Extremwertaufgaben

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1 7.4.. Extemwetaufgaben Bei Extemwetaufgaben geht es daum, dass bei einem gestellten Sachvehalt (Textaufgabe) igendetwas zu maximieen bzw. zu minimieen ist. Dabei geht man nach einem festen, vogegebenen Schema vo, dass ich euch zuest in allgemeine Fom und anschließend an einem konketen Beispiel zeigen möchte. Vogehensweise: 1. Nachdem man die Aufgabe einmal insgesamt duchgelesen hat, vesucht man den Sachvehalt evtl. duch eine Skizze dazustellen.. Nun stellt man die Extemalbedingung auf. Damit ist gemeint, dass man eine Fomel fü die Göße finden muss, die in de Aufgabe maximiet bzw. minimiet weden soll. Diese Extemalbedingung ist nomaleweise von meheen Vaiablen abhängig und das ist das Poblem, das mit Hilfe de Nebenbedingungen gelöst weden soll (siehe nächsten Punkt). Im Text befinden sich meist noch weitee Hinweise (Nebenbedingungen), die man auch als Gleichung dastellen muss. In manchen Fällen ist die Nebenbedingung nicht ausdücklich in de Aufgabe vemekt. Die Nebenbedingung kann dann auf einem allgemeinen mathematischen Sachvehalt (Pythagoas, Stahlensatz...) beuhen. Die Anzahl de Nebenbedingungen ist übigens kla vogegeben. Sie hängt nämlich von de Anzahl de Vaiablen ab, von denen die Extemalbedingung abhängig ist. Zieht man von de Anzahl de Vaiablen, von denen die Extemalbedingung abhängt eins ab, so ehält man die Anzahl de benötigten Nebenbedingungen. Hängt die Extemalbedingung von Vaiablen ab, so baucht man 1 Nebenbedingung. Hängt die Extemalbedingung von Vaiablen ab, so baucht man Nebenbedingungen usw. 4. Als nächstes muss die Zielfunktion estellt weden, indem man die Nebenbedingungen nach eine Vaiable auflöst und in die Extemalbedingung einsetzt. Hat man alle Nebenbedingungen in die Extemalbedingung eingesetzt, so ist dann die Extemalbedingung nu noch von eine Vaiablen abhängig. Aus de Extemalbedingung ist somit die Zielfunktion gewoden. 5. Die Zielfunktion muss man dann zweimal ableiten 6. Um auf ein potentielles Extemum (Maximum ode Minimum) zu kommen, muss man die este Ableitung gleich Null setzen und die Gleichung dann lösen (Wekzeugkasten). Im Gunde beechnet man mit diesem Ansatz einen Hochpunkt bzw. Tiefpunkt de Zielfunktion. Die Tatsache, dass man die este Ableitung gleich Null setzen muss, um ein potentielles Maximum ode Minimum zu bestimmen, kennen wi ja noch von de Kuvendiskussion. 7. Hat man in Punkt 6 ein potentielles Maximum ode Minimum gefunden, dann muss man diesen Wet noch in die zweite Ableitung einsetzen, um zu ekennen, ob es übehaupt ein Extemum (zweite Ableitung ungleich Null) ist und wenn ja, was fü eins. Ein Maximum liegt vo, wenn die zweite Ableitung kleine Null ist, wähend ein Minimum voliegt, wenn die zweite Ableitung einen Wet göße Null egibt. Auch diesen Vogang kennen wi noch von de Kuvendiskussion. 8. In Punkt 7 haben wi also bestimmt, an welche Stelle ein Maximum ode Minimum voliegt. In de Aufgabe ist meistens noch nach eine weiteen Göße des Sachvehaltes gefagt, die man duch Einsetzen de Lösung entwede in die Zielfunktion ode in eine andee Gleichung des Rechenweges (Extemalbedingung ode Nebenbedingung) bestimmen kann. 9. Ganz selten muss man den Definitionsbeeich de Zielfunktion aufstellen und dessen Genzen übepüfen, ob da nicht noch ein Extemum vesteckt ist.

