Lösungshinweise und Bewertungskriterien

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1 27. Bundeswettbeweb Infomatik, 1. Runde Lösungshinweise und Bewetungskiteien Allgemeines Zuest soll an diese Stelle gesagt sein, dass wi uns seh daübe gefeut haben, dass einmal meh so viele Leute sich die Mühe gemacht und die Zeit zu Beabeitung de Aufgaben genommen haben. Natülich waen nicht alle Einsendungen pefekt, und einige ehe äußeliche Anfodeungen wuden häufige miss achte. Im Einzelnen: Online-Anmelde wuden gebeten, ihe Numme außen auf den Umschlag zu scheiben. Viele haben das gemacht, abe beinahe ebenso viele leide nicht. Das füht zu Komplikationen und möglicheweise zum Ausbleiben de vespochenen Rückmeldung pe übe den Eingang de Einsendung. Eine Guppeneinsendung schicken Sie bitte komplett in einem gemeinsamen Umschlag, wi haben sonst gößte Mühe, die Einsendungen ichtig zuzuodnen. Wenn mehee Einsendungen in einen Umschlag gesteckt weden, ist es besondes wichtig, bei de Online- Anmeldung bzw. auf den Anmeldebögen die Zusammensetzung de Guppe anzugeben. Außedem: Eine Guppe muss sich auf eine Lösung po Aufgabe einigen, und Guppenmitgliede können nicht gleichzeitig auch eine eigene Einsendung schicken. Seien Sie mit Ihem Namen nicht so geizig! Scheiben Sie ihn uhig häufige, z. B. auf das este Blatt jede Aufgabe und auf Ihe CD. Lösungsidee, Pogamm-Dokumentation und insbesondee auch Pogamm-Ablaufpotokolle und auseichend viele Beispiele müssen ausgeduckt sein. Wi können aus Zeitund Kostengünden keine Ausducke machen und auch nicht jedes eingesandte Pogamm ausfühen. Noch schlechte als Einsendungen nu auf Datentägen wäen fü uns übigens Einsendungen via ode andeen Intenet-Wegen, auch wenn das fü die Teilnehme noch so paktisch wäe. Papieeinsendungen sind (zumindest zu Zeit und siche auch noch in den nächsten Jahen) einfach unumgänglich. Beispiele weden als Teile des Pogamm-Ablaufpotokolls imme ewatet. Zu wenige Beispiele und est echt die Nichtbeabeitung vogegebene Beispiele fühen zu Punktabzug. Es ist auch nicht auseichend, Beispiele nu auf CD abzugeben, ins Pogamm einzubauen ode den Beweten das Efinden und Testen von Beispielen zu übelassen. Ohne abgeduckte Beispiele ist die Bewetung eine Lösung in de knappen vohandenen Zeit nicht möglich. Leide fehlten in vielen Einsendungen die Beispiele, was oft das Eeichen de zweiten Runde vehindet hat. Zu eine Einsendung gehöen auch lauffähige Pogamme. Kompilieung von Quellcode ist wähend de Bewetung nicht möglich. Fü die gängigsten Skipt-Spachen stehen Intepete zu Vefügung. Nutzen Sie abe bitte dennoch jede Möglichkeit, eigenständig ausfühbae Pogamme abzugeben. So, vielleicht denken Sie ja an diese Anmekungen, wenn Sie (hoffentlich) im nächsten Jah wiede mitmachen. Auch die folgenden ehe inhaltlichen Dinge sollten Sie beachten: Lösungsideen sollten Lösungsideen sein und keine Bedienungsanleitungen ode Wiedeholungen de Aufgabenstellung. Es soll beschieben weden, welches Poblem hinte de Aufgabe steckt und wie dieses Poblem gundsätzlich angegangen wid. Eine einfache Mindestbedingung: Bezeichne von Pogammelementen wie Vaiablen, Pozeduen etc. düfen nicht vewendet weden eine Lösungsidee ist nämlich unabhängig von solchen Realisieungsdetails. Auch ein Pogammablauf-Potokoll soll keine Bedienungsanleitung sein. Es bescheibt nicht, wie das Pogamm ablaufen sollte, auch nicht die zum Ablauf nötigen Inteaktionen mit dem Pogamm, sonden potokolliet den tatsächlichen, inneen Ablauf eines Pogamms. Am besten potokolliet ein Pogamm seinen Ablauf selbst, z. B. duch Heausscheiben von Eingaben, Zwischenschitten ode -esultaten und Ausgaben. Oben wude schon gesagt, dass Beispiele imme dabei sein sollten, zumindest eines davon in einem Pogamm-Ablaufpotokoll. Das hat seinen Gund: An den Beispielen ist oft diekt zu sehen, ob bestimmte Punkte koekt beachtet wuden. Viele meinen nun, wi könnten die Pogamme ja laufen lassen und selbst auf Beispieldaten ansetzen, und liefen keine Beispiele ode nu Beispieldaten in elektonische Fom. Das können wi abe aus Zeitmangel in de Regel nicht. Außedem ist nicht imme siche, dass Pogamme, die auf dem eigenen PC laufen, auch auf einem andeen Compute ausfühba sind. Geneell muss man sich daauf einstellen, dass nu das Papiemateial angesehen wid! Mit den veschiedenen Beispielen sollten Sie wichtige Vaianten des Pogammablaufs zeigen, also auch Sondefälle, die Ihe Lösung behandeln kann. Die Konstuktion solche Testfälle ist eine ganz wesentliche Tätigkeit des Pogammentwufs. Einige Anmekungen noch zu Bewetung: Po Aufgabe weden maximal fünf Punkte vegeben, bei Mängeln gibt es entspechend wenige Punkte. Fü die Gesamtbewetung sind die dei am besten beweteten Aufgabenlösungen maßgeblich, es lassen sich also maximal 15 Punkte eeichen. Einen 1. Peis eeichen Sie mit 14 ode 15 Punkten, einen 2. Peis mit 12 ode 13 Punkten 1 2

2 und eine Anekennung mit 9 bis 11 Punkten. Die Peistäge sind fü die zweite Runde qualifiziet. Auf den Bewetungsbögen bedeutet ein Keuz in eine Zeile, dass die (negative) Aussage in diese Zeile auf Ihe Einsendung zutifft. Damit vebunden ist dann in de Regel de Abzug eines ode mehee Punkte. Eine Wellenlinie bedeutet na ja, hätte besse sein können, füht abe meist nicht zu Punktabzug. Mehee Wellenlinien können sich abe zu einem Punktabzug addieen. Gelegentlich sind lobende Anmekungen de Bewete mit einem + vesehen. Wellenlinien wuden übigens häufig fü die Dokumentation (also Lösungsidee, Pogamm-Dokumentation, Pogamm-Ablaufpotokoll und kommentiete Pogamm-Text) veteilt, obwohl Punktabzug auch geechtfetigt gewesen wäe. Abe auch so ließ sich nicht vehinden, dass etliche Teilnehme nicht weitegekommen sind, die nu dei Aufgaben abgegeben haben in de Hoffnung, dass schon alle ichtig sein wüden. Das ist ziemlich iskant, da Fehle sich leicht einschleichen. Zum Schluss: Sollte Ih Name auf de Ukunde falsch geschieben sein, können Sie gene eine neue anfoden. Uns passieen duchaus schon mal Tippfehle, und gelegentlich scheiten wi bei Anmeldungen auf Papiefomula an de ein ode andeen Handschift. Es ist veständlich, wenn jemand, de nicht weitegekommen ist, übe eine Reklamation nachdenkt. Gehen Sie abe bitte davon aus, dass wi kitische Fälle, insbesondee die mit 11 Punkten, schon genau und mit Wohlwollen gepüft haben. Danksagung An de Estellung de Lösungsideen haben mitgewikt: Thomas Leinewebe (Junioaufgabe), Benito van de Zande (Aufgaben 1 und 3), Thomas Bünge, Lilli Kaufhold und Mavin Künnemann (Aufgabe 2), Melanie Schmidt (Aufgabe 4) und Johann Felix von Soden-Faunhofen (Aufgabe 5). Die Aufgaben wuden vom Aufgabenausschuss des BWINF entwickelt, aus Voschlägen von Hans-Wene Hein (Junioaufgabe), Monika Seiffet und Ano Pastenak (Aufgabe 1), Kisten Riechmann (Aufgaben 2 und 5), Toben Hageup (Aufgabe 3) und Melanie Schmidt (Aufgabe 4). Junioaufgabe: Passendes Wot Kiteien fü gute Passwöte Es gibt viele Kiteien, die gute Passwöte auszeichnen. Dabei kommt es insbesondee daauf an, dass das Passwot schwe zu eaten bzw. schwe zu bestimmen ist. Länge: Je länge ein Passwot ist bzw. sein daf, desto göße wid de Suchaum fü die Passwöte. Die Güte kann hie einfach duch Abzählen gemessen weden. Zeichensatz: Wenn fü ein Passwot meh Zeichen elaubt sind, wid daduch de Suchaum po Zeichen göße. Als Beispiele dafü gibt es Goß-/Kleinscheibung, Zahlen ode Sondezeichen. Die Güte kann duch die Anzahl de veschiedenen Zeichen gemessen weden. Wenn abe z.b. velangt wid, dass mindestens ein Zeichen eine Zahl sein muss ode mindestens ein Goßbuchstabe vohanden sein muss, dann ist dies im Pinzip wiede eine Einschänkung des Suchaumes, da fü die entspechende Position dann nicht meh alle elaubten Zeichen möglich sind. Wötebuch: Das Passwot sollte nicht einem bekannten Wot ode eine Abwandlung davon entspechen (z.b. F3ue, veküzt, velänget, etc.). Diese können mit Hilfe eine sogenannten Wötebuchattacke, die auch Vaianten in den Wöten auspobiet, schnell entdeckt weden. Dies soll entspechend auch fü Teilpasswöte gelten. Ein Test, ob dieses Kiteium efüllt ist, ist ohne ein entspechendes Wötebuch schwe zu implementieen. Dies betifft auch die Bestimmung de Güte bzgl. dieses Kiteiums. Mekbakeit: Ein Passwot sollte fü die Besitzein/den Besitze mekba sein, also möglichst gut im Gedächtnis bleiben. Dieses Kiteium übeschneidet sich mit dem Längenkiteium; seh lange Passwöte kann man sich schlecht meken. Egonomie beim Scheibfluss/Schlechte Beobachtbakeit: Das Passwot sollte schnell und gut eintippba sein, damit ein Beobachte bei de Eingabe nicht einfach das Passwot mitlesen kann. Duch eine schnelle Eingabe wid das Mitlesen eschwet. Die Egonomie eines Passwotes beeinflusst auch das obige Kiteium de Mekbakeit; ein Passwot, das gut in den Fingen liegt, kann auch besse gemekt weden. Passwotgüte Fü die Beechnung de Passwotgüte müssen (nach Aufgabenstellung) zuest dei Kiteien aus den vohe beschiebenen ausgewählt weden. Danach muss mit Hilfe diese Kiteien die Gesamtgüte bestimmt weden. Dabei ist es möglich, zuest einzelne Gütewete zu den Kiteien zu bestimmen und diese dann zu eine Gesamtgüte zu veknüpfen. Dies wid abe nicht zwangsweise velangt, es ist ebenso möglich, diekt eine Gesamtgüte zu bestimmen, ohne übe die Einzelwete zu gehen. Wenn man mit positiven Einzelweten abeitet (je höhe, desto besse), kann man z.b. duch eine Multiplikation eine Gesamtgüte bestimmen. Duch die Multiplikation wid vemieden, 3 4

