Greedy Algorithmen für aufspannende Arboreszenzen

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1 Geedy Aloithmen fü aufspannende Aboeszenzen Biit Hubet 23. Juni 29 1 Minimal aufspannende Bäume 1.1 Wiedeholun Sei G=(V, E) ein zusammenhänende Gaph, wobei V die Mene de Knoten und E die Mene de Kanten dastellt. Sei c e > das Gewicht de Kante e. Gesucht ist eine Teilmene T E, so dass de Gaph (V, T) zusammenhänend ist und die Gesamtkosten c e minimal sind. Wi kennen das Poblem aus de Gundvolesun und wissen, dass die Lösun ein Baum ist, denn (V, T) ist nach Voaussetzun zusammenhänend und anenommen es äbe einen Keis C mit e C, dann ist (V, T \{e} ) auch zusammenhänend, da man einfach den läneen We im Keis nehmen kann. Also ist (V, T \ {e} ) auch eine möliche Lösun und hat einee Gesamtkosten. Wi nennen den Baum Spannbaum. Damit ist das beschiebene Poblem äquivalent dazu den minimalen Spannbaum zu nden. 1.2 Elementae Geedy-Aloithmen Wi kennen das Poblem aus den Gundvolesunen. Ein Spannbaum ist ein Teilaph T G so, dass T ein Baum ist, de alle Knoten des Gaphen G enthält. Da T ein Baum ist, muss T nach Denition keisfei sein. Wi kennen dei einfache Aloithmen zu Bestimmun minimale Spannbäume in Gaphen. Im Folenden weden wi sie kuz wiedeholen und die Optimalität von einem beweisen Aloithmus von Kuskal De Aloithmus wählt unte den noch nicht ausewählten Kanten von G die küzeste aus, voausesetzt, sie bildet mit den beeits ausewählten Kanten keinen Keis. De Aloithmus fänt also ohne Kanten an und füt sukzessiv Kanten ein, bis man keine Kanten meh hinzufüen kann, weil sie einen Keis bilden wüden. 1

2 1.2.2 Aloithmus von Pim Diese Aloithmus hat Ähnlichkeit mit dem Dijksta Aloithmus fü küzeste Wee. Wi beinnen mit dem Statknoten s und bauen von s aus einen minimalen Spannbaum auf. Wi vewalten eine Mene von Knoten S V, die den beeits teilweise konstuieten Spannbaum enthält. Im esten Schitt ist S={s} und in jedem weiteen Schitt füt man einen Knoten ein, de von de Mene S aus auf küzestem We eeichba ist. Wi füen also einen Knoten v ein, fü den ilt min e=(u,v):u S {c e }. Wi wollen die Optimalität von Pim's Aloithmus zeien. Als Hilfmittel hiefü bauchen wi einen Satz übe Schnitte in Gaphen. Cut-Popety Anenommen alle Kantenewichte seien unteschiedlich und positiv. Sei S eine Teilmene von Knoten mit S V und s. Sei e=(v, w) eine Schnittkante, d.h. v S und w V \ S. Dann ist e in jedem minimalen Spannbaum enthalten. Beweis: Sei T ein Spannbaum ohne e. Wi zeien, dass T nicht minimale Kosten hat. Dazu vewenden wi ein Austausch-Aument: Wi nehmen eine Kante e T mit c e > c e. Wi tauschen e' mit e und ehalten somit einen ünstieen Spannbaum als T. Da e=(v, w) und T ein Spannbaum ist, ibt es in T einen We P von v nach w, de e nicht enthält, da e / T ist. Auf diesem We P muss es eine Kante e'=(v', w') eben, mit v S und w V \ S. Da de We P zusammen mit e einen Keis bildet, kann e' mit e esetzt weden. Wi ehalten einen Mene von Kanten T = T \ {e } {e}. Es bleibt zu zeien, dass (V, T') ein Spannbaum ist. (V, T') ist zusammenhänend, da (V, T) zusammenhänend ist und jede We, de vohe in (V, T) die Kante e' benutzt hat, kann jetzt übe die Kante e in (V, T') umeleitet weden. (V, T') ist keisfei, da de einzie möliche Keis aus P {e} bestand. Da wi abe e' entfent haben, ist diese Keis nicht in T'. Damit ist (V, T') ein Spannbaum. Diese Spannbaum ist minimal, da c e < c e. Also sind die Gesamtkosten von T' kleine als die Gesamtkosten von T. Beh.: Pim beechnet einen minimalen Spannbaum. Beweis: In jedem Iteationsschitt des Aloithmus haben wi eine Mene S V, auf de eine Teilmene eines minimalen Spannbaums konstuiet ist. In jedem weiteen Schitt wid ein Knoten v V \ S hinzuefüt, de die Bedinun min e=(u,v):u S {c e } efüllt. Nach Denition ist also e die ünstiste Kante mit einem Ende in S und dem andeen Ende in V \ S. Es folt aus de Cut-Popety, dass jede minimale Spannbaum diese Kante enthalten muss. 2