2 Das komplette Schema fü Extemwetaufgaben in Kuzfom 1. Textaufgabe duchlesen und Infomationen heausscheiben (evtl. Skizze).. Extemalbedingung aufstellen (was soll maximal ode minimal weden).. Nebenbedingungen aufstellen (beachte Infos im Text ode allg. Ansatz z.b. Pythagoas). 4. Zielfunktion duch einsetzen de Nebenbedingungen in die Extemalbedingung estellen. 5. Zielfunktion -mal ableiten. 6. Potentielles Extema de Zielfunktion bestimmen (1.Ableitung gleich Null setzen). 7. Übepüfung des Potentiellen Extemas duch einsetzen in die.ableitung (ungleich 0). 8. Übige Gößen (Vaiablen) mit Hilfe de Nebenbedingung, Zielfunktion ode de Extemalbedingung bestimmen. 9. Evtl. Definitionsbeeich de Zielfunktion bestimmen und auf Randextema untesuchen.

3 Zum besseen Veständnis ein einfaches Beispiel zu Extemwetaufgaben: Aufgabe 1: Gegeben ist ein Rechteck, von dem die Seitenlängen (a und b) unbekannt sind. De Umfang des Rechteckes soll auf jeden Fall 0 cm betagen. Wie lang müssen die Rechteckseiten a und b sein, damit de Flächeninhalt des Rechteckes maximal wid? De Lösungsweg: 1. De Sachvehalt wid als Skizze dagestellt: a b U = 0 cm. In de Aufgabe soll de Flächeninhalt maximiet weden. Also ist die Extemalbedingung die Fomel fü den Flächeninhalt (A) eines Rechteckes Extemalbedingung A a b. Die Extemalbedingung hängt von Vaiablen ab. Man baucht deswegen nu eine Nebenbedingung (Anzahl abhängige Vaiablen in Extemalbedingung minus eins). Im Text haben wi den Hinweis, dass de Umfang des Rechteckes 0 cm betagen soll. Daaus egibt sich dann folgende Gleichung fü die Nebenbedingung, die im Folgenden nach eine beliebigen Vaiablen (hie a) aufgelöst wid: Nebenbedingung: U a b 0 a b b Seiten 0 b a vetauschen a 0 b : a 10 b 4. Die Nebenbedingung wid in die Extemalbedingung eingesetzt und daduch ist die Extemalbedingung jetzt nicht meh von a und von b abhängig, sonden nu noch von b. Aus de Extemalbedingung ist somit die Zielfunktion gewoden. Da man die Zielfunktion im nächsten Schitt ableiten soll, veeinfacht man die Zielfunktion duch Ausmultiplizieen de Klamme und anschließendes sotieen des Ausduckes (vone die höchste Potenz) Zielfunktion Extemalbedingung: Zielfunktion: veeinfachte Zielfunktion A a b A 10 b b A 10b b A b 10b 5. Die veeinfachte Zielfunktion wid dann zweimal abgeleitet: A b 10b A b 10 A Die Rechnung wid auf de nächsten Seite fotgesetzt

4 6. Die este Ableitung wid gleich Null gesetzt und die entstehende Gleichung wid aufgelöst A 0 b b 10 : b 5 potentielles Extemum 7. Ob die Lösung b = 5 nicht nu ein potentielles Extemum (Minimum ode Maximum) ist, sonden auch ein tatsächliches und wenn ja was fü eins, das bekommen wi heaus, wenn wi das potentielle Extemum in die zweite Ableitung einsetzen A A5 0 Maximum Die zweite Ableitung ist auf jeden Fall ungleich Null. Also liegt ein Extemum vo. Da die zweite Ableitung negativ ist, handelt es sich um ein Maximum 8. Inteessant wäe jetzt noch, wie lang ist die andee Seite (a) und wie goß ist denn diese maximale Fläche (A). Die maximale Fläche ehalten wi, indem wi b = 5 in die Zielfunktion, am besten in die veeinfachte Zielfunktion, einsetzen (links). Fü die andee Seite a haben wi im Rechenvelauf unte Punkt auch eine entspechende Gleichung, in die wi b einsetzen können (echts). A b 10b A A(5) 5 50 A5 5 a 10 b a 10 5 a 5 Insgesamt können wi also festhalten, dass ein Rechteck, dessen Umfang 0 cm betägt, mit den Seitenlängen a = 5 cm und b = 5 cm einen maximalen Flächeninhalt von 5 cm² hat. Wenn man den Wet fü a und b alledings vegleicht, stellt man fest, dass es sich jetzt eigentlich ga nicht meh um ein Rechteck handelt, sonden um ein Quadat. Eine weitee etwas komplexee Extemwetaufgabe.

