Dieses lässt sich auf Funktionen in mehreren Veränderlichen verallgemeinern.

Transkript

1 4. Mehfachitegale eitag Volesg gewate Mathematik Maste M Pof. D.. Gaowski HTW es Saalaes GIS 4 Mehfachitegale Pof. D. aaa Gaowski HTW es Saalaes GIS Z Volesg gewate Mathematik Maste M Ihalt: 4 Mehfachitegale Eileitg Kooiatetasfomatioe Die Jacoi-Detemiate De Itegaltasfomatiossat Eiige esoee Itegale Doppelitegale Deifachitegale Eileitg Wie wi wisse ist f als Smme alle ktioswete f fü alle vo a is also fü a a w. = [a ] itepetiea. Da ie -Wete wische a icht meh chmmeiea si vewee wi astelle vo as Zeiche. Ist f > fü a so ist ieses Itegal gleich em lächeihalt e läche te f üe em Itevall [a ]. Dieses lässt sich af ktioe i mehee Veäeliche veallgemeie. Wi etachte ächst eie ktio i Veäeliche: = f. Sei igeeie Mege im Defiitioseeich vo f. Die Smme alle ktioswete f fü stelle wi a a ch f Wi vewee hie ei Doppelitegal a wi sowohl üe als ach üe smmiee müsse. Ist f> so ka as Doppelitegal als Volme V es Köpes afgefasst wee esse oe ch Deckel ch f üe geilet wi.

2 4. Mehfachitegale eitag Volesg gewate Mathematik Maste M Pof. D.. Gaowski HTW es Saalaes GIS. Volme eies Köpes mit oefläche Deckelfläche f De lächeihalt e Gfläche ehalte wi leicht wege V=Gfläche *Höhe = Gfläche falls Höhe = we wi f= sete es gilt: = lächeihalt vo. Wi smmiee paktisch alle Pkte i Wo Mehfachitegale ee e eechg vo Volme lächeihalt ach och veweet wee köe wi i schitt 4.5 te elätet. eispiel : I folgeem eispiel wolle wi alle ktioswete eie ktio f = c +c + c stellt eie Eee a afsmmiee wa fü alle. a: V= f.: [ V f ] a c c.: V= [ c a f ] Diese Smme ist offesichtlich gleich em Volme V es i a agestellte Köpes. Wi köe f fü alle af veschieee Weise afsmmiee. Z.. lasse wi ächst vo a is lafe smmiee f fü jees feste jeweils fü alle vo c is af. Es etsteht as Itegal:

3 4. Mehfachitegale eitag Volesg gewate Mathematik Maste M Pof. D.. Gaowski HTW es Saalaes GIS V = f = f a c a [ f ]. siehe. c Das. Doppelitegal i etsteht iem wi i e ichtige Weise aoe.h. gehöt m iee Itegal üe m äßee Itegal üe. Wi köe i seem eispiel ae ach est üe a üe smmiee.h. itegiee.h. es ist eefalls V = f = [ f ]. siehe c c a Wi eeche Mehfachitegale vo ie ach aße so wie wi ach Doppelsmme eeche wüe. Gehe wi eispielsweise vom Itegal as: V eeche wi est as iee Itegal H c a [ f ] so c f.h. wi itegiee smmiee f üe aei wi als Kostate etachtet. ls Egeis etsteht ei sck H e icht meh vo ahägt. schließe itegiee wi üe.h. wi eeche as äßee Itegal a H Die Mehfachitegatio ist also seh eifach a wi vo ie ach aße eifache Itegale löse hae. Sei.. fü se esipiel a= = c= =4 f = + + c =c = c = gewählt. Da ehalte wi: f = [ ] [ [ 4] ] 4 emekg: Wi hätte i seem eispiel ach vo Itegal asgehe köe. Daei eeche wi est as iee Itegal a f G als Itegal üe woei als Kostate etachtet wi. schließe itegiee wi G üe : V = G. c

