Mathematik für Ingenieure 2

Transkript

1 Mthemti fü Igeieue Numeische Itegtio ud Aweduge Mthemti THE SERVICES fü Igeieue PROVIDER Numeische DIE Itegtio PERSONALDIENSTLEISTER ud Aweduge

2 Idee de umeische Itegtio Mthemti THE SERVICES fü Igeieue PROVIDER Numeische DIE Itegtio PERSONALDIENSTLEISTER ud Aweduge

3 Numeische Itegtio Riem-Itegl () Es git zwei Situtio, i dee m u umeisch ds ds estimmte Itegl eeche : Es lässt sich eie Stmmfutio eeche; z.b. vo f ( ) = e Es liegt eie Futiosescheiug vo, sode u Messwete Bei de umeische Itegtio wid de Flächeihlt duch Summe vo eifche geometische Fläche (Rechtece, Tpeze, u..) geähet (ppoimiet). Die gudlegede Idee geht us Betd Riem (86-866) zuüc. Fü die umeische Beechug ist ds Vefhe jedoch icht seh geeiget. Beispiel Aufgestellug M estimme die Fläche zwische de Gede f ( ) = ud de -Achse im Itevll [0;] mit > 0. f ( ) = De Flächeihlt lässt sich elemetgeometisch eifch estimme ls Diffeez de eide f() Deiecsfläche: A = f ( ) = = 4 A Wi wolle de Flächeihlt u uf eie dee Weise äheugsweise estimme: 3 Mthemti THE SERVICES fü Igeieue PROVIDER Numeische DIE Itegtio PERSONALDIENSTLEISTER ud Aweduge

4 Numeische Itegtio Riem-Itegl () De gesuchte Flächeihlt wid äheugsweise duch die Summe folgede Rechtece eechet: M uteteilt die Fläche zwische dem Futiosgphe ud de -Achse i Rechtecsteife gleiche Beite ei: = = = ( ) Jede Rechtecsteife ht d die Beite: = ( ) Höhe: h = f ( ) De Flächeihlt des -te Rechtecs ist d: R f = ( ) ( 3) f() f( ) f( ) 0 R R R 3 Die Summe de Flächeihlte lle Rechtece, de wi mit A oe (Oesumme) ezeiche, egit d mit (3): A : = oe R 3 f ( ) R = = = R + R + + R = f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) = f ( ) Diese Flächeihlt A O et m (Riemsche) Oesumme, weil diese Wet stets göße ls de gesuchte Flächeihlt A utehl de Kuve ist. Je göße gewählt wid, je esse ist de Näheugswet fü de gesuchte Flächeihlt. = A A = f ( ) oe = 4 Mthemti THE SERVICES fü Igeieue PROVIDER Numeische DIE Itegtio PERSONALDIENSTLEISTER ud Aweduge

5 Numeische Itegtio Riem-Itegl (3) A A = f ( ) oe = f() f ( ) = Wi wolle u mit Hilfe de Oesumme de Flächeihlt im Itevll [0;3] äheugsweise estimme; i diesem Fll ist lso = 3. f( ) f() R R Wi wähle veschiedee Wete fü ud eeche jeweils de Näheugswet us de Fomel fü die Oesumme us. D egit sich folgede Telle: = 3 = A oe,475000,7500,550,505 f( ) Zu Kotolle: De oete Wet fü de Flächeihlt etägt: R R R 3 3 A = 4 3 = = 4, 5 FE = = 5 Mthemti THE SERVICES fü Igeieue PROVIDER Numeische DIE Itegtio PERSONALDIENSTLEISTER ud Aweduge

