Diskrete Strukturen Klausur

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1 Technische Univesität München Winte 2017/18 Pof. J. Esaza / D. M. Luttenbege, S. Sicket Diskete Stuktuen Klausu Beachten Sie: Soweit nicht andes angegeben, ist stets eine Begündung bzw. de Rechenweg anzugeben! Aufgabe 1 5P Gegeben sind die beiden folgenden aussagenlogischen Fomeln F 1 und F 2: F 1 : ( ) ( ( )) F 2 : ( ) (a) Zeichnen Sie zu beiden Fomeln den zugehöigen Syntaxbaum. (b) Tabellieen Sie beide Fomeln entsechend de Volesung in Wahheitstabellen. Halten Sie sich stikt an das folgende Fomat (sonst Punktabzug bzw. 0 Punkte): Entsechend den Übungen eicht es in jede Zeile fü jede Teilfomel H, nu ihe linke Teilfomel auszuweten, falls sich de Wahheitswet von H hieduch beeits eindeutig egibt. (c) Stellen Sie sowohl F 1 als auch F 2 als KV-Diagamme da. Halten Sie sich stikt an das folgende Fomat (sonst Punktabzug bzw. 0 Punkte): (d) Übefühen Sie F 1 nu unte Vewendung semantische Äuivalenzen entsechend dem Vefahen aus de Volesung in eine semantisch äuivalente Fomel in KNF. Neben Kommutativität, Assoziativitiät und Distibutivität von und, den Regeln nach de Mogan und das Entfenen von Doelnegationen düfen nu die folgenden Äuivalenzen benutzt weden: F G F G F G (F G) ( F G) F G (F G) (F G) (e) Stellen Sie eine zu F 2 efüllbakeitsäuivalente Fomel F 2 in KNF auf, indem Sie entsechend de Volesung geeignet Hilfsvaiablen einfühen. Zeigen Sie exlizit, dass F 3 : (F 2 F 2) efüllba, abe nicht gültig ist. Einneung : In de Volesung und den Übungen haben Sie folgende Äuivalenzen hegeleitet: (A (B C)) (A B) (A C) ( A B C) und (A (B C)) (A B C) ( A B C) ( A B C) (A B C) (a) Syntaxbäume:

2 (b) Wahheitstabellen: (c) KV-Diagamme: (( ) ( ( ))) ( ( )) (d) KNF zu F : F (( ) ( )) ( ( )) (( ) ( )) (( ) ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) (e) Einfühen von Hilfsvaiablen X 1, X 2 fü die inneen Knoten des Syntaxbaums: Umfomen mit den zwei gegebenen Äuivalenzen egibt: F 2 e X 1 (X 1 ( X 2)) (X 2 ( )) F 2 e X 1 (X 1 ) (X 1 X 2) ( X 1 X 2) (X 2 ) ( X 2 ) ( X 2 ) (X 2 ) : F 2 Efüllende Belegung zu F 2 F 2: β() β() β() 0, β(x 1) β(x 2) 1 Nicht efüllende, abe assende Belegung: β() β() β() 0, β(x 1) β(x 2) 0 Aufgabe 2 3P Vewenden Sie aussagenlogische Resolution, um zu entscheiden, ob folgende Klauselmenge unefüllba ist. {{, }, {, }, {, }, {, }, {, }, {,, }, {,, }} Sollte sich die leee Klausel ableiten lassen, eicht es, eine Resolution gahisch entsechend de Volesung dazustellen. {, } {,, } {, } {, } {, } {, } {, } {, } {} { } {} Aufgabe 3 4P Sei G die Menge de zusammenhängenden lanaen Gahen, in denen alle Knoten Gad 3 haben und jede Fläche (auch die äußee Fläche) von genau 5 Kanten umandet ist. Zeigen Sie, dass alle Gahen in G dieselbe Anzahl α an Flächen haben, und bestimmen Sie diese Anzahl α.