3 Wi haben anenommen, dass alle Kantenewichte unteschiedlich sind. Wi können leicht zeieen, dass die Aussaen totzdem auch in Gaphen elten, in denen es mölicheweise leiche Kantenewichte ibt. Sei G ein zusammenhänende Gaph, in dem es Kanten mit leichen Gewichten ibt. Wi nehmen eine seh kleine Zahl ɛ > und ɛ << 1 und petubieen die Kantenewichte in G mit ɛ. Anschlieÿend sind alle Kantenewichte unteschiedlich, abe die öÿe-kleine-relationen bleiben ehalten Revese-Delete Aloithmus Eine At "Rückwätsvesion" von Kuskal's Aloithmus. Wi beinnen mit dem vollständien Gaphen (V, E) und löschen Kanten maximalen Gewichts. Wi suchen also im Gaphen (V, E) die Kante mit maximalem Gewicht und übepüfen, ob das Löschen de Kante zu einem unzusammenhänenden Gaphen fühen wüde. Ist dies nicht de Fall, so löschen wi die Kante. 2 Minimal aufspannende Aboeszenzen 2.1 Poblembescheibun Sei G=(V, E) ein eichtete Gaph mit Kantenewichten c e und sei e V seine Wuzel. Eine Aboeszenz bezülich ist ein eichtete Spannbaum mit Wuzel. Also ein Teilaph T=(V, F), wobei T ein Spannbaum von dem zuunde lieenden uneichteten Gaphen ist und im eichteten Gaphen T fü alle Knoten v V ein We von nach v existiet. Wi wollen eine kostenminimale Aboeszenz beechnen. Wie man sieht ibt es eine oÿe Ähnlichkeit zum minimalen Spannbaum Poblem in uneichteten Gaphen. Desween stellt sich zuest die Fae, ob die dot vewendeten Aloithmen vielleicht auf dieses Poblem übetaba sind. Die Aloithmen von Pim und Kuskal basieen beide daauf, dass laut Cut- Popety eine minimale Kante auch in einem minimalen Spannbaum enthalten sein muss. Diese ilt abe nicht fü Aboeszenzen. Wenn z.b. die minimale Kante in die Wuzel hineinfüht, ist sie natülich nicht in de minimalen Aboeszenz enthalten. Ein weitees Beispiel: b 1 2 a 2 d c 3

