Formeln zur Technischen Mechanik von Gerald Meier

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1 Fomeln u Technischen Mechnik on Geld Meie Kinemik on unken und sen Köpen. Kinemik des unkes.. Os-, Geschwindigkeis- und Beschleunigungseko = ( = & = & = &&.. Geschwindigkeis und Beschleunigungseko in kesischen Koodinen ( = ( e ( e ( + + e ( = ( { & e { ( e { ( e + & + & ( = && ( { e { ( e { ( e + && + &&..3 ondefll: Gedlinige Bewegung = ( = & ( = = + + =&& ( = = + + Gegebene Funkion ( ( ( Gesuche Funkion d d = = d d d = + d = d = + + d = d d d = + = + = d+ = + d d d + = d d d = d d d d d d = = + d d d d - eie -

2 - Geld Meie: Technische Mechnik Fomeln - = + d = + d d d = + = d d d..4 Ebene Bewegung in olkoodinen de d = e de d e e d d e e = & = = = & de d de d e e d d e e = & = = = & = e + e = & e + & e = e + e = && & e + && + && e &= && = &..4. Keisbewegung (=cons. = e = e = e + & e..4. Zenlbewegung um Uspung ( j =, ²=cons. = e + e = e + e+ e = & e + & e+ e & = e + e + e = && & e + && + && e + && e..5 Räumliche Bewegung in nülichen Koodinen = [ s( ] = & d d ds = d = ds d = e = & = e & + e&. Relikinemik des unkes.. Tnslion des Beugsssems = + = + e + e + e = & = & + & e e e { Be = & + & + & + & 3 F Re l. = && = && + && e e e { 3 Be = && + && + && + && F Rel - eie -

3 - Geld Meie: Technische Mechnik Fomeln -.. Tnslion und Roion des Beugsssems = + = + e + e + e ( e e e = & = & + & = & + e & + e & + e & + & & 44 + & 443 d F d = + F Rel mi Be. = + d Rel = d F F Be. d d l = + F + F + F F d + & & Re d + = + + F Rel C mi C : Coiolisbeschleunigung Be. Ebene Bewegung beweges olkoodinenssem F = + Fe = + & e e F F F Be. F = + + d Rel d Rel = = d Be. d Be. =.3 Kinemik des sen Köpes F F F C F Rel.3. Tnslion des sen Köpes ( e ( e ( = + + e ( ( e ( e ( = & = & + & + & e = & ( = && ( = && ( e + && ( e + && ( e.3. Roion des sen Köpes.3.. Roion um eine umfese Dehchse = e = e = e + e = e + & e.3.. Roion um einen unk d d = = ( e = d d = & + Rel - eie 3 -

4 - Geld Meie: Technische Mechnik Fomeln Allgemeine Bewegung des sen Köpes = + = + & + ( = A + A = A + A = + & + A A A.3.4 Ebene Bewegung des sen Köpes = A + A = A + e = A + A = A + e = + + = e + & e A A A A A e. A e A Bei eine ebenen Bewegung des sen Köpes se sich die Geschwindigkei bw. Beschleunigung des beliebigen köpefesen unkes usmmen us de Geschwindigkei bw. Beschleunigung des köpefesen Beugspunkes A sowie de Geschwindigkei bw. Beschleunigung des unkes infolge de Dehung um A. is A Momennpol A = A = Ae = ( e e.3.4. Rspolbhn Momennpollgen im umfesen Beugsssem in Abhängigkei on de Zei M M = A = A A A.3.4. Gngpolbhn Gesmhei lle Momennpollgen in einem köpefesen sem ( cos sin ( sin cos = + M = A + A M A A Beispiel: bollendes Rd - eie 4 -