3 Passwot Wet 1 Wet 2 Wet 3 Gesamtgüte aaa aaaaaa ababab abcdefgh ako2hoo Evan#g5 jo Tabelle 1: Veknüpfung mit Multiplikation Passwot Wet 1 Wet 2 Wet 3 Gesamtgüte aaa aaaaaa ababab abcdefgh ako2hoo Evan#g5 jo Tabelle 2: Veknüpfung mit Addition dass es eine hohe Gesamtgüte gibt, wenn ein Einzelwet besondes schlecht ist. Dies soll vehinden, dass man einzelne Kiteien bei de Passwotbestimmung venachlässigt und daduch wiede ein schlechtes Passwot bekommt. Fü die Implementieung eicht es vollkommen, mit den einfacheen Kiteien zu abeiten. Eine einfache Kombination besteht aus de Passwotlänge, den veschiedenen vokommenden Zeichenaten und den veschiedenen Zeichen übehaupt. Die Beechnung de Gesamtgüte muss dabei in de Implementieung die vohe beschiebene Gesamtgüte ekennen lassen. Einzelwet dagegen so aus, dass es schwieige wid, dies mit vebesseten andeen Weten auszugleichen. Bewetungskiteien Bei Teilaufgabe 1 weden keine besondeen Anfodeungen an die Begündung de Kiteien gestellt, sie müssen nu begündet sein. Es sollten mindestens fünf Kiteien genannt weden, wobei fü jedes Kiteium eine Begündung und eine Einschätzung zu Implementieungsschwieigkeit geben muss. Einfachste Begündungen und Einschätzungen weden akzeptiet, sie düfen nu nicht eindeutig falsch sein. Bei Teilaufgabe 2 können dei beliebige, auch seh einfach implementiebae Kiteien genutzt weden. Sowohl die Kiteienauswahl als auch die Beechnung de Gesamtgüte muss (kuz!) beschieben und begündet weden. Die Implementieung sollte auf Basis de Teilaufgabe 2 efolgen. Die Implementieung sollte an meheen Beispielausgaben die Gesamtgüte bestimmen. Die Ausgaben sollten mit einfachen Aussagen zu den Güteweten vesehen weden (Vegleiche, gutes Passwot, schlechtes Passwot, etc.). Beispiel Es weden die dei Kiteien Passwotlänge, Anzahl veschiedene Zeichen und vokommende Zeichenaten ausgewählt. Fü die esten beiden Kiteien wid die Länge des Passwotes und die Anzahl de veschiedenen Zeichen als Wet genommen. Beim ditten Kiteium wid fü jedes Zeichen des Passwotes gepüft, ob es eine Ziffe, ein Kleinbuchstabe, ein Goßbuchstabe, Whitespace (Leezeichen, etc.) ode ein andees Zeichen ist. Fü jede vohandene Sote von Zeichen gibt es einen Punkt. Die Summe de Punkte ist de Wet fü das ditte Kiteium. Wenn als Veknüpfung de Einzelwete die Multiplikation de Einzelwete gewählt wid, egeben sich die in den Tabellen 1 bzw. 2 dagestellten Egebnisse fü beispielhafte Passwöte. Insbesondee die Addition zeigt hiebei den Nachteil, dass niedige Einzelwete echt einfach duch hohe Wete eines andeen Kiteiums ausgeglichen weden können, so dass zwei Passwöte, von denen eines im Nomalfall als deutlich sichee angesehen weden wid (abcdefgh und ako2hoo1) die gleiche Güte haben. Bei de Mulitplikation wikt sich ein schlechte 5 6

4 Aufgabe 1: Pizzavision Diese Aufgabe kann dazu vefühen, sich im wesentlichen mit de gafischen Dastellung eine Pizza und ihe Zutaten zu befassen. Diese spielt schon eine Rolle, abe de Ken de Aufgabe zielt auf die Benutzeinteaktion und das geometische Poblem, veschiedene Fomen ausgewogen auf einem annähend keisfömigen Untegund zu veteilen. Lösungsidee Benutzeinteaktion De Benutze muss in de Lage sein (vielleicht ausgehend von eine Standadbelegung), Zutaten hinzuzufügen ode zu entfenen. Nach jedem Schitt muss das angezeigte Bild aktualisiet weden. Emöglicht es das Pogamm, die Zutaten fei auf de Pizza zu veschieben, muss fü eine neue Zutat totzdem automatisch eine sinnvolle Position auf de Pizza gewählt weden. Es eicht nicht aus, die gesamte Anodnung dem Benutze zu übelassen ode alle Zutaten imme an deselben Stelle hinzuzufügen, so dass nu die letzten ohne manuellen Eingiff ekennba wäen. Belegung de Pizza Bei de Beechnung eine Zusammenstellung sind folgende Kiteien zu beachten: Die Zutaten sollten sich nicht auf einen Teil de Pizza beschänken, sonden einigemaßen ausgewogen auf ih veteilt sein. Die Anwendung eines staen Rastes insbesondee eines, das die (in de Regel) unde Fom de Pizza ignoiet füht alledings zu allzu gleichmäßigen und damit ehe unappetitlich wikenden Belegungen. Die einzelnen Bilde sollten sich nicht so goßflächig übelappen, dass sie unekennba weden. Andeeseits können sich die Zutaten an einigen Stellen schon beühen/übelappen, da daduch die Bildkomposition inteessante wid. Man kann sich aufwändige Methoden übelegen, die einzelne Salamischeiben, Pepeoni, Oliven, Tunfischkleckse etc. geschickt und je nach gegebene Belagkonstellation imme andes auf de Pizza veteilen. Es ist abe auch akzeptabel, wenn es ein festes Bild fü jede Zutat gibt und auch eine feste Odnung unte den Zutaten, die vogibt, in welche Reihenfolge die Bilde de aktuellen Zutatenkombination auf de Pizza platziet weden. Hie ist es dann paktisch Handabeit, Odnung und Bilde so aufeinande abzustimmen, dass die Pizzabilde möglichst gut aussehen. Auch die Gößenvehältnisse de Zutaten elativ zueinande und zum Pizzaboden sollten bedacht weden: sind die Bilde zu goß, belegt de Kunde die Pizza mit zu wenig Zutaten und ist späte enttäuscht. Sind sie dagegen zu klein, wid die Pizza übefüllt (was im Pinzip alledings fü die Pizzeia besse ist). Dann sollten keine gafischen Atefakte vohanden sein wie beispielsweise einfabige Hintegundahmen um alle Zutaten. Diese Bedingung lässt sich elativ einfach mittels tanspaente Laye efüllen, man kann abe auch den Hintegund de Zutatenbilde an den Pizzaboden anpassen. Bei Übelappungen müsste man abe ohne Tanspaenz Bilde fü mehee Kombinationen beeit haben. Außedem sollte die Pizza physikalisch möglich sein. Bei einem 2D-Bild müssen sich fü diese Bedingung zumindest alle Zutaten auf de Pizza befinden, da man sie sonst nicht backen kann. Es ist auch gut, wenn das Poblem gelöst wid, indem de Pizzaboden beim Hinzufügen neue Zutaten von alleine wächst. Bei eine 3D-Dastellung, mit den Zutaten als einzelne 3D-Modelle, sollte sichegestellt weden, dass keine Zutaten in de Luft schweben, ineinande veschoben sind ode einen Tum bilden. (Mit einem solchen Modell könnte man auch den Backvogang in physikalische Hinsicht als Funktionen auf einem Patikelsystem dastellen und so die jeweilige Knuspigkeit [z.b.: das Wasse aus Tomaten wikt de Knuspigkeit entgegen] ode die optimale Backzeit beechnen. Inteessant... ) Letztendlich muss es auf jeden Fall Käse unte den Zutaten geben, da eine Pizza ohne Käse nicht schmeckt. ;-) Ablaufdokumentation Bei de Dokumentation des Ablaufs sollten Bilde de Pizza gezeigt weden, bei denen kla ekennba wid, dass aus mindestens zwölf Zutaten gewählt weden kann. Außedem sollte kuz beschieben weden, wie die gezeigte Anodnung entstanden ist, also ob sie automatisch geneiet ist ode manuell nachbeabeitet wude und in welche Reihenfolge die Zutaten hinzugefügt wuden. Auch das gefodete Entfenen eine Zutat muss gezeigt weden. Bewetungskiteien Eine automatische Platzieung de Zutaten muss möglich sein. De Benutze muss aus mindestens zwölf Zutaten auswählen können. Das Bild muss nach jede Veändeung de Zutatenliste (Hinzufügen ode Entfenen) aktualisiet weden. Die Zutaten müssen einigemaßen ausgewogen platziet weden, also in gleichmäßige Veteilung, ohne zu goße Übelappungen und ohne Anwendung eines allzu staen Rastes (Raste-Pizzen sehen einfach nicht lecke aus). Die Platzieung egibt eine backbae Pizza (z.b. alle Zutaten auf de Pizza). Die dokumentiete Zutatenauswahl sollte mindestens dei Zutaten (auße Käse) beinhalten und auch den Effekt des Entfenens eine Zutat demonstieen. 7 8

5 Pizzabeispiele Hie einige Beispiele fü Pizzaabildungen. Aufgabe 2: Tankomatik Lösungsidee Anodnung de Zutaten auf seh gleichmäßigem Raste. Auf diese Pizza übelappen sich die Zutaten stak. Teilaufgabe 1: Simulation de Peisentwicklung De este Schitt zu Lösung diese Aufgabe ist es, sich Gedanken übe ealistische Peisentwicklungen zu machen. Vo allem folgende zwei Kiteien düften nahe liegen: Es teten in de Regel keine zu goßen Peisspünge auf. Die geneelle Peistendenz ist steigend. Optimisten düfen natülich auch eine schwankende Peistendenz einbauen dezeit entspicht soga eine fallende Tendenz de Realität. Die Realisieung eine solche Peisentwicklung könnte so aussehen: Mit eine fei wählbaen Wahscheinlichkeit von p 1 2 steigt de Peis, ansonsten sinkt e ode bleibt gleich. Danach folgt die Bestimmung de Höhe de Diffeenz des Peises. Eine Favoisieung de niedigen Betäge wäe hie wünschenswet. Folgendes Vefahen wäe dafü passend: Man wählt eine Wahscheinlichkeit q. Ausgehend von einem Statbetag von 0 ct wid so lange eine zufällige eelle Zahl zwischen 0 und 1 ezeugt, bis die Zahl kleine als q ist. Jedes Mal, wenn sie göße als q ist, wid de Betag um 1 ct ehöht. De esultieende Betag wid die neue Peisändeung. Eine echteckige Pizza macht die Sache einfache. Ist abe OK, wenn es gut aussieht. Einfach, abe duchaus den Anspüchen genügend. Abbildung 1: Die Abbildung zeigt ein Beispiel eine Peisentwicklung übe 100 Tage. Und diese Pizza ist ichtig gut gelungen lecke! Auch andee sinnvolle Kiteien sind vostellba. Wichtig ist, dass diese bespochen und in de Diskussion de zweiten Teilaufgabe genutzt weden. Eine einfache, abe schlechte Möglichkeit ist die Wahl von beliebigen Zufallsweten innehalb eines übe den ganzen Simulationszeitaum hinweg gleich bleibenden Intevalls. Die Peisentwicklung fällt so zu spunghaft aus. 9 10

