Grundlagen der Physik 3 Lösung zu Übungsblatt 10

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1 Grundlgen der Physik 3 Lösung zu Übungsbltt Dniel Weiss 5. Dezember Inhltsverzeichnis Aufgbe - Dynmik im Kstenpotentil Aufgbe - Minimlenergie des hrmonischen Oszilltors 3 Aufgbe 3 - Näherung relistischer Potentile 4 Konstnten im Lennrd-Jones-Potentil b Approximtion mit Oszilltorpotentil c Beispielwerte Aufgbe 4 - Orthonormle Bsisfunktion im Kstenpotentil 6 Aufgbe Zunächst einml stellen wir die Wellenfunktion Ψx uf, welche ds Elektron im unendlich hohen Kstenpotentil beschreibt. Die eindimensionle, sttionäre Schrödingergleichung lutet: m x + E pot Ψx = EΨx Auÿerhlb des Kstens geht die potentielle Energie ins Unendliche; ds Teilchen knn dort lso nicht existieren. Innerhlb des Kstens gilt E pot =, sodss sich die Schrödingergleichung ein wenig vereinfcht: Mit dem Anstz Ψx = EΨx m x Ψx := Be ikx 3

2 folgt ls llgemeine Lösung: mit Em = k = nπ Dbei wurden die Rndbedingungen Ψx = A e ikx e ikx 4 5 Ψ = Ψ = 6 benutzt. Die Konstnte A wird über die Normierungsbedingung bestimmt A = Ψ xψx dx =! A A = A = A 3 = i A 4 = i Es gibt lso 4 Konstnten, die die Normierungsbedingung erfüllen. Rechne im Folgenden mit A 4, d diese nch Umschreiben in eine Sinusfunktion eine schöne reelle Normierungskonstnte ergibt. Vor vergröÿern des Potentiltopfes ist ds Elektron im Grundzustnd Ψ x = i e ikx e ik x 8 Anschlieÿend gibt es unendlich viele mögliche Zustndsfunktionen Ψ nx. Ψ nx = i e ik x e ik x 9 4 D beide Wellenfunktionen ntisymmetrisch sind, knn eine durch eine unendliche Fourierreihe der nderen vollständig usgedrückt werden. Ψ x = γ n Ψ nx n= Wir nehmen diese Beziehung und setzen sie in die Normierungsbedingung von vorher ein: = = = = Ψ xψ x dx γnψ n xγ n Ψ nx dx n= 7 γnγ n Ψ n xψ nx dx = wg. Normierungsbed. γnγ n n= n=

3 Oensichtlich ist lso γnγ n = P n die Whrscheinlichkeit, mit der ds Elektron sich im Zustnd n bendet. Wende lso die Fouriertrnsformtion n, um die Vorfktoren γ n zu bestimmen: γ n = Ψ xψ nx dx = = e ixk +k + e ixk k + e ixk k e ixk +k dx = 8 [ = cos k k x cos [ k + k x dx = [ [ = π nπ sin π nπ x [ π + nπ sin π + nπ x = = [ π nπ sin π nπ π + nπ sin π + nπ Die Whrscheinlichkeit für den Zustnd n ist demnch: P n = γnγ n = [ π nπ sin π nπ π + nπ sin π + nπ 3 So steht es in der Aufgbenstellung ls Lösung. Es knn jedoch mit sin π nπ nπ = sin sin π + nπ nπ = sin ein wenig vereinfcht werden: P n = [ P n = [ π nπ π n π + π + nπ sin nπ sin nπ Aufgbe Ausgehend von der Heiÿenbergschen Unschärfereltion x p 7 drücken wir die Ortsunschärfe durch die Impulsunschärfe us x p 8 3

