Ü b u n g s b l a t t 9. r/2 für 0 r < 1, F X (r) = 3/5 für 1 r < 2, (3 r + 1)/10 für 2 r < 3, 1 für 3 r.

Transkript

1 Einfühung in die Stochastik Sommesemeste 07 D Walte Oevel Ü b u n g s b l a t t 9 Mit und gekennzeichnete Aufgaben können zum Sammeln von Bonuspunkten vewendet weden Lösungen von -Aufgaben sind schiftlich abzugeben im Zettelkasten N 5 auf dem D bis Mittwoch, 607, :00 Uh Lösungen von -Aufgaben sind pe Web-Fomula unte ( Lehe SS 07 Übungen) abzuliefen bis spätestens Mittwoch, 607, 59 Uh Aufgabe 49**: (Ewatungswete 0 Punkte) Dies ist eine Online-Aufgabe, die bis zum 606, 59 Uh, abzuliefen ist Betachte die Veteilungsfunktion 0 fü < 0, / fü 0 <, F X () = /5 fü <, ( + )/0 fü <, fü eine Zufallsvaiablen X (die Daten weden vom Aufgabenseve zufällig abgeändet) Beechne den Ewatungswet! Anleitung: Da keine de Fälle X ist disket bzw X ist kontinuielich in eine Fom voliegt, benutze man Satz 4) de Volesung, um das Stieltjes-Integal des Ewatungswetes auf ein nomales Riemann-Integal zuückzufühen Es ist das Stieltjes-Integal E(X) = df X () zu beechnen Da keine de einfachen Fälle X ist disket bzw X ist kontinuielich voliegt, benutzen wi Satz 4) de Volesung mit f() =, um das Stieltjes-Integal auf ein nomales Riemann-Integal zuückzufühen: b a df X () = b F X (b) a F X (a) b a F X () d Hiebei können wi a = 0 und b = wählen, da außehalb des Intevalls [0, ] die Veteilungsfunktion konstant ist und damit die Beeiche (, 0] und (, ) nicht zum Stieltjes-Integal beitagen Also: E(X) = F X () 0 F X (0) 0 F X () d = 0 F X () d F X () d = 0 d 5 d + d = = 0 F X () d

2 Aufgabe 50: (Ewatungswete) Ein Raumschiff bestehe aus Teilen A, B und C, die jeweils völlig zestöt weden, wenn sie von (mindestens) einem Meteoiten getoffen weden Das gesamte Raumschiff fällt aus, wenn A ode (B und C) ausfallen Wieviele Meteoiten müssen das Raumschiff im Duchschnitt teffen, bis es ausfällt? Das Modell: die Meteoiteneinschläge seien duch Ω = {(m, m, m, ); m i {A, B, C modelliet, wobei m i = A bedeutet, dass de i-te Meteoiteneinschlag A tifft Zu Abküzung setzen wi A = {(A, m, m, ); m, m, {A, B, C, BC = {(B, C, m, );, m, m 4, {A, B, C, CB = {(C, B, m, );, m, m 4, {A, B, C usw (zb, nach Einschlag in A ist egal, wo weitee Meteoiten einschlagen etc) Seien p A = P (A), p B = P (B), p C = P (C) mit p A + p B + p C = vogegeben Dies sind die Wahscheinlichkeiten, dass ein einschlagende Meteoit jeweils A,B ode C tifft Diese Wahscheinlichkeiten sind etwa duch die elativen Gößen de Bauteile A, B und C bestimmt Mit de Unabhängigkeit de Einschläge gilt P (BC) = p B p C, P (BBA) = p B p A, P (CCB) = p C p B, etc Sei X die Anzahl de Meteoiteneinschläge bis zum Totalausfall Diese Vaiable hat die folgende Veteilung: P (X = ) = P (A) = p A, P (X = ) = P (BA) + P (BC) + P (CA) + P (CB) = p B (p A + p C ) + p C (p A + p B ), P (X = ) = P (BBA) + P (BBC) + P (CCA) + P (CCB) = p B (p A + p C ) + p C (p A + p B ), P (X = 4) = P (BBBA) + P (BBBC) + P (CCCA) + P (CCCB) = p B (p A + p C ) + p C (p A + p B ), P (X = k) = P (B B A) + P (B B C) + P (C C A) + P (C C B) k k k k = p k B (p A + p C ) + p k C (p A + p B )

3 De Ewatungswet ist damit E(X) = P (X = ) + P (X = ) + P (X = ) + = p A + k p k B (p A + p C ) + k p k C (p A + p B ) = p A + + k= k= k= = p A p B p C k= k p k B (p A + p C ) (p A + p C ) kp k C (p A + p B ) (p A + p B ) + (p A + p C ) d dp B p k B + (p A + p B ) d dp C = + (p A + p C ) d dp B p B + (p A + p B ) d dp C = + p A + p C ( p B ) + p A + p B ( p C ) = p A + p C + p C p A + p B Mit de Zusatzannahme p A = p B = p C = / (etwa: die Teile A,B und C sind gleich goß) folgt E(X) = + = p k C Aufgabe 5*: (Ewatungswete 0 Punkte) Mein Lotto system besteht dain, dass ich beim nächsten Mal so viele (unabhängige) Lottotips abgebe, wie die este gezogene Lottozahl de letzten Ziehung angab Nach wievielen Wochen daf ich das este Mal mit 6 Richtigen echnen? (Beachte Aufgabe 47a)) Das oft wiedeholte Benoulli-Expeiment besteht aus den Teilpozessen: ) Wähle k {,, 49, ) Gib k Tippeihen ab De Efolg besteht dain, mindestens ein Mal 6 Richtige zu haben Mit de Fomel de totalen Wahscheinlichkeit gilt: Sei Efolg ) = k= mindestens ein Mal 6 Richtige k Tippeihen) P (k) /49 p 0 = 6 Richtige bei eine Tippeihe ) = ( 49 6 ) Mit mindestens ein Mal 6 Richtige k Tippeihen) = keine 6 Richtige k Tippeihen) = ( p 0 ) k = ( kp 0 + k(k ) p 0 + ) = k p 0 k(k ) p 0 + k p 0

