsammefäll. Diese Eigeschaf is da ge-

30 48. Ökoomerische Eigleichgsmodelle sicher, we gezeig werde ka, dass ei Schäzer asympoisch verzerr is d seie Sreg asympoisch verschwide. Was de OLS-Schäzer βˆ ageh, so habe wir gezeig, dass er erwargsre is. Da diese Eigeschaf für eie beliebige Sichprobemfag gil, is sie aürlich ers rech für gegebe: (..43) lim E(ˆ) β β. Somi is die erse Kosisezbedigg erfüll. Die zweie Kosisezeigeschaf bezieh sich af die Sreg des Schäzers βˆ, die drch die Kovariazmari Cov(βˆ ) erfass wird. βˆ fäll für gea da mi dem bekae Parameervekor β zsamme, we seie Kovariazmari gege eie k k-nllmari 0 sreb. De i diesem Fall verschwide seie Variabiliä, so dass β präzise geschäz wird. Für de Kosisezbeweis is eie zsäzliche Aahme erforderlich. Sie bezieh sich geaer af die Prodkmari X'X ach Mliplikaio mi dem Skalar /, dere Verhale für ersch wird. Mi (..44) Q = lim XX ' d Q reglär wird ersell, dass die Mari der empirische Momee der eogee Variable X ' X k k a ihrer Greze gege eie regläre d dami iverierbare k k-mari Q kovergier. Da läss sich die asympoische Kovariazmari lim Cov(ˆ) β lim ( XX) ' - als Prodk zweier Grezwere schreibe: k k k

31 . Das mliple Regressiosmodell 49 lim Cov(ˆ) β weil die Iverse Q X' X - lim limq, für mi (..44) eisier. Da die Variaz der Sörvariable eie Kosae is, geh der Grezwer des Asdrcks / gege ll, so dass die Kovariazmari vo βˆ asympoisch i eie Nllmari übergeh: - lim Cov(ˆ) β 0 lim Q 0. Der OLS-Schäzer βˆ wird dami mi wachsedem Sichprobemfag ei immer besserer Schäzer für de bekae Parameervekor β, bis er schließlich für eie über alle Greze wachsede Sichprobemfag mi ihm zsammefäll. βˆ is somi ei kosiseer Schäzer für β...4 Besimmheismaß d mlipler Korrelaioskoeffizie Eie viselle Eidrck über die Güe der Apassg des Regressiosmodells köe verschiedee graphische Darsellge vermiel. Afgrd vo Residediagramme, bei dee die Reside gege die Zei oder gege die Regressioswere y geploe werde, lasse sich kokree Afschlüsse über Defeke i der Apassg der Regressioshyperebee bei besimme Beobachge erkee. Gleichwohl mss eie Bereilg der Güe der Apassg ahad graphischer Darsellge sbjekiv orieier bleibe, so dass die Vergleichbarkei erschwer wird. As Residediagramme lasse sich hapsächlich Probleme der Apassg bei eizele Beobachge asfidig mache. Die Bereilg der globale Güe der Apassg des Regressiosmodells ka drch die Verwedg eier Maßzahl objekivier werde. Eie derarige Maßzahl is das Besimmheismaß (Deermiaioskoeffizie). Das Besimmheismaß biee eie Escheidgshilfe darüber, ob die eogee Variable isgesam die edogee Variable erkläre köe. We dies gegebe is, ka ma mi dem ökoomerische Modell ers eimal arbeie, da es eie sivolle Beirag zr Erklärg der edogee Variable liefer. Die Bedeg des Besimmheismaßes

