$Id: integral.tex,v /05/06 12:46:50 hk Exp hk $ 2. Trickreiches Herstellen einer Produktform, wie im Beispiel ln x dx.

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1 Mthemtik für Physiker II, SS 0 Freitg 6.5 $Id: integrl.tex,v.9 0/05/06 :46:50 hk Exp hk $ Integrlrechnung.3 Die Integrtionsregeln In der letzten Sitzung htten wir die prtielle Integrtion besprochen und uch einige Beispiele gerechnet. Dbei htten wir die drei typischen Rechentechniken bei Gebruch der Produktregel gesehen, nämlich:. Direktes Einsetzen, wie im Beispiel x cos x.. Trickreiches Herstellen einer Produktform, wie im Beispiel ln x. 3. Herleiten einer Gleichung für ds gesuchte Integrl durch in der Regel mehrfche Anwendung der Produktregel wie im Beispiel e x sin x. Wir kommen jetzt zur zweiten und vielleicht noch wichtigeren Integrtionsregel, die sogennnte Substitutionsregel, die mn us der Kettenregel gewinnen knn. Stz.3 Substitutionsregel) Seien I, J R zwei Intervlle, ϕ : J I eine stetig differenzierbre Funktion und f : I R eine stetige Funktion. Dnn gilt für lle, b J die Gleichung b fϕx))ϕ x) = ϕb) ϕ) fx). Beweis: Sei F : I R eine Stmmfunktion von f. Dnn gilt F ϕ) = F ϕ) ϕ = f ϕ) ϕ, und der Huptstz der Differentil und Integrlrechnung liefert b fϕx))ϕ x) = F ϕb)) F ϕ)) = ϕb) ϕ) fx). Dbei wird der Huptstz zuerst uf F ϕ und dnn noch einml uf f selbst ngewndt. Einige einfche Anwendungen sind b xe x = b x) e x = 7- b e x = e e b,

2 Mthemtik für Physiker II, SS 0 Freitg 6.5 oder b cos xe sin x = sin b sin e x = e sin b e sin. In diesen beiden Beispielen sieht mn direkt welche Funktion mn ls ϕ wählen sollte, d vor dem Exponentilterm im wesentlichen die Ableitung des Exponenten steht. Ein einfcher, ber besonders wichtiger, Spezilfll ist ds Umsklieren des Arguments, und dies meint ds die innere Funktion einfch ϕx) = x + b mit, b R, 0 ist. Die Substitutionsregel erhält dnn die Form v u fx + b) = v u fx + b) = Für jedes α R\{0} erhlten wir dmit beispielsweise v+b u+b fx). b sin αx = α αb α sin x = cos α cos αb α und b cos αt dt = sin αb sin α. α Für die unbestimmten Integrle schreibt sich dies ls sin αx = α cos αx, cos αx = sin αx. α Ein weiterer häufig uftretender Spezilfll sind Integrnden der Form f f. Wollen wir ff = g ϕ) ϕ schreiben, so können wir ϕ = f verwenden und für g nehme gx) = x. Dnn hben wir b ft)f t) dt = fb) f) x = fb) f) ), und für unbestimmte Integrle schreibt sich diese Formel ls fx)f x) = fx). Beispielsweise ist dmit sin x cos x = sin x. Alterntiv können wir dies uch über die trigonometrischen Additionstheoreme einsehen sin x cos x = sinx) = 4 cosx) = 4 + sin x. 7-

3 Mthemtik für Physiker II, SS 0 Freitg 6.5 Über diesen Weg lssen sich uch die beiden nderen Produkte von Sinus und Cosinus integrieren + cosx) cos x = = x + 4 sinx) = x + sin x cos x und sin x = cos x) = x cos x = x sin x cos x. Oft muss zur Anwendung der Substitutionsregel der Integrnd zuerst uf die Form fϕx))ϕ x) gebrcht werden, wie etw im folgenden Beispiel. Zu berechnen sei ds unbestimmte Integrl x mit einer reellen Konstnten > 0. Um den Integrnden in die Form der Substitutionsregel zu bringen, schreibt mn dnn x = sin t, und mcht die folgende formle Rechnung = cos t = = cos t dt. dt Setzt mn dies in ds Integrl ein, so wird cos x = sin t cos t dt = t cos t dt = cos t dt = t + sin t cos t) = t + sin t sin t) = x rcsin + ) x ) x = x ) rcsin + x x. Ds Teilergebnis cos t dt = t+sin t cos t)/ htten wir dbei bereits oben eingesehen. Bevor wir uns klrmchen ws diese Rechnung bedeutet und wrum sie funktioniert, schuen wir erst einml nch, ob überhupt ds richtige Ergebnis herusgekommen ist. Hierzu rechnen wir die Ableitung x rcsin ) + x ) x = + x x = x x x + x x x = x, und sehen, dss wir ttsächlich eine Stmmfunktion von x berechnet hben. Überlegen wir uns nun, wie die obige Rechnung gemeint ist. Wie schon früher erwähnt, ht ds Symbol in einem Integrl eine rein formle Bedeutung, es legt zum einen 7-3