6 Numeische Itegtio Riem-Itegl (4) Auf völlig loge Weise wid de gesuchte Flächeihlt utehl de Kuve vo ute geähet. Diese Näheug wid (Riemsche) Utesumme get: f() f( ) f ( ) = = 0 Utesumme : A = f ( ) ute A f() R R Fü ds oete Zhleeispiel = 3 egee sich folgede Näheugswete fü die Utesumme: = 3 = A ute,05000,7500,47750,49775 Fü de gesuchte Flächeihlt egit sich somit folgede Aschätzug: ute oe R 3 f( ) R R 0 =0 3 - A A A f ( ) A f ( ) ( ) Gezüegg: = 0 = = Geht m i Fomel () zum Gezwet üe, so stehe uf eide Seite ovegete Reihe, die gemäß usee geometische Kostutio gege eie gemeisme Gezwet stee dem gesuchte Flächeihlt: lim = A = lim f ( ) f ( ) = 0 = = 6 Mthemti THE SERVICES fü Igeieue PROVIDER Numeische DIE Itegtio PERSONALDIENSTLEISTER ud Aweduge

7 Numeische Itegtio Riem-Itegl (5) Die Vogehesweise im dgestellte Beispiel lässt sich polemlos uf llgemeie Futioe f() üetge. D Oe- ud Utesumme gege eie gemeisme Gezwet stee, m sich uf eie Gezwet eschäe. Somit egit sich eie zweite Defiitio des estimmte Itegls: Defiitio: De Gezwet de Riemsche Summe lim f ( ) = heißt, flls e vohde ist, ds estimmte Itegl de Futio f ( ) i de Geze vo = is = : f() f( ) f( ) f ( ) R R R 3 f ( ) d 3 = R = R 7 Mthemti THE SERVICES fü Igeieue PROVIDER Numeische DIE Itegtio PERSONALDIENSTLEISTER ud Aweduge

8 Numeische Itegtio Riem-Itegl (6) Aus de Riemsche Summe wid deutlich, wous ds Smol des Itegls geleitet wude: lim f ( ) = = = f() f( ) f ( ) = f ( ) d Hieus wid uch plusiel, wum m mit Diffeetile d, d wie mit Zhle eche df (z.b. ei de Sustitutio ode späte ei Diffeetilgleichuge) : dhite stect ei Gezwet. f( ) R R R 3 R R 3 = Ameuge: D eie Läge dstellt ud dhe stets positiv ist, sieht m de Reihedstellug fü ds estimmte Itegl sofot, dss fü Beeiche, i dee f() egtive Wete immt uch ds Itegl eie egtive Wet immt. Ds Itegl dhe positiv, egtiv ode ull sei. Ds estimmte Itegl ist lso de Gezwet eie Folge vo Summe. 8 Mthemti THE SERVICES fü Igeieue PROVIDER Numeische DIE Itegtio PERSONALDIENSTLEISTER ud Aweduge

9 Numeische Itegtiosvefhe () Tpez-Vefhe Die us Rechtece geildete Näheugslösuge ovegiee meist seh lgsm ud eige sich dhe fü umeische Beechug ehe icht. Dhe git es weitee Vefhe, die sttt de Rechtece dee Gudgeometie vewede. Dei wid die oee Rechtecuve, die de Futiosgphe ähet, duch ompleee Kuve esetzt. Diese Vefhe ovegiee d wesetlich schelle ls Riemsche Summe. Die eide gägigste Vefhe solle hie uz get wede:. Tpez-Vefhe Itegl = FE Numeische Wet = FE Fehle = % Gudfläche: Tpez-Fläche Aäheugsuve uf de Zelegugsitevlle: Gede Ameug: Bei Riemsche Summe we die Nähugsuve im Zelegugsitevll ostt gewählt, ämlich f( ). 0 9 Mthemti THE SERVICES fü Igeieue PROVIDER Numeische DIE Itegtio PERSONALDIENSTLEISTER ud Aweduge

10 Numeische Itegtiosvefhe () Simpso-Vefhe. Simpso-Vefhe Itegl = FE Numeische Wet = FE Fehle =.768 % Aäheugsuve uf de Zelegugsitevlle: Pel g( ) = + + c 0 0 Mthemti THE SERVICES fü Igeieue PROVIDER Numeische DIE Itegtio PERSONALDIENSTLEISTER ud Aweduge

