Elektronische Bandstruktur und elektrische Leitfähigkeit
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- Nelly Baumhauer
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1 ExpeimentlPhysik IV SS (3. July 015) Wiedeholung k h ikx π Feies Elektonen Gs: E =, ψ ( x ) = Ce, k = ( nx, ny, nz ) m L V Zustndsdichte im k-rum: ρ( k ) = 3 (π) WICHTIG: k -Vektoen sind NICHT uf 1. Billouin-Zone beschät! Besetzung de Zustände mit N Elektonen Femi-Kugel, Femi-Enegie, Femi-Wellenvekto 1 Besetzung bei endlichen Tempetuen: Femi-Fution f ( E) Wämekpzität: c V π kbn kbt = T E F = E μ kbt e + 1 Elektonische Bndstuktu und elektische Leitfähigkeit Einfluss des Gitte: Elektonische Bndstuktu Gundsätzlich Aufgund de Peiodizität des Gittes bescheiben die Vektoen k und äquivlente Zustände! k + G physiklisch Wi sgen slopp: Die k -Vektoen sind uf die 1. Billouin-Zone beschät! Ws fü Konsequenzen ht dies fü die Enegie de Elektonen im Gitte? Konsequenz 1: Reduzietes Zonenschem h k Fü feie Elektonen, lso Elektonen mit de Dispesionseltion E( k ) = m Zustände mit zu goßem k -Vekto in die 1. BZ "zuückgefltet" weden., müssen die
2 ExpeimentlPhysik IV SS (3. July 015) Konsequenz : Bndstuktu Die Elektonen sind nicht fei, sonden efhen eine schwche Wechselwikung mit dem Gitte. Diese schwche Wechselwikung knn ls Beugung m Gitte betchtet weden, welche wiedeum de Bgg-Bedingung unteliegt. k k = G Betchten wi zu Venschulichung die Auswikung fü die Elektonenzustände im 1D Gitte π n de Zonengenze k = : Rezipoke Gittevektoen in 1D: G = π n Die zwei Zustände n den Zonengenzen mit Bedingung! π k = + und π k = efüllen die Bgg- π π Ein Elekton im Zustnd k = + knn in den Zustnd k = gesteut weden, welche π wiedeum in den Zustnd k = + gesteut weden knn, usw. Die Übelgeung ezeugt "stehende" wellen, in Anlogie zu Reflexion n zwei Spiegeln. k k = e ikx = e ikx = e 1 = e ikx ikx + e e ikx ikx π = cos( kx) = cos x π = sin( kx) = sin x Die ebenen Wellen k e ±ikx ± = sind nicht die ichtigen Lösungen de Schödinge-Gleichung, sonden die beiden Wellen und. 1 Fü die Aufenthltswhscheinlichkeiten egibt sich 1 π = 4 cos x π = 4 sin x
3 ExpeimentlPhysik IV SS (3. July 015) Ds Elekton im Zustnd ds Elekton im Zustnd 1 hält sich BEI den Atomen uf, hält ZWISCHEN den Atomen uf Die Zustände und hben UNTERSCHIEDLICHE Enegien 1 E1 E Die im Model des feien Elektonen-Gses entteten Zustände m Zonennd weden ufgespltet. Bndlücken Bndstuktu Poblem: Die Wellenfutionen sind offensichtlich nicht meh eine ebenen Wellen Vekto knn dhe uch nicht meh ls Impuls p = hk betchtet weden! ikx e. De k - Fge: Welche physiklische Bedeutung ht k dnn? Antwot: Bloch Theoem Qusi-Impuls
4 ExpeimentlPhysik IV SS (3. July 015) Bloch-Theoem (nu seh knpp wegen eingeschobene nützliche Diskussion) Die Lösungen de Schödinge-Gleichung fü unbhängige Elektonen in einem peiodischen Potentil, H ˆ h = + V ( ψ = E m ) V + R = V ( ) ( ) lssen sich scheiben ls u ( ) exp( ik ) u ( ) = ( + R) = u ( ) E ( k + G) = E ( k ) n n R G Diese Lösungen nennt mn Bloch-Wellen. Elektonen die duch Bloch-Wellen beschieben weden, sich lso in einem peiodischen Potentil befinden, nennt mn Bloch-Elektonen, im Gegenstz zu feien Elektonen. Geneell nennt mn Elektonen im Kistll bzw. peiodischen Gitte Kistll-Elektonen, um den Unteschied zu feien Elektonen zu mchen. Eigenschften Duch ds Bloch Theoem wid k ls neue Quntenzhl eingefüht, es hndelt sich nicht unbedingt um einen Wellenvekto (im Sinne de ebenen Welle) Die zusätzliche Quntenzhl n untescheidet mehee Lösungen zum gleichen k -Vekto. Sie nennt mn uch Bnd-Index. Die Futionen ( ) hben die gleiche Peiodizität wie ds zugunde liegende Gitte! u Die Enegien E n (k ) sind peiodisch im k -Rum! Es egibt sich lso uch us dem Bloch- Theoem ds Zonenschem bzw. die Billouin-Zonen. De duch ds Bloch-Theoem eingefühte k -Vekto fü Kistllelektonen spielt eine ähnlich wichtige Rolle wie de Wellenvekto k von feien Elektonen. Im Unteschied zu feien Elektonen entspicht bei Kistll-Elektonen k jedoch nicht meh einfch dem Impuls p / h! Ds heißt, die Bloch-Wellenfutionen ( ) sind keine Impuls-Eigenfutionen!