32 50. Ökoomerische Eigleichgsmodelle lieg gea dari, dass es de Erklärgsgehal der eogee Variable i eiem ökoomerische Modell qaifizier. Seie Ierpreaio is aschalich d wird dadrch erleicher, dass es sich bei dieser Kezahl m eie ormiere Größe hadel. Afgrd des Verschiebgssazes läss sich die Variaz s y der z erklärede Variable y i der Form (..45) s y y y y ' y y schreibe, so dass ma mi y y die äqivalee Form s ŷ û ' ŷ û y ŷ' ŷ ŷ' û û' û y y erhäl. As de Eigeschafe der OLS-Reside i (..9) folg aber y ˆ'ˆ Xβˆ ' ˆ βˆ' X'ˆ, (..46) 0 was bedee, dass mi de Regressore,,, m die Regressioswere y mi de Reside korrelier sid. Uer Berücksichigg der Beziehge y y d û 0 ergib sich daher die Sregszerlegg y y (..47) s s s mi d s yˆ'ˆ- y ŷ y s û ˆ' ˆ Nach der Sregszerlegg (..47) ka die Variaz der edogee Variable y i zwei Kompoee afgespale werde: die Variaz s y der Regressioswere d die Residalvariaz s. Währed die Variaz der Regressioswere die drch das ökoomerische Modell erkläre Sreg der edogee Variable y wiedergib, erfass die Residalvariaz die ich-erkläre Sreg. Je größer die Sreg der Regressioswere is, mso mehr wird prizipiell der Gesamzsammehag drch das ökoomerische Modell erklär. Das Besimmheismaß (Deermiaioskoeffizie) basier gea af dieser Ierpreaio der Sregszerlegg. Es miss die Güe der Apassg drch das Verhäl-

33 . Das mliple Regressiosmodell 5 is as der drch die Regressio erkläre Variaz zr Gesamvariaz der edogee Variable: (..48) R sy. s Wege 0 s s gil y y y 0 R, so dass sich der Deermiaioskoeffizie als Aeilswer ierpreiere läss. So besag z.b. ei Besimmheismaß vo 0,9, dass 90 % der Sreg der edogee Variable af die Sreg der eogee Variable zrückgeführ werde ka, d.h. drch das ökoomerische Modell erklär wird. 0 % der Variaz vo y werde i diesem Fall ich drch die Regressio erklär, was dem Aeil der Residalvariaz a der Gesamsreg der edogee Variable esprich. Ahad der Sregszerlegg (..47) läss sich verifiziere, dass der Deermiaioskoeffizie er Verwedg der Residalvariaz s gleichwerig as (..49) R s sy besimm werde ka. Eie Berechgsformel für das Besimmheismaß is er Berücksichigg der Defiiioe der Variaze vo y d y ach Mliplikaio mi drch (..50) R yˆ'ˆ y y y' y y ˆ' y yˆ - y' y y y gegebe. Ohe eplizie Verwedg des Vekors y der Regressioswere läss sich das Besimmheismaß mi dem OLS-Schäzer βˆ aleraiv as (..5) besimme 7. βˆ' X' y y R y' y y ˆ' β X' y y' y y y 7 Diese Berechgsformel ergib sich, idem ma i dem Skalarprodk yˆ ' yˆ die Beziehge yˆ '= (Xβ)' ˆ d yˆ y ˆ verwede: yy ˆˆ '=( Xβ)'( yˆ )='' βˆ Xyβˆ''='' Xˆ βˆ wege (..46).

34 5. Ökoomerische Eigleichgsmodelle Beispiel..3: Gesch is der Aeil der Variaz des Privae Verbrachs, der af die Sreg des verfügbare Eikommes zrückgeführ werde ka. Um hierüber eie Assage mache z köe, wird das Besimmheismaß für die makroökoomische Kosmfkio für de Süzbereich vo 994 bis 0 er Verwedg der Berechgsformel (..5) ermiel. Es is ˆβ ' 38, 5 0, 93354, d woras ma y 4034,68 X'y y ,83, y'y y y'y ˆˆβ' ˆ X'y erhäl. Mi =9 d y 64,98 ergib sich dami ei Besimmheismaß i Höhe vo , R 0, , , was bedee, dass 99,7 % der Sreg des privae Kosms drch die Regressio erklär wird. Bei der eifache Regressio esprich das Besimmheismaß dem Qadra des Korrelaioskoeffiziee r y zwische der edogee Variable y d der eogee Variable : (..5) R r y. Diese Beziehg läss sich zeige, idem ma die Variaz s y der Regressioswere i Abhägigkei vo der Variaz s des Regressors darsell: 8 y s s. 8 Dahier seh die Eigeschaf vo Variaze bei Liearrasformaioe. Zm Beweis siehe Eckey, Kosfeld d Dreger (00), S. 78.