6 Teilaufgabe 1: Simulation des Tankvehaltens Fü den Takt de Simulation sind Sekundenschitte sinnvoll, da gößee Abweichungen von den duchschnittlich 60 Autos po Stunde die Peisentwicklung bei Asso beeinflussen. De gößte akzeptable Takt ist eine Stunde, da imme zu vollen Stunde die Vekaufspeise festgelegt weden. Bei einem Stundentakt ist es denkba, die Tankwahscheinlichkeit zu ignoieen und die Anzahl de tankenden Autos auf 60 festzulegen. Dann kann mit je 12 Stammkunden und 36 peisoientieten Kunden geechnet weden. Diese Veeinfachung ist zwa nicht ganz im Sinn de Aufgabenstellung, abe dennoch akzeptabel, da sie die Simulationsegebnisse nu geingfügig beeinflusst. Spielaum besteht noch in de Festlegung des Vehaltens de Simulation, wenn Asso und Scholl zu gleichen Peisen vekaufen und wie de Statpeis Assos festgelegt wid. Die wohl natülichste Annahme ist, dass sich die Kunden bei Peisgleichheit gleich auf beide Tankstellen veteilen. Weitehin wäe es möglich, die Kunden zu günstigeen Tankstelle de letzten Stunde gehen zu lassen (Simulation dessen, dass die Kunden sich fü die in de Regel günstigee Tankstelle entschieden haben). In diesem Fall müsste man den Effekt de Wahl besondes diskutieen. Die Wahl des Statpeises Assos düfte auf lange Sicht keine zu goßen Auswikungen haben, solange e nicht zu weit vom Einkaufspeis entfent ist. Nahe liegend sind hie Wete wie de Einkaufspeis selbst. Teilaufgabe 2: We macht meh Gewinn? Hie ist es gefagt, die Simulation zu nutzen und zu emitteln, wie sich die Peisentwicklung auf die Umsätze und entspechend die Gewinne de Tankstellen auswikt. Im Zusammenhang mit de Beechnung des Gewinns tun sich noch weitee offene Punkte auf, die Festlegungen efoden. De Gewinn hängt insbesondee von den Ausgaben de Tankstellen beim Nachkauf von Benzin ab. Wann Benzin nachgekauft weden muss, wid insbesondee von de Kapazität de Tankstelle und auch von den Tankmengen de Kunden beeinflusst. Einfache Regeln sind hie akzeptabel: etwa eine feste Tankmenge (z.b. 30 Lite) und ein tägliches Auffüllen de Tankstellenvoäte es wid also genau so viel nachgekauft wie getankt wude. Insgesamt kann man bei de Gewinnbeechnung folgendes feststellen: Steigt de Peis seh langsam an und macht keine Spünge, ist Asso leicht im Voteil, weil deen Peis nach dem Abufen des Einkaufspeises knapp unte dem Scholls liegt und sich somit die meisten Kunden fü Asso entscheiden. Da de Peis abe nu knapp dunte liegt, ist de Vedienst dabei noch elativ gut. Wähend de sechs Stunden steigt Assos Peis so lange, bis e den von Scholl eeicht hat. Dann bekommt jede Tankstelle etwa die Hälfte de Kunden, also 30, und de Peis bleibt stabil. Ansonsten ist Scholl im Voteil, weil sie sich viel schnelle an einen neuen Einkaufspeis anpassen. Sinkt diese, ist de Peis von Asso meist übe dem von Scholl und sie bekommen wenige Kunden. Steigt de Peis stak, setzt Asso seinen Peis auf den Einkaufspeis und macht somit est wiede Gewinn, wenn nach eine Stunde de Peis um 1 ct angehoben wid. Auf unse Modell de ealistischen Peisentwicklungen angewandt macht Asso also meh Gewinn als Scholl, da die Peise geneell leicht ansteigen und goße Peisanstiege und vo allem Peisstüze ehe selten sind. Bei Peisentwicklungen, die um einen Wet schwanken, macht Scholl meist meh Gewinn. Die Antwot hängt also stak von de Peisentwicklung ab! Teilaufgabe 3: Assos Stategie Eine Möglichkeit ist es, die Genzen anzupassen, nach denen Asso bestimmt, ob de Peis sinkt ode steigt. De Vedienst kann beispielsweise gesteiget weden, wenn Asso den Peis schon bei 30 Kunden und nicht est bei wenige als 25 senkt. Wenn beide Tankstellen gleich teue sind, veteilen sich die Kunden nach unseem Modell zu gleichen Teilen, d.h. Asso hat po Stunde duchschnittlich 30 Kunden, da insgesamt 60 zu ewaten sind. In dem Fall wäe es viel günstige, mit dem Peis wiede einen Cent unte zu gehen und so einen Goßteil de Kunden zu sich zu locken. Diese Stategie hat hauptsächlich dann eine Wikung, wenn Asso und Scholl häufig den gleichen Peis velangen, was abe nu de Fall ist, wenn de Einkaufspeis keine goßen Spünge macht. Dieses Poblem lässt sich beseitigen, indem Asso zusätzlich dynamisch mit dem Einkaufspeis mitgeht, d.h. wenn de Einkaufspeis um beispielsweise 4 ct steigt, ehöht Asso auch um 4 ct. Mit Hilfe diese beiden Stategien macht Asso unabhängig von de Entwicklung des Einkaufspeises deutlich meh Gewinn als Scholl. Im Rahmen des Modells ist auch noch eine weitee Stategie denkba, mit de sich de Gewinn soga beliebig steigen lässt: Asso velangt fü einen Lite Benzin ct ode noch meh, schließlich weden 20% de Kunden totzdem weite dot tanken. Dies ist natülich nu eine ein theoetische Stategie, da selbst die teuesten Stammkunden sich im wahen Leben igendwann von ihe Tankstelle abkehen. Daauf sollte auch in de Einsendung hingewiesen weden. Bewetungskiteien Die Peissimulation ist Gundlage de Tanksimulation und sollte einen einigemaßen stetigen, abe mit leichten Schwankungen vesehenen Peisvelauf egeben. Festlegungen zu genauen Umsetzung des Modells, also insbesondee Entscheidungen übe in de Aufgabenstellung offen gelassene Punkte, müssen beschieben und begündet weden. Die Simulation muss koekt nach den beschiebenen Festlegungen ealisiet sein. Die Fage, we langfistig meh Gewinn macht, muss abhängig von de At de gewählten Peisentwicklung diskutiet weden, und die Antwot muss mit Simulationsegebnissen belegt sein. Mindestens eine mögliche andee Peispolitik Assos muss vogestellt und diskutiet weden. Dabei muss daauf geachtet weden, dass kein Wissen übe Scholls Peispolitik genutzt wid. Es ist schön, wenn die Voschläge zu diesem Punkt auch in de Simulation umgesetzt und Vohesagen mit Simulationsegebnissen belegt weden. Zumindest sollten die Voschläge abe auf Ekenntnissen aus Teilaufgabe 2 beuhen

7 Aufgabe 3: Alle Alpen Lösungsidee Teilaufgabe 1: Intene Dastellung Natülich ist mit de Dastellung in eine Pogammiespache nicht die gafische Dastellung mit Hilfe eines Pogamms gemeint, sonden die Repäsentation als Datenstuktu. Zu Dastellung des Gebigszuges im Pogamm gibt es gundsätzlich zwei Möglichkeiten: Entwede man speichet fü jeden Punkt die jeweilige Höhe, ode man speichet fü jeden Punkt die Höhendiffeenz zum voheigen. Letztees ist flexible (man könnte Teile ausschneiden, etc.), was abe fü die Aufgabe keine Rolle spielt. Um diese Daten im Speiche abzulegen, hat man die feie Wahl zwischen einem Aay ode eine veketteten Liste. Speichet man den Gebigszug abe als vekettete Liste, sollte man in den folgenden Aufgaben jeweils einen Zeige auf das aktuelle Element vewenden und es nicht in jedem Schitt von Beginn an duchsuchen. Teilaufgabe 2: Gebigszüge zeichnen Bei de gafischen Ausgabe muss die Datenstuktu duchlaufen und fü jeden Punkt die entspechende Vebindung zum voheigen gezeichnet weden. Die Ausgabe kann dabei auf dem Bildschim ode in eine Datei (bmp, svg,... ) efolgen, es sollte abe sichegestellt sein, dass man den ganzen Gebigszug sehen kann. Auch bei gößee Länge (etwa N = 100) daf das Bild nicht abgeschnitten weden. Auch ASCII-At ist möglich, alledings sollten zu besseen Anschaulichkeit mehee Zeilen vewendet weden. Statt ///-\--/-\\-\ sollte also / \ / \ / \_ / \ ausgegeben weden. Übeflüssige Bildelemente wäen zum Beispiel Bäume, Wolken, Begsteige, Hütten, Lawinen ode Skilifte. Es sollte abe nu dann ein Punkt abgezogen weden, wenn diese das Ekennen de Höhenstuktu stak eschween. Speichet man die tatsächlichen Höhendaten, muss in jedem Schitt getestet weden, ob diese Belegung zu einem gültigen Gebigszug fotgesetzt weden kann insbesondee daf die Höhe an eine Position pos den Wet N pos nicht übescheiten. Wid dies nämlich est getan, wenn ein Gebigszug die Länge N eeicht, so betägt die Laufzeit O(N N ) anstatt O(3 N ), da es in jedem Schitt N statt 3 Möglichkeiten zu Auswahl eine Höhe gibt. Speichet man dagegen nu die Höhendiffeenz, daf diese Püfung auch est am Ende efolgen, da dies keinen goßen Laufzeitunteschied egibt. Die Pozedu P sollte idealeweise als Zeige bzw. Refeenz übegeben weden. Im Rahmen de esten Runde ist es auch akzeptabel, wenn zunächst eine leee Pozedu namens P deklaiet wid. Abe es ist möglich, den aktuellen Gebigszug als globale Vaiable zu übegeben ode komplett zu kopieen (Velangsamung um O(N)). Gebigszüge de Länge N sind, wie in de Aufgabenstellung definiet, solche mit N Teilstücken, also N + 1 Höhenweten. Gebigszüge mit N Höhenweten haben also die Länge N 1. Wenn dies vewechselt wid, liefen ansonsten koekte Aufzählungsvefahen in den folgenden Teilaufgaben Ausgaben fü die Wete 5 (das sind 21 veschiedene Gebigszüge) bzw. 15 (koekte Wet: ). Wenn man von de vogegebenen Definition abweicht und eklät, dass Höhenwete auße dem esten und letzten nicht 0 sein düfen, gibt es nu 9 bzw veschiedene Gebigszüge de Länge 6 bzw. 16 was genau den egelgeechten Weten fü 4 und 14, also fü N 2 entspicht, wie man sich leicht übelegen kann. Gebigszüge de Länge 6 ausgeben Zu Ausgabe kann de Gebigszug entwede gleich angezeigt ode zwischengespeichet weden. Im esten Fall können Sie alle unteeinande angezeigt/abgespeichet weden ode jede wid wähend de Beechnung einzeln fü sich angezeigt und übescheibt die Ausgabe des voheigen. Dann muss abe eine genügend lange Pause gegeben sein. Im zweiten Fall müssen die Gebigszüge nach de Beechnung entspechend angezeigt weden. Es ist positiv, wenn die Methode aus 3.2 vewendet wid, abe nach de Aufgabenstellung nicht notwendig, also muss die Ausgabe auch nicht anschaulich sein. Lösungen (51): Teilaufgabe Gebigszüge aufzählen Hie genügt eine einfache Backtackinglösung, bei de alle möglichen Wete de Datenstuktu duchpobiet weden. Wenn pos die aktuelle Position im Gebigszug und gebigszug de aktuelle Gebigszug ist, kann man den gefodeten Algoithmus so bescheiben (de mit beechne(1) augeufen weden müsste): function beechne(pos) if (pos > n) and gueltig(gebigszug) then P(gebigszug) fo h := moegliche Hoehenwete do setze_hoehe(pos, h) call beechne(pos + 1) end

8 DP ode eine Fomel wie 1 N + 1 (N+1)/2! k=0 ( N + 1 k )( N + 1 k k 1 (von njas/sequences/a001006; die Gebigszzug-Anzahlen abhängig von de Länge sind auch als Motzkin-Zahlen bekannt) findet, sollte totzdem die Punkte ehalten. Fü die Pozedu P eicht es, einfach einen Zähle zu inkementieen. Wichtig ist, dass nicht sämtliche Gebigszüge wähend de Beechnung gespeichet weden, da dies bei gößeen N zuviel Speiche vebaucht. Lösung: ) Bewetungskiteien Die pogammiespachliche Dastellung muss angemessen sein, daf also insbesondee die Effizienz de Lösung nicht unnötig behinden. Ein Beispiel (vgl. oben) ist, dass bei eine veketteten Liste ein Zeige auf das aktuelle Element mitgefüht weden sollte. Dastellung haben einige Teilnehme als bildhafte Dastellung missvestanden. Dies ist ein Mangel, wenn deswegen keine Bescheibung de pogammiespachlichen Dastellung vohanden ist. Es ist akzeptabel, wenn letztee in solchen Fällen est in de Pogamm-Dokumentation zu finden ist Die gafische Dastellung de Gebigszüge muss übesichtlich sein und auch fü die gefodete Länge (N = 100) funktionieen. Die Aufzählung de Gebigszüge sollte nicht unnötig ineffizient sein. Eine Lösung mit puem bute foce (z.b. Zulassen unmögliche Höhenwetfolgen mit est nachtägliche Püfung) ist nicht akzeptabel. Auch das ewähnte Zwischenspeichen von Gebigszügen ist zumindest fü gößee N zu vemeiden. Die Aufzählung de Gebigszüge und die in den Teilaufgaben 3a und 3b gefodeten Pozeduen müssen koekt implementiet sein Die Egebnisse fü die Teilaufgaben 3a und 3b müssen koekt sein. Liefet ein Pogamm die koekten Wete fü N 1 ode N 2, weil die Definition eines Gebigszuges offensichtlich missvestanden ode angepasst wude, ist das akzeptabel. Es genügt, wenn nu die gefodeten Beispielfälle dokumentiet sind: Zeichnung eines Gebigszuges de Länge 100, Ausgabe alle Gebigszüge de Länge 6 ( Ausgabe ungleich Zeichnung ; eine Ausgabe de Zahlenfolgen ohne bildhafte Dastellung de Gebigszüge ist akzeptabel!), Beechnung de Anzahl de Gebigszüge de Länge 16. Die Gebigszüge de Länge 6 sollten einigemaßen kompakt dokumentiet weden. Anzahl de Gebigszüge de Länge 16 Die Aufgabenstellung velangt, dass hiefü wiede alle möglichen Gebigszüge ezeugt weden. We abe eine elegantee Lösung mittels 15 16

