Felder und Wellen. Musterlösung zur 13. Übung. 30. Aufgabe WS 2016/2017. Hinlaufende Welle: E d = E d e j(ωt k d r) e y

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1 Felder und Wellen WS 6/7 Musterlösung zur 3. Übung 3. Aufgbe Hinlufende Welle: E e = E e e jωt k e r) e y ke = k cosφ e e z +sinφ e e x ) Reflektierte Welle: E r = E r e jωt k r r) e y kr = k cosφ r e z +sinφ r e x ) Durchgelssene Welle: E d = E d e jωt k d r) e y kd = k cosφ d e z +sinφ d e x ) k = ω µε und Γ = µ ε ) Die Tngentilkomponente muss stetig sein t = und r = x e x ): E e e jk sinφ ex +E r e jk sinφ rx = E d e jk sinφ d x Die Gleichung is nichtliner in x und knn nur für lle x erfüllt sein wenn gilt: Drus folgt dnn: jk sinφ e x = jk sinφ r x = jk sinφ d x φ r = φ e sinφ d = k k sinφ e b) Mit e z e y = e x und e x e y = e z erhält mn schnell:

2 H e = Γ e k e E = Γ E e cosφ e e x +sinφ e e z ) H d = Γ E d cosφ d e x +sinφ d e z ) H r = Γ E r cosφ r e x +sinφ r e z ) c) Stetigkeitsbedingungen für t = und r = : E-tngentil E e +E r = E d H-tngentil Γ E e cosφ e + Γ E r cosφ r = Γ E d cosφ d B-orthogonl Γ E e sinφ e + Γ E r sinφ r = Γ E d sinφ d ) Setzt mn die Winkelreltionen us ) ein, wird die letzte Gleichung gleich der ersten. Es bleibt lso folgendes Gleichungssystem zu lösen: E e +E r = E d E e cosφ e +E r cosφ e = Γ Γ E d cosφ d E r = E d E e E e cosφ e +E d E e )cosφ e = Γ Γ E d cosφ d E e cosφ e = Γ E d cosφ d +E d cosφ e Γ cosφ e E d = Γ E e Γ cosφ d +cosφ e Γ cosφ e E d = E e Γ cosφ d +Γ cosφ e ) Γ cosφ e E r = Γ cosφ d +Γ cosφ e E r = Γ cosφ e Γ cosφ d Γ cosφ e +Γ cosφ d E e E e c) Der kritische Winkel wird erreicht, wenn sinφ e k k >. In diesem Fll knn kein reelles φ d die Bedingungen erfüllen. Dies ist jedoch nur möglich, wenn Medium

3 optisch dichter ls Medium ist, lso ε r ε r. In diesem Fll gilt: sinφ e k k > φ e,kritisch = rcsin k k sinφ e > k k Hinweis: FürdenFllφ e φ e,kritisch tritttotlreflexionein.jedochistuchindiesemfll im zweiten Medium eine exponentiell bfllende Welle vorhnden, d sonst die Stetigkeitsbedingungen verletzt wären. Die Lösung knn über einen komplexen Anstz für φ d hergeleitet werden. φ d knn dnn llerdings nicht mehr ls Winkel interpretiert werden. Beispiele: Bei Reflexion n einem optisch dichteren Medium, z.b. beim Übergng von Luft nch Gls ergibt sich folgendes Verhältnis von E r /E e ε r /ε r = 4): Einfllswinkel Bei Reflexion n einem optisch dünnerem Medium, z.b. beim Übergng von Gls nch Luft ergibt sich folgendes Verhältnis von E r /E e ε r /ε r = /4): Einfllswinkel Ab c. 3 erhält mn Totlreflexion. Dher werden z.b. Prismen in der Optik ls Spiegel verwendet.

4 3. Aufgbe Die Felder im Wellenleiter hben die Form Ex,y,z,t) = E x,y)e jωt kzz) Hx,y,z,t) = H x,y)e jωt kzz) Skript Kpitel 9.6.3: für TM-Wellen gilt Berechnet werden E und H, der Subskript wird weggelssen) E x = j E z ω µε kz x E y = j E z ω µε kz y jωε E z H x = ω µε kz y H y = jωε E z ω µε kz x y = wegen der unendlich Ausdehnung in y-richtung nur E x und H y existieren. ) Wellengleichung für E z E z x +ω µε k z)e z = Mit k x = ω µε k z hben die Lösungen dieser Gleichung die Form E z = Asink x x+bcosk x x E z ist die Tngentilkomponente des E-Feldes. Für x = und x = gilt die Rndbedingung E z = E z = für x = B = E z = für x = A = kein Feld) oder k x = nπ n =,,3,... k x = nπ E z = Asin nπx Aus E z werden die trnsverslen Komponenten der Felder berechnet E x = j k x H y = jωε k x E z x = j Acosk x x = j k x nπ E z x = jωε Acosk x x = jωε k x nπ Acos nπx Acos nπx

