Diskrete Energien. Lösung: (a) λ 1 = 2a, λ 2 = a = 2a 2, λ 3 = 2a 3, λ n = 2a n. = π a n, p n = k n = h 2a n. k n = 2π λ n. W n = p2 n 2m = h2

Transkript

1 Diskrete Energien 1. 8 entdeckten Mrc Fries und Andrew Steele uf einem Meteoriten sogennnte Crbon Whiskers, lnggestreckte Nnostrukturen us Kohlenstoff, von denen ngenommen wird, dss sie im Rum um junge Sterne und Supernovä vorkommen. Wir gehen dvon us, dss jeder dieser Fäden der Länge ein frei bewegliches, ber uf dem Fden eingesperrtes Elektron enthält. () Erstelle eine Skizze der ersten drei Wellenfunktionen ϕ n () (genuer ihres Relteils) des Elektrons und leite drus eine Formel für die zu den Wellenfunktionen gehörenden Wellenlängen λ n b. Berechne drus die Energiewerte W n des eingesperrten Elektrons (n = 1 für den Grundzustnd). (b) Ein dünnes Gs unserer Nnofäden der Länge =,9nm wird von elektromgnetischen Wellen eines sehr breiten Spektrlbereichs durchstrhlt. Welche Wellenlängen sind im durchgehenden Licht geschwächt, wenn eine Anregung der Fäden bis n = ngenommen wird? In welchem Spektrlbereich liegen diese Wellenlängen? Neben den Rechnungen ist uch eine genue Erklärung dieser Schwächung gefrgt! (c) Berechne nhnd eines Termschems die zusätzlichen Wellenlängen, die ds n den Fäden gestreute Licht noch enthlten knn. (d) Es wird derzeit untersucht, ob die Crbon Whiskers einen Einfluss uf die Entfernungsmessung mit Typ 1 Supernvä hben. Wenn j, müssen dnn die bisher gemessenen Entfernungen nch oben oder nch unten korrigiert werden? Lösung: () λ 1 =, λ = =, λ 3 = 3, λ n = n k n = π λ n = π n, p n = k n = h n W n = p n m = h 8m n (b) D die Verweilduer in ngeregten Zuständen meistens sehr klein ist, befinden sich fst lle Fäden im Grundzustnd. Photonen mit den Energien W n1 = W n W 1 und den dzu gehörenden Wellenlängen λ n1 = = 8m ec W n1 h(n 1) = 7,71 6 m n = 7,7µ 1 n 1 werden von den Fäden bsorbiert und in lle Richtungen wieder usgesndt. Dher ist die Intensität dieser Wellenlängen der durchgehenden Strhlung geschwächt. λ 1 = 7,7µ 3 Infrrotbereich! (c) λ 3 = 7,7µ 7 = 9,µ, λ 31 = 7,7µ 8 =,µ, λ = 7,7µ 1 =,3µ λ 3 = 7,7µ 5 = 5,5µ (d) D mit den Whiskers Licht bsorbiert wird, ist die wirkliche Helligkeit der Supernovä größer ls die gemessene, d.h. sie sind nicht so weit entfernt, Korrektur lso nch unten. 1 = 3,5µ, λ 1 = 7,7µ 15 W W 3 W W 1 λ 1 λ 31 = 1,8µ λ 1 λ 3 λ 3 λ