4 4. Mehfachitegale eitag Volesg gewate Mathematik Maste M Pof. D.. Gaowski HTW es Saalaes GIS. eeche Sie V a [ f ] fü se eispiel a= = c= c =4 f = + + üeege Sie sich avo ass eefalls 6 askommt.. Üeege Sie sich avo ass as Doppelitegal fü = [a][c] tatsächlich gleich e lächeihalt e i. a skiiete Gfläche ist! Das Polem e estimmg e Itegatiosgee: Wi sehe ass wi ei e eechg vo Itegale imme ie Itegatiosgee.h. ie Gee fü ie Gee fü fü alle Pkte estimme müsse. Das wa i seem eispiel seh eifach a echteckig ist amit ie Gee fü fü alle Pkte seh leicht im katesische Kooiatesstem estimmt wee köe. Was ist ae we kmme äe hat? eispiel : estimme Sie as Volme V eies Keislies mit ais Höhe H. Offesichtlich ist ach oige Üelegge V= f = H. Was si ae ie Itegatiosgee? s e Keisgleichg folgt ass fü jees feste ie Kooiate vo is läft ie Mege also folgee Pkte ethält: = { } 4 Use Doppelitegal ist folglich: 4

5 4. Mehfachitegale eitag Volesg gewate Mathematik Maste M Pof. D.. Gaowski HTW es Saalaes GIS V= H H [ ] H 5 Sei wee sich siche mit eiigem Uehage aa eie as ma solche Itegale ch ie Sstittio = cosh löst. Das ist macha ae mit eiigem fwa vee. Im Vegleich eispiel ist hie e fwa wesetlich höhe. Das liegt aa as wi see Gmege.h. ie äe e Mege i katesische Kooiate icht esoes effiiet astelle köe.. esse ist es Kooiateastellge vewee ie sich qasi e Gestalt e Mege apasse. Wi köe ie Pkte i seem Keis seh viel eqeme ch Polakooiate astelle: Offesichtlich ist siehe 4a = { cos si } 6 Die äe vo i 6 si seh viel eifache als i omel 4. Wi gehe paktisch vo seem katesische Kooiatesstem eiem kmmliige em Polakooiatesstem üe 4 4c..4a: Polakooiate vo. 4: katesisches Kooiateet. 4c: Polakooiateet Halte wi i e Polakooiateastellg vo ie Kooiate fest lasse vo is vaiiee so ehalte wi alle Pkte af em Keis mit em ais ie sogeate - Kooiateliie 4c. Halte wi aeeseits fest lasse vaiiee so ehalte wi alle Pkte af em etspecheem Stahl ie sogeate -Kooiateliie. Da iese Kooiateliie im Gegesat e Kooiateliie es katesische Kooiatesstems siehe 4 kmm si spicht ma ach vo eiem kmmliige Kooiatesstem. Sie kee solche kmmliige Kooiatessteme eeits. Die Positio eies Pktes af e Eoefläche wi schließlich icht i katesische Kooiate soe ch Läge- eitega estimmt. Was igt s as ae fü ie eechg sees Itegals V = f? Im schitt 4.4 wi e sogeate Itegaltasfomatiossat elätet e esagt wie ma ieses Itegal mit Hilfe e kmmliige Kooiate astelle ka. 5

6 4. Mehfachitegale eitag Volesg gewate Mathematik Maste M Pof. D.. Gaowski HTW es Saalaes GIS Ma ka eige ass gilt: V = f = H H ' et J 7 woei = { } ie Mege ist ie ie Kooiate chlafe mss m mit = cos = si ie Gmege siehe 6 ehalte. etj ist aei ie sogeate Jacoi-Detemiate e Kooiatetasfomatio. Wi wee im schitt 4. achweise ass fü ie Jacoi-Detemiate im alle e Polakooiatetasfomatio gilt: etj =. ü as Volme eies Keislies mit ais Höhe H egit sich a: V= H H ' et J = H [ ] H [ ] H Sie wee sage as Sie as scho vohe wsste. Siche ka ma solche omel igeeie omelsammlg etehme ae wi wolle hie schließlich als Maste wisse wie es geht.h. wie ma af iese omel kommt! Im schitt 4. wee eiige tpische Kooiatetasfomatioe vogestellt. schitt 4. eschäftigt sich mit e Jacoi-Detemiate e Kooiatetasfomatioe im schitt 4.4 wi a e Itegaltasfomatiossat agestellt. Im schitt 4.5 wee tpische wege e Itegalechg agestellt.h. estimmte Mehfachitegale efiiet ihe eetg elätet. Das Kapitel eet mit em schitt 4.6 i welchem eispiele eechet wee. 4. Kooiatetasfomatioe Defiitio: Eie ijektive ilg T : ' vo af heißt Kooiatetasfomatio vo ach falls T T - im Iee vo w. patiell ach... w. ach... iffeeiea si. Si... katesische Kooiate so wee... als kmmliige Kooiate eeichet. 6