11 Bogeläge eie eee Kuve () Bogeläge eie eee Kuve Mthemti THE SERVICES fü Igeieue PROVIDER Numeische DIE Itegtio PERSONALDIENSTLEISTER ud Aweduge

12 Bogeläge eie eee Kuve () I zhleiche igeieus-techische Awedugsgeiete ist es otwedig, die Läge vo geümmte Kuve zu eeche. Eiige Beispiele: Beechug vo Spseile im Büceu Phsi: z.b. Emittlug vo Wegläge, z.b. zu Beechug de Aeit Computegestützte Kostutio (CAD): Beechug vo Bedugsuve Vemessugstechi Beechug vo Dhtläge, z. B. ei Fede, Glühie, Spule Mthemti THE SERVICES fü Igeieue PROVIDER Numeische DIE Itegtio PERSONALDIENSTLEISTER ud Aweduge

13 Bogeläge eie eee Kuve (3) Um die Läge eie Kuveoges de Futio = f() im Itevll [;] zu eeche zelege wi wiede ds Itevll duch ds Eifüge vo Stützstelle i gleichlge Teilstece: Die Kuveläge uf jedem Teilitevll wid duch die Veidugsstece AB geähet. f( + ) B f ( ) Fü ds -te Teilitevll eechet sich diese Veidugsstece ch Pthgos wie folgt: f( ) A. f( + ) - f( ) ( ) = ( ) + ( ( ) ( )) + l AB f f f() Die Läge l lle Stecesegmete des Kuveoges üe ds gesmte Itevll [;] eechet sich d wie folgt: ( ) ( ( + ) ( )) l = + f f = 0 + = = 3 Mthemti THE SERVICES fü Igeieue PROVIDER Numeische DIE Itegtio PERSONALDIENSTLEISTER ud Aweduge

14 Bogeläge eie eee Kuve (4) l ( ) ( ( + ) ( )) l = + f f = 0 Auslmme vo ( )² egit: f ( + ) f ( ) = + ( ) = 0 f( + ) f( ) A B. f( + ) - f( ) f ( ) Eieug: Defiitio des Riem-Itegls: f() = = lim f ( ) f ( ) d Eieug: Defiitio de Aleitug: f ( + ) f ( ) f '( ) = lim 0 + = = Geht m u fü l zum Gezwet fü üe, so stet wiede de Wet 0. 4 Mthemti THE SERVICES fü Igeieue PROVIDER Numeische DIE Itegtio PERSONALDIENSTLEISTER ud Aweduge

15 Bogeläge eie eee Kuve (5) l f ( + ) f ( ) = + = 0 Duch die Gezwetildug egit sich dmit fü die Läge des gesuchte Kuveoges : f( + ) f( ) A B. f( + ) - f( ) f ( ) lim l f ( + ) f ( ) lim = + = 0 f() ( '( )) = + f d Isgesmt he wi dmit folgede Iteglfomel fü die Bogeläge hegeleitet: = Stz: Bogeläge eie eee Kuve Eie eee Kuve mit de Gleichug = f ( ) esitzt im Itevll die Bogeläge ( '( )) l = + f d + = 5 Mthemti THE SERVICES fü Igeieue PROVIDER Numeische DIE Itegtio PERSONALDIENSTLEISTER ud Aweduge

16 Bogeläge eie eee Kuve (6) Beispiel: Keisumfg M eeche de Umfg eies Keises vom Rdius. Lösug: Die Futiosgleichug fü de oee Hleis egit sich mit Pthgos: = f ( ) = Aus Smmetiegüde öe wi us ei de Beechug uf de oee Hleis eschäe. - Gemäß dem Stz üe die Bogeläge eechet sich de Keisumfg wie folgt: ( '( )) l = + f d. Schitt: Beechug de Aleitug mit Ketteegel: z( ) = ud f ( z ) = z df ( z( )) = d df dz dz d = ( ) z = 6 Mthemti THE SERVICES fü Igeieue PROVIDER Numeische DIE Itegtio PERSONALDIENSTLEISTER ud Aweduge

