6.5 Stückweise konstantes Potential: Potentialtopf

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1 Skript zur 8. Vorlesung Quntenmechnik, Freitg den 3. Mi,. 6.5 Stückweise konstntes Potentil: Potentiltopf Wir betrchten nun ds stückweise konstnte Potentil < V() = V < < > V V Aus den llgemeinen Bemerkungen geht hervor, dss Energie-Eigenwerte sind V. ψ und dψ d stetig bei = ± (Anschlussbedingungen). Ds Potentil V ist symmetrisch: Eigenfunktionen ψ E () können gerde/ungerde gewählt werden. (Aber müssen nicht, wenn der Eigenwert E entrtet ist!) Spektrum für E me Sei k =, K = h K m E m h k m (E +V ), dnn K = k +K. Allgemeine Lösung der Eigenwertgleichung: ( ψ() = π Ae ik +Be ik) < ( ψ() = π Ce ik +De ik) < < ( ψ() = π Fe ik +Ge ik) > V (Fktoren π sind nur d, um spätere Drstellungen zu vereinfchen.) 47

2 D ψ() nicht für ± sind diese Lösungen nicht normierbr, Wir erwrten deshlb eine Delt-Funktion-Normierung und ein kontinuierliches Spektrum. Die Anschluss-Bedingungen bei = ± legen vier der sechs Koeffizienten A,B,C,D,F und G fest. Zwei Koeffizienten können frei gewählt werden. Deshlb gibt es bei jeder Energie E zwei liner unbhängige Eigenfunktionen. Ds Energiespektrum für E > ist zweifch entrtet. Es gibt verschiedene Möglichkeiten, die zwei Bsisfunktionen zum Energie-Eigenwert E zu wählen. In der Streutheorie wählt mn Bsisfunktionen ψ + kr mit A =,G = ψ+ kl mit A =,G = Aus den Anschlussbedingungen findet mn, dss Hierus folgt, dss Ae ik +Be ik = Ce ik +De ik, Ake ik Bke ik = CKe ik DKe ik, Fe ik +Ge ik = Ce ik +De ik, Fke ik Gke ik = CKe ik DKe ik. B = r i(k K )sin(k) = kkcos(k) i(k +K )sin(k) e ik, F = t kk = kkcos(k) i(k +K )sin(k) e ik für ψ + kr und B = t, F = r für ψ+ kl. Mn knn diese zwei Bsis-Funktionen so drstellen: 48

3 Einfllende Welle Reflektierte Welle π π e ik re ik π te ik Durchgehende Welle ψ + k R Durchgehende Welle π te ik π π e ik Einfllende Welle re ik Reflektierte Welle ψ + k L Die Koeffizienten r und t werden Reflektionsmplitude und Trnsmissionsmplitude gennnt. Die Ttsche, dss ψ + kr und ψ+ kl die gleiche Reflektions- und Trnsmissionsmplituden hben, ist nicht llgemein. Sie folgt hier, weil V() = V( ). Normierung der sttionären Zuständen ψ + kl und ψ+ kr : ( ) ( ψ + kl,ψ+ k L = ψ + ( kr,ψ+ k R) = δ(k k ), ψ + kl,ψ+ k R) =. Beweis: Sehr mühsm. In QM wird die δ-normierung für llgemeine V() bewiesen. Die Energie-Eigenzustände hben δ-funktion Normierung sie stellen keine physiklischen Zustände dr! Mn bildet einen normierten Zustnd durch kontinuierliche Superposition der sttionären Zustände ψ + kr oder ψ+ kl (Wellenpket). Allgemeines Wellenpket us ψ + kr : ψ(,t) = dkφ(k)ψ + kr ()e i E kt. Wir wählen φ(k) so, dss die Funktion φ(k) ein schrfes Mimum bei k = k ht, und reell ist. Wir werden nun ψ(,t) durch Wellenpkete ψ (,t) und ψ (,t) für ein freies Teilchen mit Impuls ± k usdrücken, { ψ (,t) = dkφ(k)ψ k ()e i E kt ψ (,t) = dkφ(k)ψ k ()e i E kt 49

4 Dies gibt, für < : ψ(,t) = dkφ(k)(ψ k ()+r(k)ψ k ())e i E kt D φ(k) ein schrfes Mimum bei k = k ht, knn mn r(k) durch r(k ) im Integrnden ersetzen, ψ(,t) dkφ(k)(ψ k ()+r(k )ψ k ())e i E kt = ψ (,t)+r(k )ψ (,t). Ebenso findet mn für >, dss ψ(,t) = dkφ(k)t(k)ψ k ()e i E kt t(k )ψ (,t). = v t ein ( t< ) r ( k ) t k( ) us ( t> ) = v t = v t Die Whrscheinlichkeit, dss ds Teilchen vom Potentiltopf reflektiert wird, is R = r(k ) Die Whrscheinlichkeit, dss ds Teilchen durchgelssen wird, ist T = t(k ) Wichtige Beobchtung: R und T werden us Eigenschften von sttionären, δ-funktion normierten Wellenfunktionen ψ + kr () berechnet, uch wenn sie die Reflektion oder Trnsmission eines nicht-sttionären, normierten Wellenpkets drstellen! (Dies ist ein erstes Beispiel dfür, dss es bei Berechnungen oft vorteilhft ist, δ-funktion normierte Wellenfunktionen zu verwenden, uch wenn physiklische Zustände nur durch normierte Zustände gegeben werden.) 5

