QFT entfernt den Shift

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Dennis Beckenbauer
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1 QFT entfent den Shift Lemma Entfenen des Shifts duch QFT QFT m z,b = 1 1 e 2πi b l ml Beweis: Es gilt QFT m z,b = 1 m m 1 1 m 1 m 2 y=0 l=0 k=0 QFT m k + b Umfomung liefet m 1 k=0 k+b e2πi m y y Wi ziehen den vom Shift b abhängigen Tem aus de 1 Summe 1 m 1 by m 2 y=0 e2πi m m 1 ky k=0 e2πi m y by 2πi Fü y = ml, l Z ehalten wi e m = e 2πi b l und e 2πi ky m = 1 Dies liefet sofot die gefodete obige Fomel Übungsaufgabe: Rechnen Sie nach, dass fü m y gilt m 1 k=0 ( e 2πi y m ) k = 0 Dh die estlichen Amplituden heben sich gegenseitig auf QA - Volesung Finden de Peiode, Gaußalgoithmus, Sho s Algoithmus, Faktoisieen 20 / 30

2 Finden de Odnung von 2 in Z 15 Beispiel: Finden de Peiode von 2 in Z 15 Gegeben: Z 15 = 8 Gesucht: od Z 15 (2) Sei f (x) = 2 x mod 15 mit evesible Einbettung U f Auf wid H 3 I 3 und U f angewendet Dies liefet x=0 x 2x mod 15 = 1 8 ( ) Angenommen wi messen 2 im echten Teil Dann steht in den esten 3 Qubits de peiodische Zustand z 4,1 = 1 ( ) 2 QFT 8 ( z 4,1 ) = l=0 e2πi 1 4 l 2l = 1 2 ( 0 + i 2 4 i 6 ) 6 Bei Messung von 6 ehalten wi Z 15 = 3 4 De Nenne impliziet 4 od(2) Wi püfen 2 4 = 1 mod 15 QA - Volesung Finden de Peiode, Gaußalgoithmus, Sho s Algoithmus, Faktoisieen 21 / 30

3 Finden de Peiode ohne Vielfachheit Poblem Finden de Peiode Gegeben: n, peiodische Zustand z,b = 1 m k 0 k+b<2 n k + b mit m 2n, so dass z,b ein Einheitsvekto ist Gesucht: Idee de Lösung: Es gilt QFT 2 n( z,b ) = 1 2 n by 1 m2 n y=0 e2πi 2 n m 1 k=0 k e2πi e2πi k 2 n y y Amplitude m 1 2 k=0 n y wid goß, falls y nahe einem Vielfachem von 2n ist Wi zeigen y 2n l 1 2 fü ein l Z mit hohe Ws Wegen 2 n 2 folgt damit y 2 l n n 2 2 Damit kommt l in de Kettenbuchentwicklung von y 2 vo n Zeigen altenativ, dass man gcd(l 1,) mittels Gitten finden kann 2 Duchgänge des Algoithmus liefen 1 = gcd(l 1,), 2 = gcd(l 2,) Mit Ws 6 gilt = kgv( π 2 1, 2 ) QA - Volesung Finden de Peiode, Gaußalgoithmus, Sho s Algoithmus, Faktoisieen 22 / 30

4 Messung von y Lemma Gemessenes y appoxiet Vielfaches von 2n Mit Ws mindestens 4 04 ehalten wi ein y mit π y 2n 2 l 1 2 Beweisskizze: Sei y l = 2n l + δ l fü δ l 1 2 und p(y l) = 1 m 1 k m2 n k=0 e2πi 2 n y l 2 Fü die Beechnung von p(y l ) tägt nu de Tem δ l bei Übung: m2 n p(y l ) = Wegen m 2n e2πi 2 n mδl 2 1 e 2πi = sin2 (π 2 n mδ l ) 2 n δl 1 sin 2 (π 2 n δ l ) und sin(x) x fü kleine x ehalten wi p(y l ) 1 ( sin(πδl ) m2 n π ) 2 2 n δ 1 l ( sin(πδl ) Es gilt sin(x) 2 π x fü x [0, π 2 ], dh p(y l) 1 πδ l ) 2 ( 2 π πδ l πδ l ) 2 = 1 4 π 2 Ws gilt fü alle p(y l ) mit l Z, dh wi messen ein y mit Ws 4 π 2 QA - Volesung Finden de Peiode, Gaußalgoithmus, Sho s Algoithmus, Faktoisieen 23 / 30