2 . Bestimmte Frbstoffmoleküle (Crbocynin) hben die Energiestufen W n = n W 1 mit W 1 =,5eV, n N und n. Ein Gs us Crbocyninmolekülen (lle zunächst im Grundzustnd) wird von weißem Licht mit einem gehörigen UV-Anteil durchstrhlt. Welche Wellenlängen fehlen im durchgehenden Strhl? Welche Wellenlängen enthält ds gestreute Licht? Lösung: W 1 =,5eV, W = 1,eV, W 3 =,5eV, W =,ev. Fehlende Wellenlängen im durchgehenden Strhl: W 1 =,75eV = λ 1 = W 1 = 165nm (IR) W 13 =,ev = λ 13 = W 13 = 6nm (rot) W 1 = 3,75eV = λ 1 = W 1 = 331nm (UV) Wellenlängen im Streulicht (zusätzlich zu λ 1, λ 13 und λ 1 ): W 3 = 1,5eV, λ 3 = W 3 = 99nm (IR) W = 3,eV, λ = W = 13nm (violett) W ev, W 3 = 1,75eV, λ 3 = W 3 = 78nm (rot) 1, 3,, W W 3 W W 1 3. () Erkläre, wrum gebundene, sttionäre quntenmechnische Zustände(Teilchen im Potentiltopf) ein diskretes Energiespektrum hben. (b) Nnotechniker hben sehr dünne Fäden der Länge = nm gefertigt, die ein über die gnze Fdenlänge frei bewegliches Elektron enthlten. Unter der Annhme, dss die Energie zum Ablösen des Elektrons unendlich groß ist, gilt für die möglichen kinetischen Energien des Elektrons W n = h 8m n Welche Wellenlängen einer einfllenden elektromgnetischen Strhlung knn ein Nnofden im Grundzustnd bsorbieren? Berechne den Wert der größten dieser Wellenlängen. Gib zum Vergleich die größte Wellenlänge n, die ein klssischer Dipol (Leiterstb) der Länge bsorbieren knn. (c) Gib ein Pr (r,s) von Quntenzhlen n, für die die Wellenlänge λ rs der usgesndten elektromgnetischen Strhlung eines Nnofdens beim Übergng von W r nch W s im sichtbren Bereich liegt.

3 Lösung: () Bei gebundenen Zuständen (eindimensionle Betrchtung) gibt es zwei Schnittstellen 1 und zwischen W (konstnte Teilchenenergie) und V() (potentielle) Energie. Im Intervll ( 1, ) ht die Wellenfunktion ϕ() (Lösung der zeitunbh. Schrödingergleichung) eine ndere mthemtische Gestlt ls ußerhlb. Aus der Stetigkeitsforderung von ϕ() und ϕ () uch n den Stellen 1 und folgen Gleichungen, die nur für bestimmte Werte von W eine Lösung hben. (b) λ 1s = = 8mc 1 W s W 1 h s 1 =,58m s 1, λ 1 =,176m Für Dipole gilt: λ e,n = n, d.h λ e,m = λ e,1 = = 8nm (c) λ rs = = 8mc 1 W r W s h r s = 5,818 nm r s, nm < λ rs < 8nm = 5,81 8 < r s < 5,818, 6,61 5 < r s < 13, z. B. s = 1 und 813 r 118 oder (r,s) = (1,) oder.... Nnotechniker hben sehr dünne Fäden der Länge = 8nm gefertigt, die ein über die gnze Fdenlänge frei bewegliches Elektron enthlten. Im Folgenden drf ngenommen werden, dss die Energie zum Entfernen des Elektrons vom Fden unendlich groß ist. () ErstelleeineSkizze dererstendreiwellenfunktionen ϕ n ()(genuer ihresrelteils) und leite drus eine Formel für die zu den Wellenfunktionen gehörenden Wellenlängen λ n b. Berechne dnn Formeln für die Wellenzhlen k n, die Impulse p n und die kinetischen Energien W n des Elektrons. (b) Wählt mn die -Achse eines Koordintensystems so, dss der Nnofden prllel zur Achse ist und bei = beginnt, dnn lutet die Wellenfunktion { Asin(k n ) für ϕ n () =. sonst Berechne mit einer kurzen Erklärung die Amplitude A und schreibe die endgültige Formel für die Whrscheinlichkeitsdichte w n () hin. (c) Zeichne die Whrscheinlichkeitsdichte w n () für unser Elektron im Zustnd n = (1 nm = 1 cm). Berechne und vernschuliche [ in der Zeichnung die 3 Whrscheinlichkeit P,dsElektronfürn = imintervll 16, 5 ] nzutreffen. 16 Lösung: () λ 1 =, λ = =, λ 3 = 3 λ n = n, k n = π λ n = π n p n = k n = h n W n = p n m = h 8m n 3