5 T(E) T(E) K ~ 5 K gross E/V E/V Bemerkung: Mn knn uch Bsisfunktionen wählen, die zur gleichen Zeit Pritäts-Eigenfunktionen sind. In diesem Fll findet mnn ψ kg () : gerde A = G = e iφg und B = F = e iφg, ψ ku () : ungerde A = G = i e iφu und B = F = i e iφu, wobei die Phsenverschiebung φ g bzw. φ u durch e iφg = e iφu = kk i(k K )sink kkcosk i(k +K )sink e ik, kk +i(k K )sink kkcosk i(k +K )sink e ik gegeben wird. π cos( k φ g) π cos( k +φ g) ψ + k R π sin( k φ g) π sin( k +φ g) ψ + k L 5

6 Spektrum für V E < κ h m h k m E Wir definieren: κ = me, k = ψ V = k ψ < < ψ = κ ψ > Die llgemeine, normierbre Lösung dieser Gleichung lutet: so dss κ +k = K. Energie-Eigenwert Gleichung: ψ() = Ae κ m (E +V ), K = ψ = κ ψ < < ψ() = Ccosk+Dsink < < ψ() = Ge κ > mv, D ds Potentil V() symmetrisch ist, gibt es gerde und ungerde Lösungen. Gerde Lösungen: A = G, D =. Dnn ψ( ) = ψ( ) Ae κ = Ccosk ψ ( ) = ψ ( ) κae κ = kccosk oder, in Mtrinottion, ( e κ cosk κe κ ksink )( A C ) = ( Diese Gleichungen hben eine nichttrivile Lösung nur, wenn ( ) e det κ cosk κe κ = e κ (ksink κcosk) = ksink cotk = k κ = l K k Schemtisch knn mn die beiden Seiten der Gleichung so drstellen: 5 )

7 cot k k κ k π/ π 3π/ π k k 3 Diese Gleichung ht nur diskrete Lösungen. Sie werden mit k,k 3,k 5,... bezeichnet. Je größer K, desto mehr Lösungen. Es gibt mindestens eine Lösung; Die Zhl der Lösungen ist n g für (n g )π < K < n g π. Die Energie-Eigenfunktionen hben dnn folgende Form: Ccosk i e κ i(+) <, ψ i (k) = Ccosk i < <, Ccosk i e κ i( ) >. Hier κ i = K +k i und C ist eine Normierungskonstnte, so dss d ψ() =. Schemtisch sehen die ersten zwei Lösungen so us: ψ ψ 3 Ungerde Lösungen: A = G, C =.... tnk = k κ = Die beiden Seiten der Gleichung sehen nun so us: k K k 53

8 tn k k k 4 π/ π 3π/ π k k κ Die diskreten Lösungen werden mit k,k 4,... bezeichnet. Die Energie-Eigenfunktionen hben die Form Dsink e κ i(+) < ψ (k) = Dsink < <, Dsink e κ i( ) > wobei D eine Normierungskonstnte ist. Es gibt nur eine ungerde Lösung, wenn K > π ; Im llgemeinen gibt es n u ungerde Lösungen, wenn (n u /)π < K < (n u +/)π. Die ersten zwei ungerden Lösungen sehen so us: ψ ψ 4 Zusmmenfssend: Für V < E < ist ds Ĥ-Spektrum diskret. Die Energie-Eigenwerte sind E i = V + k i m, i =,,n, 54

9 mit n = n u + n g die Zhl der gebunden Zuständen. Aus dem Vorherigen folgt, dss n die gnze Zhl ist, wofür gilt, dss (n )(π/) < K n(π/). Ist i gerde, so gilt ψ i () = ψ i ( ) ein gerder Zustnd; ist i ungerde, so ist ψ i () = ψ i ( ) ein ungerder Zustnd. Bemerkungen: DieZustände ψ i sindnormierbre, sttionärezuständeundwhrscheinlichkeitsverteilungen von beliebigen Observblen sind zeitunbhängig in dem Zustnd ψ i. Die Zustände ψ i sind gebunden. Die Whrscheinlichkeit, ds Teilchen bei > zu finden wenn. Aber im Gegenstz zur klssischen Mechnik ist die Whrscheinlichkeit, ds Teilchen bei > zu finden nicht null. Wenn V ±, dnn k i iπ, E ( i + V π ) i. Bei gleichbleibendem Inde m i wird die Whrscheinlichkeit, ds Teilchen ußerhlb des Potentiltopfes zu finden, beliebig klein wenn V. 6.6 Teilchen im Ksten Als zweites Beispiel betrchten wir nun ds stückweise konstnte Potentil V < V() = < < V > V Es gibt zwei Methoden, um ds Spektrum des Hmilton-Opertors Ĥ = ˆp /m+v(ˆ) zu bestimmen:. Mn bemerkt, dss ds Potentil V() im Vergleich zum im vorigen Abschnitt beschriebenen Potentil um V verschoben ist. Dher übernimmt mn die Ergebnisse vom 55

10 Potentiltopf für E <, verschiebt ber lle Energie-Eigenwerte um V. Ds Ergebnis ist E i = E PT i +V, wobei E PT i die Energie-Eigenwerte des Potentiltopfes sind. Für den Potentiltopf fnden wir, dss E PT i ( = V + π ) i, i =,,3,..., m mit V. Hierus folgt, dss die Energie-Eigenwerte für ds Teilchen im Ksten von der Gleichung ( E i = π ) i, i =,,3,... m gegeben werden.. Im Limes V muss gelten, dss ψ() = für < und >. Energie- Eigenwert Gleichung wird { Lösung: ψ = k ψ mit k = ψ(±) = me ψ() = cosk i ψ() = sink i gerde ungerde Aus ψ(±) = folgt dnn, dss k i = π i i =,,3, E i = m k i Es gilt: Ist i ungerde, so gilt ψ i () = ψ i ( ); ist i gerde, ist ψ i () = ψ i ( ). 56