9 Aufgabe 4: Keisund Poblemstellung Aufgabenstellung Bei diese Aufgabe geht es um Hugo Langbein, de von einigen seine Kollegen Geld einsammeln muss. Dazu muss e sie wähend ihe Teepausen abfangen. Jede Mitabeite, den Hugo teffen muss, hat eine Teezahl t und hält sich alle t Minuten in eine Teeküche auf (in welche Teeküche ein Mitabeite geht, wissen wi aus de Eingabe). Alle Mitabeite beginnen gleichzeitig mit de Abeit, und ein Mitabeite mit Teezahl t betitt seine Teeküche zum esten Mal t Minuten nach Abeitsbeginn. Hugo statet seine Einsammelaktion auch zum Abeitsbeginn. Damit e einem Kollegen Geld abknüpfen kann, muss e entwede gleichzeitig mit diesem in eine Teeküche ankommen ode dot schon auf ihn waten. Hugos Fima befindet sich im obesten Stock eines ingfömigen Gebäudes, und die Teeküchen befinden sich auf dem Ring gleichmäßig veteilt. Dabei sind die Teeküchen aufsteigend nummmeiet und neben Teeküche n liegt wiede Teeküche 1. Unsee Aufgabe besteht dain, festzustellen, ob Hugo es innehalb eine vogegebenen Zeit schaffen kann, eine vogegebene Liste von Mitabeiten abzuklappen. Wi müssen insbesondee nicht die optimale Zeit beechnen, in de Hugo es schaffen kann, alle zu besuchen, sonden können aufhöen, wenn wi eine Lösung gefunden haben, die innehalb des gewünschten Zeithoizontes liegt (das klappt natülich nu, wenn es eine solche Lösung gibt). Gundlegende Übelegungen Wi schauen uns jetzt eins de vogegebenen Beispiele an, um die Aufgabenstellung zu veanschaulichen. Wi weden das Beispiel auch im nächsten Abschnitt noch benötigen. Zu Beispiel 2 wa bei de Aufgabe auch die Lösung gegeben. Die Eingabedatei beispiel2.in enthält die folgenden Infomationen: Annalena 57 2 Jan Chistian Wi stellen zunächst einmal fest, dass die Eingaben in veschiedenen Einheiten sind. Das Zeitlimit 7200 ist in Sekunden, d.h. Hugo hat 120 Minuten bzw. 2 Stunden Zeit. Die Teezahlen hingegen sind in Minuten angegeben: Annalena tinkt z.b. alle 57 Minuten einen Tee. Dabei hält sie sich in Teeküche 2 auf. Insgesamt gibt es 27 Teeküchen. Laufzeit zwischen zwei Teeküchen Wie lange baucht Hugo jetzt, um z.b. von Teeküche 8 zu Teeküche 24 zu gelangen? Das hängt davon ab, ob Hugo den Ring von Teeküche 8 aus so abläuft, dass e zuest bei 9 vobeikommt, ode ob e andesheum läuft, also in Richtung de Teeküche 7. Im esten Fall muss Hugo die Stecke 8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24 zuücklegen, um zu Küche 24 zu gelangen, im andeen Fall die Stecke 8,7,6,5,4,3,2,1,27,26,25,24. Da wi wissen wollen, ob Hugo es innehalb de vogegebenen Zeit schaffen kann, alle Mitabeite zu teffen, gehen wi davon aus, dass e imme den küzeen Weg nimmt. E wüde also in Richtung de Teeküche 7 loslaufen. Dabei muss e elf mal von eine Teeküche zu eine andeen laufen, was 20 Sekunden dauet. Insgesamt benötigt e dann 220 Sekunden. Wi möchten gen allgemein ausechnen können, wie lange Hugo fü die Stecke zwischen zwei Teeküchen benötigt. Sei dazu i die kleinee de beiden Teeküchennummen und j die gößee. Es ist egal, ob Hugo von i nach j ode von j nach i laufen möchte, beides benötigt die gleiche Zeit. Deshalb stellen wi uns vo, Hugo läuft von i nach j. Wenn Hugo von i aus in Richtung i + 1 losläuft, muss e die Stecke i,i + 1,i + 2,..., j 1, j zuücklegen. Man kann sich übelegen, dass e dabei genau j i mal an eine Teeküche vobeikommt, d.h. e benötigt in diesem Fall 20 ( j 1) Sekunden. Läuft Hugo andesheum, so legt e die Stecke i,i 1,...,1,n,..., j + 1, j zuück. Dabei muss Hugo i 1 mal von eine Teeküche zu nächsten laufen, bis e bei Teeküche 1 ankommt. Läuft e eine Teeküche weite, so kommt e zu Numme n, und von da aus muss e noch n j mal von eine Teeküche zu nächsten laufen, bis e bei j ankommt. Insgesamt benötigt e also 20 (i + n j) Sekunden, wenn e diesen Weg nimmt. Um die küzee Zeitspanne zu emitteln, muss man das Minimum de beiden Zeiten nehmen. Wi können also festhalten, dass Hugo 20 min{( j i),(i + n j)} Sekunden benötigt, um von Teeküche i nach Teeküche j zu gelangen (ode andesheum). Daue eine Route Wi wissen jetzt, wie lange es dauet, von eine bestimmten Teeküche zu eine andeen Teeküche zu gelangen. Jetzt übelegen wi uns, wie lange es dauet, wenn Hugo sich vonimmt, die Mitabeite in eine bestimmten Reihenfolge zu besuchen. Dazu ziehen wi wiede unse Beispiel hean und nehmen an, Hugo hat sich übelegt, zuest Chistian zu teffen, anschließend Jan und zum Schluss Annalena. Hugo läuft also zuest von Teeküche 1 zu Teeküche 22 und baucht dafü 20 min{21,3} = 60 Sekunden. An diese Stelle ist die Zeit, die Hugo zum Laufen benötigt, abe elativ unbedeutend: Chistian escheint ja est nach 58 Minuten in de Teeküche. Hugo läuft also eine Minute, watet 57 Minuten und ehält das Geld von Chistian. Dafü benötigt e keine Zeit, also kann e 58 Minuten nach Abeitsbeginn weitelaufen und geht jetzt zu Teeküche 15, was 20 min{22 15, } = 140 Sekunden dauet. Und jetzt spielt die Zeit, die Hugo fü den Weg benötigt hat, plötzlich eine seh goße Rolle: Jan kommt in die Teeküche genau 59 Minuten nach Abeitsbeginn, und um ihn abzufangen, muss Hugo vo ihm da sein ode gleichzeitig mit ihm einteffen. Hugo kommt abe est 20 Sekunden späte an, weil e 140 Sekunden baucht, um den Weg zuückzulegen. E tifft Jan also nicht an und muss waten, bis diese 17 18

10 118 Minuten nach Abeitsbeginn das nächste mal in de Teeküche eintifft. Zum Zeitpunkt 118 geht Hugo dann zu Teeküche 2 weite, wofü e 20 min{15 2, } = 80 Sekunden benötigt. Dot tifft e dann zum Zeitpunkt 171 Annalena und hat das Geld eingesammelt abe leide 51 Minuten zu spät. Die ebenfalls veöffentlichte Beispieldatei veät uns, dass es fü das Beispiel tatsächlich keine Lösung gibt, die mit 120 Minuten auskommt. Intene Umgang mit Zeiten Um Vewiung mit veschiedenen Einheiten zu vemeiden, sollte man pogamminten alle vokommenden Zeiten in eine Einheit umechnen. Minuten eigenen sich dabei nicht so gut, weil 20 Sekunden 1 3 Minute entspechen und schlecht gespeichet weden können. Stattdessen kann man Sekunden als Gundeinheit vewenden ode altenativ auch diekt ausnutzen, dass Hugo fü den Weg zwischen zwei beliebigen Teeküchen imme eine Zeit benötigt, die ein Vielfaches von 20 Sekunden ist. Man kann also statt Sekunden ode Minuten als Gundeinheit auch 20 Sekunden vewenden und ehält daduch schöne glatte und kleine Zahlen. Lösungsansätze Backtacking (und Rekusion) Wi möchten unse Poblem mit Backtacking lösen. Dabei handelt es sich um ein bestimmtes Lösungsvefahen, das bei Wikipedia 1 folgendemaßen eklät wid: De Begiff Rücksetzvefahen ode englisch Backtacking [... ] bezeichnet eine Poblemlösungsmethode innehalb de Algoithmik. Backtacking geht nach dem Vesuch-und-Itum-Pinzip (tial and eo) vo, d. h. es wid vesucht, eine eeichte Teillösung schittweise zu eine Gesamtlösung auszubauen. Wenn absehba ist, dass eine Teillösung nicht zu eine endgültigen Lösung fühen kann, wid de letzte Schitt bzw. die letzten Schitte zuückgenommen, und es weden stattdessen altenative Wege pobiet. Auf diese Weise ist sichegestellt, dass alle in Fage kommenden Lösungswege auspobiet weden können. Mit Backtacking-Algoithmen wid eine vohandene Lösung entwede gefunden (unte Umständen nach seh lange Laufzeit), ode es kann definitiv ausgesagt weden, dass keine Lösung existiet. Backtacking wid meistens am einfachsten ekusiv implementiet und ist ein pototypische Anwendungsfall von Rekusion. Wi sehen im nächsten Abschnitt konkete Beispiele fü Backtacking als Lösungen fü unsee Aufgabenstellung. Die Ekläung fü Backtacking benutzt den Tem ekusiv, den wi noch eläuten wollen, bevo wi zu unsee eigentlichen Poblemstellung zuückkehen. Eine Pozedu ode Funktion heißt ekusiv, wenn sie sich selbst aufuft. Es ist oft kompliziet, ekusive Pogamme zu vestehen, obwohl das Gundpinzip einfach ist. Ein kuzes ekusives Pogamm könnte zum Beispiel so aussehen: 1 Pozedu ekusivepozedu() 2 Gib den Text "Ein Aufuf!" auf dem Bildschim aus aus 3 ekusivepozedu() Die Pozedu ekusivepozedu() gibt einen Text aus und uft sich anschließend selbst auf. Das bedeutet, dass das Pogamm niemals endet (wenn es nicht abgebochen wid), sonden imme wiede die gleiche Pozedu statet und den Text ausgibt. Sinnvolle ekusive Pogamme sollten igendwann stoppen. Dazu benötigt man eine Abbuchbedingung. Auch hiefü sehen wi uns ein kleines Beispiel an: 1 Pozedu ekusivepozedu(zahl) 2 Gib Zahl auf dem Bildschim aus 3 Wenn (Zahl <= 0) 4 Gib den Text "Selbstaufuf Stopp." auf dem Bildschim aus 5 Sonst 6 ekusivepozedu(zahl 1) Diese ekusive Pozedu hat einen Paamete Zahl. Wenn sich die Pozedu selbst aufuft, übegibt sie einen Wet, de um eins kleine. Wenn de übegebene Wet Null ist (ode kleine), dann uft sich die Pozedu nicht noch einmal selbst auf das ist die Abbuchbedingung. Was passiet jetzt, wenn man ekusivepozedu(2) statet? Zunächst einmal wid 2 auf dem Bildschim ausgegeben, anschließend uft sich die Pozedu mit dem Wet 1 wiede auf, 1 wid ausgegeben und das Pogamm uft sich selbst mit dem Wet 0 auf. Auch 0 wid ausgegeben, abe jetzt uft sich die Pozedu nicht meh selbst auf, sonden gibt einen Text aus. Die Ausgabe ist also Selbstaufuf-Stopp. Wenn man das Pogamm mit eine negativen Zahl aufuft, gibt es diese aus und stoppt dann diekt. Zum Abschluss dieses kleinen Ausflugs geben wi noch ein dittes Beispiel, das einen weiteen Effekt veanschaulicht, den man bei ekusiven Pogammen ausnutzt. Wenn ein Pogamm eine Pozedu aufuft, dann spingt das Pogamm zu diese Pozedu, füht diese aus und keht danach zu dem Punkt in de Pogammausfühung zuück, wo die Pozedu aufgeufen wude. Das ist bei ekusiven Pogammen genauso, abe die Effekte, die daduch aufteten, sind kompliziete. Wi schauen uns dazu folgende Pozedu an: 1 Pozedu ekusivepozedu(zahl) 2 Gib Zahl auf dem Bildschim aus 3 Wenn (Zahl <= 0) 4 Gib den Text "Selbstaufuf Stopp." auf dem Bildschim aus 5 Sonst 6 ekusivepozedu(zahl 1) 7 Gib die Zahl (Zahl 2 ) auf dem Bildschim aus