4 Mthemtik für Physiker II, SS 0 Freitg 6.5 fest ws die Integrtionsvrible ist, und zum nderen beendet es den Integrlterm. Insbesondere wird ds Pr... syntktisch wie eine öffnende und eine schließende Klmmer behndelt. Es gibt kein reles Objekt. In heuristischen Überlegungen wird oftmls ls ein kleines Inkrement des Arguments x gedeutet, und dieser Stndpunkt knn zur Erklärung und Vernschulichung gewisser Ttschen durchus von Nutzen sein, ber wir wollen dies nicht verwenden. Insbesondere sind die obigen Rechnungen mit und dt nicht wirklich ernst gemeint. Aber wrum führen Sie dnn zum korrekten Ergebnis? Die Antwort druf wird die Substitutionsregel wie in Stz 3 sein, dies ist ber nicht unmittelbr klr. Überlegen wir uns lso einml ws in der obigen Rechnung geschh. Zu berechnen wr ein Integrl fx). Dnn wurde x ls eine Funktion von t geschrieben, lso x = ϕt). Die nschließende Rechnung mit und dt wird dnn zu dt = ϕ t) = = ϕ t) dt. Drufhin wurden x = ϕt), = ϕ t) dt in ds zu berechnende Integrl eingesetzt fx) = fϕt))ϕ t) dt und rechts tucht hier genu der Integrnd us Stz 3 uf. Um zu sehen ws es mit dem finlen Rückeinsetzen von x für t uf sich ht, sollte mn noch die Integrtionsgrenzen bechten. Wenn wir f über [, b] integrieren muss die rechte Seite über [ϕ ), ϕ b)] integriert werden. Ds unbestimmte Integrl, lso die Stmmfunktion, entsteht indem die obere Integrtionsgrenze ls Funktionsrgument t behndelt wird, und hierfür ϕ x) eingesetzt wird, ber dies bedeutet gerde t ls Funktion in x zu schreiben. Die gnze, dt Rechnung ist lso wirklich nur eine Nottion für die Anwendung der Substitutionsregel Stz 3, und es wird in Whrheit gr nicht mit und dt gerechnet. Trotzdem so zu tun mcht die Rechnung ber in der Regel einfcher, und dher sollte mn sich nicht scheuen diese Rechenmethode zu verwenden. Ein nderes Beispiel ist ds Integrl + e x. Hier setzen wir t = e x n, und hben lso uch dt = ex = t = = dt t + e = x 7-4 dt t + t)

5 Mthemtik für Physiker II, SS 0 Freitg 6.5 Um letzteres Integrl zu berechnen, verwenden wir jetzt noch die sogennnte Prtilbruchzerlegung tt + ) = t t +, und erhlten Wegen 0 dt + e = x t dt + t = ln t ln + t) = x ln + ex ). x ln + e x )) = ex + e = x + e x ist uch dieses Ergebnis wieder eine korrekte Stmmfunktion. Diese Rechnung unterscheidet sich etws von unserem Vorgehen im vorigen Beispiel, d wir diesml t ls Funktion von x und nicht x ls Funktion von t schreiben. Dies ist in Whrheit ber wieder genu dsselbe, nstelle von t = e x könnten wir genusogut x = ln t nsetzen. Insbesondere ist uch diese Rechentechnik wieder nur eine Schreibweise für die Substitutionsregel des Stz 3. Trotzdem gibt es hier eine kleine Feinheit zu bechten. Substituieren wir t = ψx), so muss die Funktion ψ umkehrbr sein, wir müssen j in der Lge sein dies zu x = ϕt) umzuschreiben. Streng genommen müsste sogr ψ wieder stetig differenzierbr sein, und wir müssten ψ x) > 0 oder ψ x) < 0 für lle x vorussetzen, ber diese Feinheit spielt in der Regel keine prktische Rolle. Wir wollen noch eine letzte kleine Anmerkung zur Substitutionsregel mchen. Der letzte Schritt bei der Berechnung eines unbestimmten Integrls mittels der Substitutionsregel ist ds Rücksubstituieren lso ds Ersetzen von t durch eine Funktion in x. Bei der Berechnung bestimmter Integrle ist dieses Einsetzen ber nicht nötig. Zum Beispiel hben wir in unserem obigen Beispiel ln + e = dt x tt + ) = ln t ) ln + t) 4 = ln ln 3 + ln = ln. 3 Die Änderung der Grenzen bei Substitution ist dbei wie in Stz 3 ngegeben, wenn x von x = 0 bis x = ln läuft, so durchläuft t = e x die Werte von t = e 0 = bis t = e ln =. Wir wollen nun noch ein llerletztes Beispiel unbestimmter Integrle besprechen, nämlich die Integrle cos n x mit n N. Hierbei wird ein neues Phänomen uftreten, ds wir bisher noch nicht gesehen hben, wir können ds Integrl nicht geschlossen usrechnen, sondern werden nur eine Rekursionsformel für diese Integrle herleiten. Im kleinen Fll n =, lso cos x hben wir bereits weiter oben cos x = x + sin x cos x 7-5