5 Beechnen von /gcd(l, ) Lemma Beechnen von l und Sei y Z mit y 2n l 1 2 und l Z, 2 2 n Dann kann Zeit O(n 2 ) beechnet weden gcd(l,) in Beweisskizze: Es gilt y 2 n l = x fü ein x Z mit x 2 Seien, l, x die duch gcd(l, ) geküzten Unbekannten, l, x Definieen f (, x ) = y x mit f (, x ) = 0 mod 2 n f ist modulaes lineaes Polynom mit Nullstelle (, x ), so dass x 2 2n 1 Volesung Kyptanalyse:, x weden in Zeit O(n 2 ) gefunden, sofen ( x kleine ) als de Modul 2 n ist 1 y Sei B = 0 2 n Dann gilt (, l ) B = (, x ) t und (, x ) ist eine küzeste ganzzahlige Lineakombination von Vektoen aus B Dh ein küzeste Vekto liefet = gcd(l,) QA - Volesung Finden de Peiode, Gaußalgoithmus, Sho s Algoithmus, Faktoisieen 24 / 30

6 Gaußalgoithmus Definition Gitte Sei B Z 2 2 Wi bezeichnen mit L(B) = {x Z 2 ab = x, a Z 2 } das von den Vektoen von B aufgespannte Gitte Wi vewenden fü die Länge von Gittevektoen x = (x 1, x 2 ) die l 2 -Nom x = x 1 + x 2 Algoithmus Gaußalgoithmus ( ) b1 EINGABE: Basis B = Z 2 2 b 2 1 Subtahiee vom längeen Basisvekto ein ganzzahliges Vielfaches des küzeen Basisvektos, das die Nom minimiet 2 Vetausche die beiden Vektoen 3 Iteiee Schitte 1+2 solange sich die Nom in Schitt 1 veküzt AUSGABE: Reduziete Basis QA - Volesung Finden de Peiode, Gaußalgoithmus, Sho s Algoithmus, Faktoisieen 25 / 30

7 Gaußalgoithmus liefet küzeste Vektoen Fakt Gaußalgoithmus De Gaußalgoithmus liefet bei Eingabe eine Basis B mit maximalem Basiseintag b m in Zeit O(log 2 b m ) eine eduziete Basis mit küzestem Gittevekto in L(B) QA - Volesung Finden de Peiode, Gaußalgoithmus, Sho s Algoithmus, Faktoisieen 26 / 30

8 Sho s Algoithmus (1994) Algoithmus Sho s Algoithmus zum Finden de Odnung EINGABE: a, N 1 Benötigen 2 n N 2 φ 2 (N), dh wähle n = 2 log N 2 Sei U f die evesible Einbettung von f (x) = a x mod N 3 Wende auf 0 n 0 n zunächst H n I n dann U f an Liefet 1 2 n 1 2 n x=0 x ax mod N = ( 1 ) 1 m 1 b=0 2 n k=0 k + b a b mod N 4 Messen de hinteen n Registe liefet in den esten n Registen z,b = 1 m 1 m k=0 5 Beechne QFT 2 n( z,b ) und messe ein y 1 6 Wiedehole Schitte 1-5 fü ein y 2 7 Beechne 1 = gcd(l 1,), 2 = k + b gcd(l 2,) aus y 1, y 2 mit Gauß-Alg 8 Beechne = kgv( 1, 2 ) Falls a 1 mod N, Ausgabe Fehle AUSGABE: = od ZN (a) QA - Volesung Finden de Peiode, Gaußalgoithmus, Sho s Algoithmus, Faktoisieen 27 / 30

9 Finden de Odnung von 2 in Z 21 Beispiel: Finden de Peiode von 2 in Z 21 Wähle de Einfachheit halbe nu n = 6 Wi ehalten 63 x=0 x 2x mod 21 = 1 8 ( ) Messung von 4 im echten Teil liefet im linken Teil z 6,2 = i=0 10k + 2 QFT 2 6( z 6,2 ) und Messung liefet ein y = 11l mit Ws 4 π 2 Bei Messung von y = 11 1 ehalten wi die Gittebasis ( ) 1 11 B = 0 64 Gaußalgoithmus liefet küzesten Vekto (6, 2) = (, x) in L(B) Wi püfen 2 = 2 6 = 1 mod 21 QA - Volesung Finden de Peiode, Gaußalgoithmus, Sho s Algoithmus, Faktoisieen 28 / 30

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Motivation Phasenbestimmung Problem Spezialfall der Phasenbestimmung Gegeben: Zustand z = 1 n y {0,1} n( 1)x y y Gesucht: x F n Für n = 1 ist der Zustand z = 1 ( 0 + ( 1) x 1 ) = H x. Es gilt H z = x,