2 Grundlagen der Robotermathematik - Lösungen zu den Aufgaben

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Heini Lenz
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1 Gdlage de Roboemahemaik - Lösge z de Afgabe Afgabe. Gegebe is ei Recheck mi de Kaeläge l cm, bcm. Es is paallel z de Koodiaeachse asgeiche d sei like ee Eckpk lieg bei P,. a Selle Sie fü die ie Geade, die dch die Kae besimm sid, alle Dasellgsfome o abelle. af. Eplizie Dasellg: g: g: ich defiie g: g: ich defiie Implizie Dasellg: g: g: 5 g: g: Vekodasellg : g: 5 g: g: Die Kompoeedasellg wid ich agegebe, da sie eie weige kompake Scheibweise de Vekodasellg is.

2 Lösge -. Gdlage de Roboemahemaik g: Hesse-Nomalefom: g: g: 5 g: g: b Zeige Sie mi Hilfe de Hesse-Nomalefom, dass de Absad de Eckpke o de gegeübeliegede Kae de eie b, bzw. de Läge l espich. P, i die Hesse-Nomalefom o g eiseze: b P, i die Hesse-Nomalefom o g eiseze: 5 l Das egaie Vozeiche fü de Absad bedee, dass P ich i de Halbebee lieg, i welche de Nomaleeko de Geade zeig. Afgabe. Gegebe is ei allgemeies Deieck A. a eeche Sie die Höhe h c beim Eckpk mi Hilfe de Hesse-Nomalefom eie Geade g, die dch A d eläf. Dch Eiseze o A d i die allgemeie Gleichg de Hesse-Nomale sowie de edigg ehäl ma die Koeffiziee: b a a b a b b a a b a b Als eispiel wede die Pke A,,,,, gewähl. Daas folg:

3 Lösge -. Gdlage de Roboemahemaik ±. Es gib zwei Lösge, da es zwei Asichge fü de Nomaleeko gib. Fü ehäl ma: h d Dch Eiseze o, ehäl ma d h. Das Vozeiche is egai, da de Nomaleeko i die Halbebee zeig, die ich ehäl. b Emiel Sie h c dch die eechg des Absads, de de Lofßpkes D de Höhe h c om Eckpk ha. eechg o D dch Schi de Logeade g L mi de Geade g dch A,. s g g L : :. Es gil: c [ ] [ ] s s Mi de Lösg des Gleichgsssems beeche sich de Oseko S S S d des Lofßpkes D z s d S S Mi de Pke A,,,,, ehäl ma: : : g g L. Dch Gleichseze egib sich: -, d daas folg fü de Lofßpk D,. Afgabe. Vogegebe is eie Ebee E, die sekech af de -Ebee seh d die Pke P,, d P,, ehäl.

4 Lösge -. Gdlage de Roboemahemaik a Selle Sie die Ebee E mi alle Mehode o abelle. da. Eplizie Dasellg: ich möglich, da keie eideige Zodg z z beseh. Implizie Dasellg:. Vekodasellg: p p a a Hesse-Nomalefom: z / / / z b eeche Sie die Schigeade g s mi de -Ebee. : g S. c Welche Wikel schließ g s mi de -Achse ei? / a, a ϕ a S, Wikelbeeich: ϕ S. d eeche Sie de sekeche Absad des Uspgs o de Ebee E.

5 Lösge -. Gdlage de Roboemahemaik 5 d. Afgabe. Gegebe is ei gleichseiiges Deieck A mi de Kaeläge a cm. a eeche Sie die Höhe h. a Phagoas Kosissaz: a h h a b eeche Sie alle Iewikel mi Hilfe des Kosissazes. Alle Iewikel ϕ sid gleich: a a a cosϕ o a cosϕ a cos ϕ ϕ 6 c eeche Sie alle Iewikel mi Hilfe de iese agesfkio. h a a ϕ a a ϕ a a 6 o Afgabe.5 Ei echwikliges Deieck ha die Eckpke A,,,,,. a eeche Sie die Pojekio de Secke A af die -Achse. Fü die Pojekio eies Vekos a af eie Veko b gil Fomel.. Daas folg: c a. b eeche Sie die Pojekio de Secke A af die Secke A. b a c a 6. 5