4 (b) D ds Elektron irgendwo sein muss, ist w n ()d = [ A sink ] ncosk n k n ϕ n () d = A = A sin nπ {}}{ sin (k n )d = 1 k n cosk n k n = A = 1 A = (c) 1 = 3 16, = 16 =, = 5 16, k = π w,5 1 nm = w n () = ϕ() = sin k n 1 P = w ()d = w ()d = sin (k )d = 1 = [ sink ] cosk = [ k sink ] = k [ = sin ( 8π 5 ) 16 + sin( 8π )] = 16π 16π = 1 8 sin( ) 5π + sinπ π π = π = π 8π =,5 5. Nnotechniker hben sehr dünne Fäden der Länge = nm gefertigt, die ein über die gnze Fdenlänge frei bewegliches Elektron enthlten. Es drf ngenommen werden, dss die Energie zum Ablösen des Elektrons unendlich groß ist. () Welche Forderungen n die Lösungen der Schrödingergleichung bedingen gnz llgemein die Eistenz diskreter Energiewerte eingesperrter Teilchen?

5 (b) Zeichne die drei ersten Wellenfunktionen unseres eingesperrten Teilchens und beweise für seine kinetische Energie die Formel W n = h n 8m e (c) Wählt mn die -Achse eines Koordintensystems so, dss der Nnofden prllel zur Achse ist und bei = beginnt, dnn lutet die Wellenfunktion { Asin(k n ) für ϕ n () = sonst Schreibe eine Gleichung hin, us der mn die Amplitude A berechnen knn. Ohne weitere Rechnung drf die Lösung A = weiter verwendet werden. Schreibe die endgültige Formel für die Whrscheinlichkeitsdichte w n () hin. (d) ZeichnedieWhrscheinlichkeitsdichte w n ()fürunserelektronimzustndn = (5nm =1cm, w m =5cm). P 1 und P bezeichnen die Whrscheinlichkeiten, ds Elektron für n = in den Intervllen I 1 = [, ] 3 8 bzw. I = [,65;,66] uf der -Achse nzutreffen. Vernschuliche P 1 und P in der Zeichnung und berechne möglichst einfch die Werte dieser Whrscheinlichkeiten. (e) Welche Wellenlängen einer einfllenden elektromgnetischen Strhlung knn ein Nnofden im Grundzustnd bsorbieren? Berechne den Wert der größten dieser Wellenlängen. (f) Gib ein Pr (r,s) von Quntenzhlen n, für die die Wellenlänge λ rs der usgesndten elektromgnetischen Strhlung eines Nnofdens beim Übergng von W r nch W s im sichtbren Bereich liegt. Lösung: () Stetigkeit und Differenzierbrkeit der Wellenfunktion. (b) λ 1 =, λ = =, λ 3 = 3, λ n = n k n = π λ n = π n, p n = k n = h n W n = p n m = h 8m n (c) D ds Elektron irgendwo sein muss, ist w n ()d = ϕ n () d = A sin (k n )d = 1 w n () = ϕ() = sin k n 5

6 (d) k = π, w () = π sin P 1 entspricht einem Achtel der Gesmtfläche: w,5 1 nm P 1 = 1 8 = 1,5% P w (,655),1 = =,sin (π,655) = 1,73% w (,65),1 = 1,81% w (,66),1 = 1,6% 3 8,655 (e) λ r1 = (f) λ rs = = 8mc W r W 1 h 1 r 1 = 5,8mm r 1, λ 1 = 1,76mm = 8mc 1 W r W s h r s = 5,816 nm r s, nm < λ rs < 8nm = 5,81 6 < r s < 5,816, 6,61 3 < r s < 13, z. B. s = 1 und 8 r 11 oder (r,s) = (1,) oder... 6