Klassenarbeit. Noten. Aufgabe 1.1: Trage die fehlenden relativen Häufigkeiten als reine Brüche und als % in die Rechtecke ein!

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1 Lösung de Aufgaben aus Kapitel I-III Kapitel Klassenabeit 0, 0, el. Häufigkeot 0, 0, 0, 0, 0,0 0 Noten Aufgabe.: Tage die fehlenden elativen Häufigkeiten als eine Büche und als % in die Rechtecke ein! Aufgabe.: Es ude mit zei Wüfeln geüfelt; die Summe de Augenzahlen ude jeeils beobachtet: Augensumme Absolute Häufigkeit Relative Häufigkeit (a) (b) Was sind hie: Mekmalstäge, Mekmal, Mekmalsauspägungen, Umfang de Ehebung? Mekmalstäge : Die beiden Wüfel Mekmal : Augensumme Mekmalsauspägungen :,,,., Umfang de Ehebung : Tage die elativen Häufigkeiten ein und stelle das Resultat gaphisch da! Augensumme Absolute Häufigkeit Σ Stochastik_Aufgaben_mit_Loesungen.doc / :8

2 Relative Häufigkeit,0%,% 8,% 0,%,%,%,%,9% 9,%,%,0% 00% 8,00%,00%,00% el. Häufigkeit,00% 0,00% 8,00%,00%,00%,00% 0,00% Augensumme Aufgabe.: (a) Beechne den aithmetischen Mittelet de Noten ( oft auch Notenduchschnitt genannt) in dem Einfühungsbeispiel! Note Anzahl n= = =, (b) Vegleiche den obigen Notenspiegel (aus de. Klassenabeit) mit den hie folgenden de. und. Klassenabeit!. Klassenabeit: Note Anzahl n= = =,. Klassenabeit: Note Anzahl Stochastik_Aufgaben_mit_Loesungen.doc / :8

3 n= = =, Aufgabe.: Diese Maße sind von Menschen esonnen und nicht vom Himmel gefallen. Was hat man sich bei ihe Festlegung ohl gedacht? (a) Waum hat man ohl die Quadate de Abeichungen gebildet und nicht die Abeichungen selbst addiet? Mit den Quadaten ehalte ich imme positive Zahlen, sonst üden sich die Abeichungen nach oben und unten gegenseitig aufheben und im Extemfall üde man soga 0 ehalten. (b) (c) Waum ist es sinnvoll, duch n zu teilen? Damit ehält man den Mittelet de Abeichungen Welchen Voteil hat die Standadabeichung gegenübe de Vaianz? Denkanstoß: Angenommen, die Mekmalsete äen Zeiten (z.b. x= 8,sec; x=,8sec ). Welche Einheiten hätten dann Vaianz und Standadabeichung? Die Einheit de Vaianz äe dann sec, ähend die Standadabeichung auch iede die Einheit sec hat. Aufgabe.: Beechne bei jede de dei Klassenabeiten (a) die Vaianz (b) die Standadabeichung!. Klassenabeit: Note Anzahl 8 n=, (.) + (, ) + (, ) + 8(, ) + (, ) + (, ) s =, σ,,0. Klassenabeit: Note Anzahl n=, Stochastik_Aufgaben_mit_Loesungen.doc / :8

4 (.) + (, ) + (, ) + (, ) + (, ) + (, ) s =, σ,,. Klassenabeit n=, Note Anzahl (.) + (, ) + 0(, ) + 0(, ) + (, ) + 0(, ) s = Hineis: EXCEL besitzt die Funktionen MITTELWERT und STABWN mit denen man die Wete diekt beechnen kann. Bitte macht euch mit diesen EXCEL-Funktionen vetaut. Stochastik_Aufgaben_mit_Loesungen.doc / :8

