Zusammenfassung Kapitel 2 Mechanik eines Massenpunktes

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Bernd Wagner
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1 Zusmmenfssung Kpiel Mechnik eines Mssenpunkes 1

2 Mechnik eines Mssenpunkes idelisiees Gebilde : lle Msse des Köpes in einem Punk konzenie keine Beücksichigung de Ausdehnung eines Köpes Ausdehnung d sei iel kleine ls die Dimensionen de Bhn (Länge, Rdius) Bewegung on Mssenpunken uf Bhnkue im dei-dim. dim Rum Bhn Viion de Koodinen (x,y,z) yz) des Köpes mi de Zei O : x( ) ( ) y( ) z( )

3 Pinzipielles Vogehen zu Anlyse on Bewegungen eines Mssepunkes : (1) Bescheibung de Bhk Bhnkue : 3 x() ( ) y( ) z(( ) () Beechnung de Ableiungen : z z o 1 y ( ) x& ( ) y& ( ) & z() ( ) & x&( ( ) && y( ) && ( z() o x ode umgekeh, d.h. gegeben is die Beschleunigung (bzw. Kf) Beechne weden duch Inegion die Geschwindigkei und die Bhnkue 3

4 Beispiel () : gleichfömig beschleunige Bewegung Gleichfömig beschleunig konsne Beschleunigung g g g g B hl i ) ( cons x & & Beschleunigung :. ) ( cons z y Inegion liefe die Geschwindigkei : 0 0, 0, ) ( ) ( d y y x x & 0, z z die Geschwindigkei iie line in de Zei; Anfngs-Geschwindigkei 0 weiee Inegion liefe die Bhn-Gleichung : , 0, 1 0, 0, 1 1 ) ( ) ( d y y y x x x 0, 0, 1 z z z de O iie qudisch in de Zei; Anfngs-O 0 4

5 Gleichfömig beschleunige Bewegung im Giionsfeld : De feie Fll () Glileo Glilei ( ) () Glileo Glilei endecke im 16. Jhhunde, dss lle Objeke (unbhängig on de Msse!) mi deselben konsnen Beschleunigung fllen; die zuückgelege Secke is popoionl zum Qud de bgelufenen Fllzei; (b) Die egelmäßige (peiodische) Mehfch-Belichung eines Foos duch ds Bild eines fllenden Apfels zeig,dss die zuückgelege Secke zwischen zwei Aufnhmen nwächs die Bewegung des Apfels is offensichlich beschleunig (b) Beispiele : feie Fll, wgeeche Wuf, schäge Wuf, 5

6 Keisbewegung Winkelgeschwindigkei g ω mch Angbe zu Geschwindigkei de Dehung Roionseko ω ω ˆ ω mi dem Beg ω (Winkelgeschwindigkei) und de Richung de Dehchse ωˆ ω insbesondee gil : ω d.h. die Dehchse de Keisbewegung is senkech zu Geschwindigkei ω 6

7 Allgemeine ( kummlinige ) Bewegung Ziel : llgemeine Ausduck fü Beschleunigung uf beliebige Bhnkue & eˆ T N T ρ eˆ N 7

8 Käfe F m m && Konsequenzen : 0 F 0 d.h. ein feies Teilchen ände seinen Bewegungszusnd nich und : Kf is Veko, knn lso us Summe on Käfen esulieen F ges F i i Kf und Impuls F p & 8

9 Gundgleichungen de Mechnik : Newon sche Axiome Jd Jede Köpe eh im Zusnd de Rh Ruhe ode de gleichfömigen gedlinigen Bewegung, g, solnge keine Kf uf ihn wik. p m 1. Newon sches Axiom De Impuls eines käfefeien Teilchens is zeilich konsn Eine uf ein Teilchen wikende Kf füh zu Ändeung seines Impulses F p &. Newon sches Axiom Einhei de Kf : 1 kg m/s 1 Newon Zwei Köpe, die mieinnde wechselwiken, üben ufeinnde gleich goße, be engegengesez geichee Käfe us (cio ecio) 3. Newon sches Axiom 9

10 Täge Msse & schwee Msse (Gewich) Eigenschf eines Köpes des Msse m ohne Kfeinwikung im Bewegungszusnd zu ehen Täghei äge Msse m T Gewich eine Msse duch F mg (Giion) schwee Msse m S In einem geschlossenen Fhsuhl knn ein Expeimeno gundsäzlich nich enscheiden, ob de Fhsuhl in einem homogenen Giionsfeld mi de Schweebeschleunigung g uh (Abb. ) ode ob e sich mi de Beschleunigung g in einem giionsfeien Rum beweg (Abb. b). Alle Expeimene innehlb des Fhsuhls fühen in beiden Fällen zu gleichen Resulen. 10