5 ExpeimentlPhysik IV SS (3. July 015) Anschuliche Betchtung Die Bloch-Wellen sind ebene Wellen, deen Amplitude peiodisch moduliet ist.
6 ExpeimentlPhysik IV SS (3. July 015) Besetzung de Bände Einneung Die Anzhl de elubten k Vektoen in de 1. BZ entspicht de Atomzhl. Jedes Bnd in de 1. BZ knn mit mximl Elektonen besetzt weden. Beispiele fü Bndstuktuen Helium Z = (im festen Zustnd) 1.tes Bnd ist VOLL besetzt lle höheen Bände sind UNBESETZT Lithium Z = 3 1.tes Bnd ist VOLL besetzt.tes Bnd is HLAB besetzt lle höheen Bände sind UNBESETZT Beyllium Z = 4 bei Beyllium egibt sich die Besondeheit, ds zwei Bände übelppen 1.tes Bnd ist VOLL besetzt.tes Bnd und 3.tes Bnd sind TEILS besetzt lle höheen Bände sind UNBESETZT uße fü Sondefälle wie übelppende Bände finden wi die einfche Regel Z gede: Jedes Bnd ist entwede voll besetzt ode völlig lee. Z ungede: Ein Bnd ist hlbbesetzt, lle ndeen Bände sind entwede voll besetzt ode völlig lee
7 ExpeimentlPhysik IV SS (3. July 015) Fü pktische Fälle genügt es nu die Vlenzelektonen zu beücksichtigen. N, 1 Vlenzelektonen po Atom 1.tes Bnd ist HALB besetzt Al, 3 Vlenzelektonen po Atom 1.tes Bnd ist VOLL,.tes Bnd ist HALB besetzt Dimnt, 4 Vlenzelektonen po Atom 1.tes Bnd ist VOLL,.tes Bnd ist VOLL Mg, Vlenzelektonen po Atom bei Mg übelppen zwei Bände 1.tes Bnd und.tes Bnd sind TEILS BESETZT
8 ExpeimentlPhysik IV SS (3. July 015) Elektische Leitfähigkeit von Bänden Es gilt die wichtige Feststellung: Ldungstnspot ist nu in teilweise besetzten Bänden möglich Anschulich: keine fei beweglichen Elektonen kein elektische Stom Dmit egibt sich die folgende Einteilung de Mteie nch ihe elektischen Leitfähigkeit Isolto Vlenzbnd ist voll besetzt und ds Leitungsbnd völlig lee keine beweglichen Ldungen (Elektonen) gede Anzhl von Vlenzelektonen Metll Leitungsbnd ist teilweise besetzt nhezu fei bewegliche Elektonen = elektische Leite ungede Anzhl von Vlenzelektonen Hlbleite "Isolto" mit kleine Enegielücke (c. 0.5 ev) zwischen Vlenz- und Leitungsbnd themische Anegung de Vlenzelektonen ins Leitungsbnd Vlenz- und Leitungsbnd teilweise besetzt schwche Leitfähigkeit
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Die m n e i e c h e F Zeltl1.08. bis 08.08.201 0 l t n N ge im 5 2015 Stdtgemeinde St.Vlentin www.tktuk.t Liebe Kinde! Liebe Elten! 2 Beeits in wenigen Wochen beginnen die Sommefeien. Die Stdtgemeinde
Analytische Geometrie
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Aufgbe mit Lösung 4 ( 8 ) ( 4 8 ) f x = x x x + x= f x Achsensymmetrie + =. 4 lim x x + : Fll = c+ d 0! < 0 + x ±... Extrempunkte = = =. NB: f ( x) ( 4x 6 x) x( x ) x( x ) x MESt ( f ) { ;0;}. HB: 0 =
Uneigentliche Riemann-Integrale
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2 Trigonometrische Formeln
Mthemtische Probleme, SS 015 Donnerstg 7.5 $Id: trig.tex,v 1.11 015/05/19 17:1:13 hk Exp $ $Id: convex.tex,v 1.17 015/05/18 11:15:36 hk Exp $ Trigonometrische Formeln.3 Spezielle Werte der trigonometrischen
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N = kg m ] sec 2. F = γ m1m 2 r ˆr = r 1 r 2 r 1 r 2
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