5 - Geld Meie: Technische Mechnik Fomeln -.4 Relikinemik des sen Köpes Einfühung on dei Koodinenssemen: umfeses,, -Koodinenssem mi Beugspunk beweges,, -Koodinenssen mi Beugspunk mi, und F gegenübe umfesen sem. 3 köpefeses,, -Koodinenssem mi Beugspunk A mi A, A und gegenübe umfesen sem und Rel = F gegenübe bewegen sem. = + mi F Rel F = + + = + F A A Rel ARel Rel A [ ] = + & = + + F Rel C mi Rel = ARel+ Rel A+ Rel Rel A = + Kineik des Mssenpunkes & ( F F A A F F A A C F A Rel F Rel A. Die NEWTONschen Aiome de Mechnik p= m F= p= m F = N= kg m s & [ ]. Dnmische Gundgleichung.. Feie Bewegung Beispiel Wufpbel.. Gefühe Bewegung Zwngskäfe sind Rekionskäfe und sehen snkech u Bhn. m = F + Z Beispiel: Fdenpendel..3 Bewegung mi Widesndskäfen Widesndskäfe wiken ngenil u Bhn und sind de Bewegung engegengeiche. R = µ N (COULOMBsches Reibungsgese FW = k (ömungswidesnd bei lmine ömung FW = k (ömungswidesnd bei ubulene ömung ρ (Widesndsgese A: Fläche in ömungsichung FW = cw A : Ansömungsgeschwindigkei ρ: speifische Msse des Fluides c W : sonsige Einflüsse - eie 5 -

6 - Geld Meie: Technische Mechnik Fomeln -.3 Abeiss und Enegies.3. Abeiss eifeie Lösungen, Anfngs- und Endusnd ls Funkion des Weges Abei: W = Fd Abeiss: Ek Ek = W Die Abei, die on de n de unkmsse eingepägen Kf wischen wei Bhnpunken eiche wid, is gleich de Ändeung de kineischen Enegie diese unkmsse. Leisung: dw F d = = = F d d genue Leisung Wikungsgd: η= ugefühe Leisung [ ] = W = Nm s m = F + Z m Fd = E m = kin Beispiel: Abuschen eines Kloes.3. Enegies Fd = konseies Kffeld F = gd( E p o( F = ds konseie Kffeld is wibelfei (Kfoenil E = F d+ C= F d po E + E = E + E = E = kons. kin po kin po Die us kineische und poenielle Enegie gebildee Gesmenegie E des Mssenpunkes bleib wähend eine Bewegung konsn, wenn lle eingepägen Käfe konsei sind..3.. chwekfpoenil F= mg E mg po =.3.. Giionspoenil F= k Mm E = k Mm po - eie 6 -

7 - Geld Meie: Technische Mechnik Fomeln Beispiel: oenil eine elsischen Fede (elsisches oenil F= c E c = po Beispiele: Feie Fll ohne Lufwidesnd Bewegung eines eibungsfeien mhemischen endels.4 Impuls und oßogänge.4. Impulss m m = Fd = ( Die Ändeung de Bewegungsgößen is gleich dem Impuls (Zeiinegl übe die eingepäge Kf..4. De enle oß weie unkmssen Impulsehlung mv+ mv = m + m, Geschwindikeien o oß.4.. Vollplsische oß m + m V= V = V= m + m.4.. Vollkommen elsische oß E = E kin gesohe kin gesnchhe m V m m = + m V m m = + + ( V, V Geschwindigkeien nch oß.4..3 Wikliche eilelsische öße V V oßhl: ε= m m V = ε + + ε m+ m m m m V = + ε + ε m+ m m E = mm m m kin ε + ε = : ollplsische oß ε = : ollkommen elsische oß Beispiele: Rückspunghäe Rücksoß beim Tennen on Mssen - eie 7 -