35 . Das mliple Regressiosmodell 53 Uer Berücksichigg der Darsellg vo i der Form (..6) als Verhälis der Kovariaz s y zwische y d d der Variaz s vo erhäl ma für de Deermiaioskoeffiziee de Asdrck s R s y s s y s s y sy s s y was gea dem Qadra des Korrelaioskoeffiziee r y sy ss y esprich. Aders asgedrück gib die Wrzel des Besimmheismaßes bei der eifache Regressio de Korrelaioskoeffiziee zwische dem Regressade y d dem Regressor bis af das Vorzeiche wieder: (..53) r R y. Dami is eie Verallgemeierg bei der mliple Regressio agezeig. Die Wrzel des Besimmheismaßes läss sich ach hier als Korrelaioskoeffizie ierpreiere. Sie gib geaer die Korrelaio zwische dem Regressade y d de Regressioswere y a. Da y jedoch as eier Liearkombiaio der Regressore,,, k hervorgeh, sprich ma ach vo eiem mliple Korrelaioskoeffiziee. Das Besimmheismaß is da das Qadra des mliple Korrelaioskoeffiziee r y,,,k zwische der edogee Variable y d de eogee Variable,,, k : yy y,,... k. (..54) R r r Das Vorzeiche des mliple Korrelaioskoeffiziee bleib hier ers rech besimm, da posiive d egaive Eiflüsse der Regressore gleichzeiig afree köe. Obwohl der Deermiaioskoeffizie aschalich ierpreierbar is, ehäl er besimme Nacheile, die seie Wer als Maß für die Güe der Apassg eischräke. Ei Nacheil reslier daras, dass die Freiheisgrade der Qadrasmme berücksichig bleibe, was daz führ, dass das Besimmheismaß bei Afahme eies zsäzliche Regressors iemals sike ka. Im Prizip köe ma de Deermiaioskoeffiziee somi drch Afahme weierer Regressore, die ich owedig,

36 54. Ökoomerische Eigleichgsmodelle vo ökoomischer Relevaz sei müsse, vergrößer, ohe asächlich eie bessere empirische Fdierg ökoomischer Hypohese erreich z habe. As diesem Grd is sreg geomme ei Vergleich der Güe der Apassg aleraiver ökoomerischer Modelle r bei gleicher Azahl vo Regressore zlässig. Af jede Fall is bei erschiedlicher Azahl vo Regressore dieser Sachverhal i eie Bewerg eizbeziehe. Ma ka de Deermiaioskoeffiziee drch Berücksichigg der Freiheisgrade bereiige, woz wir vo der Defiiio (..49) asgehe. Da die Residalvariaz s k d die Variaz sy der edogee Variable Freiheisgrade besize, is das korrigiere Besimmheismaß drch û' û (..55) R k y' y y gegebe. I Abhägigkei vo R erhäl ma das korrigiere Besimmheismaß i der Form (..56) R R k. Bei großem Sichprobemfag im Vergleich zr Azahl der Regressore geh der Fakor ( )/( k) gege eis, so dass R g mi R übereisimm. Allgemei is R jedoch ses kleier als R. Das bereiige Besimmheismaß brach bei eier Afahme zsäzlicher Regressore ich owedig z seige. Vor allem we af eier frühe Sfe ei Regressor r eie gerigfügige Beirag zr Erklärg der edogee Variable leise, ka R im Eremfall sogar egaiv werde. Abgesehe davo bleib die Ierpreaio dieses Maßes als Aeil der drch die Regressio erkläre Variaz der abhägige Variable im Weseliche erhale. Voreilhaf is, dass aleraive ökoomerische Modelle mi erschiedlicher Azahl vo Regressore besser mieiader vergliche werde köe. Bei Awedge imm das Besimmheismaß of eie domiierede Rolle bei der Modellbewerg ei, die allerdigs äßers kriisch z bereile is. Sicher is ei hohes Besimmheismaß bei eiem ökoomerische Modell voreilhaf d wüscheswer, da es die Srigez eies ökoomische Zsammehags ersreich. Es komm jedoch dabei escheided daraf a, ob die eibezogee Regressore ach separa