11 De Unteschied besteht nu in de neuen letzten Zeile. Diese Zeile wid nu eeicht, wenn de ekusive Aufuf (also de Aufuf, bei dem sich die Pozedu selbst aufuft) beendet ist. Wenn wi die Pozedu z.b. mit dem Wet 1 staten, so gibt die Pozedu 1 aus, uft sich mit dem Wet 0 auf, gibt 0 und den Text aus und dann das Quadat von 0 (weil sie sich ja jetzt nicht selbst aufuft, sonden nach dem Wenn-Teil diekt weiteausfüht). Anschließend ist de Aufuf mit dem Wet 0 beendet, so dass das Pogamm zuückspingt in den Aufuf mit dem Wet 1 und abschließend das Quadat von 1 ausgibt. Ruft man die Pozedu mit dem Wet 5 aus, ehält man folgende Ausgabe: Selbstaufuf-Stopp Alle Reihenfolgen duchpobieen In Abschnitt haben wi uns übelegt, wie man ausechnet, wie lange Hugo benötigt, wenn die Reihenfolge, in de e seine Kollegen besucht, feststeht. Gundidee De este Lösungsansatz, den wi bespechen wollen, beuht deshalb daauf, alle veschiedenen möglichen Besuchseihenfolgen duchzugehen. Das machen wi ekusiv mit Hilfe eine Pozedu Laufplan. Wi bespechen die Idee anhand des folgenden Pseudocodes: 1 Pozedu Laufplan(vebleibendeMitabeite, Route) 2 Wenn (vebleibendemitabeite lee) Dann 3 Beechne efodelichezeit als Daue von Route 4 Wenn (efodelichezeit elaubtezeit) Dann 5 Gib Route als Lösung aus 6 Beende alle laufenden Aufufe von Laufplan 7 Sonst 8 Beende diesen Aufuf von Laufplan 9 Sonst 10 Wiedehole fü jedes Element neuemitabeite in de Liste vebleibendemitabeite: 11 Velängee Route um neuemitabeite 12 Entfene neuemitabeite aus vebleibendemitabeite 13 Laufplan(vebleibendeMitabeite, Route) 14 Füge neuemitabeite zu vebleibendemitabeite hinzu 15 Veküze Route um neuemitabeite Die Pozedu Laufplan ehält als Paamete die beiden Listen vebleibendemitabeite und Route. Die Liste Route ist eine Liste einige Mitabeite und stellt die Reihenfolge da, in de Hugo diese besuchen möchte. In de Liste vebleibendemitabeite sind alle Mitabeite, die in de Route noch nicht enthalten sind, d.h. diese müssen noch eingeplant weden. Die Vaiable elaubtezeit wid außehalb de Pozedu gesetzt und enthält das Zeitlimit, d.h. den letztmöglichen Zeitpunkt, zu dem Hugo noch einen Mitabeite teffen kann. Wi schauen uns die Funktionsweise an einem Beispiel mit dem Mitabeiten Anna, Bitta, Chistine, Detlef und Eva an. Dafü nehmen wi an, dass wi beeits mitten in de Ausfühung sind und betachten den Aufuf Laufplan({Anna, Chistine, Detlef},{Eva, Bitta}). Eva und Bitta sollen also von Hugo zuest aufgesucht weden und Anna, Chistine und Detlef sind noch übig. Weil vebleibendemitabeite nicht lee ist, sonden noch dei Mitabeite enthält, weden die Zeilen 3 bis 8 übespungen und die Pozedu spingt in den Sonst -Teil ab Zeile 9. Dot findet sich eine Schleife, die fü jedes Element in vebleibendemitabeite einmal ausgefüht wid. Wi beginnen mit Anna und velängen Route um Anna, d.h. die bishe geplante Besuchseihenfolge ist nun {Eva, Bitta, Anna}. Anna ist jetzt eingeplant, so dass vebleibendemitabeite in Zeile 12 zu {Chistine, Detlef} aktualisiet wid. Jetzt uft sich die Pozedu selbst auf. Mit den aktuellen Weten de Vaiablen lautet de Aufuf Laufplan({Chistine, Detlef},{Eva, Bitta, Anna}). Bevo wi uns daum kümmen, was in diesem Aufuf weite passiet, übelegen wi uns est, wie es weitegeht, wenn das Pogamm nach de Ausfühung des ekusiven Aufufs hinte Zeile 13 weiteabeitet. Dot weden die Vaiablen wiede in den Zustand gebacht, in dem sie vo de Ausfühung von Zeile 11 und 12 waen. Anschließend folgt de nächste Schleifenduchlauf. Man kann sich übelegen, dass in diesem Duchlauf de Schleife de ekusive Aufuf Laufplan({Anna, Detlef},{Eva, Bitta, Chistine}) efolgt. De ditte und letzte Duchlauf de Schleife bingt schließlich den ekusiven Aufuf Laufplan({Anna, Chistine},{Eva, Bitta, Detlef}). Wi stellen fest, dass die dei ekusiven Aufufe genau die dei Möglichkeiten dastellen, wie man die Route {Eva, Bitta} um einen de Mitabeite {Anna, Chistine, Detlef} velängen kann. Und wie geht es weite? Innehalb des Aufufs Laufplan({Chistine, Detlef},{Eva, Bitta, Anna}) wid als estes de ekusive Aufuf Laufplan({Detlef},{Eva, Bitta, Anna, Chistine}) gestatet. Die Ababeitung dieses Aufufs wiedeum statet: Laufplan({}, {Eva, Bitta, Anna, Chistine, Detlef}) Bei diesem Aufuf weden jetzt die Zeilen 3 bis 7 statt de Zeilen 10 bis 15 ausgefüht. Zuest wid wie in Abschnitt beschieben beechnet, wie lange Hugo baucht um Eva, Bitta, Anna, Chistine und Detlef in diese Reihenfolge zu besuchen. Anschließend wid getestet, ob diese Zeit klein genug ist. Wenn ja, haben wi eine Lösung gefunden. In diesem Fall beenden wi die Pozedu und alle andeen Aufufe de Pozedu 2, denn wi bauchen ja nu eine Lösung zu suchen, die die Zeitschanke einhält (und nicht alle Lösungen ode die, die die wenigste Zeit baucht). Ist unsee Route keine Lösung, so beenden wi nu diesen ekusiven Aufuf und kehen in die Instant von Laufplan zuück, die uns aufgeufen hat. Dot ist die Schleife beendet, weil es nu Detlef in de Liste vebleibendemitabeite gab. Wi kehen also noch eine Stufe zuück und ufen dot als nächstes Laufplan({Chistine},{Eva, Bitta, Anna, Detlef}) auf. Duch einen weiteen ekusiven Aufuf kommen wi zu Laufplan({},{Eva, Bitta, Anna, Detlef, Chistine}) und haben so eine weitee fetige Route, deen Länge nun bestimmt wid. 2 Das kann man z.b. machen, indem man eine boolsche Vaiable einfüht, die zwischen Zeile 13 und 14 abgefagt wid. Ist die Vaiable gesetzt, wid dot die Schleife abgebochen. Auf diese Weise weden alle noch laufenden Laufplan-Aufufe abgebochen, sobald das Pogamm aus de Rekusion zuückkeht

12 Man kann sich übelegen, dass die Pozedu Laufplan alle möglichen Reihenfolgen von Mitabeiten duchgeht bis ggf. eine Lösung gefunden ist, wenn man sie mit eine leeen Liste Route und eine alle Mitabeite enthaltenden Liste vebleibendemitabeite statet. Vebessete Vesion De bishe beschiebene Ansatz pobiet alle möglichen Reihenfolgen aus, in denen Hugo die Mitabeite besuchen kann. Damit findet e siche eine Lösung, die die Zeitschanke einhält, wenn eine solche existiet. Andeeseits dauet das abe auch ziemlich lange, weil es seh viele mögliche Reihenfolgen gibt 3. Bei Backtacking vesucht man, viele Lösungen auf einmal auszuschließen, indem man fühe ekennt, dass die bishe getoffenen Entscheidungen nicht meh zum Ziel fühen können. Bei unseem Poblem ist das zum Beispiel de Fall, wenn wi eine Teiloute haben, die beeits das Zeitlimit übescheitet. Egal, wie wi die Route mit den vebleibenden Mitabeiten fotsetzen, weden wi siche keine gültige Lösung meh finden. Deshalb kann man die Rekusion in diesem Fall abbechen und spat sich so das Testen alle Möglichkeiten, die estlichen Mitabeite zu besuchen. Damit das funktioniet, muss man die Länge de aktuellen Route imme mitbeechnen, anstatt sie est fü vollständige Routen zu beechnen. Macht man das, kann man vo jedem ekusiven Aufuf testen, ob das Zeitlimit beeichts übeschitten ist. De folgende Pseudocode setzt diese Idee in die Tat um: 1 Pozedu Laufplan(vebleibendeMitabeite, Route, aktuelleot, aktuellezeit) 2 Wenn (vebleibendemitabeite lee) Dann 3 Wenn (aktuellezeit elaubtezeit) Dann 4 Gib Route als Lösung aus 5 Beende alle laufenden Aufufe von Laufplan 6 Sonst 7 Beende diesen Aufuf von Laufplan 8 Sonst 9 Wiedehole fü jedes Element neuemitabeite in de Liste vebleibendemitabeite: 10 Setze neueot auf die Teeküche von neuemitabeite 11 Beechne Laufzeit als die notwendige Zeit, um von aktuelleot zu neueot zu gelangen 12 Setze Ankunftszeit auf (aktuellezeit + Laufzeit) 13 Beechne neuezeit als kleinste Zeit Ankunftszeit, zu de neuemitabeite Tee tinkt 14 Wenn (neuezeit elaubtezeit) Dann 15 Velängee Route um neuemitabeite 16 Entfene neuemitabeite aus vebleibendemitabeite 17 Laufplan(vebleibendeMitabeite, Route, neueot, neuezeit) 18 Füge neuemitabeite zu vebleibendemitabeite hinzu 19 Veküze Route um neuemitabeite 20 Sonst 21 Beende diesen Aufuf von Laufplan 3 Wenn es n Mitabeite gibt, gibt es auch n Möglichkeiten fü Hugo, wen e als estes besucht. Fü den zweiten in de Route gibt es dann noch n 1, fü den ditten n 2 Möglichkeiten usw., fü den Mitabeite, den e zuletzt besucht, gibt es nu noch eine. Deshalb gibt es insgesamt n n 1 n = n! Möglichkeiten fü Hugo. Diese Zahl nennt man die Fakultät von n. Fü n = 5 ist die Fakultät von n beeits 120, fü n = 7 ist sie 5040 und fü n = 10 ehält man Die Paamete vebleibendemitabeite und Route bedeuten weitehin das gleiche und weden auch genauso aktualisiet wie bishe. aktuelleot gibt den Ot an, an dem Hugo nach Ababeitung de bisheigen Route stehen wüde 4. Am Anfang ist aktuelleot 1, weil Hugo in Teeküche 1 statet. De Paamete aktuellezeit gibt an, wie viel Zeit man fü das Geldeinsammeln auf de bishe gespeicheten Route benötigt. Beim esten Aufuf von Laufplan ist diese Paamete 0. Die Zeilen 10 bis 12 sind neu. Hie wid beechnet, wie viel zusätzliche Zeit Hugo benötigt, wenn e nach Ababeitung von Route als nächstes neuemitabeite besuchen möchte. Dazu muss e zuest in dessen Teeküche neueot laufen. Die dafü benötigte Zeit wid beechnet und in Laufzeit gespeichet. Anschließend muss Hugo noch waten, bis de Mitabeite in de Teeküche escheint, so dass e das Geld von neuemitabeite schließlich zum Zeitpunkt neuezeit einsammelt. Da wi jetzt wissen, wie lange die bisheige Route einschließlich dem Besuch bei neuemitabeite dauet, können wi in Zeile 14 eine Abfage einfügen, die vehindet, dass wi einen ekusiven Aufuf machen, obwohl die bisheige Route beeits zu lange dauet. Duch diese Vebesseung ändet sich im schlechtesten Fall nichts an de Anzahl Möglichkeiten, die wi duchpobieen müssen. Das ist beim Backtacking oft so: Man vesucht, den Ansatz paktisch schnelle zu machen, ohne eine Gaantie auf Beschleunigung zu haben. Weitee Vebesseungen In den letzten beiden Abschnitten haben wi ein Gundgeüst fü eine Lösung mit Backtacking beschieben. Totzdem löst das Pogamm nicht alle vogegebenen Beispiele innehalb venünftige Zeit. Es sind weitee Vebesseungen denkba, die das Pogamm weite beschleunigen. Da wi nu igendeine Lösung benötigen, die das Zeitlimit einhält, ist es besondes lukativ zu vesuchen, möglichst schnell eine möglichst gute Lösung zu finden (und zu hoffen, dass diese gut genug ist). Dazu kann man z.b. die Reihenfolge, in de man die Möglichkeiten duchpobiet, veändet. Bishe ist die Reihenfolge, in de die Mitabeite in de uspünglichen Liste stehen, entscheidend dafü, in welche Reihenfolge die veschiedenen Besuchseihenfolgen getestet weden. Stattdessen kann man auch bei jedem Aufuf de Pozedu Laufplan beechnen, zu welchen Zeitpunkten man die vebleibenden Mitabeite jeweils teffen kann und die Liste de vebleibenden Mitabeite vo Ausfühung de Schleife in Zeile 9 absteigend nach den beechneten Zeiten sotieen. Altenativ kann man testen, welchen Einfluss die Teezeiten haben und die Liste z.b. aufsteigend ode absteigend nach Teezeiten sotieen. Wi wollen diese Ansätze nicht weite vefolgen, sonden uns zum Abschluss einem gundsätzlich andeen Ansatz mit Backtacking widmen. Alle Zeitpunkte duchpobieen Bei unseem esten Ansatz entscheiden wi uns nach und nach fü die Mitabeite, die wi in eine bestimmten Reihenfolge besuchen wollen. Das machen wi jetzt andes. Zuest sotieen 4 Diese Vaiable ist nicht zwingend nötig, weil man den letzten Ot auch aus dem Ot des letzten Mitabeites aus Route emitteln kann, abe die Vewendung von aktuelleot macht den Pseudocode übesichtliche

