Ferienkurs Quantenmechanik 1 Sommer 2009

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1 Physikdeprtment Technische Universität München Ahmed Omrn Bltt Ferienkurs Quntenmechnik 1 Sommer 009 Quntenmechnik in einer Dimension Lösungen 1 1-dimensionle Probleme 1.1 Unendlich hoher Potentiltopf * Ein Teilchen der Msse m ist in einem eindimensionlen Bereich 0 x eingeschlossen. Zum Zeitpunkt t 0 ist die normierte Wellenfunktion beschrieben durch: 8 πx ] πx ψ x, t cos sin 1 5 Wie lutet die Wellenfunktion zu einem späteren Zeitpunkt t t 0? Die sttionäre Schrödingergleichung für 0 x, zusmmen mit der llgemeinen Lösung, lutet: ψ Eψ m x ψx A sinkx 3 mit k me/. Dmit wäre die Rndbedingung ψ0 0 erfüllt. Um die ndere Rndbedingung ψ 0 zu erfüllen, muss k nπ sein. Die normierten Eigenfunktionen von Ĥ luten folglich: ψ n nπx sin 4 mit den entsprechenden Energie-Eigenwerten: E n n π m n 1,, 3,.. 5 Eine beliebige zeitbhängige Wellenfunktion ergibt sich us einer Linerkombintion der sttionären Zustände, jeweils multipliziert mit dem dzugehörigen Zeitentwicklungsopertor: ψx, t A n exp ie nt ψ n x 6 n Unsere Wellenfunktion 1 lässt sich folgendermßen umschreiben: ψ x, t cos 5 πx ] sin πx 8 πx 8 5 sin + πx πx 5 cos sin } {{ } 1 πx sin 7 ψx, t 0 5 ψ 1 x ψ x 8 1

2 Der Zustnd zu t t 0 ist lso gegeben durch: ψ x, t 0 exp ie 1t exp iπ t 0 m ψ 1 x exp sin ie t 0 πx + 5 exp ψ x iπ t 0 m sin πx 9 b Ws ist der Erwrtungswert der Energie bei t 0 und t t 0? Für llgemeine Zustände ψx, t lutet der Energie-Erwrtungswert: E ψ Ĥ ψ ψ m Ĥ ψ n A n A m exp ie nt n,m E n A n A m ψ m ψ n exp ie nt iem t exp }{{} n,m δ nm n E n A n E 1 A 1 + E A 4E 1 + E 5 exp iem t D die Zeitentwicklungsopertoren sich ufheben, gilt sowohl für t 0 ls uch für t t 0 : E E 1 A 1 + E A 4E 1 + E π 5m 11 c Wie groß ist die Whrscheinlichkeit, ds Teilchen bei t t 0 innerhlb der linken Hälfte des Potentiltopfes 0 x / zu finden? Wie knn mn sich so ein Ergebnis nschulich klrmchen? P 0 x / ψ x, t 0 dx / 0 sin πx π cos + 1 πx 4 sin 3π t 0 m Die Whrscheinlichkeit, ds Teilchen in der linken Kstenhälfte zu finden, schwnkt um einen Mittelwert von 50% herum plusibel. Durch die oszillierende cosc t 0 cconst. Funktion ist die Whrscheinlichkeit ml größer, ml kleiner, je nchdem wie lnge mn wrtet. + 1 πx sin sin π cos πx 3π t 0 m Zum Zeitpunkt t 0 ist die Wellenfunktion symmetrisch um den Punkt / verteilt s. Abbildung rechts, deshlb ist die Aufenthltswhrscheinlichkeit uf der linken Seite erstml größer P 1/ + 16/15π ls uf der nderen, ds Mximum der Wellenfunktion oszilliert ber mit der Zeit immer hin und her, weshlb nch gewisser Zeit die größere Fläche uf der nderen Seite sein knn, und dmit die Aufenthltswhrscheinlichkeit in der linken Hälfte unter 50% bsinkt. ψx e 3iπ t0 ] m + e 3iπ t 0 m dx 0 /4 / 3/4 x 1