5 Kapitel Poblem.: 0 Leute sollen auf 0 nebeneinande stehenden Stühlen Platz nehmen. Sie können sich nicht einigen, e neben em sitzt, und beginnen schließlich eine Diskussion, ie viel mögliche Sitzodnungen es übehaupt gibt. Aufgabe.: Entickle in Fom eines kleinen mathematischen Aufsatzes die Lösung des Poblems! Wie lange bäuchten sie, enn sie jede Sekunde eine neue Sitzodnung einnehmen, keinen Schlaf bauchen, Essen und Tinken ausfallen lassen, nicht auf die Toilette müssen, us.? Ich habe 0 Möglichkeiten, eine Peson fü den esten Sitz auszuählen. Dann habe ich noch 9 Möglichkeiten eine Peson fü den zeiten Sitz auszuählen. Ich habe also 0 9 = 90 Möglichkeiten die esten beiden Stühle zu besetzen! Insgesamt habe ich dann insgesamt = 0! = 8800 Möglichkeiten die Pesonen anzuodnen ( zu pemutieen) Poblem.: 0 Pesonen ählen aus ihen Reihen einen Speche, einen esten und einen zeiten Stellvetete. Wie viel Möglichkeiten gibt es, die Ämte zu besetzen? Aufgabe.: Entickle in Fom eines kleinen mathematischen Aufsatzes die Lösung des Poblems! Ich habe 0 Möglichkeiten, eine Peson fü den Speche auszuählen. Dann habe ich noch 9 Möglichkeiten eine Peson fü den esten Speche auszuählen und noch 8 Möglichkeiten eine Peson fü den zeiten Speche auszuählen. Ich habe also = 0 Möglichkeiten, diese Posten zu besetzen. zu besetzen! 0! Ich habe also (0 )! = Möglichkeiten Stochastik_Aufgaben_mit_Loesungen.doc / :8

6 Poblem.: 0 Pesonen in einem Zeltlage haben an einem bestimmten Tag Pöstchen zu vegeben: Z.B. soll eine den Platz einigen, eine soll Holz besogen, eine soll einkaufen gehen, eine soll kochen. Es daf auch sein, dass eine Peson zei ode dei Pöstchen ode ga alle vie ahnimmt! Wie viele Möglichkeiten de Veteilung gibt es? Aufgabe.: Entickle in Fom eines kleinen mathematischen Aufsatzes die Lösung des Poblems! Ich habe 0 Möglichkeiten fü die Ausahl des esten Pöstchens, 0 Möglichkeiten fü die Ausahl des zeiten Pöstchens u.s.. Ich habe = 0 = 0000 Möglichkeiten die Pöstchen zu vegeben. Poblem.: Aus 0 SchüleInnen sollen ausgeählt eden, die ein Rateteam bilden. Wie viele Konstellationen gibt es aus den 0 SchüleInnen auszuählen? Aufgabe.: Entickle in Fom eines kleinen mathematischen Aufsatzes die Lösung des Poblems! Ich habe 0 Möglichkeiten den/die este(n) SchüleIn auszuählen. Ich habe 9 Möglichkeiten den/die zeite(n) SchüleIn auszuählen. Ich habe 8 Möglichkeiten den/die ditte(n) SchüleIn auszuählen. Ich habe Möglichkeiten den/die viete(n) SchüleIn auszuählen. D.h. es gibt = 00 eine Ausahl nach dem obigen Schema zu teffen. Da es abe auf die Reihenfolge nicht ankommt kann ich diese ausgeählten SchüleInnen auf!= Aten pemutieen, ohne dass sich das Rateteam veändet. Es gibt also = 0 Möglichkeiten das Rateteam zu bilden. Etas elegante geschieben: ! 0 = =!! Es gibt also 0 übe Möglichkeiten Dinge aus 0 Dingen auszuählen, enn es auf die Reihenfolge nicht ankommt. Stochastik_Aufgaben_mit_Loesungen.doc / :8

7 Aufgabe.: Wie viele Möglichkeiten gibt es, einen Tippzettel beim Fußball-Toto auszufüllen? (Unteeinande stehen 0 Spiele, bei jedem muss 0 ode ode angekeuzt eden? N= 0 =909 Aufgabe.: Wie viele Möglichkeiten gibt es, einen Lotteieschein aus 9 auszufüllen? (Von 9 Zahlen müssen angekeuzt eden.) 9 9! N = = = 988! (9 )! Aufgabe.: Ein Handlungseisende ill auf eine Rundeise in igend eine Reihenfolge die Städte Leipzig, Desden, Chemnitz, Halle, Naumbug, Efut und Zickau besuchen. (a) Wie viele mögliche Wege gibt es? N=! (b) Wie viele Wege gibt es, enn e auf jeden Fall in Leipzig die Reise antitt und am Ende dothin iede zuückkeht? N=! Aufgabe.8: The English alphabet has lettes of hich ae voels. a) Ho many -lette ods containing thee diffeent consonants and to diffeent voels can be fomed? N =! = b) Ho many of them contain the lette b? 0 N =! = c) Ho many of them contain the lettes b and c? 9 N =! =.800 d) Ho many of them begin ith b and contain the lette c? Stochastik_Aufgaben_mit_Loesungen.doc / :8