37 . Das mliple Regressiosmodell 55 eie bedesame Eiflss af die edogee Variable besize, was mi Sigifikazess der Regressioskoeffiziee bereil werde ka. Aßerdem ka eie ökoomische Hypohese drchas bei eiem ich so hohe Besimmheismaß eie empirische Besäigg fide, we sich z.b. alle eibezogee Regressore als sigifika erweise. Das Besimmheismaß is im Allgemeie scho bei rech iedrige Were i seier Ierpreaio als Zfallsvariable gege Nll gesicher, was bedee, dass eie Erklärg drch die eogee Variable gegebe is. Wie der Korrelaioskoeffizie darf das Besimmheismaß keiesfalls ohe weieres kasal ierpreier werde. Ei besoderes Problem ergib sich bei ökoomische Zeireihe, die zm überwiegede Teil redbehafe sid. Ei hohes Besimmheismaß ergib sich da of scho allei afgrd eies Treds, der eie Gleichlaf der edogee Variable mi eier oder mehrerer eogee Variable erzeg. Gelegelich wird daher versch, drch Bildg vo Differeze oder Wachsmsrae de Tred z elimiiere. Jedoch bleib fraglich, ob ma dami asächlich die relevae Variable für ei ökoomerisches Modell erhäl, weil der eigelich ieressierede Niveazsammehag zwische de ökoomische Größe bei eier solche Sraegie verlore geh. 9 Afgabe (..) Welche Aahme liege dem klassische mliple Regressiosmodell zgrde? (..) Wir habe hier die erklärede Variable als eoge berache, so dass ses vorgegebee, fie Were dieser Größe vorliege. Zeige Sie af, welche Modifikaio der Modellaahme im Fall sochasischer -Variable vorgeomme werde müsse! (..3) Leie Sie die Kleis-Qadrae-Schäzer ˆ d ˆ für die Regressioskoeffiziee d ohe Verwedg des Marikalküls her! (..4) I eier Eergieachfragefkio soll die Nachfrage ach Erdgas (GASV) i Abhägigkei vom verfügbare Eikomme (VEINKR) erklär werde 9 Ökoomerische Verfahre, die speziell af diese Problemaik abselle, heiße Koiegraiosechike. Sie werde im Abschi.8 erörer.

38 56. Ökoomerische Eigleichgsmodelle ( ˆ Eergieachfragemodell I). Ermiel Sie die OLS-Schäzer für d eier lieare Regressio vo GASV af VEINKR (Dae s. Ahag B, Tab. B)! (..5) Die Nachfrage ach Erdgas soll drch die af de Preiside des Privae Verbrachs bezogee Preise für Erdgas (GASPR) d Ferwärme (FERNWPR) drch eie lieare Nachfragefkio erklär werde ( ˆ Eergieachfragemodell II). Besimme Sie die OLS-Schäzer der Nachfragefkio ach Erdgas (Dae s. Ahag B, Tab. B)! Hiweis: Die Iverse der Prodkmari lae: ( X ' X) 8,4837 5,0694,4939 5,0694 7,5467,360,4939,360 3,89869 (..6) Was verseh ma er eiem BLUE-Schäzer? (..7) Zeige Sie, dass der OLS-Schäzer ˆ eier eifache Regressio ei erwargsreer Schäzer für is! (..8) Besimme Sie die Variaz des OLS-Schäzers ˆ eier eifache Regressio d weise Sie seie Effiziezeigeschaf ierhalb der Klasse der lieare Schäzfkioe ach! (..9) Erläer Sie verbal die Kosisezeigeschaf! Welche Sellewer würde Sie dieser Schäzeigeschaf i der agewade Ökoomerie i Abhägigkei vo der Daear zbillige? (..0) Zeige Sie die Güligkei der Sregszerlegg (..47) für das eifache Regressiosmodell ohe Verwedg des Marikalküls af! (..) Bereche Sie de Deermiaioskoeffiziee für das ökoomerisch geschäze Eergiemodell I [s. Afgabe (..4)] d ierpreiere Sie ih! (..) Erläer Sie die beide erschiedliche Ierpreaiosmöglichkeie des Deermiaioskoeffiziee! (..3) Welche Rolle köe der korrigiere Deermiaioskoeffizie bei der Modellaswahl eiehme?