3 1. 1-dimensionles δ-potentil ** Gegeben sei ds eindimensionle δ-förmige Potentil: V x λδx λ > Welchen Anschlussbedingungen muss die Wellenfunktion ψx bei x 0 genügen? Hinweis: Zeige, dss dψ dx bei x 0 unstetig ist, durch Integrtion der Schrödingergleichung über ds infinitesimle Intervll ε, ε]. Die sttionäre Schrödingergleichung lutet: Ĥψ m ψ x λδxψx Eψx 14 Notwendigerweise ist die Wellenfunktion ψx über R stetig Die Anschlussbedingung lutet: ψ0 + ψ0 bzw. lim ε 0 ψε lim ε 0 ψ ε 15 Die Ableitung der Wellenfunktion ist ber in diesem Fll nicht stetig, d die. Ableitung einen unendlichen Sprung m Ursprung mcht. Um dies mthemtisch zu zeigen, integrieren wir die Schrödingergleichung 14 über ds Intervll ε, ε]. ε ε Ĥψ x dx m ε ε Dnn mchen wir den Grenzübergng ε 0: ε ψ x dx λ ε ε δ x ψ x dx E m ψ ε ψ ε] λψ 0 E lim ε 0 m ψ ε ψ ε] λψ 0 E lim ε 0 ε ε ε ε ε ψ x dx ψ x dx 0 ψ x dx 16 ψ 0 + ψ 0 ] λψ m D der linksseitige Grenzwert der ersten Ableitung bei x 0 nicht mit dem rechtsseitigen übereinstimmt, ist die Ableitung n der Stelle unstetig. b Es existiert genu ein gebundener Zustnd in diesem Potentil. Bestimme seinen Energie-Eigenwert und die normierte Wellenfunktion. Für einen gebundenen Zustnd drf die Energie ußerhlb vom Ursprung nicht größer ls Null sein, d sonst E > V wäre, und dmit kein gebundener Zustnd vorliegen würde. Es gilt lso: E < 0. In dem Bereich lso überll, ußer m Ursprung muss die Wellenfunktion bis ins Unendliche exponentiell bfllen. Wir nehmen lso folgenden Anstz: { Ae βx für x < 0 ψ x Be βx 18 für x > 0 Wegen der Stetigkeit m Ursprung muss gelten: Ae β0 Be β0 A B 19 3

4 Für x 0 gilt wegen V 0: m x Ae±βx A m β e ±βx! EAe ±βx E β m Der Energie-Eigenwert ist lso kleiner ls Null, wie gefordert. Um ber ds β zu ermitteln, betrchten wir die Stetigkeitsbedingung 17 für diesen Fll: mλ A β Aβ λa β m Als Letztes fehlt die Normierung der Wellenfunktion: ψx dx A 0 A β e βx dx + 0 e βx 0 A β 0 E mλ 1 e βx dx A e βx dx 0! 1 A mλ Dmit lutet die normierte Wellenfunktion, die den Zustnd beschreibt: mλ mλ x ψ x exp 3 c Betrchte die Streuzustände d.h. E > 0 in diesem Potentil. Unter dem Anstz: { e ikx + R E e ikx für x < 0 me ψ x T E e ikx für x > 0, k 4 berechne die Reflexionsmplitude RE, den Reflexionskoeffizienten re Re, die Trnsmissionsmplitude T E und den Trnsmissionskoeffizienten te T E. Wir betrchten wieder die Anschlussbedingungen für die Wellenfunktion ψ und ihre Ableitung. i ii ψ0 + ψ0 1 + RE T E ψ 0 + ψ 0 mλ ψ0 5 ikt E ik 1 RE mλ 1 + RE Dieses Gleichungssystem lösen wir jeweils nch RE und T E uf: ik 1 + R E 1 + R E ikr E mλ 1 + R E R E ik + mλ ] mλ r E R E ik mλ 1 1 ; te 1 + k 4 m λ 1 + E mλ ; T E 1 + RE 1 mλ ik m λ k mλ 4 E Für große E konvergiert te gegen 1 und re geht gegen 0. Für hohe Energien nimmt die Trnsmissionswhrscheinlichkeit zu: Ein hochenergetisches Teilchen, ds von links kommt, knn lso nur schwer von diesem Schlgloch zurückgeworfen werden. Für E 0 konvergiert ber r gegen 1 und t geht gegen Null. Ein sehr niederenergetisches Teilchen kommt lso kum über ds Schlgloch drüber. 4