4 folgt fü das zusammengesetzte Benoulli-Expeiment: Efolg ) = k= ( ( p 0 ) k) 49 k= k p 0 49 = 5 p 0 Mit Aufgabe 47a) ist de Ewatungswet de Anzahl de Vesuche bis zum esten Efolg gegeben duch P ( Efolg ) = ( ) 49 5 p = Aufgabe 5*: (Ewatungswete 0 Punkte) De Anteil q eine Pesonenguppe hat eine Kankheit, die duch eine (teue) Blutuntesuchung entdeckt weden kann De Anteil p = q hat keine Eege im Blut Es sollen alle kanken Pesonen identifiziet weden Vegleiche zwei Untesuchungsmethoden: () Einzelpüfung: Jede wid einzeln untesucht Man baucht einen Test po Peson () Guppenpüfung: Das Blut von jeweils Pesonen wid gemischt und untesucht Wenn de Test positiv ist, weden alle Pesonen de Guppe nochmal einzeln gepüft Vegleiche die mittleen Kosten de einzelnen Methoden in Abhängigkeit von p und Bestimme fü p = 099 den kostengünstigsten Wet von (zb pe Wetetabelle de Kosten fü divese ) (Zu Kontolle: die Espanis von () gegenübe () liegt bei etwa 80%) Die Pesonenguppe bestehe aus N Pesonen Bei de Einzelpüfung sind N Bluttests duchzufühen Zu Guppenuntesuchung teile die Menge von N Pesonen in n = N/ gleichgoße Guppen mit jeweils Pesonen auf (es sei N ein ganzzahliges Vielfaches von ) Die Untesuchung eine Guppe entspicht eine -fachen Wiedeholung des Benoulli-Expeiments wähle eine einzelne Peson und stelle fest, ob sie gesund ist, also ( ) p = P ( alle Pesonen de Guppe sind gesund ) = p q 0 = p Die Kosten eine Einzeluntesuchung sei Sei K die Zufallsvaiable Gesamtkosten Bestimme E(K), einfache Lösung (baucht Satz de Volesung): Sei K = K + + K n, wobei die Zufallsvaiablen K i die Kosten de Untesuchung de i-ten Guppe sind Ist die Guppe gesund, fällt nu ein Bluttest an Ist die Guppe kank (dh, fällt de Test positiv aus, weil mindestens eine Peson de Guppe kank ist), sind weitee Tests fü alle Mitgliede de Guppe fällig Damit folgt fü > : E(K i ) = die i-te Guppe ist gesund ) + ( + ) die i-te Guppe ist kank ) = p + ( + ) ( p ) = + p Mit E(K) = E(K ) + + E(K n ) (nach Satz de Volesung) folgt E(K) = n ( + p ) = N + p ( = N + p)

5 Bestimme E(K), komplexee Lösung: Sei X die Anzahl de Guppen, die sich bei Untesuchung von insgesamt n Guppen als gesund heausstellt Betachtet man die Untesuchung eine Guppe als Benoulli-Expeiment mit Efolgswahscheinlichkeit p = p fü Efolg = die Guppe ist gesund = alle Pesonen de Guppe sind gesund, so bescheibt X die Anzahl de Efolge bei n-fache Wiedeholung Pe Binomial-Veteilung mit Efolgswahscheinlichkeit p gilt ( ) n P ( genau k Guppen sind gesund ) = P (X = k) = p k ( p) n k k Die Kosten im Falle X = k sind n + (n k) (n Guppen weden untesucht, bei n k kanken Guppen sind jeweils Pesonen duch einen weiteen Test einzeln zu püfen) Damit folgt E(K) = n (n + (n k) ) P (X = ) = n ( ) n (n + (n k) ) p k ( p) n k k = n + n E(X) = n ( + p) = n ( + p ) = N + ( p = N + p) Optimieung de Kosten: Bei gegebenem p und fixietem N sollen die mittleen Kosten duch geeignete Wahl von minimiet weden Leide ist das Minimum nicht duch eine geschlossene Fomel ausdückba Um abzuschätzen, in welchem Beeich fü wi suchen sollten, betachten wi zu Vobeeitung zunächst eine Appoximation fü den Fall eine seltenen Kankeit, dh, p liegt dicht bei Setze dazu p = ɛ und entwickle E(K) um ɛ = 0 Mit p = ( ɛ) = ɛ + O(ɛ ) egibt sich E(K) = N ( + ɛ ) + O(ɛ ) Wi minimieen den fühenden Tem: d ( ) d + ɛ = 0 = = ɛ p Fü p = 099, also ɛ = /00, egibt sich appoximativ als optimale Guppengöße = 0 Den genauen Wet emitteln wi aus eine Wetetabelle: p + / Das Kostenminimum fü p = 099 stellt sich fü = ein Es betäg etwa 96% de Kosten de Einzelpüfungen