39 . Maimm-Likelihood-Mehode d Iferezsaisik 57. Maimm-Likelihood-Mehode d Iferezsaisik.. Die Maimm-Likelihood-Mehode Die Schäzg des Parameervekors β im mliple Regressiosmodell erfolge mi der gewöhliche Mehode der kleise Qadrae (OLS-Mehode), ohe dass eie Aahme über de Vereilgsyp der Sörvariable erforderlich gewese is. Iferezsaisische Kozepe, die über eie Pkschäzg vo β hiasgehe, gehe jedoch i der Regel vo eier Normalvereilg der Sörvariable as, die zmides approimaiv gegebe sei solle. So werde isbesodere Kofideziervalle d Sigifikazess für die Regressioskoeffiziee af der Grdlage eier Normalvereilg der Sörvariable kosrier. Zm Zwecke eier über die Pkschäzg hiasgehede Iferezsaisik im mliple Regressiosmodell seze wir as diesem Grd ebe de Aahme (..6) d (..7), E() = 0 d E(') = I, über die Sörvariable zsäzlich eie Normalvereilg voras: (..) ~ N(0, I). Die Aahme (..) besag, dass der Vekor der Sörvariable ormalvereil is mi dem Erwargswervekor 0 d der Kovariazmari I. Die Dichefkio f der Sörvariable ha somi i jeder Periode die Form (..) f ( ;0, ) ep. 0 Da die Kovariazmari Cov() eie Diagoalmari is, sid die Sörgröße korrelier, was bei eier Normalvereilg zgleich eie sochasische Uabhägigkei implizier. Ihre gemeisame Dichefkio f läss sich daher als Prodk der margiale Dichefkioe f darselle: (..3) f(,,..., ; 0, σ I ) Π f ( ;0,σ ). 0 Der Asdrck ep(z) gib die e-fkio ez wieder, wobei e die Elersche Zahl is (e =,78 ).

40 58. Ökoomerische Eigleichgsmodelle Uer Verwedg vo (..) erhäl ma ach geeigeer Zsammefassg der Terme für die gemeisame Dichefkio f( ; 0,σ I ) ep ep... ep / / / ( ) σ ( ) σ ( ) σ oder wege ' ep (... / π σ σ σ ep / σ σ (..4) 0 f( ;,σ I ) ep ' /. π σ σ Die Maimm-Likelihood-Mehode (ML-Mehode) geh bei der Schäzg der bekae Parameer im mliple Regressiosmodell vo der gemeisame Dichefkio der Sörvariable as. Im Gegesaz zr OLS-Mehode sez die ML-Mehode somi die Keis eies Vereilgsyps voras. Hier hadel es sich m die Normalvereilg, die sich für die Sörvariable drch de Zerale Grezwersaz begrüde läss. Daach is die Smme vo abhägige d ideisch vereile Zfallsvariable bei große Sichprobe er sehr allgemeie Bedigge approimaiv ormalvereil. We das mliple Regressiosmodell aber korrek spezifizier is, mfasse die eogee Variable j alle weseliche Eiflssgröße der edogee Variable y. Die Sörvariable ehäl da r och eie Vielzahl vo sysemaische Eiflüsse, dere Effeke sich afgrd der Aahme (..6) gegeseiig asgleiche. Die Vorsellg abhägiger Sörgröße seh bereis hier der Aahme (..7). Allerdigs solle die Normalvereilgsaahme im Zweifel überprüf werde, woz verschiedee Tesverfahre verwede werde köe. We jedoch eie Normalvereilg der Sörvariable z iferezsaisische Zwecke ohehi vorasgesez werde mss, da biee es sich ach a, zr Schäzg der Parameer des mliple Regressiosmodells eie Mehode i Berach z ziehe, die vo diesem Vereilgsyp eplizi Gebrach mach. Der Voreil lieg zm eie dari, dass für die Maimm- Likelihood-Mehode Güeeigeschafe beka sid, die abhägig vo der Problemsellg Güligkei besize. Zm adere läss sich mi der ML-Mehode zsäzlich zm Parameervekor β die Variaz der Sörvariable schäze, was mi der OLS-Mehode ich möglich is.