13 wi die Mitabeite absteigend nach ihen Teezahlen und behalten diese Sotieung wähend des gesamten Pogamms. Wi pobieen dabei nicht alle Reihenfolgen duch, sonden testen fü jeden Mitabeite die möglichen Zeitpunkte, zu denen man diesen besuchen kann. Die Reihenfolge de Mitabeite egibt sich dann implizit. Zu Veanschaulichung betachten wi zunächst ein Beispiel. Nehmen wi an, wi hätten die Mitabeite Felix, Jessica und Vanessa mit den Teezeiten 10, 40 und 15 bei einem Zeitlimit von 60 Minuten. Dann sotieen wi die Mitabeite zuest in de Reihenfolge Jessica (40), Vanessa (15) und Felix (10). Jetzt beginnen wi unsee Rekusion bei Jessica. Es gibt nu eine Möglichkeit, Jessica innehalb des Limits zu besuchen, nämlich zum Zeitpunkt 40. Wi pobieen also den Zeitpunkt 40 aus und testen zuest, ob das ohne Beücksichtigung weitee Mitabeite geht. Dazu müssen wi nu übepüfen, ob man die Teeküche von Jessica von Teeküche 1 aus innehalb von 40 Minuten eeichen kann. Das Beispiel soll so gewählt sein, dass das funktioniet. Jetzt machen wi einen ekusiven Aufuf und möchten als nächstes einen Besuchszeitpunkt fü Vanessa finden. Wi legen fest, dass das Beispiel so ist, dass de Weg zwischen Teeküche 1 und Vanessa s Teeküche 16 Minuten dauet und de Weg zwischen de Teeküche von Jessica und de von Vanessa 6 Minuten. Wi kümmen uns nicht daum, ob man so eine Situation duch eine geschickte Veteilung de Teeküchen eeichen kann, es geht nu daum, dass wi Zahlen fü unse Beispiel haben. Wi könnten Vanessa zu den Zeitpunkten 15, 30, 45 und 60 besuchen. Wi testen zuest, welche Zeitpunkte noch möglich sind. De Zeitpunkt 15 ist nicht möglich, weil Hugo Vanessa s Teeküche in 15 Minuten nicht eeichen kann (weil e in Teeküche 1 statet). De Zeitpunkt 45 ist ebenfalls nicht möglich, weil wi ja zum Zeitpunkt 40 noch bei Jessica sind und in den Weg zu Vanessa s Teeküche in 5 Minuten nicht zuücklegen könnne. Es bleiben also die Zeitpunkte 30 und 60, gegen die nichts spicht, und wi pobieen zuest den Zeitpunkt 30. In de nächsten Stufe de Rekusion wüden wi nun vesuchen, Felix noch im Plan untezubingen. Bishe besuchen wi Vanessa nach 30 Minuten und Jessica nach 40 Minuten. Felix könnte man pinzipiell zu den Zeitpunkten 10, 20, 30, 40, 50 und 60 besuchen. Welche davon möglich sind, wollen wi uns jetzt nicht weite übelegen (dafü müssten wi noch meh Annahmen übe die Abstände zwischen den Teeküchen teffen). Wenn wi einen Zeitpunkt finden, zu dem wi Felix besuchen können, dann haben wi eine Lösung gefunden, die die Zeitschanke einhält (weil wi ga keine andeen Lösungen betachten). Wenn wi Felix in unseem bisheigen Plan nicht untebingen können, gehen wi eine Rekusionsstufe zuück und besuchen Vanessa nach 60 statt nach 30 Minuten und vesuchen eneut, Felix untezubingen. Diese Vogehensweise ist auf den esten Blick kompliziete als unse este Ansatz. Wi bespechen ihn genaue anhand des folgenden Pseudocodes: 1 Pozedu Laufplan(Zeitplanung, Zuodnung, aktuellemitabeite) 2 Wenn (aktuellemitabeite = letztemitabeite) Dann 3 Gib die Zeitpunkte in Zeitplanung und die zugehöigen Mitabeite als Lösung aus 4 Beende alle laufenden Aufufe von Laufplan 5 Sonst 6 Setze neuemitabeite auf den Nachfolge von aktuellemitabeite in sotieteliste 7 Setze neueteezahl auf die Teezahl von neuemitabeite 8 Setze neueot auf die Teeküche von neuemitabeite 9 Wiedehole fü alle Vielfachen neuezeit von neueteezahl, die kleine als elaubtezeit sind: Wenn (ZeitDavo enthalten in Zeitplanung) Dann 12 Setze ZeitDavo auf den Vogänge von neuezeit in Zeitplanung 13 Setze MitabeiteDavo auf den Mitabeite, de laut Zuodnung fü ZeitDavo geplant ist 14 Setze OtDavo auf die Teeküche von MitabeiteDavo 15 Sonst 16 Setze ZeitDavo auf 0 17 Setze MitabeiteDavo auf Hugo 18 Setze OtDavo auf Beechne notwendigezeit als die Zeit fü den Weg von OtDavo nach neueot Wenn (notwendigezeit+zeitdavo neuezeit) Dann 23 Setze estetest auf efolgeich 24 Sonst 25 Setze estetest auf efolglos Wenn (ZeitDanach enthalten in Zeitplanung) Dann 28 Setze ZeitDanach auf den Nachfolge von neuezeit in Zeitplanung 29 Setze MitabeiteDanach auf den Mitabeite, de laut Zuodnung fü ZeitDanach geplant ist 30 Setze OtDavo auf die Teeküche von MitabeiteDavo 31 Beechne notwendigezeit als die Zeit fü den Weg von neueot nach OtDanach Wenn (neuezeit+notwendigezeit elaubtezeit) Dann 34 Setze zweitetest auf efolgeich 35 Sonst 36 Setze zweitetest auf efolglos 37 Sonst 38 Setze zweitetest auf efolgeich Wenn (estetest efolgeich und zweitetest efolgeich) Dann 41 Tage neuezeit in Zeitplanung ein 42 Speichee, dass zum Zeitpunkt neuezeit neuemitabeite besucht wid 43 Laufplan(Zeitplanung, neuemitabeite) 44 Entfene die Vebindung zwischen neuezeit und neuemitabeite 45 Entfene neuezeit aus Zeitplanung 46 Sonst 47 Beende diesen Aufuf von Laufplan Paamete und globale Vaiablen Die Pozedu ehält die Paamete Zeitplanung, Zuodnungund aktuellemitabeite. De Paamete aktuellemitabeite gibt den Mitabeite an, den Hugo als letztes besucht hat. Am Anfang kann man zum Beispiel Hugo selbst als letzten Mitabeite übegeben. Die beiden andeen Paamete sind von einem komplizieteen Typ. In Zeitplanung speichen wi die Zeitpunkte ab, fü die wi beeits ein Teffen eingeplant haben. Die Datenstuktu dafü 25 26

14 kann veschieden aussehen, solange sie folgende Dinge untestützt: Zunächst einmal möchten wi Zeitpunkte einfügen und löschen können. Außedem soll uns die Datenstuktu zu de Zahl t den gößten gespeicheten Zeitpunkt sagen, de kleine ist als t. Diesen Zeitpunkt nennen wi Vogänge. Analog soll uns die Datenstuktu den kleinsten gespeicheten Zeitpunkt sagen können, de göße als eine Zahl t ist ihen Nachfolge. Man kann eine solche Datenstuktu als lineae Liste ode Aay ealisieen, effiziente ist ein Suchbaum 5 Wi übegeben dem esten Pozeduaufuf eine leee Zeitplanung. Die Vaiable Zuodnung enthält eine Zuodnung von Zeiten zu Mitabeiten, d.h. sie kann zu einem Zeitpunkt, sofen de in de Zuodnung abgespeichet ist, den zugehöigen Mitabeite zuückliefen. Außedem kann sie neue Paae aus Zeitpunkten und Mitabeiten speichen ode gespeichete Paae löschen. Auch die hiefü efodeliche Datenstuktu lässt sich duch eine Liste ealisieen. Altenativ kann man Suchbäume ode Hashing vewenden. Neben den Paameten vewendet die Pozedu wie im letzten Abschnitt die Vaiable elaubtezeit, die den Zeithoizont enthält, und zusätzlich die Liste sotieteliste, die alle Mitabeite enthält, absteigend sotiet nach ihen Teezahlen. Ausfühung de Pozedu Nehmen wi an, wi befinden uns mitten in de Rekusion und haben beeits einige Teffen geplant, andee noch nicht. In diesem Fall enthält Zeitplanung beeits einige Zeitpunkte und Zuodnung die entspechenden Mitabeite, die wi teffen möchten, abe aktuellemitabeite ist noch nicht letztemitabeite. Wi fühen also den Code ab Zeile 6 aus. Zuest wid de nächste Mitabeite emittelt (das ist einfach de mit de nächstkleineen Teezahl) und seine Teezahl sowie seine Teeküche weden gespeichet. Anschließend testet die Schleife in Zeile 9 alle Zeitpunkte duch, zu denen man den Mitabeite teffen kann (das sind genau die echt positiven Vielfachen de Teezahl des Mitabeites). Fü einen möglichen Teffzeitpunkt wid dann gepüft, ob man dieses Teffen in den bisheigen Plan einfügen kann. Dazu wid emittelt, wo sich Hugo vo und nach diesem Teffen aufhalten muss. Die Zeit, die Hugo baucht, um die Stecken zu dem neuen Teffpunkt und von diesem weg zuückzulegen, müssen klein genug sein, um zwischen den beeits geplanten Teffen eingebaut weden zu können. Dabei gibt es zwei Ausnahmen: Wenn vo dem neuen Teffzeitpunkt noch kein Teffen eingeplant ist, läuft Hugo diekt von seinem Statot, Teeküche 1, zu dem neuen Teffpunkt. Wenn nach dem neuen Zeitpunkt noch kein Teffen eingeplant ist, kann Hugo seine Tou einfach dot beenden, so dass hie nichts getestet weden muss. Wenn beide Tests efolgeich waen, tägt die Pozedu den neuen Zeitpunkt in Zeitplanung und das Paa aus Zeitpunkt und Mitabeite in Zuodnung ein. Anschließend uft sich die Pozedu selbst auf und legt so die Teffen mit den weiteen Mitabeiten fest. Voteile Im schlechtesten Fall ist de geade beschiebene Ansatz nicht besse als de este 6. Totzdem funktioniet e fü viele Beispiele deutlich besse (u.a. auf den vogegebenen). 5 Eine allgemeine Einfühung in Suchbäume und das späte ewähnte Hashing gibt es z. B. in Kapitel 3 von 6 Eventuell soga ehe schlechte. Wenn es n Mitabeite mit den Teezahlen t 1,...,t n gibt und das Zeitlimit k ist, so kann man sich übelegen, dass wi bis zu " n i=1 t k i Möglichkeiten duchpobieen müssen. Bei kleinen Teezahlen ist diese Zahl iesig. Duch die absteigende Sotieung de Mitabeite nach Teezahlen eeichen wi, dass Mitabeite, die wi nu schwe teffen können, siche eingeplant weden. Die Chance, Mitabeite mit kleinen Teezahlen weite hinten in de Rekusion noch igendwo in den Zeitplan hineinquetschen zu können, ist goß. Wenn alle Teezahlen im Vegleich zum Zeitlimit ehe klein sind, könnte de Ansatz pinzipiell in Schwieigkeiten geaten, weil es beeits auf de esten Stufe viele veschiedene Möglichkeiten gibt. Bei seh kleinen Teezahlen ist es abe meistens auch einfach, eine gültige Lösung zu finden, ohne viele Möglichkeiten auszupobieen. Wiklich unangenehm wid es est, wenn die Teezahlen im Vegleich zum Zeitlimit ehe klein sind und die Anzahl de Teeküchen (und damit die Abstände zwischen einigen Teeküchen) so goß ist, dass man totz de kleinen Teezahlen innehalb des Zeitlimits nicht alle Mitabeite besuchen kann. In diesem Fall sollte man ehe auf den esten Ansatz zuückgeifen. Lösungen fü die vogegebenen Beispiele Fü die Beispiele 2 und 3 gibt es keine Möglichkeit, die Mitabeite im vogegebenen Limit zu besuchen. Fü die andeen Beispiele weden Lösungen angegeben; dabei kann es auch andee gültige Laufwege geben, auch mit andee Zeitdaue. Beispiel 0 Eingabe: (Zeitlimit 240 Minuten) (Einzige) Lösung: Hugo Daniel Daniela Daniela Daniel Hugo tifft also zuest Daniela nach 121 Minuten und dann Daniel nach 240 Minuten. Beispiel 1 Eingabe: (Zeitlimit 120 Minuten) Johanna 60 2 Elias 82 2 Maja 58 6 Philipp 58 8 Lina 77 2 Tom 75 5 Alina 60 2 Nico 61 5 Sophia 59 3 Nils 78 5 Lösung: 0 Hugo 58 Maja 59 Sophia 60 Johanna 60 Alina 61 Nico 75 Tom 77 Lina 78 Nils 82 Elias 116 Philipp 27 28