6 Mthemtik für Physiker II, SS 0 Freitg 6.5 gesehen. Nun nehme n > n. Mit prtieller Integrtion rechnen wir dnn cos n x = sin x cos n x + n ) = sin x cos n x + n ) sin x cos n x cos n ) x n ) cos n x. Diese Sitution kennen wir schon, wir können diese Formel ls eine Gleichung für cos n x uffssen, und diese durch cos n x = n sin x cosn x + ) n cos n ) x uflösen. Dies ist leider keine explizite Formel, sondern nur eine Rekursionsformel für diese Integrle. Kennen wir bereits ds Integrl cos n ) x für n sttt n, so erlubt es diese Formel uch ds Integrl cos n x für n selbst uszurechnen. D wir den Fll n = kennen, können wir durch einmlige Anwendung der Formel cos 4 x berechnen, durch nochmlige Anwendung kriegen wir cos 6 x, durch erneute Anwendung cos 8 x, und immer so weiter. Mit hinreichend viel Geduld können wir lso jedes der frglichen Integrle berechnen. Die Rekursionsformel erlubt es uns immerhin die prinzipielle Gestlt des Integrls cos n x zu erkennen. Wir strten für cos x mit einem lineren Term x/ plus sin x cos x ml /. In jedem weiteren Schritt kommt dnn ein Vielfches von sin x cos n x = sin x cos x cos n ) x hinzu. Wegen cos n ) x = cos x) n sollte ds n-te Integrl cos n x die Gestlt Linerer Teil + sin x Summe ungerder Potenzen von cos x ) hben. Diese Behuptung können wir noch etws expliziter mchen, und uch beweisen, wir behupten, dss es für jedes n N Zhlen A n R und Polynome Φ n von Grd n gibt so, dss cos n x = A n x + sin x cos x Φ n cos x) ist. Für n = ist dies klr mit A = / und Φ x) = /. Ist nun n >, und wissen wir bereits ds cos n ) x die obige Form ht, so hben wir mit unserer Rekursionsformel uch cos n x = n sin x cosn x + ) cos n ) x n = n sin x cos x cos x) n + ) A n x + ) sin x cos xφ n cos x) n n = A n x + sin x cos x Φ n x) 7-6

7 Mthemtik für Physiker II, SS 0 Freitg 6.5 wobei wir A n := ) A n, Φ n x) := n n xn + ) Φ n x) n setzen. Per Induktion hben wir unsere Aussge dmit bewiesen, und wir hben uch explizite Rekursionsformeln für die Zhlen A n und die Polynome Φ n. Die ersten dieser Zhlen und Polynome sind A =, Φ x) =, A = 3 4 A = 3 8, Φ x) = 4 x Φ x) = 4 x + 3 8, A 3 = 5 6 A = 5 6, Φ 3x) = 6 x Φ x) = 6 x x + 5 6, und für unsere Integrle bedeutet dies cos x = x + sin x cos x, cos 4 x = 3 8 x + sin x cos x 4 cos x + 3 ), 8 cos 6 x = 5 6 x + sin x cos x 6 cos4 x cos x + 5 ). 6.4 Integrtion rtionler Funktionen In diesem Abschnitt wollen wir die Integrtion rtionler Funktionen diskutieren. Es wird sich herusstellen ds sich die Stmmfunktionen rtionler Funktionen ls explizite Formeln hinschreiben lssen, die sich us rtionlen Funktionen, Logrithmen und Arcustngens Funktionen zusmmensetzen. Viele der einfchen Beispiele kennen wir bereits, nämlich x = ln x, x n = n n > ), xn = rctn x. + x Wir werden im folgenden schrittweise immer kompliziertere Typen rtionler Funktionen behndeln, bis wir letztendlich lle rtionlen Funktionen integrieren können. In jedem neuen Schritt werden wir die dbei zu berechnenden Integrle uf die bereits erledigten Fälle des vorigen Schritts zurückführen. Dbei strten wir mit den gerde eben ufgelisteten Integrlen. Durch Umsklieren erhlten wir us diesen für, b R mit 0 die unbestimmten Integrle x + b = ln x + b und x + b) = n n ) n > ). x + b) n Wir kommen jetzt zum nächst komplizierteren Typ rtionler Funktionen, und ls ein Beispiel wollen wir ds unbestimmte Integrl x 3 x + x + 4x + 4x + 7-7