8 - Geld Meie: Technische Mechnik Fomeln -.5 Momenens (Dehimpulss Momen: M = ( F M = Fsin = F Dll: Dlls: L = p = m L m ( = dl d = M Die eiliche Ableiung des Dehimpulsekos in Beug uf einen beliebigen umfesen unk is gleich dem Momen de m Mssenpunk ngeifenden eingepägen Kf beüglich desselben unkes. L L M d Dehimpulss: = ( ondefll: Ebene Keisbewegung L = m = m = M = && Beispiel: mhemisches endel.6 Tägheiskf und D ALEMBERTsches inip.6. Fomle Rückfühung de Kineik uf die ik D Alembesche Tägheiskf: FT = m dnmische Gundgleichung: F+ Z+ F T = Die umme lle uf einen Mssenpunk einwikenden Käfe einschließlich de Tägheiskf is u jedem Zeipunk im Gleichgewich. Beispiele: Feie Fll ohne Lufwidesnd sem on Fede und geschwindigkeispopoionlem Dämpfe.6. D ALEMBERTsches inip (Fssung on LAGRANGE iuelle Veückung δ Z Zδ = Die Bewegung des Mssenpunkes efolg so, dß die iuelle Abei de Zwngskäfe u jedem Zeipunk eschwinde. F+ F δ= T δw+ δw T = Die Bewegung des Mssenpunkes efolg so, dß bei eine iuellen Veückung die umme de iuellen Abeien de eingepägen Käfe und de D ALEMBERTschen Tägheiskf u jedem Zeipunk eschwinde. Beispiele: Bewegung on Msse enlng Kue Ebene Bewegung eines Mssepunks bei ockene Reibung M Momen F L Dll m - eie 8 -

9 - Geld Meie: Technische Mechnik Fomeln -.7 lneen- und ellienbewegung (KELERsche Gesee Umlufei: T A b = = π C C Enegies: E E m k Mm kin + po = = E dl Dlls: = M = L = m = kons. d A b c M p m eses KELERsches Gese p e = Keis ( = +εcos e < Ellipse e = bel e > Hpebel lneen bewegen sich uf Ellipsenbhnen, in deen einem Bennpunk die onne seh. weies KELERsches Gese &=C lneen bewegen sich mi konsne Flächengeschwindigkei um die onne, d.h. de Fhshl on de onne um lneen übeseich in gleichen Zeien gleiche Flächen. dies KELERsches Gese 3 π T = km Die Qude de Umlufeien on lneen ehlen sich wie die dien oenen de goßen Hlbchsen ihe Umlufbhnen. 3 Kineik des Mssenpunkssems cio = ecio F = F ik Beispiel: ATWOODsche Fllmschine ki 3. chwepunks chwepunk m i i = m = mi chwepunks m && = m = F n i= m i i De chwepunk des Mssenpunkssems beweg sich so, ls wenn die Gesmmsse in ihm eeinig wäe und lle äußeen Käfe n ihm ngeifen wüden. &p = F Die eiliche Ändeung des Gesmimpulses des Mssenpunkssems is gleich de Resulieenden lle äußeen Käfe. p p Fd Impulss ( = - eie 9 -

10 - Geld Meie: Technische Mechnik Fomeln - 3. Momenens (Dlls 3.. Rumfese Beugspunk L Gesmdehimpuls L = i( i esulieendes Momen de äußeen Käfe M = M = ( F & L = M i i Momenens (Dlls Die eiliche Ändeung des Gesmdehimpulses eines Mssenpukssems beüglich des umfesen unkes is gleich dem esulieenden Momen de äußeen Käfe beüglich desselben unkes L L M d Dehimpulss ( = ( 3.. Bewege Beugspunk & Momenens (Dlls L( = M ( + m( ( ondefälle: = Beugspunk = Beugspunk nich beschleunig 3 = Beschleunigungseko lieg uf de Vebindungslinie & & & L = M L = M L = M ( ( = ( De fü den fesen Beugspunk bgeleiee Dlls gil in diese Fom uch fü den nichbeschleunigen bewegen Beugspunk und gil ses fü den chwepunk ls Beugspunk, selbs wenn diese beschleunig is. 3.3 Abeis- und Enegies Abeiss Mssenpunksseme E E ( ( i = W + W = W k k Die Ändeung de gesmen kineischen Enegie des Mssenpunkssems is gleich de umme de on llen äußeen und inneen Käfen geleiseen Abei. Abeiss se Mssenpunksseme Ek Ek = W i i Enegies konseie Mssenpunksseme E + E + E = E + E + E = cons k i i p p k p p Die umme us kineische Enegie und poenielle innee und äußee Enegie eines konseien Mssenpunkssems bleib bei Bewegung des sems konsn. p k p Enegies se konseie Mssenpunksseme E + E = E + E = cons Beispiel: ATWOODsche Fllmschine k i - eie -