15 Beispiel 4 Beispiel 5 Eingabe: (Zeitlimit 420 Minuten) Lösung: Eingabe: (Zeitlimit 720 Minuten) Lösung: Hanna Leon Lena Luca Lea Tim Mia Jonas Lilli Maximilian Saah Max Neele Niklas Sophie Ben Julia Jannik Lisa Noah Amelie Moitz Leni David Luisa Simon Claa Eik Josephine Alexande Hugo 31 Luisa 47 Alexande 53 Jannik 64 Saah 84 Neele 96 Eik 105 Tim 137 Sophie 144 Niklas 158 Josephine 164 Luca 175 Claa 186 Amelie 198 David 216 Moitz 237 Ben 255 Lena 264 Leni 277 Mia 285 Simon 292 Leon 301 Noah 304 Hanna 328 Lea 340 Jonas 356 Lilli 380 Max 384 Lisa 396 Maximilian 420 Julia Jana Floian Annika Linus Jasmin Jason Finja Lennad Kathaina Jannis Fiona Dominic Viktoia Mac Vanessa Jonathan Emelie Colin Isabell Kevin Nina Robin Lucy 69 8 Adian Maia Heny Caoline Aaon Selina Matthis Helena Sebastian Kim Raphael Maa Mauice Melissa Jonah Pauline Maxim Amy Lasse Sina Kilian Theesa Kal Elena Leonad Lotta Oska Hugo 50 Viktoia 57 Finja 69 Jonathan 85 Maa 92 Sina 102 Matthis 110 Elena 122 Jonah 128 Dominic 138 Lotta 156 Amy 162 Adian 165 Kathaina 177 Mauice 192 Theesa 207 Lucy 216 Jannis 236 Jana 242 Floian 248 Pauline 249 Leonad 252 Kilian 268 Heny 300 Kal 306 Annika 318 Jasmin 336 Selina 339 Raphael 360 Lasse 380 Maia 396 Jason 423 Robin 426 Sebastian 427 Lennad 430 Emelie 476 Kevin 520 Linus 525 Melissa 546 Mac 572 Aaon 585 Vanessa 594 Oska 600 Helena 610 Colin 616 Isabell 639 Caoline 648 Fiona 676 Maxim 704 Nina 712 Kim 29 30

16 Bewetungskiteien Bei de Beechnung von Lösungen gibt es eichlich Möglichkeiten, Fehle zu machen ode sich duch Nichtbeachtung das Leben zu veeinfachen: Die Laufzeit zwischen Teeküchen muss beachtet und koekt beechnet weden. Hugo muss auf die Mitabeite waten können, die Watezeit muss koekt beechnet weden. Pobleme bei gleichen Teeküchen: Wenn zwei Mitabeite die gleiche Teeküche haben, benötigt es keine Zeit, von einem zum nächsten zu gelangen. Das Lösungsvefahen bzw. seine Implementation enthält gundlegende Fehle. Das in Sekunden angegebene Zeitlimit wude als Minutenwet intepetiet. Die Fehle können unteschiedlich schwewiegend sein, und Nichtbeachtung eines Aspekts ist schlechte als ihn fehlehaft zu behandeln. Das Lösungsvefahen daf nicht zu ineffizient sein. Auch hie ist eine Lösung nach dem bute foce Pinzip nicht geeignet. Entscheidend ist, dass in de Einsendung Vebesseungsmöglichkeiten ekannt und umgesetzt weden. Gute Hinweise auf die Effizienz de Lösung liefen die Beispiele 4 und 5: Beispiel 4 ist schwieig genug, um nu von ausgefeilteen Pogammen lösba zu sein. Beispiel 5 ist schon echt schwieig und muss nicht unbedingt gelöst woden sein. Fehlen beide ohne andeen esichtlichen Gund, ist die Lösung ziemlich siche zu ineffizient. Die Ausgaben fü die vogegebenen und fü eigene Beispiele sollen koekt sein: Lösungen sollen also genau fü die Beispiele gefunden weden, fü die Lösungen existieen. Natülich sollen ausgegebene Lösungen auch in sich fehlefei sein. Zu allen vogegebenen Beispielen müssen Ausgaben dokumentiet sein. Außedem soll ein Pogamm auch mit selbst gewählten Eingaben getestet woden sein, die idealeweise Aufschluss übe die Details von Vefahen und Implementieung liefen. Aufgabe 5: Bügeampel Teilaufgabe 1 Diagamm S F g S F Staßenanmeldung S g F S F S F Staßenanmeldung Fußgängeanmeldung S S F Fußgängeanmeldung F g S F g Zeit [s] Zeit [s] Abbildung 2: zeitliche Ablauf de Ampelfunktion Legende: S: Staßenampel, F: Fußgängeampel, die gestichelten Balken geben fei wählbae Zeitdauen an. In Abbildung 2 ist beispielhaft de zeitliche Ablauf de Ampelschaltung dagestellt: Am Anfang ist die Ampel fü die Fußgänge gün. Nach 3 Sekunden fäht ein Fahzeug auf die Induktionsschleife. Die (Fußgänge-) Ampel schaltet ganz auf ot und gibt den Fußgängen 5 Sekunden Zeit die Staße zu velassen. Ab de achten Sekunde haben dann die Fahzeuge gün abe nicht lange, denn in de deizehnten Sekunde will ein Pedene (so heißen nämlich die Büge von Pedes) die Staße übequeen und hat dafü den Knopf betätigt. Die Ampel eagiet pompt und schaltet nach de ditten Sekunde Räumzeit auf Fußgänge-Gün. Das nächste Fahzeug naht und wid in de neunzehnten Sekunde von de Ampel egistiet. Noch wähend de Räumzeit dückt abe ein Fußgänge seinen Knopf und macht dem Fahzeuglenke alle Hoffnung zunichte, gün zu bekommen. Denn nach de vogeschiebenen Räumzeit haben nun die Fußgänge gün

17 Teilaufgabe 2 Testen Alle Implementieungen efüllen den einfachen Test, ob Anmelden bei jeweils güne Ampel wikungslos bleibt. Die Vobedingungen fü die Voschiften 1 und 2 weden also imme beachtet. Ebenfalls weden glücklicheweise in allen Implementieungen die Räumungszeiten eingehalten, also die Zeiten, bei denen beide Ampeln ot sind, damit Fußgänge, welche bei gün losgelaufen sind, noch die andee Staßenseite eeichen bzw. Fahzeuge den Weg fü Fußgänge fei machen können. Zu sicheheitskitischen Situationen düfte es also bei keine Implementieung kommen. Dazugehöige Testfälle (bei allen Implementieungen in Odnung): Testfälle I: Räumzeiten eingehalten? a) Sg FAn S 3s Fg b) Fg SAn F 5s Sg Ekläung fü Kuzscheibweise bei den Testfällen Sg/S Staßenampel gün bzw. ot Fg/F Fußgängeampel gün bzw. ot SAn Staßenanmeldung FAn Fußgängeanmeldung Die duch die Pfeile gekennzeichnete Schitte sind ohne längee Pausen auszufühen. Wenn keine explizite Pause angegeben ist, so muss de im jeweiligen Testfall folgende Zustand sofot einteten. De este Zustand in jedem Testfall ist die Statbedingung, welche vo Testbeginn manuell so eingestellt weden muss, dass sie sofen möglich statisch ist, sich also nicht automatisch ändet. Die Voschiften selbe sagen nichts daübe aus, ob die jeweilige Ampel gün bleiben soll, solange keine Anmeldung duch den andeen Vekehsteilnehme voliegt. Da abe die Ampel mit eine Bedafsschaltung vesehen weden soll und die Fußgänge gleichbeechtigt sein sollen, ist naheliegend, dass die Ampel auch nu auf Bedaf eagieen soll. Auße Implementieung 1 vehaen alle Implementieungen in de jeweiligen Günphase. Implementieung 1 gibt dagegen den Fußgängen maximal 10 Sekunden um die Staße zu übequeen. Danach schaltet sie automatisch nach de vogeschiebenen Räumzeit den Stassenvekeh fei. Es ist also Testfall IIa nicht efüllt. Implementieung 1 setzt also eine hekömmliche Fußgängeampel um, was bei geingem Fußgängeaufkommen duchaus sinnvoll sein kann. Testfälle II: keine selbständigen Aktionen? a) Fg bleibt Fg b) Sg bleibt Sg Weitehin muss nach Voschift 3 de Schaltungsablauf imme neu gestatet weden, falls Bedaf angemeldet wid. Laut Spezifikation muss sich daduch die Ampel unglücklicheweise blockieen lassen. Dies alles lässt sich mit folgenden Testfällen übepüfen: Testfälle III: Voschift 3 eingehalten? a) S SAn F FAn 3s Fg b) F FAn S SAn 5s Sg c) F FAn S FAn FAn 3s Fg Diese Testfälle efüllen Implementieung 1 und 3. In Implementieung 3 ist soga die Ampel nach Ausfühen des Testfalls IIIa in Fußgänge-Gün gefangen. In Implementieung 2 können Fußgänge eine laufende Anmeldung nicht abbechen bzw. neu staten. Eine Staßenanmeldung wid bei laufende Fußgängeanmeldung zwischengespeichet und sofot ausgefüht, wenn die Fußgänge gün ehalten. Eine Fußgängeanmeldung wid dagegen bei laufende Staßenanmeldung einfach ignoiet. Implementieung 4 efüllt diese Testfälle ebenfalls nicht. Bei ih sind Mindestzeiten eingebaut, welche in de Spezifikation nicht genannt weden. Die einzelnen Schitte weden so est ga nicht alle ausgefüht (Test IIIa) ode est nach deutliche Vezögeung umgesetzt (Test IIIb). Eine Zusammenfassung ist in de Tabelle 3 dagestellt. Tabelle 3: Zusammenfassung Testfälle Testfall Implementieung Ia ok ok ok ok Ib ok ok ok ok IIa nein ok ok ok IIb ok ok ok ok IIIa ok nein ok nein IIIb ok nein ok nein IIIc ok nein ok nein Die Implementieungen 2 und 4 zeigen also von den Voschiften abweichendes Vehalten, die Spezifikationsteue von Implementieung 1 ist stittig. Dagegen sind in Implementieung 3 die Voschiften genau umgesetzt. Da, wie unten beschieben, die Systemspezifikation nicht seh sinnvoll ist, sind die von ih abweichenden Implementieungen fü den Alltag abe taugliche. Teilaufgabe 3 Systemspezifikation Die Systemspezifikation weist ehebliche Mängel auf: 33 34