7 4. Mehfachitegale eitag Volesg gewate Mathematik Maste M Pof. D.. Gaowski HTW es Saalaes GIS eispiel : Polakooiate =: Polakooiatetasfomatio T cos si : ' Ist = so ist = { }. Die Tasfomatio T ist ijektiv.h. jeem = { } wi gea ei cos si ehalte wi mit T - gea ei Paa. geoet mgekeht jeem. Sei T oige Polakooiatetasfomatio. Gegee si. eeche Sie T - =.h. eeche Sie ei gegeee e ais = e Wikel =. Offesichtlich eistiee ie patielle leitge.. gilt fü ie patielle leitge vo T ach : T cos si T si cos Wi wee im schitt 4.. sehe ass iese leitge ie Elemete e Jacoi- Detemiate ile ie fü ie Itegaltasfomatio eie eetee olle spielt 7

8 4. Mehfachitegale eitag Volesg gewate Mathematik Maste M Pof. D.. Gaowski HTW es Saalaes GIS eispiel : Zliekooiate =: Die Zliekooiatetasfomatio latet: si cos ' : T woei = ist. Offesichtlich ist ach iese Tasfomatio T ijektiv a ja scho ie Polakooiatetasfomatio ijektiv wa. eispiel : Kgelkooiate =: Die Kgelkooiatetasfomatio latet: cos si si cos si ' : T woei = ist.

9 4. Mehfachitegale eitag Volesg gewate Mathematik Maste M Pof. D.. Gaowski HTW es Saalaes GIS Die wichtigste fgae im ahme e Kooiatetasfomatio esteht ai Köpe läche i geeigete Kooiatessteme astelle. eispiele: emekg: ü läche e om veweet ma am este ie Polakooiateastellg: = { cos si } ' } mit = { }. eispiel 4: Stelle Sie alle Pkte iehal af em a eies Keises mit ais i Polakooiate a! Lösg: I Polakooiate: = { cos si } ' } mit = { }. emekg: Die Dastellg i katesische Kooiate latet: = { } ist offesichtlich etwas mstäliche als i Polakooiate. eispiel 5: Gee Sie ie Mege alle Pkte ie iehal e läche ohe äe liege ie ch ie eie Geae = = e Keis mit em ais =5 geilet wi i geeigete Kooiate a! 9

10 4. Mehfachitegale eitag Volesg gewate Mathematik Maste M Pof. D.. Gaowski HTW es Saalaes GIS Lösg: Wi vewee Polakooiate. Es ist a = { cos si } ' } mit = { ta ta }. 4 emekg: ü läche e om veweet ma am este katesische Kooiate: = { a f f } = { c g g } eispiel 6: Stelle Sie läche ie ch ie Geae = ie -chse im Itevall - eigeschlosse wi i geeigete Kooiate a! Lösg: { f f } falls f o. falls o woei f falls falls

11 4. Mehfachitegale eitag Volesg gewate Mathematik Maste M Pof. D.. Gaowski HTW es Saalaes GIS 4. Stelle Sie ie Mege alle Pkte e läche ie vo e Paael = e Geae = + eget wi i geeigete Kooiate a! 5. Stelle Sie ie Mege alle Pkte ie iehal af e chimeische Spiale = liege i geeigete Kooiate a! emekg: eispiel 7: otatiosköpe stelle wi am este i Zliekooiate a! a Stelle Sie ie Mege V alle Pkte ie iehal af e Oefläche eies Keiskegels mit em ais e Höhe H liege ch geeigete Kooiate a! Lösg: H De Keiskegel etsteht ch otatio vo f = H m ie -chse:

12 4. Mehfachitegale eitag Volesg gewate Mathematik Maste M Pof. D.. Gaowski HTW es Saalaes GIS Offesichtlich ist: V = cos si H H Stelle Sie ie Mege O alle Pkte ie af e Oefläche eies Keiskegels mit em ais e Höhe H liege ch Zliekooiate a! Lösg: Offesichtlich ist: O = cos si H H. 6. Stelle Sie as Volme V ie Oefläche O es Keiskegels mit ais Höhe H i katesische Kooiate a üeege Sie sich avo as ie Zliekooiateastellg elegate ist! 7 a Stelle Sie alle Pkte ie iehal af e Oefläche es Köpes liege e ch otatio vo ktio f = m ie -chse etsteht i Zliekooiate a! Stelle Sie ie Mege e Pkte ie af e Oefläche ieses Köpes liege ch geeigete Kooiate a! Stelle Sie ie Oefläche es Köpes e ch otatio vo ktio f = m ie -chse etsteht i Zliekooiate a! 9 Stelle Sie as Volme V ie Oefläche O eie e öliche Halkgel mit ais i Zliekooiate a! Stelle Sie as Volme V ie Oefläche O eie e öliche Halkgel mit ais i Kgelkooiate a!

13 4. Mehfachitegale eitag Volesg gewate Mathematik Maste M Pof. D.. Gaowski HTW es Saalaes GIS 4. Die Jacoi-Detemiate Wie i e Eileitg Kapitel 4 elätet spielt ie sogeate Jacoi-Detemiate eie goße olle ei e Mehfachitegatio. Defiitio: Sei T ' : eie Kooiatetasfomatio. Da heißt ie Mati: j i i j J Jacoi-Mati vo T. Die Detemiate et... J iese Mati wi als Jacoi-Detemiate eeichet. Jacoi-Detemiate e Polakooiatetasfomatio: Die Jacoi-Mati fü ie Polakooiatetasfomatio egit sich wie folgt: cos si si cos J Die Jacoi-Detemiate ist folglich: et J si cos cos si si cos et. eeche Sie ie Jacoi-Detemiate et J et e Zliekooiatetasfomatio!

14 4. Mehfachitegale eitag Volesg gewate Mathematik Maste M Pof. D.. Gaowski HTW es Saalaes GIS 4. Üeege Sie sich ass ie Jacoi-Detemiate e Kgelkooiate folgee Wet esitt: si cos si si si si si cos cos cos cos si si cos si et J 4.4 De Itegaltasfomatiossat Sat: Sei T ' : eie Kooiatetasfomatio. Da gilt: J f f et ' omel sieht mächtig kompliiet as ist Ihe ae eigetlich eeits egeget. geomme Sie wolle folgees Itegal eeche: ] [ a a e e. Das wee Sie t iem Sie eie Sstittio =+ chfühe. Wie wi wisse hae wi a ach ie Itegatiosgee mit sstitiee: Es gilt: } [ ' :. : ] [ a a w Sstittio a a e e e 9

15 4. Mehfachitegale eitag Volesg gewate Mathematik Maste M Pof. D.. Gaowski HTW es Saalaes GIS llgemei ist fü ktioe i eie Veäeliche: a f [ a ] f Sstittio: w. ' [ a ] ' f Die alogie omel ist offesichtlich. Im eiimesioale all = stellt ie Sstittio = geae ie Kooiatetasfomatio T: --> = a ist ie Jacoi-Detemiate iese Tasfomatio. ist ie iekte Veallgemeieg vo fü >. Das eeche vo Itegale mit Hilfe es Itegaltasfomatiossates emostiee wi i eispiele im ächste schitt. 4.5 Eiige esoee Itegale 4.5. Doppelitegale De lächeihalt eie läche im ist i katesische Kooiate wie folgt efiiet:. De Schwepkt S= s s iese läche ist efiiet ch: s s. Das aithmetische Mittel vo f üe alle ist efiiet als f eispiel : eeche Sie e Schwepkt e läche ie ch ie Geae = ie -chse im Itevall - eigeschlosse wi. 5