5 Hrmonischer Oszilltor.1 Auf- und Absteigeopertoren* Betrchte einen 1-dimensionlen hrmonischen Oszilltor mit den Eigenzuständen n, wobei Ĥ n ω n + 1/ n, sowie die Auf- und Absteigeopertoren us der Vorlesung mit ihrer Kommuttorreltion â, â ] 1. Zeige, dss â n n + 1 n + 1, und â n n n 1, und dmit, dss â â n n n. Ĥ â n ω â ââ + 1â n â ω â ω â â ] n ω ] n ââ + 1 n + 3 â n 8 Der Zustnd â n ht lso einen Energie-Eigenwert, der zum höheren Eigenzustnd n + 1 gehört. Es gilt lso: â n n Um die Normierung zu erhlten, bilden wir: â n n ââ n n â â + 1 n n + 1 n n n + 1 }{{} 1 â n n + 1 n Beim Vernichtungsopertor verwenden wir einerseits: ââ n 1 + â â n n + 1 n 31 Andererseits wissen wir: Gleichsetzen beider Terme ergibt: â â n â n + 1 n â n + 1 n + 1 n bzw. â n n n 1 33 Dmit weiß mn, dss der Vernichtungsopertor keinen niedrigeren Zustnd erzeugen knn, ls der Grundzustnd, denn â Kohärente Zustände *** Die kohärenten Zustände α sind die Eigenzustände des Vernichtungsopertors eines hrmonischen Oszilltors der Msse m und der Frequenz ω: â α α α Zeige, dss für jede komplexe Zhl α die Identität α e α / n0 α n n erfüllt ist, wobei α ein normierter Zustnd ist, und n die normierten Eigenzustände des hrmonischen Oszilltors sind. 5

6 Betrchte: Gleichzeitig gilt: â α c n â n c n n n 1 c ν+1 ν + 1 ν 34 n0 n1 ν0 â α α α α c n n c ν α ν 35 n0 ν0 Koeffizientenvergleich liefert: c ν+1 ν + 1 cν α c ν+1 αc ν ν Dmit ht mn eine rekursive Vorschrift für die Koeffizienten c ν. Durch sukzessives Einsetzen in sich selbst bekommt mn: c ν αν c 0 ν! 37 Aus α c n n folgt α c n n. Dmit knn mn den Zustnd α normieren: α α n,m0 c nc m n m }{{} δ mn c n α n c 0 n0 n0 α n c 0! 1 38 n0 }{{} exp α Drus erhält mn den ersten Koeffizienten c 0 der Entwicklung von α nch den Zuständen n : c 0 exp α /, worus mn us der Rekursion lle nderen c n bestimmen knn. Aus 37 und 38 folgt somit: α c n n n0 n0 α n c 0 n exp α n0 α n n b Zeige, dss die kohärenten Zustände minimle Unschärfe hben, d.h. ˆx ˆp. Hinweis: Verwende die folgenden Drstellungen durch Erzeugungs- und Vernichtungsopertoren: ˆx â + â mω ˆp i â â mω sowie: α â α α Mit ˆx ˆx ˆx und ˆp ˆp ˆp ist die minimle Unschärfe des kohärenten Zustnds zu zeigen: ˆx ˆp 39 6

7 1. Wir betrchten zuerst die Unschärfe des Ortsopertors ˆx mω â + â : ˆx α ˆx α α â + â α α â + â â + ââ + â α mω mω α â α + α â â α + α ââ α + α â α ] mω Hier können wir die Kommuttorreltion von â und â verwenden: ââ â â + 1 ˆx mω mω α α }{{} ˆx α α α + α α α α + α α α + 1 α + α α α ] ] α + α α + α mω ˆx α ˆx α ] α + α + 1 mω 40 α â + â α mω α + α 41 Die Gleichung 40 zusmmen mit dem Qudrt von 41 ergibt die Ortsunschärfe: ˆx ˆx ˆx α + α + 1 α + α ] mω mω. Die Ausrechnung von ˆp verläuft ähnlich: ˆp α ˆp α mω α â â α mω α â â â ââ + â α mω â α â â + â 1 α mω 1 α α ] 43 mω ˆp i α â â mω α i α α und 44 ergeben dmit ˆp ˆp ˆp mω 1 α α + α + α ] mω ˆx ˆp 4 ˆx ˆp 46 Der kohärente Zustnd α ht lso die geringste Unschärfe, die mit der Heisenberg schen Unschärfereltion verträglich ist. d Berechne die Zeitentwicklung eines kohärenten Zustnds αt und beweise, dss ein kohärenter Zustnd mit der Zeit kohärent bleibt. Aus dem Seprtionsnstz der zeitbhängigen Schrödingergleichung wissen wir: α t exp iĥt α 47 7