4 Die Kante (c, a) ist oensichtlich Kante minimalen Gewichts. Anenommen, wi ehen vo wie bei Kuskal und füen als estes diese Kante in die minimale Aboeszenz ein, so kann man anschlieÿend die Kante (, a) nicht meh einfüen, da nach Denition nu eine Kante in einen Knoten heeinfühen daf und wi müssten die Kante (, b) ode (, c) mit Kantenewicht 1 vewenden. Bei enaue Betachtun des Gaphen sieht man, dass de minimale Spannbaum bzl. die maximale Kante des Keises enthält. Man kann soa Beispiele konstuieen, in denen eine minimale Aboeszenz die teueste Kante des esamten Gaphen enthält. 2.2 Konstuktion eines Aloithmus Totz den oben enannten Poblemen kann man einen Geedy-Aloithmus zu Poblemlösun konstuieen. Zuest ein Hilfssatz: Hilfssatz 1: Ein Teilaph T=(V, F) von G=(V, E) ist eine Aboeszenz bzl. Wuzel enau dann, wenn T keinen Keis hat und fü alle Knoten v enau eine Kante nach v füht. Beweis: Wenn T eine Aboeszenz ist, ibt es fü jeden Knoten v enau einen (, v)-we. Gäbe es zu einem Knoten v meh als einen (, v)-we, wäe das Gesamtewicht des Baums nicht minimal, weil man auf einen de beiden Wee vezichten könnte und einfach den Küzeen wählt. Also füht auch zu jedem Knoten enau eine Kante. Umekeht, anenommen T hat keinen Keis und jede Knoten v hat enau eine einehende Kante. Wi müssen zeien, dass es zu jedem Knoten v einen (, v)-we ibt. Wi konstuieen diesen We folendemaÿen: Wi staten bei v und ehen die Kante ückwäts. Da T keine Keise hat, können wi niemals zum Ausanspunkt zuückkommen, also muss de Voan teminieen. Da de einzie Knoten ohne einteende Kante ist, stoppt de Voan enau bei. Da v beliebi wa, haben wi einen (, v)-we v V. Jetzt übelet man sich, was bei einem einfachen Geedy-Aloithmus, de einfach sukszessiv die billisten Kanten einfüt, schief eht. Naive Stateie: v V \{}: Wähle die billiste Kante, die nach v füht. Sei F* die Mene diese n-1 Kanten, wobei V =n. Betachte den Teilaph (V, F*): Wi wissen aus dem Hilfssatz, dass eine optimale Aboeszenz fü alle Knoten v V \ {} enau eine Kante hat, die nach v füht. Da (V, F*) nach Konstuktion die billisten Kanten enthält, ilt: Wenn (V, F*) eine Aboeszenz ist, dann ist es auch eine minimale Aboeszenz. Das Poblem ist also, falls (V, F*) keine Aboeszenz ist. In diesem Fall muss (V, F*) einen Keis C enthalten, de nicht die Wuzel duchläuft. Das folt unmittelba aus dem Hilfssatz.

5 Beobachtun: Die eientlichen Kosten eine Kante, die nach v füht, sind nicht ausschlaebend. Wichtie sind die Kosten eine einehenden Kante elativ zu den Kosten alle andeen einehenden Kanten zu betachten. Sei y v = min ce {c(u, v) : u V } die minimal nach v fühende Kante. Wi denieen fü jede Kante e=(u, v) modiziete Kosten c e = c e y v. Da c e y v, sind alle modizieten Kosten nicht-neativ. Da sich die Relationen zwischen den Kantenewichen duch das modizieen nicht veänden, ilt, dass T eine optimale Aboeszenz in G bzl. de Kosten {c e } ist, enau dann, wenn T eine optimale Aboeszenz bzl. de modizieten Kosten {c e} ist. Im Folenden betachten wi das leiche Poblem mit modizieten Kosten. Alle Kanten de Mene F* haben jetzt modizietes Gewicht. Falls (V, F*) einen Keis hat, haben auch alle Keis-Kanten Gewicht. Das bedeutet man kann so viele Kanten von C vewenden, wie man will, da es die Gesamtkosten nicht ehöht. Die Idee ist, dass wi C zu einem einzien oÿen Knoten schumpfen. Daduch ehalten wi einen kleineen Gaph G'=(V', E'). V' enthält alle Knoten v V \C und einen oÿen Knoten c*, de C epäsentiet. G' kann daduch paallele Kanten enthalten. Falls abe c* Schlinen hat, weden diese elöscht. 2.3 Geedy-Aloithmus fü Aboeszenzen De oben heeleitete Aloithmus zusammenefasst: (1) Fü alle Knoten v. (2) Sei y v das minimale Gewicht alle nach v fühenden Kanten. (3) Modiziee die Kosten alle einehenden Kanten e nach v zu c e = c e y v. () Füe eine -Kante mit Endknoten in v in F* ein. Man ehält eine Mene von Kanten F*. (5) Falls F* eine Aboeszenz ist, stopp. Retun F*. (6) Sonst existiet ein eichtete Keis C F. (7) Schumpfe C zu einem einzien oÿen Knoten. Es esultiet ein Gaph G'=(V', E'). (8) Finde ekusiv eine optimale Aboeszenz (V', F') in G', mit Kosten {c e}. (9) Eweitee (V', F') zu eine Aboeszenz (V, F) in G, indem alle, auÿe eine Kante von C wiede hinzufüt weden. 5