11 Kffelde wenn wi jedem Punk des Rums eindeuig einen Kf-Veko zuodnen können, ehlen wi ein Kffeld F( ) häufig uchen in de Physik Zenl-Kffelde uf : F ( ) f ( ) ˆ die Kf zeig imme uf ein feses Zenum Säke de Kf häng (nu) on b. f() < 0 : Kf is ki (z.b. Giion) f() > 0 : Kf is epulsi (z.b. zwischen gleichen elekischen Ldungen) 11

12 Bewegung in Kffelden : Poenielle & kineische Enegie F P F Dfiii Definiion de Abilä Abei längs eines W 1 Weges on P 1 nch P uf de Bhn: P1 P F( ) d 1

13 Konseie/nich-konseie Kffelde wenn die Abei in einem Kffeld unbhängig om Weg is, gil : W F( ) d P P 1 P 1 0 ds Kffeld heiß dnn konsei wenn die Abei in einem Kffeld W F( ) d 0 bhängig om Weg is, gil i.d.r. : P P 1 P ds Kffeld heiß dnn nich-konsei 1 13

14 Poenielle Enegie wie wi gesehen hben, häng in einem konseien Kffeld die Abei nu on den Koodinen des Anfngs- und Endpunkes eine Bewegung b; wi können dhe die poenielle Enegie eines Köpes im Punk P definieen ls die Abei, die zu leisen is, wenn mn den Köpe on einem Bezugspunk gp P 0 nch P bing W P F ( ) d E P P po 0 P ) 0 0 ( P ) E ( P ) po 14

15 Enegiesz de Mechnik E ( P ) E ( P ) E ( P ) E ( ) Enegieehlungssz kin 1 po 1 kin po P 15

16 Zusmmenhng zwischen Kf und Poenil F E po x E E E po po ; ; Kf Gdien y z des Poenils i die Kf zeig in Richung de gößen (negien) Viion des Poenils, d.h. in Richung des Poenil-Minimums 16

17 Dehimpuls Definiion : L p m( ) eknüpf O mi Geschwindigkei; bescheib die Säke de Dynmik bei de Bewegung uf eine Bhn 17

18 Dehimpuls und Dehmomen wi bechen die zeiliche Veändeung des Dehimpulses : & d( p) L d F Kf ml Hebelm Dehmomen Definiion : & D L D F die zeiliche Ändeung des Dehimpulses is gleich dem wikenden Dehmomen egleiche : die zeiliche Ändeung des Impulses is gleich de wikenden Kf 18

19 Päzession Dehimpuls is Veko es is möglich, dss Dehmomen D 0 die Richung des Dehimpulses ände (be den Beg u.u. konsn läss) Päzession L L ω ω z.b. Päzession eines Gyoskop-Keisels : de Keisel oie mi konsne Winkelgeschwindigkei; de Dehimpuls is in Richung de Dehchse usgeiche; bei de Päzession iie die Richung de Dehchse, d.h. die Richung des Dehimpulses; L päzedie z.b. uf eine Keisbhn; die Winkelgeschwindigkei de Roion (d.h. de Beg des Dehimpulses) wid u.u. nich geände bei de Päzession 19

20 Giion und Plneenbewegung : Die Keple schen Geseze 1. Keple sches Gesez : Die Plneen bewegen sich uf Ellipsen, in deen einem Bennpunk die Sonne seh; physiklische Gundlge :Enegie- Ehlung; Lösung de Bewegungsgleichungen im Giionspoenil. Keple sches Gesez : De Rdiuseko on de Sonne zum Plneen übeseich in gleichen Zeien gleiche Flächen; physiklische Gundlge : Dehimpuls-Ehlung Ehl im Zenlkffeld ld J. Keple (1610) 3. Keple sches Gesez : Fü ds Vehälnis de Umlufzei T zu Länge de gossen Hlbchse de ellipischen Bhn gil fü lle Plneen: T / 3 cons.; physiklische Gundlge : Lösung de Bewegungsgleichungen fü 1/-Poenil 0

21 Effekies Poenil fü die Rdil-Bewegung E 1 L E po Ekin E po m & m beche die Gesm-Enegie : E E po E d kin E n g kin po. Enegie kin. Enegie dil mi Dehimpuls ebundene Enegie, die nich fü die Absndsändeung d/d efügb is kin. Enegie ngenil Definiion des effekien Poenils, in dem sich Rdilbewegung ollzieh : E ( eff ) n g po E po Ekin E po L m beche : E po < 0 ki be : L /m > 0 epulsi Zenifugl-Poenil g E n kin 1

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