3 Sei G (V, E) ein solche Gah und sei f die Anzahl de Flächen von G. Da alle Knoten Gad 3 haben gilt 2 E v V deg(v) 3 V. Da alle Flächen von genau 5 Kanten umandet sind, gilt 2 E 5f und so V 5f. Damit gilt 3 f E + V f 5f 2 + 5f 3 f 6 Nach de Euleschen Polyedefomel gilt fü einen lanaen zusammenhängenden Gahen f E + V 2 Somit gilt f 6 2 und α f 12. Aufgabe 4 6P Begünden Sie jeweils kuz (z.b. duch Angabe eines assenden konketen Gegenbeisiels ode duch Nennung und Vewendung eines Resultats aus de Volesung), ob (a) jede einfache Gah mit Gadfolge (3, 3, 3, 3, 4, 4) einen Hamilton-Keis besitzt. (b) jede einfache Gah mit Gadfolge (1, 1, 1, 2, 2, 2, 3) ein Baum ist. (c) jede einfache Gah mit Gadfolge (2, 2, 2, 2, 2, 2, 6) deifäbba ist. Beachten Sie, dass eine Begündung velangt ist. Ein einfaches ja ode nein wid mit 0 Punkten bewetet. Sie düfen annehmen, dass jede de genannten Gadfolgen ealisieba ist. (a) Ja, da laut Volesung (Abschnitt: Hamiltonkeise) ein Hamilton-Keis existiet, falls (1) V 3 und (2) v V : deg(v) V 2 gilt. Die gegebene Gadfolge efüllt dieses Kiteium, da V 6 und v V : deg(v) 3, und somit hat jede Gah mit de gegebenen Gadfolge einen Hamilton-Keis. (b) Nein, da de efekte Tenäbaum de Höhe 1 neben einem ungeichtetem Keis C 3 die gegebene Gadfolge hat, abe kein Baum ist. (c) Ja, da alle Gahen, die die Gadfolge ealisieen, zu dem folgenden Gahen isomoh sind, da de Knoten vom Gad 6 mit jedem andeen Knoten vebunden sein muss und damit dann je zwei de vebleibenden Knoten benachbat sein müssen. Man ehält also einen deiblättiges Kleeblatt, das man diekt mit dei Faben fäben kann, indem man die Knoten {1, 3, 5} mit 1, {2, 4, 6} mit 2 und 7 mit 3 fäbt Aufgabe 5 6P Zum Valentinstag haben Sie m Valentinskaten fü Ihe n Lebensabschnittsentitäten gekauft mit m n. Sie sind natülich daan inteessiet, wie viele veschiedene Möglichkeiten es gibt, diese m Katen auf diese n Entitäten zu veteilen (jede Kate kann natülich nu einmal vewendet weden; wi inteessieen uns nu dafü, welche Kate schließlich bei welche Entität landet). Geben Sie jeweils einen möglichst einfachen aithmetischen Ausduck (zzgl. kuze Begündung) fü die Anzahl de Möglichkeiten unte Vewendung de in de Volesung eingefühten Zählkoeffizienten (Binomialkoeffizienten, Stilingzahlen, etc.) an, wenn (a) jede Entität mindestens eine Kate ehalten soll und alle Katen vesendet weden sollen und (i) nu Katen unteschieden weden, Entitäten jedoch ununtescheidba sind. (ii) nu Entitäten unteschieden weden, Katen jedoch ununtescheidba sind. (b) jede Entität mindestens eine Kate ehalten soll, jedoch nicht alle Katen vesendet weden müssen und nu Entitäten unteschieden weden, Katen jedoch ununtescheidba sind. (c) jede Entität mindestens zwei Katen ehalten soll und alle Katen vesendet weden sollen und nu Katen unteschieden weden, Entitäten jedoch ununtescheidba sind. Nehmen Sie in diesem Fall an, dass Sie m 17 Valentinskaten fü Ihe n 7 Lebensabschnittsentitäten gekauft haben. Einneung : In den Übungen haben Sie gesehen, dass die Anzahl de Äuivalenzelationen übe [N], welche genau λ i viele i-elementige Äuivalenzklassen besitzen, geade duch gegeben ist. N! λ 1!λ 2! λ N!(1!) λ 1 (2!) λ 2 (N!) λ N