4 Die Gesmtenergie der Feder setzt sich us potentieller und kinetischer Energie zusmmen und ist nch dem Energieerhltungsstz konstnt. Die Energieunschärfe ist demnch: Mit Gleichung 8 folgt: E = p Dx + = konst. 9 m pot. Energie kin. Energie E = D x + p m E = D x + 8 x m Dbei wurde in der letzten Gleichung die kleinstmögliche Ortsunschärfe in Abhängigkeit der Impulsunschärfe eingesetzt; schlieÿlich soll die kleinste Energieunschärfe bestimmt werden. Nun muss ds Minimum dieser Gleichung bestimmt werden: d E d x = D x 8 x 3 m D x = x =! = 8 x 3 m Dm Diese Extremlstelle eingesetzt in die Gleichung der Energieunschärfe von oben liefert die minimle Energieunschärfe E min = D Dm + Dm 8 m = D m = ω 3 Dbei wurde die us den Lösungen der Dierentilgleichungen des hrmonischen Oszilltors bereits beknnte Beziehung für die Winkelgeschwindigkeit benutzt: ω = D m 4 Aufgbe 3 Der Anstz für ds Lennrd-Jones-Potentil ist Ur = Ar n + Br m 5 4

5 Dieses soll n der Stelle r ein Minimum mit dem Wert U hben. Es gilt lso Aus Gleichung 7 folgt für B: = U r = nar n+ mbr m+ 6 U = Ur = Ar n + Br m 7 B = U r m Dies in Gleichung 6 eingesetzt liefert für A: Dmit knn nun B genuer bestimmt werden: + Ar m n 8 A = U n m rn 9 B = U m r m 3 n b Ds Oszilltorpotentil ht die Form einer Prbel. Im Allgemeinen lässt es sich ls V = Cr r + U 3 nschreiben V steht für die potentielle Energie des Oszilltors. Dieses soll nun n der Stelle r exkt dem Lennrd-Jones-Potentil entsprechen und in näherer Umgebung dieses möglichst gut pproximieren. Die erste Ableitung dieses Potentils muss demnch n der Stelle r uch sein. Weiterhin setzen wir vorus, dss die zweite Ableitung ebenflls der des Lennrd-Jones-Potentils im Punkt r entspricht. D die zweite Ableitung ein Mÿ der Änderung der ersten Ableitung, oder uch der Krümmung der Kurve ist, verpssen wir dmit dem Oszilltorpotentil die ähnlichst-mögliche Form zum Lennrd-Jones-Potentil. V r = C 3 U r = nn + Ar n+ + mm + Br m+ = = mnu r = C 33 c Einsetzen der Werte liefert mit ls Ergebnis: ω = C m 34 E = ω = 8,84 9 J = 5,5eV 35 Die Gleichung der Energie E wurde bereits in Aufgbe hergeleitet. 5

6 Aufgbe 4 Wir nehmen die Wellenfunktion, die bereits in Aufgbe hergeleitet wurde sei die Länge des Potentiltopfes Ψ n x = sink nx 36 und bilden ds Sklrprodukt mit Ψ m x: Ψ nxψ m x d x = sink n x sink m x d x 37 D die Wellenfunktion in der Aufgbenstellung uch von der Zeit bhängt, ber nur nch x integriert wird, knn der Zeitnteil herusgezogen werden: Ξ x, tξx, t d x = Ξx, t =: ΨxΦt 38 = At Ψ xψx Φ tφt d x = 39 =:At Ψ xψx d x 4 Im Folgenden betrchten wir nur den Integrnden, der für die Betrchtung der Orthogonlität usreichend ist. Wie in Aufgbe gezeigt, lässt sich Gleichung 37 folgendermÿen schreiben wobei nur bis zum Rnd des Potentiltopfes integriert wird: Die Argumente der Kosinus sind: Für den Fll, dss n = m ist, gilt: Es ist lso hier: cos[k n k m x cos[k m + k n x d x 4 k n k m x = n m π x =: D 4 k n + k m x = n + m π x =: E 43 D = 44 E = n π x 45 cos cos nπ x d x = x nπ nπ sin x }{{ } = = 46 6

7 Für den Fll, dss n m: D = dπ x E = d + mπ x mit d := n m. Nun gilt: cos dπ x cos d + mπ x d x = 49 Hier wurde verwendet: cos d + mπ x = [ e id+mπ x + e id+mπ x = = [ e idπ x e imπ x + e id+mπ x e imπ x = = e idπ x e imπ = x + e idπ x e imπ = = cos x = dπ x 5 7