8 dbei ist ds Exponentil eines beliebigen Opertors gegeben durch: Â k eâ exp iĥt 1 it k n k! k Ĥ k n k0 k0 k0 exp ie nt n0 1 it k k E n k n n 48 Eingesetzt in den zeitbhängigen kohärenten Zustnd: α t exp iĥt e α / α n n e α / α n exp ie nt n 49 Die Eigenenergien des hrmonischen Oszilltors luten: E n ω n + 1/ α t e α / e iωt/ n0 n0 α n exp iωt n + 1 ] n αe iωt n n e α / Der Klmmerterm sieht fst so us wie ein kohärenter Zustnd. Wir können ihn ber uf die exkte Drstellung bringen, indem wir in der mittleren e-funktion α durch αe iωt ersetzen. D e iωt 1, mchen wir ddurch nichts flsch. αe α t e exp iωt αe iωt/ iωt n n e iωt/ αe iωt n0 }{{} αe iωt Um die Kohärenz von α t zu beweisen, überprüfen wir ob er Eigenzustnd des Vernichtungsopertors â ist. â α t e α / α n e iωtn+1/ â n e α / n0 n1 n0 α n e iωtn+1/ n n 1 Der Summnd mit n 0 fällt rus, d â 0 0. Hier knn mn einen Indexshift mchen n n + 1 â α t e α / αe iωt n0 α n+1 n + 1! e iωt/ e iωtn+1 n + 1 n e α / n0 ] α n e iωtn+1/ n αe iωt α t 50 α t ist Eigenzustnd von â zum Eigenwert αe iωt, und somit ein kohärenter Zustnd. Zustzufgbe: Zeige, dss die Ewrtungswerte von ˆx und ˆp im kohärenten Zustnd jeweils eine klssische hrmonische Beweung vollziehen. Aus â α t αe iωt α t folgt nlog zum. Aufgbenteil: α t â α t α e iωt. D α eine komplexe Zhl ist, können wir sie schreiben ls Produkt us Betrg und Phse: α α e iϕ 8

9 Dmit erhlten wir: â α t α e iωt ϕ α t und α t â α t α e iωt ϕ 51 Der Erwrtungswert des Ortsopertors im kohärenten Zustnd lutet: ˆx α t ˆx α t α t â + â α t mω mω α e iωt ϕ + e iωt ϕ α t α t }{{} α cos ωt ϕ 5 mω Und für den Impulsopertor mω ˆp α t ˆp α t i α t â â α t mω i α e iωt ϕ e iωt ϕ α t α t }{{} 1 mω i α i sin ωt ϕ 53 mω α sin ωt ϕ 54 Die Erwrtungswerte für Ort und Impuls verhlten sich demnch genuso wie eine klssische hrmonische Oszilltion. Insbesondere gilt uch: m d ˆx dt mω m α ω sin ωt ϕ mω α sin ωt ϕ ˆp Allgemeine Sätze 3.1 Ehrenfest-Theorem * Die Bedingung, dss mn die Erwrtungswerte quntenmechnischer Größen wie ˆx und ˆp wie klssische Größen behndeln knn, lutet s. Vorlesung: F x F x 56 Leite mithilfe einer Tylorentwicklung von F x eine Bedingung b, für die die geforderte Reltion gilt. Zuerst muss mn F x in eine Tylorreihe um x entwickeln: F x F x + x x x F x + 1 x x F x x Dnn können wir die gnze Gleichung mitteln, wobei mn sich bei F x die Mittelung spren knn, d dies eine Zhl ist, die sich ddurch nicht verändert. Außerdem gilt: x x x x x x 0 9