41 . Maimm-Likelihood-Mehode d Iferezsaisik 59 Hiz komm, dass das Schäzprizip der Maimm-Likelihood-Mehode roz seier wahrscheilichkeisheoreische Fdierg überas eileched d aschalich is. Nach der Maimm-Likelihood-Mehode ergebe sich ämlich er alle i Berach kommede Were der Parameer diejeige als Schäzer, er dee die gegebee Sichprobe die größmögliche Wahrscheilichkei (bzw. Wahrscheilichkeisdiche) besiz. Dieses Schäzprizip wird realisier, idem ma vo eier Likelihood-Fkio L asgeh, bei der die Parameer als variabel d die Variablewere (Merkmalswere) als gegebe agesehe werde, was der Siaio ach Ziehe eier Sichprobe esprich. Für vorgegebee Parameerwere esprich dagege die Likelihood-Fkio der Wahrscheilichkeisfkio (Dichefkio), bei der die Parameer als kosa d die Merkmalswere als veräderlich berache werde. Im Folgede geh es darm, bei gegebee Were der eogee d edogee Variable die Schäzer für β d z fide, die die größe Wahrscheilichkeisdiche habe. Mi y Xβ läss sich die Likelihood-Fkio L i der Form / (π) (..5) ( β,σ ) ep y Xβ' ( y Xβ) σ σ L schreibe, die ach dem ML-Prizip z maimiere is, da die Maimm-Likelihood- Schäzer β ˆ d σˆ die Bedigg ML ML (..6) Lβ,σˆ Ma Lβ, σ ML ML β,σ erfülle müsse. Da die Eremwere eier Fkio vo eier moooe Trasformaio ich beeiflss werde, köe wir die ML-Schäzer für β d gleichermaße as der logarihmiere Likelihood-Fkio (..7) l Lβ,σ lπ l σ y - Xβ' y Xβ σ besimme, was recheechisch eifacher is. Da β allei im leze Term afri, der ei egaives Vorzeiche besiz, is eie Maimierg der logarihmiere Likelihood- Fkio i Bezg af β offebar gleichwerig mi eier Miimierg des Asdrcks Q ' ( y Xβ)'( y Xβ).

42 60. Ökoomerische Eigleichgsmodelle Es hadel sich dabei m eie Miimierg der Smme der qadriere Modellabweichge, was gea bei der OLS-Mehode erfolg is. Der ML-Schäzer ˆβ ML simm daher mi dem OLS-Schäzer βˆ für de Parameervekor β überei: ˆ ˆ (..8) β β X' X X' y ML Das Gaß-Markow-Theorem is dami aürlich ach für de ML-Schäzer ˆβ ML gülig. Da für die Sörvariable jedoch eie Normalvereilg vorasgesez worde is, efäll die Resrikio af die Klasse der lieare Schäzer für β. ˆβ ha er alle erwargsree Schäzer die kleise Variaz, so dass er der bese erwargsree Schäzer für β, d.h. effizie, is. Die Kosisezeigeschaf riff aürlich ach af ˆβ z. ML Um eie ML-Schäzer für die Variaz der Sörvariable z erhale, wird die logarihmiere Likelihood-Fkio (..7) pariell ach differezier d gleich ll gesez: l L σ β,σ y Xβ' y Xβ 0 σ σ 4 As dieser owedige Bedigg für ei Maimm vo l L bezüglich erhäl ma drch Umformg σ y Xβ ' y Xβ, so dass sich er Verwedg des ML-Schäzers ˆβ ML für de bekae Parameervekor β y Xβˆ ' y Xβˆ σˆ ML ML ML ergib. Wege βˆ β ˆ ML sid die Kompoee vo y Xˆβ ML mi de OLS-Reside ideisch, ˆ y Xβ ˆ, ML so dass der ML-Schäzer (..9) ˆ ML ˆ'ˆ û ˆ ML für die Sörvariaz. ML Siehe hierz Fomby, Hill d Johso (984), S. 3ff.

