Ferienkurs Experimentalphysik

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1 Ferienkurs Experimentlphysik Übung 1 Heisenberg sche Unschärfereltion Zeigen Sie, dss eine Messprtur beim Doppelspltexperiment, die den Durchgng eines Teilchens durch ein Loch detektieren knn, ds Interferenzmuster zerstört. Dbei ist der Abstnd der Splte, d der Abstnd zum Schirm und l der Abstnd zweier benchbrter Mxim. Lösung: Die mximle Unschärfe, um bestimmen zu können, durch welchen Splt ein Teilchen geflogen ist, ist y < Mit der Heisenberg schen Unschärfereltion ergibt sich die Impulsunschärfe in Y-Richtung y p y h p y h Aus der Unschärfe für den Impuls in Y-Richtung ergibt sich eine Unschärfe für ds Auftreffen des Teilchens uf dem Schirm: tn(α) = l d = p y p x l = d p y p x Dies läßt sich mit dem Impuls für Mteriewellen p = h/λ und p y Umformen zu l = d h λ h = d λ 1

2 p Δl α p x Δp y d Konstruktive Interferenz tritt uf bei sin(θ n ) = n λ, und zwei benchbrte Mxim d hben dbei den Abstnd l (siehe Optik): l = d sin(θ n+1 ) d sin(θ n ) = d λ < l Die Unschärfe des Teilchens uf dem Schirm ist lso größer ls der Abstnd zweier Mxim und es knn keine Interferenz uftreten. Ortswellenfunktion, Whrscheinlichkeitsinterprettion Die Quntenmechnische Wellenfunktion eines Teilchens sei gegeben durch Ne x ) Bestimmen Sie den Normierungsfktor N so, dss die Wellenfunktion uf 1 normiert ist. Wrum ist die Verwendung von normierten Wellenfunktionen notwendig für die Whrscheinlichkeitsinterprettion der Quntenmechnik? Welche Einheit ht die Wellenfunktion? b) Wie groß ist die Whrscheinlichkeit, ds Teilchen m Ort x = 0 zu finden? Wie groß ist die Whrscheinlichkeit, ds Teilchen im Intervll [, ] zu finden? Lösung: ) Dmit die Wellenfunktion normiert ist, muss gelten: dx Ψ(x) = dx = N ( Ne x ) [ + = N dx e x = N e x ] 0 = N! = 1 0 dx e x =

3 lso (bis uf einen konstnten Phsenfktor) N = 1 () und die normierte Wellenfunktion lutet 1 e x Der Normierungsfktor ist notwendig, um (wie in der Vorlesung erwähnt) Ψ ls Whrscheinlichkeitsdichte interpretieren zu können. Über den gesmten Rum intergriert muss sie 1 ergeben, d sich ds mit ihr ssoziierte Teilchen irgendwo im Rum befinden muss. D Ψ eine ein-dimensionle Whrscheinlichkeitsdichte mit der Dimension 1/m ist, muss Ψ selbst die Dimension 1/ m hben. b) Die Whrscheinlichkeit ds Teilchen exkt n einem gegebenen Ort zu finden ist null. Die Whrscheinlichkeit W ds Teilchen im Intervl [, ] zu finden ist W = 1 dx e x () = Bemerkung: Ds Ergebnis ist unbhängig von! 0 dx e x = 1 e = Erwrtungswert des 1-d hrmonischen Oszilltors ) Berechnen Sie den Erwrtungswert für den Opertor des ein-dimensionlen hrmonischen Oszilltors Ĥ = ˆp m + mωˆx mit Hilfe der Wellenfunktion Ψ λ (x) = Ae λx b) Minimieren sie ds Ergebnis hinsichtlich λ und zeigen sie, dss mn die Grundzustndsenergie E 0 des hrmonischen Oszilltors für λ = λ min erhält. Ws stellt Ψ λmin Tipp: dr? dx π e x = 1 Lösung: ) Zunächst muss die Wellenfunktion normlisiert werden. Anlog zur vorheri- 3

4 gen Aufgbe und unter Verwendung des Tipps ergibt sich A = ( ) 1/4 λ π Dnch wird der Erwrtungswert Ĥ = E λ = ΨĤΨ berechnet (d Ψ reell ist, gilt Ψ = Ψ) ( ) 1/ λ + [ E λ = dx e λx d π m dx + 1 ] mω x e λx = ( ) 1/ λ + [ = dx e λx π m (4λ x λ) + 1 ] mω x = = geschickt zusmmen fssen, prtiell intergrieren und Tipp usnutzen = = ( m 4λ + 1 ) 1 mω 4λ + m λ = = 1 8 mω 1 λ + m λ Eine Minimierung der Energie führt zu de λ dλ = mω + λ min m Eingesetzt in E λ ergibt sich für die Energie! = 0 λ min = mω E λmin = 1 mω 8 mω + mω m = 1 ω Dies ist die Grundzustndsenergie und die zugehörige Wellenfunktion Ψ λmin Grundzustndseigenfunktion. ist die 1-d Potentilbrriere Ein Teilchen der Msse m und Energie E bewege sich von links in uf eine ein-dimensionle Potentilbrriere V (x) zu. { 0 V (x) = V 0 für x 0 ) Wie lutet die llgemeine Lösung der zeitunbhängigen Schrödingergleichung für den Bereich < x < für ein Teilchen mit Energie E > V 0 b) Berechnen Sie die Reflektions- und die Trnsmissionswhrscheinlichkeit. 4

