Ferienkurs Quantenmechanik Sommer 2010

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1 Physikdeprtment Christoph Schnrr & Michel Schrpp Technische Universität München Bltt 4 - Lösungsvorschlg Ferienkurs Quntenmechnik Sommer Näherungsverfhren Ritzsches Vritionsverfhren Für ds ngegebene Potentil V x { fx für x > + für x < führe mn ds Vritionsverfhren unter Verwendung der Versuchsfunktionenschr ux mit dem Vritionsprmeter α durch: ux xe αx Geben Sie die dzugehörige minimierte Energie n. Geben Sie zudem ein Beispiel n, wo dieses Potentil in der Relität uftuchen knn. Hinweis: Die Formel dx x n e px n! p n+ knn hilfreich sein. Für ds zu minimierende Energiefunktionl gilt: Eα ux H ux ux ux Zunächst berechnen wir: ux ux ux H ux α m dx x e αx 4α 3 dx x e α x m 8mα + 3f 8α 4 dxxe αx α Eα α m + 3f α d dx + fx m xe αx dxx e αx + f dxx 3 e αx

2 Die Minimierung liefert: deα dα 3mf α f /3 /3 Eα 9 4 Wählen wir f mg, so hndelt es sich um die potentielle Energie eines Teilchens im homogenen Grvittionsfeld der Erde. Ds Teilchen wird bei x von einer idel reflektierenden Ebene zurückgeworfen. 3m Störungstheorie. Ordnung Zwei identische Teilchen befinden sich in einem unendlich hohen Potentiltopf mit Wänden bei x und x. Für die Einteilchenwellenfunktion gilt: nπx ψ n x sin Wir lssen die beiden Teilchen über ds Potentil schwch miteinnder wechselwirken. V x, x V δx x. Berechnen Sie die Grundzustndsenergie in erster Ordnung Störungstheorie.. Die Energiekorrektur in. Ordnung Störungstheorie lutet: V δx x 4V 4V E 4V 4V V V sin n πx sin nπx sin 4 nπx dx sin nπx dx [ 3 8 x 4 sinx + ] 3 sin4x sin n πx δx x dx dx Dmit ist die Grundzustndsenergie die Summe der beiden ungestörten Teilchenenergien plus die Energiekorrektur. E E + E 3 V π m + 3 V π m 3 V

3 3 Eckige Versuchswelle Gegeben Sei ein Teilchen in einem Potentilksten mit unendlich hohen Wänden und der Breite L. Als Versuchswellenfunktion sei gegeben. ψx A { L x für x < L für x > L. Bestimmen Sie die Normierungskonstnte A.. Schätzen Sie die Grundzustndsenergie b und vergleichen sie es mit dem exkten Resultt E π 8mL.. Es muss ψ ψ gelten: A L + x dx + L [ ] [ A 3 L + x3 + L x3 3 3 A L 3 L x dx! ] L. Die Grundzustndsenergie schätzen wir über E ψ H ψ b. Dzu benötigen wir die. und. Ableitung der Wellenfunktion: A für L < x < ψ x A für < x < L 3 sonst ψ x Aδx + L Aδx + Aδx L 4 Mn ht es bei der. Ableitung mit 3 Unstetigkeitsstellen zu tun. Dbei ht die Ableitung jeweils einen Sprung. Die Ableitung eines Sprungs entspricht ber gerde einer Delt-Funktion. Dies liefert: E ψ H ψ A m A L m 3 ml L L dxψx d m dx ψx dxψx [δx + L δx + δx L] Vergleichen wir ds mit dem exkten Ergebnis E π 8mL, so sehen wir, dss die durch Vritionsrechnung bestimmte Grundzustndsenergie etws größer ls die exkte Energie ist, ws mit dem Ritzschen Prinzip übereinstimmt. 3