16 4. Mehfachitegale eitag Volesg gewate Mathematik Maste M Pof. D.. Gaowski HTW es Saalaes GIS Lösg: Die Mege alle Pkte e läche stelle wi am este i katesische Kooiate wie folgt a: falls { f f o } woei f falls falls f o siehe eispiel 6 oe. falls De lächeihalt e läche eechet sich emfolge gemäß: f f 45 5 De Schwepkt ist S= s s woei ie Schwepktkooiate wie folgt gegee si: s s. Es ist : 9 Daas folgt: s = 65 = 7 s = 5 =

17 4. Mehfachitegale eitag Volesg gewate Mathematik Maste M Pof. D.. Gaowski HTW es Saalaes GIS 7 eispiel 9: eeche Sie lächeihalt Schwepkt e ch ie chimeische Spiale Spiale = eigeschlossee läche. Lösg: Die chimeische Spiale hat i Polakooiate folgee Gestalt: = si cos. Sei = Die Jacoi-Detemiate e Polakooiatetasfomatio latet: J =. De lächeihalt vo ist etspeche e Itegaltasfomatiosfomel: ' ] [ 4 = 654 De Schwepkt ist S= s s woei ie Schwepktkooiate te eücksichtigg es Itegaltasfomatiossates wie folgt gegee si: s = ' cos cos cos ] cos si [ ] si [ si ] si [ = ] [4 = 99 6

18 4. Mehfachitegale eitag Volesg gewate Mathematik Maste M Pof. D.. Gaowski HTW es Saalaes GIS s = ' si si si ] si cos [ ] cos [ cos ] cos [ = 6 4 ] 4 [ = -9. eeche Sie lächeihalt Schwepkt e vo e Paael = e Geae = + egete läche! 4. eeche Sie lächeihalt Schwepkt e läche ie ch ie eie Geae = = e Keis mit em ais =5 geilet wi! 4.5. Deifachitegale Das Volme V K eies Köpes K im ist i katesische Kooiate wie folgt efiiet: K V K. De Schwepkt S= s s s ieses Köpes ist efiiet ch: K K s K K s K K s V V V. Das aithmetische Mittel vo f üe alle K ist efiiet als K K K V f

19 4. Mehfachitegale eitag Volesg gewate Mathematik Maste M Pof. D.. Gaowski HTW es Saalaes GIS 9 eispiel : eeche Sie as Volme e Schwepkt eie Halkgel mit em ais! Lösg: Wi stelle ie Halkgel i Kgelkooiate a wee e Itegaltasfomatiossat a! Die Halkgel i Kgelkooiate ist: cos si si cos si Sei = Die Jacoi-Detemiate e Kgelkooiate latet: si cos si si si si si cos cos cos cos si si cos si et J Volme: Nach Itegaltasfomatiossat gilt a fü as Volme V e Halkgel : cos] cos [ si V. Schwepkt: ü ie Kooiate es Schwepktes S= s s s ehalte wi: s s s V V V. Es ist i weg es Itegaltasfomatiossates:: si cos cos si

20 4. Mehfachitegale eitag Volesg gewate Mathematik Maste M Pof. D.. Gaowski HTW es Saalaes GIS si si si si cos si cos si 4 cos si Daas folgt: S= s mit cos si 4 s Die eechg ieses Itegals üelasse ich Ihe! 5. eeche Sie a as Volme e Schwepkt es Köpes e ch Dehg e Paael = - +4 im eeich m ie -chse etsteht! Hiweis: Stelle Sie e otatiosköpe i geeigete Kooiate a wee Sie e Itegaltasfomatiossat a! 6. Sei e Teil e Kgel e ch a efiiet ist. Ma eeche as Itegal I