17 Bogeläge eie eee Kuve (7) f '( ) = ( ). Schitt: Awedug des Stzes üe die Bogeläge Gemäß dem Stz üe die Bogeläge eechet sich mit () de gesmte Keisumfg wie folgt: ( '( )) l = + f d = + d - = + d = + d l = d Dieses Itegl ist ei Guditegl ud muss mittels Sustitutio gelöst wede. 7 Mthemti THE SERVICES fü Igeieue PROVIDER Numeische DIE Itegtio PERSONALDIENSTLEISTER ud Aweduge

18 Bogeläge eie eee Kuve (8) 3. Schitt: Itegtio duch Sustitutio l = d ( ) D sich uch i Ahägigeit des Wiels im Bogemß dstelle lässt, füht m folgede Sustitutio duch: d = cos z = si z d = si z dz dz z = ccos Eisetze diese Sustitutiosgleichuge i () egit: d = ( si z) dz ( cos z) α. = cos z z = si z cos z dz si z = dz dz si z = = = z + C Rücsustitutio si z cos = ccos + C z dz Eieug: Umechug Bogemß: z = 80 Additiostheoem: si π α z + cos z = 8 Mthemti THE SERVICES fü Igeieue PROVIDER Numeische DIE Itegtio PERSONALDIENSTLEISTER ud Aweduge

19 Bogeläge eie eee Kuve (9) l = d ( ) d = ccos + C ( 3) De Keisumfg eechet sich somit wie folgt: l = d = ccos ( ccos ( ccos( )) = ( ( π )) = 0 = π 9 Mthemti THE SERVICES fü Igeieue PROVIDER Numeische DIE Itegtio PERSONALDIENSTLEISTER ud Aweduge

20 Volume vo Rottiosöpe () Volume vo Rottiosöpe 0 Mthemti THE SERVICES fü Igeieue PROVIDER Numeische DIE Itegtio PERSONALDIENSTLEISTER ud Aweduge

21 Volume vo Rottiosöpe () Rottiossmmetie zu -Achse Bei de Rottio eie Fläche zwische dem Futiosgph vo f() ud de -Achse im Itevll < < um die -Achse etsteht ei Rottiosöpe (Dehöpe). Beispiel: Alle Podutiosteile, die uf Dehmschie gefetigt wede sid Rottiosöpe. Weitee Beispiele fü Gegestäde ud Kostutioe, die us Rottio vo Kuve zw. us zusmmegesetzte Kuve etstehe: Mthemti THE SERVICES fü Igeieue PROVIDER Numeische DIE Itegtio PERSONALDIENSTLEISTER ud Aweduge

22 Volume vo Rottiosöpe (3) Mit Hilfe de Iteglechug lässt sich ds Volume solche Rottiosöpe wie folgt eeche: Fü die Beechug des Volumes V des vo f() ezeugte Rottiosvolumes zelegt m ds Itevll [;] wiede i eie goße Azhl vo Teile mit de gleiche Beite ud ildet Rechtece de Höhe f( ) seecht zu Rottioschse: Rechteceite: Rechtechöhe: f ( ) Rotiee diese Rechtece, so etstehe Zlidescheie mit folgede Amessuge fü die -te Zlidescheie: Rdius des Gudeises: f ( ) Höhe (Dice) de Scheie: Ds Volume de eizele Zlidescheie eechet sich elemetgeometisch d wie folgt (Gudfläche Höhe): [ ( )] [ ( )] V = π f V = π f V = π f ( ) V = π f ( ) [ ] f( ) f( ) f( ) - f ( ) Ds Volume des vo f() ezeugte Rottiosöpes wid d duch die Summe de Volumi de Zlidescheie geähet: V Mthemti THE SERVICES fü Igeieue PROVIDER Numeische DIE Itegtio PERSONALDIENSTLEISTER ud Aweduge