8 9 N=! =.00 e) Ho many of them begin ith a and end ith b? 0 N=! =.0 f) Ho many of them contain the lettes a, b, c? 9 N=! = 9.0 Aufgabe.9: Simplify: (n + )! n! a) = n + b) = (n ) n n! (n )! (n )! (n + )! c) = d) = (n )(n + ) (n + )! n(n + )(n + ) (n )! Aufgabe.0: a) In ho many ays can boys and gils sit in a o N=! b) In ho many ays can they sit in a o if the boys and the gils ae each to sit togethe? Thee ae to ays to distibute them accoding to sex : bbbgg o ggbbb In each case the boys can sit in! ays and the gils in! ays. Thus altogethe e have N=!! = ays. c) In ho many ays can they sit in a o if just the gils ae to sit togethe? Thee ae ays to distibute them accoding to sex : ggbbb bggbb bbggb bbbgg Thus altogethe e have N=!! = 8 ays. Stochastik_Aufgaben_mit_Loesungen.doc 8 / :8

9 Kapitel Aufgabe.: Bestätige diese beiden Feststellungen! Bei einem einfachen Wüfelexpeiment kann ich z.b. beobachten a) die Augenzahl S={,,,,,} #S= b) die Eigenschaft de Augenzahl pim zu sein S = {p;p} #S = c) die Eigenschaft de Augenzahl geade ode ungeade zu sein S = {u;g} #S =. Die Feststellung de Länge von Gegenständen ist ein ZF-Expeiment mit unendliche Egebnismenge, da pinzipiell alle ationalen bz. alle eellen Zahlen sein können. Aufgabe.: Bestimme den Egebnisaum des folgenden Zufallsvesuchs: (a) Ein Passant id zufällig ausgeählt und sein Gebutstag (tt.mm.)id festgestellt S={0.0.; ;..} #S= (b) Ein Passant id zufällig ausgeählt und sein Gebutsdatum (tt.mm.jjjj) id festgestellt S={ ;, Datum heute} #S=? nicht eindeutig zu emitteln. (c) Ein Passant id zufällig ausgeählt und sein Geicht id festgestellt S={ ;, Datum heute} #S=? nicht eindeutig zu emitteln. (d) Bei de Lottoziehung eden aus 9 Kugeln zufällig ausgeählt und die gezogenen Zahlen eden festgestellt. S={ {,,,,,}; ;{,,,,8,9} } #S=988 (e) Ein Neugeboenes id zufällig ausgeählt und das Geschlecht id festgestellt. S={m,} #S= (f) Ein Fußballspiel id ausgeählt und das Egebnis id festgestellt. S={0:0.; :0.; 0:.; ;0:0} #S=? nicht eindeutig zu emitteln. (g) Ein Wüfel id deimal nacheinande geofen, die Augenzahl id jeeils in de Reihenfolge des Auftetens notiet. S={( ); ( )} #S= =9 (h) Mit einem Compute eden natüliche -stellige natüliche Zufallszahlen ezeugt und die Zahl id festgestellt. S={0000; ;9999} #S=0 =0000 (i) Mit einem Compute eden natüliche Zufallszahlen ezeugt und es id festgestellt ob die Zahl pim ist ode nicht. S = {p;p} #S= Stochastik_Aufgaben_mit_Loesungen.doc 9 / :8

10 (j) Mit einem Compute eden natüliche Zufallszahlen ezeugt und es id festgestellt ob die Zahl duch teilba ist ode nicht. S = {t; t} #S= (k) Ein Regentopfen id beobachtet und es id festgestellt, ob e auf eine vogegebene Fläche auftifft ode nicht. S = {t; t} #S= Aufgabe.: Wie goß sind bei folgenden Zufallsvesuchen die Wahscheinlichkeiten de angegebenen Egebnisses? Falls möglich, bestimme sie, andenfalls bescheibe, ie man sie finden könnte! (a) Zufallsvesuch: Doppeluf mit idealen Wüfeln. Reihenfolge unichtig, beide Wüfel ununtescheidba. S = {};...;{};{;}...{;};{;}...{;};...{;};{;};{;} #S= { } Egebnis e : Sechsepasch P(e ) = Egebnis e : eine Sechs und eine Eins P(e ) = = 8 zu Kontolle : P(e ) +...P(e ) = + = (b) (c) (d) Zufallsvesuch: Ziehen eine Kate in einem einandfeien Katenspiel. Egebnis e: Hez Sieben id gezogen. P(e) = Zufallsvesuch: Lottospiel (Abgabe eines Tipps) #S=988 Egebnis e: Sechs Richtige P(e) = 988 Zufallsvesuch: Wefen eines Reißnagels auf eine Tischplatte, obei entede K = Kopf- ode S = Seitenlage entsteht. Egebnis e: Reißnagel landet auf dem Kopf P(e) =? Kommt auf den Reißnagel an. Die elative Häufigkeit bei eine goßen Anzahl von Wüfen gibt einen Näheungset fü die Wahscheinlichkeit P(e) Aufgabe.: 8 mal nacheinande id eine ideale Münze geofen. Es eden de Reihe nach die Achttupel de Einzelegebnisse notiet, z.b. (K; K; W; K; W; W; W; K). Alle diese Zehntupel sind die Egebnisse dieses mehstufigen Zufallsvesuchs. (Übigens: De Euo, zumindest de deutsche Euo, soll nach letzten Zeitungsbeichten nicht ideal sein, die Wahscheinlichkeiten beim einmaligen Wefen fü W und Z sollen nicht gleich sein, also äe das einmalige Wefen eine deutschen Euomünze kein Laplace-Vesuch!!) Stochastik_Aufgaben_mit_Loesungen.doc 0 / :8