43 . Maimm-Likelihood-Mehode d Iferezsaisik 6 lae. Daach ergib sich der Maimm-Likelihood-Schäzer für als gewogees arihmeisches Miel der qadriere OLS-Reside (= ML-Reside). Wir werde allerdigs de ML-Schäzer ML ich modifizier für iferezsaisische Zwecke im mliple Regressiosmodell verwede. De ML besiz zwar asympoisch wüscheswere Eigeschafe wie asympoische Erwargsree, Kosisez d asympoische Effiziez, die bei große Sichprobe vo Relevaz sid, jedoch is er bei kleie Beobachgsmfäge ich erwargsre. Die Modifikaio wird also daraf hiaslafe, eie erwargsree Schäzer für die Sörvariaz z erhale... Erwargsree Schäzg der Sörvariaz Eie erwargsree Schäzg der Sörvariaz is ich allei bei der Bereilg der Modellapassg vo Relevaz. Sie spiel ebefalls bei der Kosrkio vo Kofideziervalle d Hypoheseess für die Regressioskoeffiziee eie bedeede Rolle. Ohe sie is keie verzerre Schäzg der Variaz der Regressioskoeffiziee j gegebe. Wie sich zeige wird, mss bei eier erwargsree Schäzg vo die Azahl der Freiheisgrade des Schäzers i Berach gezoge werde. Ei Freiheisgrad geh drch die Resrikio verlore, dass die Reside im Miel gleich ll sei müsse. Aßerdem müsse die Reside mi jedem der k Regressore korrelier sei. Dies bedee, dass vo de Reside r och k frei wählbar sid, da sie isgesam k Resrikioe geüge müsse, die sich as dem Sysem (..4) ergebe. Bei der Schäzg vo besehe somi r k Freiheisgrade. Ma gelag da z eiem erwargsree Schäzer für die Sörvariaz, idem ma de Fakor bei dem ML-Schäzer drch de Fakor ersez: k (..0) ' k k. Bei dem erwargsree Schäzer wird die Smme der Residalqadrae ich drch die Azahl der Reside, soder drch die Azahl k der Freiheisgrade der Schäzg geeil. Maimm-Likelihood-Schäzer besize er allgemeie Reglariäsbedigge ses diese asympoisch wüscheswere Eigeschafe. Siehe hierz z.b. Fisz (976), S. 563ff.

44 6. Ökoomerische Eigleichgsmodelle Der Beweis der Erwargsree vo (..) Eσˆ σ, σˆ, ka er Verwedg eiiger Regel der lieare Algebra geführ werde. Sez ma de OLS-Schäzer βˆ i die Beziehg ˆ y Xβˆ ei, so erhäl ma für de Residalvekor û de Asdrck - = y - X(X' X) X' y, der ach Asklammer vo y i = I-X(X'X) X' y übergeh. Uer Verwedg der -Mari M, (..) - M = I - X( X' X) X', erhäl ma i der Form, (..3) ˆ My, - woras ersichlich is, dass die Reside û eie Liearkombiaio der edogee Variable y, y,, y sid. Gleichermaße lasse sich die Reside jedoch ach als Liearkombiaio der Sörvariable,,, darselle. De we ma das mliple Regressiosmodell (..5) für y i (..3) eisez, da folg wege - MX = I - X( X' X) X' X 0 (..4) û = M. Die Mari M ha die beide Eigeschafe (..5) M' M d M M M M. Ersere Eigeschaf gib die Symmerie der Mari M wieder, die drch die Ideiä mi ihrer Traspoiere gekezeiche is: - I - X(X' X) X' ' I' X( X' X) X' I X( X' X) X' M M ' = Lezere Eigeschaf besag, dass das Prodk der Mari M mi sich selbs die Asgagsmari M veräder läss: (..6) M = M M =. - I - X(X'X) X' I X(X'X) X' I X(X'X) X' X(X'X) X' X(X'X) X'X(X'X) X' I X(X'X) X' X(X'X) X' I X(X'X) X' M Eie Mari, die diese Eigeschaf besiz, heiß idempoe. Dami köe wir die Smme der Resideqadrae i der Form û ˆ'ˆ M' M ' M' M ' M schreibe. N mache wir vo dem Kozep der Spr (race) r eier Mari Gebrach 3, das für die weiere Berachge beöig wird. Zächs eimal gil ˆ 'ˆ ' M r( ' M), 3 Die Spr eier qadraische Mari is allgemei als Smme ihrer Hapdiagoalelemee defiier.