4 4 Oszilltor mit qudrtischer Störung Gegeben sei die Lösung des eindimensionlen hrmonischen Oszilltors: Ĥ p m + mω x 5 Ĥ n ϵ n n 6 ϵ n ω n + 7 Nun soll ds gestörte System mit dem Hmiltonopertor Ĥ Ĥ + V 8 betrchten werden, wobei: V λ x 9 λ >.. Berechnen Sie die Energieverschiebungen in. und. Ordnung Störungstheorie.. Vergleichen Sie die Ergebnisse mit dem exkten Resultt.. D die ungestörten Zustände { n } nicht entrtet sind, ist die Störungstheorie für nichtentrtete Zustände nzuwenden. In. Ordnung Störungstheorie ist die Energieverschiebung durch den Erwrtungswert des Störopertors mit den ungestörten Zuständen gegeben: E n n V n λ n x n λ n + mω Hierbei ist: n x n n â â + ââ + â â + ââ n mω n â â n + n ââ n + n â â n + n ââ n mω n n + n + n + + n n n n + n n n n + n n + n + n mω n + n + n n + + n n n n + n n n n + n + n + n n mω n n n + n + n n mω n + mω 4

5 In der. Ordnung Störungstheorie ist die Energieverschiebung gegeben durch: E n λ ω λ ω n V n ϵ n ϵ n n x n n n n mω n n n λ n n + n + n + + n n n n + n n n + n n + n 4m ω 3 n n [ λ n + n + n + n + ] 4m ω 3 + n n + n n λ m ω 3 n +. Der hrmonische Oszilltor Ĥ ergibt mit der Störung V wieder einen hrmonischen Oszilltor: Ĥ Ĥ + λ x p m + mω x mit ω ω + λ mω Für diesen Fll sind die exkten Energieeigenwerte beknnt: E n ω n + ω + λ mω n + 3 Die Störungstheorie entspricht einer Entwicklung nch Potenzen von λ: [ E n ω + λ ] mω λ m ω ϵ n + E n + E n Dies stimmt mit den Energieverschiebungen, welche störungstheoretisch berechnet wurden, überein. 5

6 5 Asymptotik von WKB-Wellenfunktionen Bestimmen Sie ds symptotische Verhlten der WKB-Wellenfunktion tief im klssisch verbotenen Bereich, lso im Grenzfll x, für. ds linere Potentil V x F x mit F >.. ds Potentil V x mω x des hrmonischen Oszilltors. Hinweise zu.: [ x dx x x ln x + x ] + C Entwickeln Sie den Integrnden in der Exponentilfunktion für große x Lösungsidee: Die ngegebenen Potentile in den llgemeinen Ausdruck für eine exponentiell bfllende WKB-Wellenfunktion ux N x exp κx mit κ m V x E einsetzen und die sich ergebenden Integrle uswerten. L ösung: x κx dx. Für ds linere Potentil V x F x mit F > ergibt die Auswertung des Integrls : m x Die WKB-Wellenfunktion lutet folglich: x F x Edx m ux N m F x E / exp m x/4 3F /4 exp F x3/ 3F m 3F F x E3/ F x E3/ Eine Änderung der unteren Integrtionsgrenze x liefert lediglich einen konstnten Fktor, der durch die Normierungskonstnte N kompensiert werden knn. Deswegen sei der Einfchheit hlber hier und im Folgenden ngenommen, dss x so gewählt ist, dss die Stmmfunktion von κ bei x verschwindet, sodss die untere Integrlgrenze keinen Beitrg liefert. 6

7 . Für ds Potentil des hrmonischen Oszilltors V x mω x knn unter Verwendung des ngegebenen Integrls geschrieben werden: N m ux exp mω x /4 E m mω x E mω mω N x E mω N x E mω exp exp { mω mω x E mω [ x x E mω E ]} mω ln x + x E mω Somit folgt: ux [ exp mω x x E ] ln x mω x E/ω / exp mω x Der Exponentilterm ht die erwrtete Form der Eigenfunktionen des hrmonischen Oszilltors. Dmit ds uch für den Vorfktor gilt, muss gelten: E n + ω Dies entspricht exkt der beknnten Energiequntisierung. 7