11 (a) Wie viel Elemente hat S? D.h. ie viel Egebnisse hat diese 8stufige Zufallsvesuch? S={ (K K.. K); ;(W W.. W)} #S= = (b) Handelt es sich um einen Laplace-Vesuch? Ja, P(e i) = fü alle i (c) Wie goß ist die Wahscheinlichkeit fü das Egebnis e = (W W Z W Z Z Z W)? Veeinbaung: Wi scheiben künftig kuz: WWZWZZZW. P(e) = Aufgabe.: Ein Laplace-Vesuch hat n mögliche Egebnisse. E id m mal nacheinande ausgefüht. ( m-stufige Zufallsvesuch ) Wie goß ist die Wahscheinlichkeit fü ein Egebnis dieses m-stufigen Vesuchs, d.h. fü ein spezielles m-tupel? Entickle eine Fomel! Die Wahscheinlichkeit fü jedes Egebnis des einstufigen Lalace-Expeiments ist dann P(e i) = n Nach de Pfadmultiplikationsegel ist dann die Wahscheinlichkeit eines Egebnisse e mi bei m einem m-stufigen Laplace-Expeiment P(e ) = mi = m n n Was bei einem Laplace-Vesuch, de m mal nacheinande ausgefüht id, einfach a, ist kompliziete, enn ein Nicht-Laplace-Vesuch m mal nacheinande ausgefüht id, ode soga ganz unteschiedliche Zufallsvesuche nacheinande ausgefüht eden z.b. est Münze efen, dann Reißnagel efen, dann Kate ziehen... und ganz besondes dann, enn die Wahscheinlichkeit auf eine bestimmten Stufe auf igend eine meh ode enige kompliziete At von den voausgegangenen Egebnissen abhängt... Uff, das a kompliziet! Kannst du mal dafü ein Beispiel finden?? Aufgabe.: De Reißnagel mit P(K) = 0, und P(S) = 0, id viemal nacheinande geofen. (a) Welche Egebnisse sind denkba? S={ KKKK ; KKKS ;.SSSS } #S= = (b) Wie goß sind die Wahscheinlichkeiten alle möglichen Egebnisse? P(KKKK) = 0, P(SSSS) = 0, P(KKKS) = 0, 0, P(KSKS) = 0, 0, Stochastik_Aufgaben_mit_Loesungen.doc / :8

12 Aufgabe.: Eine Une enthält eiße und ote Kugeln, die sich eite nicht untescheiden. Wenn man einmal eine Kugel zieht, sind also nu zei Egebnisse möglich: und. (a) Man entnimmt eine Kugel zufällig, notiet die Fabe, mischt duch und zieht nochmals eine Kugel, ohne die este zuückzulegen. Zeichne ein Baumdiagamm und notiee die Wahscheinlichkeiten an den beteffenden Zeigen. Bestimme die Wahscheinlichkeiten de Egebnisse mit de Pfadegel! (b) Nachdem zei Kugeln gezogen sind, id, ohne die Kugeln zuückzulegen, eine ditte gezogen. Gleiche Fagen ie unte (a). a) P(WW) = b) P(WW) = P(WW) = P(WW) = Stochastik_Aufgaben_mit_Loesungen.doc / :8

13 P() = P() = P() = P() = Stochastik_Aufgaben_mit_Loesungen.doc / :8