45 . Maimm-Likelihood-Mehode d Iferezsaisik 63 da die Spr eies Skalars gleich dem Skalar selbs is. Die Spr eies Mariprodks bleib veräder, we die Reihefolge der Prodkbildg verasch wird, sofer r die Mliplikaio der Marize vo ihrer Ordg her möglich is 4. Mihi is die Spr der qadraische Form 'M mi der Spr der Mari M' ideisch: ˆ 'ˆ r' M rm' Wir bilde de Erwargswer vo ˆ ' ˆ, ˆ'ˆ ErM' E, der sich er Berücksichigg der Veraschbarkei der Erwargswer- d Sprbildg i der Form E( ' ) r M E( ' ) r M E( M' ) darselle läss 5, so dass ma mi der Aahme (..7) E( ' ) r( M) erhäl. Da die Spr der Differez zweier Marize separa bereche werde ka, gil weier r( M) r( I) r X( X'X) X' mi der -Eiheismari I. Die Spr vo I is gleich, r(i) =, d die Spr vo X(X'X) X' is gleich k, r XX'X ( ) X' k, we ma afgrd der Ragaahme (..6) über die Beobachgsmari X für das Mariprodk X(X'X) X' deselbe Rag vorassez. Dami erhäl ma E( ˆ ' ˆ ) ( k), womi gezeig is, dass der Schäzer (..0) für erwargsre is: ˆ' ˆ E. k Der Schäzer für die Variaz ermöglich es s, Kofideziervalle für die geschäze Regressioskoeffiziee z bereche d Sigifikazess drchzführe. Beispiel..: Die Schäzg der Variaz der Sörvariable soll hier für die makroökoomische Kosmfkio Ĉ 38,5 0,9335 Y V erfolge. Hierz wird eie Arbeisabelle ageleg, i der die zr Berechg des Schäzers ( ) C C k k 4 Bei der Mari A, B d C gil r(abc)=r(acb)= =r(cba), falls die esprechede Mariprodke defiier sid. 5 As diesem Grd bezeiche ma de Erwargswer E d die Spr r ach als lieare Operaore.

46 64. Ökoomerische Eigleichgsmodelle beöige Größe bereche werde. C is der Regressioswer des privae Verbrachs i der Periode, der z.b. für 994 Ĉ 38,5 0,933559,39 043,8 lae. Af diese Weise lasse sich die weiere Regressioswere bereche, die i die Arbeisabelle überomme werde: Y v C C C C C C 59,39 03,75 043,8,06,30 90,6 066,47 07,95 6,48 4,04 3,7 088,64 093,59 4,95 4,46 4 3,47 0,8,0 0,8 0,08 5 5, 30,4 9,53 0,6 0, ,66 6,86 55,5 6,7 45, ,70 95,04 75,73 9,3 37, ,78 33,43 9,68 3,75 89, 9 363,6 40,58 34,3 6,45 4, ,6 64,5 63,4,, 49,00 83,6 86,7,56 6,53 448,3 306,98 33,36 6,38 40, ,5 339,54 343,60 4,06 6, ,37 356,73 363,99 7,6 5, ,5 389,6 400,9 0,67 3, ,4 39,55 39,7,7, ,89 433,6 435,43,7 5, ,4 487,66 483,7 4,39 9, ,05 5,59 56,80 4,79,99 8,0

47 . Maimm-Likelihood-Mehode d Iferezsaisik 65 Die Smme der Abweichgsqadrae beräg also 8,0. Mi =9 d k= erhäl ma hiermi de erwargsree Schäzer 8,0 ˆ 65, für die Sörvariaz. Der Sadardfehler der Schäzg lae demzfolge ˆ 65,7765 8,03.

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