23 Volume vo Rottiosöpe (4) = π [ ( )] π [ ( )] V f π [ ( ) ] V = f V = π f ( ) Ds Volume lle Zlidescheie summiet sich d wie folgt zusmme: [ ] V + V + + V = π f ( ) = f( ) V = f Geht m wiede zum Gezwet üe fü so ehält m ds gesuchte Rottiosvolume um die -Achse ls folgedes Itegl: V V = [ f ] lim π ( ) = [ f ] = π lim ( ) = = π [ f ( ) ] d 3 Mthemti THE SERVICES fü Igeieue PROVIDER Numeische DIE Itegtio PERSONALDIENSTLEISTER ud Aweduge

24 Volume vo Rottiosöpe (5) Zusmmefssug des Egeisses: Rottiosvolume ei Dehug eie Kuve um die -Achse Bei de Dehug eie Kuve mit de Gleichug = f ( ) ; um die -Achse etsteht ei Rottiosöpe vom Volume: [ ( )] V π f d = Beispiel : M eeche ds Volume eies Dehpoloids, ds duch Rottio des Futiosgphe vo f ( ) Lösug: = im -Itevll [0;4] um die -Achse ezeugt wid. Eisetze de Futio ud Itevllgeze i oige Fomel egit: [ ( )] V π f d = π = 4 0 = π 4 0 = 8 π = 5, 3 VE d π = 4 0 d 4 Mthemti THE SERVICES fü Igeieue PROVIDER Numeische DIE Itegtio PERSONALDIENSTLEISTER ud Aweduge

25 Volume vo Rottiosöpe (6) Beispiel : M eeche ds Volume eie Kugel vom Rdius mit Hilfe de Iteglechug. Lösug:. Schitt: Aufstelle de Futiosgleichug Eie Kugel etsteht duch Rottio des oee Hleises um die -Achse. Nch dem Stz des Pthgos gilt fü die oee Kuve (s. 8) : - = = f ( ). Schitt: Beechug des Rottiosvolumes Eisetze de Futiosgleichug () i die Fomel fü Rottiosöpe V (siehe 3) egit: [ ( )] V π f d = ( ) = π d 3 = π [ ] 3 π = d = = π d d π = 3 = π d d ( ( )) ( ( ) ) 3 3 Egeis: Ds Volume eie Kugel vom Rdius etägt VKugel π = 3 4 = π = π Mthemti THE SERVICES fü Igeieue PROVIDER Numeische DIE Itegtio PERSONALDIENSTLEISTER ud Aweduge

26 Volume vo Rottiosöpe (7) Rottiossmmetie zu -Achse Rottiossmmetie zu -Achse Etsteht de Rottiosöpe duch Dehug eies Futiosgphe g() um die -Achse, so geht m mit loge Üeleguge wie ei Dehug um die -Achse vo, u dss jetzt ud vetuscht wede: =d g( ) Fü die Beechug des Volumes V des vo g() ezeugte Rottiosvolumes um die -Achse zelegt m u ds Itevll [c;d] uf -Achse i eie goße Azhl vo Teile de gleiche Höhe ud ildet Rechtece de Beite =g ( ) seecht zu Rottioschse: Rechtechöhe: Rechteceite: Rotiee diese Rechtece, so etstehe Zlidescheie mit folgede Amessuge fü die -te Zlidescheie: Rdius des Gudeises: Höhe (Dice) de Scheie: V = π = g( ) Ds Volume de eizele Zlidescheie eechet sich elemetgeometisch d wie folgt: 0 =c =d V 0 =c g( ) 6 Mthemti THE SERVICES fü Igeieue PROVIDER Numeische DIE Itegtio PERSONALDIENSTLEISTER ud Aweduge