8 Mthemtik für Physiker II, SS 0 Freitg 6.5 berechnen. Die Berechnung dieses Integrls erfolgt in zwei Schritten, und im ersten Schritt wollen wir es in ein rtionles Integrl mit demselben Nenner umformen in dem der Zähler kleineren Grd ls der Nenner ht, lso liner ist. Zu diesem Zweck müssen wir uns n die Ihnen schon us Schulzeiten beknnte Polynomdivision erinnern. Sind zwei Polynome f, g über K {R, C} gegeben, so wollen wir ds Polynom g eventuell mit Rest durch f teilen. Forml bedeutet dies ds wir ein Quotientenpolynom q über K und ein Restpolynom r über K suchen so, dss g = qf + r ist wobei der Grd von r echt kleiner ls der Grd von f ist grdr) < grdf). Nehmen wir hier den Zähler gx) = x 3 x + x + und den Nenner fx) = 4x + 4x + des obigen Integrls, so rechnen wir x 3 x + x + : 4x + 4x + = 4 x x 3 + x + 4 x) x x + x x ) 5 4 x + 3, und es ergeben sich Quotient und Rest ls qx) = 4 x 5, rx) = 4 x + 3. Mn knn leicht beweisen ds es zu beliebig vorgegebenen Polynomen g, f mit f 0 stets eindeutig bestimmte Polynome q, r mit g = qf + r und grdr) < grdf) gibt. Dies erlubt uns bereits eine erste Reduktion in der Integrtion rtionler Funktionen. Angenommen wir hben eine rtionle Funktion fx) = px)/qx) mit Polynomen p, q wobei q 0 ist. Wir wollen uns klrmchen ds es usreicht den Fll grdp) < grdq) zu behndeln. Teilen wir nämlich den Zähler p mit Rest durch den Nenner q, schreiben lso p = fq + r mit Polynomen f, r, grdr) < grdq), so ist px) qx) = fx)qx) + rx) = qx) fx) + rx) qx). Ds linke Integrl ist die Stmmfunktion eines Polynoms, dieses können wir lso leicht usrechnen und erhlten wieder ein Polynom. Ds rechte Integrl ist dgegen wieder ds Integrl einer rtionlen Funktion, ber diesml ist der Zählergrd echt kleiner ls der Nennergrd. In unserem Beispiel x 3 x + x + 4x + 4x + wird x 3 x + x + 4x + 4x + = 4 x ) 4x + 4x + ) x + 3 4x + 4x + und unter Verwendung von 4x + 4x + = x + ) ist dmit x 3 x + x + = 4x + 4x + 4 x ) x x = x + ) 8 x + = 4 x x + 3 4x + 4x x + 3 x + ).

9 Mthemtik für Physiker II, SS 0 Freitg 6.5 Zur Bestimmung des rechts stehenden Integrls bechte x+) ) = 4x+) = 8x+4. Steuern wir die Form f /f n, so wird 5 4 x + 3 x + ) 5 = 4 = 5 3 x + 5 x + ) lnx + ) ) = 3 8x x + ) x + ) ) = 5 6 ln x lso ist insgesmt x 3 x + x + = x 4x + 4x + 8 x ln x x +. x +, Diese Rechnungen legen eine weitere kleine Reduktion nhe. Ein von Null verschiedenes Polynom heißt beknntlich normiert wenn sein höchster Koeffizient gleich Eins ist, es lso die Form x n + ht. Wir können immer erreichen ds der Nenner einer rtionlen Funktion normiert ist, und durch Herusziehen der führenden Konstnte im Zähler knn mn sich uch uf den Fll beschränken ds der Zähler normiert ist. Wir wollen jetzt gnz llgemein unbestimmte Integrle der Form px) x ) n berechnen. Dbei sind n N und p ein beliebiges Polynom. Wir wissen schon, dss wir uns durch eventuelle Polynomdivision uf den Fll grdp) < n beschränken können und wenn wir wollen können wir uch p ls normiert vorussetzen. Diese Integrle knn mn uf verschiedene Weisen berechnen. Die einfchste Methode besteht drin px) ls ein Polynom in x zu schreiben, lso ein Polynom p vom selben Grd wie p zu finden ds px) = px ) erfüllt. Mn knn p ls eine explizite Formel hinschreiben, in I. 3.Lemm 8 hben wir dies sogr für llgemeine Potenzreihen getn, es ist ber meist einfcher dies direkt zu rechnen. Wie wir solch ein Polynom p berechnen, wollen wir in der nächsten Vorlesung behndeln. 7-9