18 Duch wiedeholtes Anmelden von Fußgängebedaf bei ote Fußgängeampel kann de Vekeh blockiet weden. Die Voschift 1 wid dann nach de Spezifikation imme wiede von vone ausgefüht. Sowohl Fußgängeampel als auch Staßenampel bleiben ot, sofen die Fußgänge häufige als alle 3 Sekunden auf einen ihe Knöpfe dücken. Dieses Poblem titt bei den Implementieungen 1 und 3 auf. Falls nach Meldung von Staßenbedaf Fußgänge innehalb von 5 Sekunden iheseits Bedaf anmelden, geät die Staßenanmeldung in Vegessenheit. Die Fußgänge haben daauf imme gün, da die Autofahe ihen Bedaf nu beim Übefahen, abe nicht beim unbewegten Stehen vo de Ampel anmelden können. Die Autofahe müssten also umkehen (was bei viel Vekeh echt schwieig sein düfte) und nochmal übe die Induktionsschleife fahen, um wiede eine Chance auf Gün zu ehalten. Dieses Poblem titt nu in Implementieung 3 auf. Daduch, dass nahezu ständig zwischen Gün fü Fußgänge und Fahzeuge umgeschaltet weden kann, summieen sich die Räumzeiten und vehinden flüssigen Vekeh. Es ist nicht geegelt, was passiet, wenn Staßen- und Fußgängebedaf bei ote Fußgängeund Staßenampel gleichzeitig angemeldet weden. Wenn die Fahzeuge in einem bestimmten Abstand fahen, kann es leicht passieen, dass die Fußgänge mehmals dücken müssen, um gün zu bekommen, da die Fußgängeanmeldungsvogang duch ein neu auf die Induktionsschleife fahendes Fahzeug untebochen wid. Es ist nicht geegelt, was passiet, wenn die Ampel das este Mal eingeschaltet wid. Die Abschaffung de Gelbphase füht wahscheinlich zu eine Reihe von Auffahunfällen, da Fahzeuge plötzlich stak bemsen müssen (weil etwa eine Ampel ohne Vowanung plötzlich ot wid). Um diesem Poblem zu entgehen, müssten die Fahzeuge einen seh viel gößeen Sicheheitsabstand einhalten, woduch abe de Duchsatz de Staßen veinget wid. Ob die Räumzeiten (3s bzw. 5s) auseichen, ist faglich. Aus all diesem egibt sich, dass Fußgänge und Staßenfahzeuge, andes als von den Bügen von Pedes beabsichtigt, nicht gleichbeechtigt sind. Die Fußgänge können die Ampel blockieen ode sich nahezu ständiges Gün sichen. Die meisten de beschiebenen Pobleme lassen sich duch die Einfühung von Mindestzeiten fü die Günphasen lösen. Dass jedezeit ein Schaltungsvogang abgebochen weden kann (Voschift 3), escheint nicht sinnvoll, da daduch die Ampel blockiet weden kann und unnötig oft Räumzeiten efodelich sind. soll dabei die Zeitachse sein, die Zeitpunkte de Bedafsanmeldungen und de Fabwechsel de Ampeln soll ekennba sein. Ein allgemeines Zustandsdiagamm, das die Ampelspezifikation wiedegibt, efüllt die Aufgabe nicht. Teil 2: Es sollten folgende Besondeheiten ekannt weden, welche von de Spezifikation abweichen bzw. nicht ewähnt weden. Implementieung 1: Die Ampel begenzt die Fußgänge-Gün-Phase. Implementieung 2: Die Fußgänge können eine laufende Staßenanmeldung nicht abbechen. Wid eine Fußgängeanmeldung duch eine Staßenanmeldung untebochen, so schaltet die Ampel nach eine seh kuzen Günphase fü die Fußgänge und voschiftsgemäßen Räumzeiten auf Staße gün. Implementieung 4: Die Ampel ezwingt entgegen de Spezifikation Mindestzeiten. Die Abweichungen von de Spezifikation müssen explizit benannt weden. Außedem soll bemekt weden (nicht zwingend duch ein Testfall zu belegen): Implementieung 3: Falls Fußgänge die Staßenanmeldung untebechen, hescht Daueot fü die Fahzeuge, da sie schlecht die Induktionsschleife ein zweites Mal übefahen können. Teil 2: Die obigen Besondeheiten sollen mit Hilfe geeignete Testfälle entdeckt weden. Die Testfälle sollen möglichst explizit beschieben weden. Jede Testfall muss (sofen möglich) auf alle Implementieungen angewendet weden und das Egebnis beschieben weden. Teil 3: Mindestens dei sinnvolle Schwächen de Spezifikation sollen ekannt weden, z. B. die folgenden: dass bei ständigem Umschalten de Ampel die nötigen Räumzeiten den Vekehsfluss stak behinden. das Blockieen allen Vekehs duch häufiges Dücken von Fußgängen. das Vegessen de Staßenanmeldung bei schnell daauffolgende Fußgängeanmeldung (s.o.). Es ist naheliegend, auch auf Lösungsmöglichkeiten wie die Spezifizieung von Mindestzeiten einzugehen; gefodet ist das duch die Aufgabenstellung abe nicht. Bewetungskiteien Teil 1: Im Diagamm sollte fü eine gewisse Zeit die Ampelfunktion koekt dagestellt weden: Es sollte mindestens fü eine Staßenbedafs- und Fußgängebedafsanmeldung de zeitliche Ablauf de jeweiligen Signalwechsel aufgezeigt weden. Die Hauptachse 35 36

19 Aus den Einsendungen: Pelen de Infomatik Allgemeines Wote des Wettbewebs: Algohytmus, Bokolie... wüde ich mich seh übe ein Featback feuen. Leide habe ich aufgund akuten Zeitmangels und kuzfistige Entscheidung am BWINF teilzunehmen diese Aufgaben komplett gelöst. Einen genaueen Plan, wie das Pogamm späte aussehen wüde, hatten wi noch nicht, abe wi machten uns est einmal an die Abeit. Technisches code-basietes Pogammieen Killeameisen-Heuistik Beim Ducken stellte sich heaus, dass mein Ducke nu bei Text ein klaes Duckbild ezielt. Bilde wuden leide steifig [..] fü die 2. Runde epaiee ich das Geät. In de gößeen fo-schleife findet sich eine kleinee wiede. Um ein möglichst einfaches Pogamm zu scheiben, bei dem wahscheinlich viele Vaiablen benötigt weden, haben wi die Pogammiespache Javascipt benutzt. Ich habe mein Pogamm in Javascipt geschieben, da ich hiemit seh einfach plattfomunabhängige GUIs mit eine auf den esten Anblick seh mächtigen Spache estellen kann. Die Eingabe wid mit dem Admit Button bestätigt. Als estes wid das Pogamm auf nahezu null zuückgesetzt. Das Pogamm wude in C ( ) geschieben. Das Pogamm ist gegen etwaige Eingabenfehle gesichet, lediglich das Schließen des GUI- Fenstes ist zu untelassen. Einzelne Funktionen sind nach dem Pinzip de objektoientieten Pogammieung als sepeate und univeselle functions aufgebaut... Die Daten... sind hiebei als Datenfelde eine zentalen Klasse Coe gespeichet. Das Pogamm sollte in einzelnen Schitten abeiten, damit kein Fehle auftitt und man späte meh Übesicht hat. Wi haben uns fü C++ entschieden, weil es eine übesichtliche Benutzeobefläche zu Vefügung stellt. Passendes Wot Wi kommen in 12 Vesuchen! Und we lässt schon dei Wochen lang seinen PC laufen, nu um wie Chuck Nois ohne Einladung ins SchüleVZ zu kommen.... und velänget entspechend die knack-daue. Da unsee Welt imme bilinguale wid... Da dieses Poblem keine seh hohe algoithmische Komplexität hat, kann auf Objetktoientieung vezichtet weden. Pizzavision Pizzazutaten: Oktopus, Tastatu, Schokoladeneis, Gänseblümchen, Vitamin-C-Pillen, ganze Bananen mit Schale, ganze Thunfisch, Sushi, Salatguken, ganze Ananas, Sahne, Nachos, Hühnekeule Ich denke mal objektoientiet. Eine Pizza ist eine Pizza. Die Tatsache, dass unse Pogamm eine leckee Pizza estellt und Feude auf meh Zutaten macht, sehe ich auf Gund eine längeen und feiwilligen(!) Vewendung duch meine Schweste bestätigt.... man müsste 2 12 = 4096 veschiede Pizzas haben ode kaufen. Wenn de Use mit seinen Zusammenstellungen zufieden ist, sollte e die Pizza so bestellen können. Dies konnte natülich nicht bis in die letzte Instanz ausgefüht weden, da mi dazu die Pizzabäckeei fehlt! Ich habe das Pizzapogamm noch mit CSS veschönet... /** * Das ist de Gund, waum es keinen Käse gibt etun */ public static Sting getmaus() { StingBuffe maus = new StingBuffe(); maus.append (" 0 \n"); maus.append (" /. \\ _\n") maus.append ("*\\ \\_/\n") etun maus.tosting() } 37 38

20 Tankomatik Spekulanten, Altbundeskanzle und Scheichs haben einen wesentlich gößeen Einfluss auf den Ölpeis als die Vebauche eine Kleinstadt. Asso sollte einen Tankwat einstellen.... sollte einmal ein Tankwat mit de nötigen Intelligenz da sein und diese Infomationen an die Zentale weitegeben. 365 Tage, also fast ein Jah... außedem ändet sich nachts de Peis nicht (18-6 Uh), da die Bösiane pennen. Wenn es meh als 60 Kunden in de Stunde gibt, wid übeall Fehle angezeigt. Bitte nicht eschecken, ich habe das Diagamm aufgund seine Göße geteilt. Duch geingfügige Abweichungen des stündlichen Benzinpeises de Konguenten... Bei de nächsten Simulation vewende ich nu ein Zeitintevall von 8760 Tagen, was einem nomalen Kalendejah entspicht. Die Pozedu eniedigt das Untelimit fü Maktpeise um Hiebei nutze ich die Gelegenheit und visualisiee einige Daten in Diagammen zu optischen Vestäkung. De häufigste Fehle im Zusammenhang mit Bösenkusen ist die Annahme, dass die Schwankungen sich duch eine Nomalveteilungg bescheiben lassen. Diese Fehle wid so häufig begangen, dass es nicht schlimm sein kann, wenn ich den gleichen Fehle mache. Alle Alpen Keisund Die Laufzeit des Algoithmus steigt fakultativ mit de Anzahl de Mitabeite an. Schon nach wenigen Sekunden ist de Algoithmus in goßen Suchtiefen veschwunden. Elten, die eine bestimmte Teeküche besuchen, heißen Use diese Teeküche. Ein Teezyklus von 0 wüde bedeuten, dass de Kollege seine komplette Abeitszeit in de Teeküche vebingt, was zu Folge hätte, dass e dot ga nicht meh abeiten wüde, weil man ihn schon längst ausgeschmissen hätte. Zahl2:= ; // Diese Wet indiziet eine iepaable Begenzungsübetetung Bügeampel Vielleicht wa Methode 3 abe auch einfach nu ein Modell zu Bekämpfung des Klimawandels, weil sich dabei wohl jede Autofahe genau übelegen wüde, ob e nicht doch liebe zu Fuß gehen sollte, weil e an de Ampel wahscheinlich sowieso nicht weitekommen wüde. Methode 4 de Implementation behebt diese Pobleme, indem eine Mindestdaue festgelegt wid, die eine Ampel gün sein muss. In diesem Zeitaum wid eine Bedafsanmeldung zuückgestellt und späte duchgefüht. Dies scheint (nach meinen intensiven Vesuchen mit dem lokalen Ampelsystem) auch in Wiklichkeit sichegestellt zu sein. Da bleibt nu noch eins: Bei Rot fahen. Ein solches Ampelsystem stellt definitiv zu hohe Anspüche an die Sozialkompetenz de Betoffenen. De Beg muss fallen! Keuch, das wa anstengend, estmal den Augenblick genießen.... zuest angweilig geadeaus... und dann noch ein Ausschnitt aus dem VW-Bösenchat. So eeicht man, dass die Spitzen de Bege nach oben zeigen und das Gebige nicht an de Decke hängt.... abe de zu Vefügung stehende Abeitsspeiche ist deutlich begenzte als die (theoetische ewig) vohandene Ausfühungszeit. Aus einem Gund, den ich mittleweile nicht meh nachvollziehen kann, habe ich -1 duch 0, 0 duch 1 und 1 duch 2 ausgedückt. Hie ist also ein Lösung mittels Bute Foce angemessen

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