5 Aufgabe : Eine Fima möchte zylindefömige Dosen fü Bohnensuppe hestellen. In eine Dose soll jeweils ein halbe Lite Bohnensuppe. Ein halbe Lite Bohnensuppe hat ein Volumen von cm³. Wie hoch bzw. welchen Radius muss die zylindefömige Dose haben, wenn Sie den Mateialvebauch und damit die Kosten bei de Poduktion de Dose so geing wie möglich halten möchten? Tipp: Scheu dich nicht, bei Poblemen in andeen Kapiteln nachzulesen! SKIZZE h = Höhe Volumen = V = cm³ = Radius 1. Aus den Infomationen des Textes kann man obige Skizze anfetigen.. Im Text kommt nu indiekt zum Ausduck, dass man die Obefläche de Dose minimieen soll. Also bauchen wi die Fomel fü die Obefläche eines Zylindes als Extemalbedingung. Wenn man die Fomel nicht meh im Kopf hat, kann man in eine Fomelsammlung nachschlagen. Hat man keine Fomelsammlung zu Vefügung, dann kann man sich die Fomel auch logisch heleiten. Die Obefläche eines Zylindes besteht aus Keisen oben und unten (G) und dem Mantel M O G M Die Fomel fü die Keisfläche (G) ist Pi mal Radius im Quadat (²). De Mantel ist de Umfang de Gundfläche ( U G ) mal die Höhe (h). Die Gundfläche ist ein Keis und de Umfang des Keises wid beechnet mit mal Pi mal Radius (). G M U h h G Wenn man G und M in die Obeflächenfomel einsetzt ehält man die Extemalbedingung Extemalbedingung: O h. Die Extemalbedingung ist von den beiden Vaiablen und h abhängig. Wi bauchen deshalb eine Nebenbedingung, die wi aus dem Hinweis im Text heleiten können, dass das Volumen de Dose cm³ betagen soll. Wi benötigen also die Fomel fü das Volumen eines Zylindes, die wi notfalls auch heleiten müssen. Fü das Volumen von Köpen gilt allgemein Gundfläche (G) mal Höhe (h). Die Gundfläche ist ein Keis und die Keisfläche wid mit Pi mal Radius im Quadat (²) beechnet V G h V h In die Nebenbedingung wid de Wet fü das Volumen eingesetzt und nach eine beliebigen Vaiablen aufgelöst. Hie entscheiden wi uns fü die Höhe h, denn h ist sowohl in de Nebenbedingung als auch in de Extemalbedingung nicht in quadatische Fom und deshalb Die Rechnung wid auf de nächsten Seite fotgesetzt