5 c) Nun bewege sich ein Teilchen der Msse m und Energie E > V 0 uf eine bfllende Potentilstufe zu, die gegeben ist durch V (x) = { V0 für x 0 0 für x > 0 Berechnen Sie die Reflektionswhrscheinlichkeit. d) Wie lutet die llgemeine Lösung der zeitunbhängigen Schrödingergleichung für den Bereich < x < für ein Teilchen mit Energie E < V 0, dss sich im gleichen Potentil wie in ) bewegt? e) Ws ist jetzt die Reflektionswhrscheinlichkeit? Lösung: ) Der (sehr) llgemeine Anstz Ae iqx + Be iqx liefert ) ( d m dx + V Ψ = EΨ bzw. d Ψ dx = m (E V )Ψ = q Ψ Ds Potentil teilt den Rum in Region I (V = 0) und Region II (V = V 0 ), sodss { d Ψ q dx = 1 Ψ qψ für x 0 mit q 1 = me und q = m(e V0) und sich für die llgemeine Lösung { Ae iq 1 x + Be iq 1x Ce iqx + De iq x für x 0 In dieser llgemeinen Lösung sind noch physiklisch nicht sinnvolle Terme enthlten. Geht mn dvon us, dss die Welle von links kommt und n teilweise reflektiert und teilweise trnsmittiert wird, muss D = 0 sein. Wäre D 0 würde sich ds Teilchen uch von rechts n die Brriere nnähern. Mn erhält: { Ae iq 1 x + Be iq 1x Ce iqx für x 0 Aus der Stetigkeitsbedingung für Ψ und dψ/dx bei x = 0 folgt Ψ I (0) = Ψ II (0) A + B = C dψ I (0) = dψ II(0) q 1 A q 1 B = q C dx dx 5

6 Löst mn diese Gleichungen nch B bzw. C ls Funktion von A uf, erhält mn B = q 1 q A = E1/ (E V 0 ) 1/ q 1 + q E 1/ + (E V 0 ) A = 1 1 V0 /E 1/ V 0 /E A C = q 1 q 1 + q A = E 1/ E 1/ + (E V 0 ) 1/ A = V 0 /E A obda sei A = 1 und ls Lösung der SG ergibt sich e iq1x V 0 /E 1+ 1 V 0 /E e iq 1x 1+ 1 V 0 /E eiq x für x 0 b) Die Lösungen für B und C stellen die reltiven Amplituden der reflektierten und der trnsmittierten Welle dr. Die Reflexions- und die Trnsmissionswhrscheinlichkeit sind die Verhältnisse der Betrgsqudrte der reltiven Amplituden zum Betrgsqudrt der Amplitude der einfllenden Welle (im Flle der Trnsmission muss ußerdem noch der Unterschied der Wellenvektoren q 1 und q berücksichtigt werde): R = B A = ( q1 q ) A=1 = B q 1 + q T = q C q 1 A = 4q 1q A=1 = q C (q 1 + q ) q 1 R + T = 1 (nschulich wegen Energieerhltung klr) Überrschend ist hierbei, dss die Reflexion ungleich null ist. Ein pr Teilchen werden lso n der Brriere reflektiert, ws klssisch nicht zu erwrten wäre. Außerdem hängt R nur vom Differenzqudrt von q 1 und q b, d.h. ein Teilchen, dss n eine umgekehrte Potentilbrriere (Potentilstufe nch unten) kommt, ht die gleiche Reflexionswhrscheinlichkeit! c) Die Reflexionswhrscheinlichkeit ist gleich der in b). d) Der gleiche Anstz wie in ) liefert { Ae iq 1 x + Be iq 1x De q x für x 0 mit q 1 = me m(v0 E) und q =. Dbei ist zu bechten, dss sich ds Vorzeichen der Energie E = E V 0 des Teilchen im Potentil V 0 ändert. Außerdem wird die Welle nicht trnsmittiert (C = 0), sondern klingt exponentiell in die Brriere hinein b (D 0). 6

7 Die Stetigkeitsbedingung für Ψ und dψ/dx bei x = 0 ergibt A + B = D A B = iq q 1 D und mn erhält D durch Addition und B durch Substrktion der beiden Gleichungen. e) obda sei A = 1 und dmit ist R = B D = A = 1 + iq /q i V 0 /E 1 A B = 1 iq /q 1 A = 1 i V0 /E iq /q i V 0 /E 1 A R = B = BB = 1 i V 0 /E i V 0 /E i V0 /E 1 1 i V 0 /E 1 = 1 (1) Die einfllende Welle wird lso vollständig reflektiert. Trotzdem gibt es eine von null unterschiedliche Aufenthltswhrscheinlichkeit der Welle in der Brriere. 7