27 Volume vo Rottiosöpe (8) Rottiossmmetie zu -Achse V = π Ds Gesmtvolume lle Zlidescheie ist d V = = V = π = Geht m wiede zum Gezwet üe fü so ehält m ds gesuchte Rottiosvolume V um die -Achse ls folgedes Itegl: V = lim π = = π lim = V = π d c d =d 0 =c 0 g( ) Rottiosvolume ei Dehug eie Kuve um die -Achse Bei de Dehug eie Kuve mit de Gleichug c d um die -Achse etsteht ei Rottiosöpe vom Volume: d d π π ( ) c = c [ ] V = π d = π g d g( ); =d V g( ) ACHTUNG: Ist eie Futio =f() gegee, so muss zu Bestimmug de Futio =g() die Umehfutio eechet wede. Die Iteglgeze sid -Wete. 0 =c 7 Mthemti THE SERVICES fü Igeieue PROVIDER Numeische DIE Itegtio PERSONALDIENSTLEISTER ud Aweduge

28 Volume vo Rottiosöpe (9) Rottiossmmetie zu -Achse Beispiel 3: M eeche ds Volume des Dehöpes, de duch Rottio de Pel mit de Futiosgleichug = f ( ) = 4 um die -Achse im -Itevll [0;3] etsteht. Lösug: Gemäß de ee ufgestellte Fomel eechet sich ds Rottiosvolume wie folgt: 3 3 [ ( )] V = π d = π g d 0 0. Schitt: Bestimmug vo g(): Hiezu muss die Gleichug ch ode ² ufgelöst wede: f ( ) = = 4 = 4 = [ g( ) ] Ameug: Diese Auflösug ist icht imme so eifch möglich.. Schitt: Eisetze i die Fomel ud useche V = π 3 d 0 = π ( 4 ) = π d (, ) 3 0 ( 4 ) = π d = π 4 5 = 7, 5 π V = 3, 56 =3 VE f ( ) = 4 8 Mthemti THE SERVICES fü Igeieue PROVIDER Numeische DIE Itegtio PERSONALDIENSTLEISTER ud Aweduge

29 Volume vo Rottiosöpe (0) Rottiossmmetie zu -Achse Beispiel 4: ) M eeche ds Volume des Dehöpes, de duch Rottio des duch de Futiosgphe vo ( ) 6, [5;8], ud de -Achse edete Flächestücs um die -Achse etsteht? = f = ) Wie goß ist ds Volume ei Rottio des Futiosgphe um die -Achse fü [f(5);f(8)]? Lösug Teil ): f ( ) Nch dem Stz us 4 eechet sich ds Rottiosvolume V ch folgede Fomel: [ ( )] V π f d = 8 Eisetze de Futio ud useche egit: ( ) V = π d = π 6 3 ( ) = π ( 6 ) 5 d π = = π 9 48 = 8 π VE Egeis: V = 54, 47 = 6 = π ( ) ( ) VE Mthemti THE SERVICES fü Igeieue PROVIDER Numeische DIE Itegtio PERSONALDIENSTLEISTER ud Aweduge

30 Volume vo Rottiosöpe () Rottiossmmetie zu -Achse V = 54, 47 VE 30 Mthemti THE SERVICES fü Igeieue PROVIDER Numeische DIE Itegtio PERSONALDIENSTLEISTER ud Aweduge

31 Volume vo Rottiosöpe () Rottiossmmetie zu -Achse Lösug Teil ): Nch dem Stz us 8 eechet sich ds Rottiosvolume V im -Itevll [f(5);f(8)] ch folgede Fomel: f ( 8) f ( 8) f ( 5) f ( 5) [ ( )] V = π d = π g d f(8)= 48 f(5)=3 f ( ) = 6. Schitt: Auflöse de Futiosgleichug ch ² f ( ) = = 6 = 6 [ ( )] g = = + 6. Schitt: Eisetze i die Fomel ud useche 48 V = π d π 3 = π 48 = + 6 ( + 6 ) d = π = π = 57, 43 VE Egeis: 48 V 5 8 = 57, 43 VE 3 Mthemti THE SERVICES fü Igeieue PROVIDER Numeische DIE Itegtio PERSONALDIENSTLEISTER ud Aweduge