4 Jede Entität soll mindestens eine Kate ehalten (d.h. eine Zuondung f : [m] [n] muss sujektiv sein) und (a) alle Katen vesendet weden soll und d.h. eine Zuondung f : [m] [n] muss total sein (i) nu Katen unteschieden weden, Entitäten jedoch ununtescheidba sind. D.h. die Bilde sind egal, es wid nu die duch die Zuodnung f induziete Äuivalenzelation auf [m] (da total) betachtet, welche genau n Klassen (da sujektiv) besitzt. { {f 1 (1),..., f 1 (n)}: f : [m] [n] suj.} Sm,n (ii) nu Entitäten unteschieden weden, Katen jedoch ununtescheidba sind. D.h. die genauen Ubilde sind egal, es wid nu die Anzahl de an jede Entität veteilten Katen gezäht (insgesamt m, da total), d.h. man betachtet veteilt m Stiche auf n Kategoien, welche mit n 1 Kommata getennt weden, wobei auf jede Kategoie mindestens ein Stich veteilt weden muss (da sujektiv), womit man noch effektiv m n Stiche mit n 1 Kommata tennen muss. {( f 1 (1),..., f 1 (n) } { ): f : [m] [n] suj. (s 1 + 1,..., s n + 1) N n : s s n m n} ( ) ( ) m n + n 1 m 1 n 1 n 1 (b) jede Entität mindestens eine Kate ehalten soll, jedoch nicht alle Katen vesendet weden müssen und D.h. nu noch atielle, abe sujektive Zuodnungen f : [m] [n] (i) nu Entitäten unteschieden weden, Katen jedoch ununtescheidba sind. D.h. man zählt wiede nu, wie viele Katen jede Entität ehält, wobei man wegen de Sujektivität mindestens n Katen/Stiche, maximal jedoch m veteilen muss; fügt man entsechend den Folien eine n+1 Kategoie nicht vewendet ein, so muss man insgesamt noch m n Stiche auf n + 1 Kategoien veteilen, welche duch n Kommata getennt weden. { ( f 1 (1),..., f 1 (n) } { ): f : A [n] suj., A [m] (s 1 + 1,..., s n + 1, s n+1) N n+1 0 : s s n + s n+1 m n} ( ) ( ) m n + (n + 1 1) m (n + 1 1) n Macht man altenativ eine Falluntescheidung nach de Anzahl n + k : A n de vewendeten Katen, so ehält man die folgende Summe {( f 1 (1),..., f 1 (n) } ( ) ( ) ( ) m n k + (n 1) m n + n m ): f : A [n] suj., A [m] n 1 n n unte Vewendung de Identität aus den Folien (F41). (c) jede Entität mindestens 2 Katen ehalten soll und alle Katen vesendet weden sollen und (i) nu Katen unteschieden weden, Entitäten jedoch ununtescheidba sind. Da man jede Entität mindestens zwei Katen zuteilen soll, zählt man abweichend von (a-i) nun nu noch die Äuilanzelationen auf [m] mit n Klassen, welche in jede Klasse mindestens 2 Elemente liegen. Da die Reihenfolge de Klassen egal ist, füht dies auf die Tyen (0, 6, 0, 0, 1, 0,...) (d.h. 6 zweielementige, eine fünfelementige Klasse), (0, 5, 1, 1, 0,...), (0, 4, 3, 0,...) k0 17! 6!1!(2!) 6 (5!) + 17! 1 5!1!1!(2!) 5 (3!) 1 (4!) + 17! 1 4!3!(2!) 4 (3!) 3 Anmekung : Zunächst sieben zweielementige Klassen zu konstuieen, um dann die vebleibenden dei Katen auf die sieben Klassen zu veteilen, ist in diesem Fall oblematisch, da man Klassen deselben Göße beliebig umsotieen kann, da man sie nicht untescheidet, wofü man jedoch die genaue Anzahl λ i an i-elementigen Klassen kennen muss. Aufgabe 6 8P Wi betachten die zyklische Gue Z 47, 47, 1 mit de Pimzahl 47. (a) Bestimmen Sie die Odnung von 2 und 5 in diese Gue. Hinweis : und (b) Bestimmen Sie das Invese von 5 in Z 47, 47, 1 mittels des eweiteten Euklidischen Algoithmus (EEA). Halten Sie sich stikt an das Fomat aus de Volesung, um den EEA zu tabellieen (sonst Punktabzug bzw. 0 Punkte): (c) Beechnen Sie mod 47. a b b/a α β