6 2.3.1 Ein Beispiel Wi wenden den Aloithmus auf den obien Beispiel-Gaphen an. Ausansaph G=(V, E): b 1 2 a 2 d c Anwenden von Schitt (1) bis (3) füht zu folendem modizieten Gaph: b 6 a 1 d 8 c Anwenden von Schitt () füht zu Gaph, de nu die Kanten F* enthält: b a d c Oensichtlich ist F* keine Aboeszenz und es existiet ein eichtete Keis. Wende (7) an: 6 1 c 8 (8) Rufe Aloithmus ekusiv auf und ehalte modizieten Gaphen duch (1) bis (3). 5 c 7 6

7 In Schitt () ehält man wiede F*: c Wie man sieht, ist F* ist eine Aboeszenz. Also ehe zu Schitt (9) und eweitee zu eine esamten Aboeszenz (V, F) in G, indem alle, auÿe eine Kante von C wiede hinzufüt weden. Modiziete Aboeszenz: b a d c Gewichtete Aboeszenz: 2 b 2 a d 2 c Koektheit Hilfssatz: Sei C ein Keis in G, so dass alle Kantenewichte von C leich sind und / C. Dann existiet eine optimale Aboeszenz mit Wuzel in, de enau eine Kante hat, die zu dem Keis C füht. Beweis: Betachte eine optimale Aboeszenz T in G. Da es zu jedem Knoten v in G einen (,v)-we eben muss, ib es auch mindestens eine Kante, die nach C füht. Falls es enau eine solche Kante ibt sind wi schon feti. Anenommen, es ibt mehee Kanten, die nach C fühen. Sei e=(a,b) eine Kante die auf dem küzesten We von nach C liet. Also b C und a / C. Wi löschen alle Kanten in T, die nach C fühen, auÿe die Kante e. Wi füen alle Kanten aus C ein, auÿe die, die in b endet. T' bezeichne den esultieenden Teilaph von G. T' ist eine Aboeszenz: T' hat keine öÿeen Kosten als T, da alle Kanten, die in T' sind, abe nicht in T -Kosten haben. Auÿedem hat T' enau eine einehende Kante po Knoten und keine Kante füht zu Wuzel. Also bleibt zu zeien, dass es zu jedem Knoten v einen 7

8 (,v)-we ibt. Damit wäe de zuunde lieende uneichtete Gaph zusammenhänend. Sei v beliebi. Falls v C, können wi den beeits konstuieten We bis zu Kante e nehmen und ab e einfach den Keis entlan ehen, bis wi bei v ankommen. Falls v / C und falls de We C nicht vewendet weden kann, so liet de We in T' und existiet nach Denition von T'. Falls v / C und falls de We P übe C eht, dann sei w de letzte Knoten in P C und sei P' de Rest-We von w nach v. Alle Kanten von P' lieen also in T'. Da w im Keis liet, haben wi beeits ezeit, dass de Knoten eeichba ist. Veknüpft man einfach den We P mit dem We P', so hat man den esuchten We. Behauptun: De Aloithmus beechnet eine optimale Aboeszenz bzl. in G. Beweis: Induktion übe die Anzahl de Knoten von G. I.A.: n=1 kla. I.S.: Zeie n 1 n Wenden wi den Aloithmus an und F ist eine Aboeszenz, dann ist F auch eine optimale Aboeszenz. (Schitt (5) vom Aloithmus). Dann sind wi schon feti. Sei also F keine Aboeszenz. Dann hat de Gaph mit modizieten Kosten einen -Keis. Wi schumpfen diesen Keis und ehalten G'. G' hat eine optimale Aboeszenz nach Induktionsannahme. Aus dem Hilfssatz folt, dass G eine Aboeszenz hat, in welche enau eine Kante zu dem Keis C füht. Es eine optimale Aboeszenz in G. 8