11 - Geld Meie: Technische Mechnik Fomeln - 4 Kineik des sen Köpes 4. Roion um eine umfese Achse 4.. De Momenens iles Mssenägheismomen = dm & L = & = M = Momenens (Dlls ( Dehimpulss ( M d * * Die Ändeung des Dehimpulses is gleich dem Zeiinegl übe ds on äußeen Käfen heühende Momen. Beispiel: iouee 4.. Ailes Mssenägheismomen homogene Msseneeilung dm = ρdv Mssenägheismomen Tägheisdius i : = mi = ρ dv ( V on TEINER A = + m Ds ile Mssenägheismomen um eine u de duch den chwepunk gehenden Achse pllelen Dehchse se sich usmmen us dem Mssenägheismomen um die duch den chwepunk gehende Achse und dem oduk Msse ml senkechem Absnd de beiden Achsen im Qud (sog. TEINERneil. = mi i = i + A Beispiele: Zlinde dickwndiges Roh dünnwndiges Roh = mr = m R + R i = mr R R R l R i l l - eie -

12 - Geld Meie: Technische Mechnik Fomeln - Zlinde [ ] = m R + 4 3l b (um Endpunk I = 3 I ml b (um Mielpunk = ml I R I l I l l dünne cheibe (um dünne cheibe (um Kugel = mr = 4 = mr = 5 mr R R R 4..3 Abei, Enegie, Leisung W = Md * Die Abei eines Dehmomenes M is gleich dem Inegl übe Momen ml Winkelelemen d. dw M d = = = M& = M d d Die Leisung eines Dehmomenes is gleich dem Momen M ml de Geschwindigkei. kineische Enegie: E k = Abeiss: Ek Ek = W Die Abei des Momenes M des Winkelweges on nch is gleich de Diffeen de kineischen Enegie des Köpes. Enegies bei konseiem Momen E + E = E + E = cons Zuodnung on Tnslion und Roion k p k p Gedlinige Tnslion des Mssenpunkes Roion des sen Köpes um fese Achse Weg s Winkel Geschwindigkei = s& Winkelgeschwindigkei = & Beschleunigung = & = && s Winkelbeschleunigung ε= & = && Msse m Mssenägheismomen Kf F Momen M Impuls p= m Dehimpuls L = - eie -

13 - Geld Meie: Technische Mechnik Fomeln De enle Dehsoß Dehimpuls-Ehlungss + = Ω + Ω ollplsische Dehsoß Ω = Ω = Ω ollkommen elsische Dehsoß ( E + E = ( E + E k k ohe k k nchhe eilelsische Dehsoß oßhl ε = ( Ω Ω ( 4. Ebene Bewegung 4.. chwepunks und Momenens chwepunks F= m = m && F = m && in Komponenenfom F = m && bewege Beugspunk & Zwie-Dlls L( = M + m (Momenens be. bewegem unk elie Dehimpuls L = dm Re l & L = ( ondefälle: fäll mi dem chwepunk usmmen: = L& = & M = Beugspunk is nich beschleunig: = L& = & = M ( ( ( 3 Beschleunigungseko lieg uf de Vebindungslinie L& = & = M ( ( ( Beispiele: Abollen eine Wle phsiklisches endel 4.. Impulss und Dehimpulss Impulss m& m& F d = * m& m& F d = * Dehimpulss be. chwepunk & & M d * = - eie 3 -

14 - Geld Meie: Technische Mechnik Fomeln - Beugspunk umfes bw. gedlinig gleichfömig beweg & & M d = ( ( ( 4..3 Kineische Enegie, Abeiss und Enegies kineische Enegie Ek = m + + m ( Ek = m + E k = Abeiss: Ek Ek = W A * köpefese bewege Beugspunk chwepunk Enegies bei konseiem Momen E + E = E + E = cons Beispiel: Abollen eine homogenen Wle k p k p 4..4 Eenische oß Impulss mv m Fd ( = = ( mv m Fd ( = = Ω = F d = Dehimpulss ( oßhl ε= V [ ] Ω = [ F( ] d = V n n n n Beispiel: unkmsse iff uf b 4.3 Räumliche Bewegung 4.3. chwepunks und Momenens Zusmmenfssung de äußeen Käfe und Momene im chwepunk F= ef + ef+ ef M = em + em + em chwepunks m && = F Momenens in Beug uf köpefesen bewegen unk in Beug uf um- und köpefesen unk A in Beug uf Köpeschwepunk A köpe- und umfese Beugspunk - eie 4 -