6 einfache als de Radius zu bestimmen. Die Aufgabe ist theoetisch abe an diese Stelle auch duch auflösen nach lösba, alledings wid de Rechenweg insgesamt wohl kompliziete. V h Nebenbedingung: h Seiten vetauschen h : h : h 4. Die Nebenbedingung wid in die Extemalbedingung eingesetzt und man ehält somit die Zielfunktion. Die Extemalbedingung wa ja von den beiden Vaiablen und h abhängig und duch das Einsetzen de Nebenbedingung in die Extemalbedingung ist die Zielfunktion entstanden, die jetzt nu noch von abhängt. Da die Zielfunktion im nächsten Schitt abzuleiten ist, wid sie noch ein wenig veeinfacht. Die Veeinfachungen, die hie vogenommen weden, setzen schon eine gewisse Sicheheit in den Gundlagen voaus, da man bei diesem Ausduck schon leicht den Übeblick veliet. Zunächst wude wie gesagt h duch die Nebenbedingung esetzt. Dann hat man alles was vo dem Buch stand, in den Zähle veschoben, was aufgund de Multiplikation auch möglich ist. Diese Veschiebung ist nicht zwingend efodelich, ich habe Sie hie abe totzdem gemacht, damit man jetzt beim anschließenden Küzen einen besseen Übeblick hat. Küzen ist hie übigens elaubt, da de gesamte Zähle und auch de gesamte Nenne mit Malpunkten veknüpft ist. Wäe im Zähle ode im Nenne ein Plus ode ein Minus, dann wäe hie küzen nicht möglich. Wi küzen also und Pi heaus und multiplizieen anschließend den Zähle aus Zielfunktion: Extemalbedingung: Zielfunktion: veeinfachte Zielfunktion: O h O O O 5. Die veeinfachte Zielfunktion muss jetzt abgeleitet weden. Dazu voweg folgende Hinweise. Das Plus tennt den Ausduck in zwei Teile, die man gemäß Summenegel getennt ableiten kann. Beim esten Teil ist zu beachten, dass man mal Pi als Konstanten die multipliziet weden auffasst, die beim Ableiten ehalten bleiben. Im zweiten Teil ist unangenehm, dass im Nenne steht. Dazu gibt es eine spezielle Regel, die Ih falls nötig im Kapitel Diffeentialechnung und dot speziell unte besondee Funktionen und deen Ableitung S.06 nachlesen könnt. 000 O 4 und O 4 6. Die este Ableitung wid gleich Null gesetzt und die entstehende Gleichung wid

7 aufgelöst. Beim Auflösen multipliziet man zunächst mit ², da Büche, bei denen die Vaiable im Nenne steht, imme am meisten stöen. De Rest düfte bis auf die ditte Wuzel unpoblematisch sein. O : : 50 4, 7. Ob die Lösung = 4, nicht nu ein potentielles Extemum (Minimum ode Maximum) ist, sonden auch ein Tatsächliches und wenn ja was fü eins, das bekommen wi heaus, wenn wi das potentielle Extemum in die zweite Ableitung einsetzen 000 O O( 4, ) 4 4, O( 4, ) 7, 7 0 Minimum Die zweite Ableitung ist ungleich Null und deswegen liegt ein Extemum vo. Da die zweite Ableitung auch noch positiv ist, egibt sich ein Minimum, und das ist auch gut so, denn wi wollen ja die Obefläche minimieen. 8. Im letzten Schitt bestimmen wi duch Einsetzen von in die veeinfachte Zielfunktion diese minimale Obefläche (links) und natülich noch die Höhe, indem wi in die entspechende Gleichung (Nebenbedingung) fü die Höhe einsetzen (echts). O O 4, 4, O 48, 7 cm² h h 4, h 8, 6 cm Antwot: Eine zylindische Dose fü Bohnensuppe mit einem Radius von 4, cm und eine Höhe von 8,6 cm hat ein Volumen von cm³ und dabei eine minimale Obefläche von 48, 7 cm²

8 Die folgende Aufgabe ist wiede etwas leichte und du kannst sie deshalb mal alleine vesuchen. Die Lösung alle folgenden Aufgaben findest du übigens ausfühlich eklät auf de DVD Extemwetaufgaben. Aufgabe : Aus einem 96 cm langen Daht soll das Kantenmodell eine quadatischen Säule hegestellt weden. Wie lang sind die Kanten zu wählen, damit die Säule maximales Volumen hat. Die Lösung veate ich schon jetzt: Die Kanten müssen 8 cm lang sein. Vesuche doch mal, diese 8 cm zu beechnen. Bestimme auch noch das maximale Volumen. Eine seh beliebte Aufgabe in Abeiten ist die folgende Aufgabe 4: Aus einem DIN A4 goßem Blatt Papie (9,7 cm auf 1 cm) soll eine Kiste mit möglichst goßem Volumen hegestellt weden, indem man aus jede Ecke ein Quadat mit de Seitenlänge x heausschneidet. Bestimme die Seitenlängen de Kiste und das sich daaus egebende maximale Volumen de Kiste Die Extemwetaufgaben können übigens auch mit Funktionen vebunden weden Aufgabe 5: Fü welchen Punkt P (bitte Koodinaten bestimmen) de Funktion f(x) = x² + 1 in dem Intevall [ 0; ]ist die Fläche des in de Skizze unte de Funktion einbeschiebenen Rechteckes maximal