10 Dmit verschwindet der linere Term der Tylorentwicklung. 1 F x F x + x x x F x Wir sehen: F x F x genu dnn, wenn die. und höhere Ableitungen der Krft nch dem Ort verschwindet. b Welche beknnten Systeme erfüllen diese Bedingung? Wird sie erfüllt in einem System bestehend us einem Teilchen im Potentil V x αx 4? α > 0 Zwei Beispiele für solche Systeme sind sofort beknnt: Ds freie Teilchen, wo die Krft überll Null ist, und der hrmonische Oszilltor, wo die Krft nur liner von x bhängt. Beim Fll V x αx 4 ist die Krft proportionl zu x 3, dher verschwindet die zweite Ableitung der Krft nch x nicht Die Erwrtungswerte von ˆx und ˆp genügen nicht den klssischen Bewegungsgleichungen. 3. Virilstz ** Der Virilstz beschreibt den Zusmmenhng zwischen den zeitlichen Mittelwerten der potentiellen und kinetischen Energie geschlossener physiklischer Systeme, z.b. eines Systems von Mssenpunkten in einem endlichen Volumen, die einem Potentil V usgesetzt sind Ds Potentil knn entweder uf gegenseitiger Wechselwirkung der Teilchen, oder uf einem externen Krftfeld beruhen. Für ein Teilchen im Potentil V gilt: ˆ r ˆp m + V ˆ r die Oper- Zeige, dss sich für ein System mit Hmilton-Opertor Ĥ ˆT + V torbeziehung i ] Ĥ, ˆ r ˆ p T ˆ r V ˆ r ergibt. T 1 r V Mit der Produktregel für Kommuttoren ergibt sich: i ] Ĥ, ˆ r ˆ p i ] ] Ĥ, ˆ r ˆ p + ˆ r Ĥ, ˆ p ] ] i ˆ p m, ˆ r ˆ p ˆ p + V ˆ r, ˆ r ]ˆ p + ˆ r m, ˆ p i ] m, ˆ r ˆ p + ˆ r V ˆ r, ] i + ˆ r V ˆ r ˆ p], 61 Um diese beiden Kommuttoren uszuwerten, wendet mn sie uf eine beliebige Testfunktion Φ r n Kommuttoren sind Opertore: ] m, ˆ r Φ r 1 ˆ p ˆ r], Φ r 1 m m i m ˆ p Φ r im ˆ p {}}{ ˆp k ˆp k, ˆ r ] k iê k + ˆp k, ˆ r ] ˆp k Φ r Φ r 6 10

11 V ˆ r, ] i Φ r i ˆ r V Φ ˆ r i V r Φ r i i 3 V Φ ê k V Φ V Φ x k x k x k k1 V Φ r 63 6 und 63 eingesetzt in 61 ergibt: i ] Ĥ, ˆ r ˆ p i im ˆ p + iˆ r V ˆ r ˆ p m ˆ r V ˆ r T ˆ r V ˆ r 64 b Zeige, dss der Erwrtungswert des Kommuttors Ĥ, Â] in einem sttionären Zustnd gleich Null ist, und leite mithilfe der Opertorbeziehung 60 eine Reltion nlog zu 59 für die quntenmechnischen Erwrtungswerte von T und V in einem sttionären Zustnd her Quntenmechnischer Virilstz. Sei ψ n ein sttionärer Zustnd des Hmiltonopertors Ĥ zum Eigenwert E n: D Ĥ Hermitesch ist, ist E n reell, und es gilt genuso: Ĥ ψ n E n ψ n 65 ψ n Ĥ ψ n E n 66 Dmit folgt: ] Ĥ, Â] ψ n Ĥ,  ψn ψ n Ĥ ÂĤ ψn ψ n E n  ÂE n ψn E n ψ n   ψn 0 67 Setzen wir  ˆ r ˆ p folgt drus: ] Ĥ, ˆ r ˆ p 0 68 Mit der Opertorbeziehung 60 gilt dmit: i ] Ĥ, ˆ r ˆ p T ˆ r V ˆ r T ˆ r V ˆ r 0 T 1 ˆ r V 69 c Wie lutet ds Verhältnis T / V für einen hrmonischen Oszilltor in 3D? V r mω r / 11

12 Für V r mω r gilt V r mω rê r r V r mω r T 1 mω r V T V