5 b) Berechnung von ω µε kz = kx nπ ω µε kz = nπ kz = ω µε nπ = ω µε ω = nπ wird ls positiv ngenommen, negtives ändert nur die Ausbreitungsrichtung. Eine Welle existiert nur, wenn reell ist. = nπ µε ω µε ω > nπ µǫ Es gibt lso eine sogennnte Cut-Off-Frequenz ω c, unterhlb der keine Wellenusbreitung möglich ist. Die Cut-Off-Frequenz hängt von der Dimension und der Modennummer n b. ω cn = nπ = nπc µε c) Phsengeschwindigkeit: c c = ω = = ω c c ω ω nπ ω nπc c = nπc ) > c ω c ist die Lichtgeschwindigkeit im Medium zwischen den Pltten. Berechnung der Gruppengeschwindigkeit: v g = dω = dk d z dω = µεω = c ω ω c = c ω µε nπ nπ nπc < c ω

6 Es gilt cv g = c. Die Gruppengeschwindigkeit ist demnch kleiner ls die Vkuumslichtgeschwindigkeit und die Phsengeschwindigkeit ist größer ls die Vkuumslichtgeschwindigkeit. d) Leistungsdichte der Moden: Poynting-Vektor S = R E H ) = R E x e x +E z e z ) H y e y ) Der Poynting-Vektor besteht us zwei Teilen R E x e x Hy e ) y = R jkz nπx Acos nπ ejωt kzz) jωε ) nπx Acos nπ e jωt kzz) e x e y ) = ωε n π A cos nπx e z Energie wird in z-richtung trnsportiert. R E z e z Hy e ) y = R jkz nπ A sin nπx ) nπx cos e x = E z ist reell, H y imginär. In x Richtung wird keine Energie trnsportiert nur Blindleistung). Zustz: Wieso knn die Phsengeschwindigkeit größer ls die Vkuumslichtgeschwindigkeit sein? Betrchtet mn nochml ds E-Feld der TM-Welle in vektorieller Form, erhält mn: j kz k x cosk x x E = A e jωt kzz) sink x x Mit sinx = j e jx e jx) cosx = e jx +e jx) lässt sich schreiben: E = A E = ja j k x e jk xx +e jkxx) j e jk xx e jkxx) k x e jωt kxx kzz) e jωt kxx kzz) e jωt kzz) } {{ } Welle I + k x e jωt+kxx kzz) e jωt+kxx kzz) } {{ } Welle II Die TM-Welle lässt sich in zwei schräg lufende Wellen I und II zerlegen. Die Wellenzhl wird bei schräg lufenden Wellen zu einem Wellenvektor:

7 Welle I: Welle II: E I = ja ki = k x E II = ja kii = k x k x k x e jωt r k I) e jωt r k II) Die Wellenvektoren stehen senkrecht uf dem E-Feld und sind prllel zum Pointingvektor. Dies lässt sich zeigen, indem mn ds Sklrprodukt zwischen E-Feld und Wellenvektor bildet: ) kz E I k I k x = E k I k I x E II k II k ) z k x + = E k II k II x Berechnet mn den Betrg des Wellenvektors, erhält mn: k I = k II = k x +k z = = ω µε = ω c nπ nπ +ω µε Drus folgt für die Phsen- und Gruppengeschwindigkeiten: c I = c II = ω k I = c v gi = v gii = dω d k I = d ) k I = c dω Ds Ergebenis knn wie folgt interpretiert werden: Die Phse der TM-Welle in z-richtung knn ls Überlgerung zweier ebener Vkuumswellen betrchtet werden, die n den Wänden reflektiert werden. Die Phse der TM-Welle ist lso nichts weiter ls ds Interferenzmuster, welches sich mit c > c uszubreiten scheint. Anhnd der Abbildung unten ist ber nschulich klr, dss sich ein Wellenpket nur mit der Gruppengeschwindigkeit v g < c in z-richtung usbreiten knn, d die Wellen ufgrund des schrägen Einflls einen längeren Weg zurücklegen müssen.

8 N 9 A A - 9 A A - O