5 (a) Es gilt Z 47 ϕ(47) Somit können die Odnungen von 2 und 5 nu 2, 23 und 46 sein. Offensichtlich gilt Da ( 10) ( 10) , hat 2 die Odnung 23. Offensichtlich gilt Da ( 16) 47 3 ( 16) , hat 5 die Odnung 46. (b) a b k s t Also ist 19 das multilikative Invese von 5 modulo 47, was man leicht diekt übeüft: (c) (113 mod 47) mod Aufgabe 7 4P (a) Sei P ein einstelliges Pädikatensymbol, a, b Konstantensymbole und f ein einstelliges Funktionssymbol. Seien F, G die folgenden ädikatenlogischen Fomeln mit Gleichheit: F : P (a) P (b) x(p (x) P (f(x))) G : x y(f(x) f(y) x y) Geben Sie zwei assende Stuktuen S und S mit unendlichem Univesum an, so dass: S F G S F G (b) Geben Sie eine ädikatenlogische Fomel H mit Gleichheit an, die die folgenden zwei Eigenschaften efüllt: Fü jedes geade i N gibt es ein Modell von H, dessen Univesum genau i Elemente hat. Fü jedes ungeade i N gibt es kein Modell von H, dessen Univesum genau i Elemente hat. Geben Sie auch ein Modell S von H mit U S 4 an. (a) S (N 0, I) mit P S {0}, a S 0, b S 1 und f S (x) x 2. (b) S (Z, I) mit P S {0}, a S 0, b S 1 und f S (x) x 2. H x((f(f(x)) x) (f(x) x)) S ({a, b, c, d}, I) mit f S (a) b, f S (b) a, f S (c) d, f S (d) c. Ekläung: Die este Bedingung besagt geade, dass f selbstinves, damit insbesondee bijektiv und damit eine Pemutation von U S mit Zykellänge 2 ist (Einneung an Algeba: Odnung eine Pemutation ist das kgv de Zykellängen, hie steht, dass die Odnung maximal 2 ist, womit fü die Zykellängen nu noch 1 (Fixunkte) und 2 in Fage kommt). Die zweite Bedingung fodet, dass f keine Fixunkte hat, insbesondee also nicht Odnung 1 hat (also auch nicht die Identität sein kann). Damit zefällt f in Zykel de Länge genau 2 und atitioniet U S damit in zweielementige Äuivalenzklassen. Aufgabe 8 4P Wi definieen induktiv die Folge (a n) n N0 von natülichen Zahlen mittels a 0 : 2, a 1 : 4, a 2 : 7, und a n+3 : 4a n+2 5a n+1 + 2a n fü n N 0. Zeigen Sie duch geeignete Induktion, dass fü jedes n N 0 gilt: a n 2 n + n + 1 Beweis mittels Induktion übe n N 0. Induktionsbasis: Sei n 0. De Tem 2 n + n + 1 wetet sich zu aus und nach Definition a 0 2. Die Behautung gilt fü n 0. Sei n 1. De Tem 2 n + n + 1 wetet sich zu aus und nach Definition a 1 4. Die Behautung gilt fü n 1. Sei n 2. De Tem 2 n + n + 1 wetet sich zu aus und nach Definition a 2 7. Die Behautung gilt fü n 2. Induktionsschitt: Sei n N 0 beliebig fixiet. Induktionsannahme: Fü alle m N 0 mit m < n + 3 gilt die Behautung, d.h. a m 2 m + m + 1. Induktionsbehautung: Es gilt auch a n+3 2 n+3 + (n + 3) + 1. Beweis de Induktionsbehautung:

6 Nach Definition von a n+3 gilt: Anwenden de Induktionsannahme auf a n+2, a n+1, a n füht zu: Veeinfachen: a n+3 4a n+2 5a n+1 + 2a n a n+3 4(2 n+2 + n ) 5(2 n+1 + n ) + 2(2 n + n + 1) a n n + 4n n 5n n + 2n + 2 a n n + n n+3 + (n + 3) + 1 was zu zeigen wa. Damit folgt die Induktionsbehautung aus de Induktionsannahme, womit de Induktionsschitt bewiesen ist, und damit a n 2 n + n + 1 fü alle n N 0 gilt.