6 Lösge -. Gdlage de Roboemahemaik 6 c eeche Sie de Wikel bei A. o 5cos a cos 7. 5 AIgabe.6 Gegebe sid dei Pke P,,, P,,, P,,, die eie Ebee E besimme. a eeche Sie de Nomaleeko o E mi Hilfe des Vekopodks., Gl..5. b Selle Sie die Hesse-Nomalefom o E af d zeige Sie, dass de so emiele Nomaleeko bis af eie Fako k mi übeeisimm. HNF: z l P eiseze: k l af omiee: HNF: z k. Afgabe.7 eeche Sie jeweils de Schipk S mi Hilfe de ame'sche Regel. Gegebe sid die Gleichge o: a zwei Geade i de Ebee mi: g : g : A de A D A de A D A de A D

7 Lösge -. Gdlage de Roboemahemaik 7 D D s s. D D b zwei Geade i de Ebee mi: g : g : A de A D A de A D D D 8 s s 8. D D A de A 8 D c dei Ebee mi: z 5 z 6 E : z E : z 5 E : z 6 D D 5 5 D 5 D 5. Regel Sas D 5 D D s 5 s s. D D D Afgabe.8 Die Ebee E ehäl die z-achse d de Pk P,,. Fü die Ebee E gil z. a Selle Sie die beide Ebee als lieae Gleichgssseme da. E : E : z LGS: A b z

8 Lösge -. Gdlage de Roboemahemaik 8 b eeche Sie dee Schigeade mi Hilfe des allgemeie Lösgsefahes fü lieae Gleichgssseme. Allgemeie homogee Lösg:. R h Eie beliebige ihomogee Lösg: p Allgemeie Lösge: dies sell eie Geade im Ram da. p h Afgabe.9 Gegebe sid die beide asfomaioe A d A a Zeiche Sie die Lage de Koodiaesseme {} d {} bezüglich {A}. {} {A} A A {} b eeche Sie die asfomaio.

9 Lösge -. Gdlage de Roboemahemaik 9 A A A A c asfomiee Sie de Diffeezeko [ ] d ach {}. d d as de Zeichg folg ode dch eechg: d d wid als feie Veko behadel Siehe S. 56. Afgabe. a Zeige Sie dass fü eie beliebige Wikel gil: / / Ro Roz Ro Ro cos si si cos Ro Roz Ro cos si si cos Ro b Ei Pk P,, soll bezüglich eie Geade mi dem Hifühgseko [ a ] d dem Richgseko [ ] m ϕ gedeh wede. eeche Sie de gedehe Pk P D. Gib es mehee Lösge? p D Roz D p D

10 Lösge -. Gdlage de Roboemahemaik Fü die asfomaiosmai D des Oskoodiaessem de Dehachse gil: P D D D p D,, Es gib zwei Lösge, da die Dehg ach mi egegegesezem Dehsi efolge ka. Da gil: D Afgabe. Gegebe is das Eiheisfame E d die beide asfomaioe /,, /,, Roz as Ro as. Es folg: a E wid bezüglich asfomie. Welche Lage imm das Fame ei? Es gil: E b Das asfomiee Fame soll dch eimal absol d eimal elai asfomie wede. Zeiche Sie die ee Lage des asfomiee Fames. Absole asfomaio: E E abs

11 Lösge -. Gdlage de Roboemahemaik Relaie asfomaio: E el E E {E abs } z E E {E el } z E Afgabe. Gegebe is eie ZYZ-Eleasfomaio mi 9, β 9, γ 5. a Zeiche Sie fü jede Dehg die Pojekio des asfomiee Refeezkoodiaessems af die -Ebee. 9 β 9 γ 5 z z a b eeche Sie die eslieede homogee asfomaiosmai E. E c eeche Sie as E die beide Lösge fü die iese ZYZ-Eleasfomaio.

12 Lösge -. Gdlage de Roboemahemaik Mi Hilfe de Fomel. bis.6 ehäl ma die beide Lösge a a, β a a, β γ a a, γ Afgabe. Gegebe is die Fkio z f, cos si. a eeche Sie die paielle Ableige o z f,. f, cos f, si b Selle Sie das oale Diffeeial dz als Skalapodk da. dz d [ cos si ] d

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