15 - Geld Meie: Technische Mechnik Fomeln Dehimpulseko und Tägheisenso = e+ e+ e = e+ e+ e = + + ile Mssenägheismomene = = ( + dm = = ( + = = + dm dm Mssendeiionsmomene = = dm [ ij ] ij = δ ijdm Mssenägheismi = = [] ( ( L = ( ( ( = = dm ij, =,, Dehimpulsmi L ( L = L L ( = = dm δ ij ee i j fü i = j = = fü i j Winkelgeschwindigkeismi = lleleschiebung des Beugsssems ( on TEINER-HUYGEN = + = + m( + m = = + = + m( + m = = + = + m( + m = Dehnung des Koodinenssems ij = δij ijdm λµ = [ δλµ λµ ] dm [ ] ij, =,, λµ, =,, λµ = ij cos λ, i cos µ, j i j Hupägheismomene I = + + II = + + III = I II III ( Beispiele: Hupchsen bei Qude Hupchsen bei Zlinde Hupchsen bei dünne cheibe - eie 5 -

16 - Geld Meie: Technische Mechnik Fomeln Kineische Enegie, Abeiss und Enegies kineische Enegie Ek = m + L + m( Ek = m + L ( Beugspunk chwepunk Ek = L Beugspunk A um- und köpefes A Abeiss: ( k k = E E W W : Abei duch äußee Käfe Enegies bei konseiem Momenen und Käfen Impuls- und Dehimpulss Impulss m( m( F( d = L L M d Dehimpulss ( ( = L L M d ( ( = A A A Die EULER-Gleichungen (Keisel-Gleichungen MI = I &I II III IIIII M = & M = & II II II III I III I III III III I II I II Käfefeie Keisel keine äußeen Momene M = L =,, = cons. { } I I II II III III ( ( k p k p biliä: Einfühung eine kleinen öhung ε=ε( Diffeenilgleichung Lösung fü ε( biliäsunesuchung E + E = E + E = cons Nu die momenenfeie Dehung um die Hupchsen mi dem gößen bw. kleinsen Mssenägheismomen sind sbil. Die Dehung um die Achse des mileen Hupägheismomenes is insbil. Unesuchungen m käfefeien Keisel De smmeische, nichkäfefeie Keisel F = {,, } = + F F F Re =,, + [] ( A = Re l= {,, } E M ( A III dl A = + F L d Be ( A { } F l F F F E [ ] M = & + + F III F III E F [ ] M = & + + M F III F III E F = & III F - eie 6 -

17 - Geld Meie: Technische Mechnik Fomeln - Zusmmenfssung Ein nichkäfefeie smmeische Keisel füh eine eguläe äessionsbewegung duch, wenn uf ihn ein konsnes äußees äessionsmomen M = kons. einwik. Wid dem Keisel eine äessionsbewegung kinemisch ufgewungen, so wid wegen cio = ecio om Keisel ein Momen M k = M uf die Lgeung usgeüb. 3 Bei de eguläen äession des smmeischen schween Keisels liegen Figuenchse, Winkelgeschwindigkeis- und Dehimpulseko sowie umfese äessionschse in eine Ebene. Diese Ebene päessie mi de konsnen Winkelgeschwindigkei F um die umfese äessionschse. De Keisel selbs deh mi de elien Eigenwinkelgeschwindigkei Rel gegenübe diese Ebene, in de uch ds migefühe Hupchsenssem enke is. Wähend bei käfefeien Keisel die äessionsbewegung um den umfesen Dehimpulseko efolg, deh sich bei de äession des nichkäfefeien Keisels uch de Dehimpulseko um eine umfese äessionschse. Die Winkel wischen den Achsen sind konsn. - eie 7 -