Inhalt der Vorlesung Experimentalphysik II

Transkript

1 Inhalt de Volesung Expeimentalphysik II Teil 1: Elektizitätslehe, Elektodynamik 1. Elektische Ladung und elektische Felde 2. Kapazität 3. Elektische Stom 4. Magnetostatik 5. Elektodynamik 6. Schwingkeise und Wechselstom Teil 2: Optik 7. Elektomagnetische Wellen 8. Optik 25

2 5 Elektodynamik 5.1 Maxwell-Gleichungen im statischen Fall (Wdh.) Expeimentalphysik II (Kip SS 29) Integalfom Diffeentialfom 1 ρ (1) E d= ρ dv E = ε ε V( ) (2) B d= B = noch etwas (3) E d = E = (4) B d = μ j d Hie fehlt B = μ j 251

3 Es sollen noch einmal einige Begiffe wiedeholt weden: Elektische Spannung: Elektische Fluß: Elektische Stom: Magnetische Fluß: Weitehin sind Ladungen q die Quellen des elektischen Feldes. Das magnetische Feld hat keine Quellen. Es wid duch Stöme ezeugt. U el. 1 1 I = I = B d μ B d μ Φ = B d mag. 2 = E d 1 Φ = E d Im statischen Fall gelten folgende bhängigkeiten: qu, E, Φ I B, Φ el. mag. Bei zeitabhängigen Felden kommen weitee bhängigkeiten hinzu: qu, E, Φ I B, Φ el. mag. 252

4 5.2 Induktionsgesetz Vesuch: Magnet in Leiteschleife Vesuch: Spule im Edmagnetfeld Leiteschleife Stabmagnet Wenn de magnetische Fluss duch eine Leiteschleife zeitlich veändelich ist, dann wid eine Spannung und somit ein elektisches Feld ezeugt. Wiede ist de magnetische Fluss duch die Leiteschleife (Spule) zeitlich veändelich. Es wid ebenfalls eine Spannung und somit ein elektisches Feld ezeugt. Rotiet die Spule (mit ω = const.), so wid eine sinusfömige Spannung ezeugt. 253

5 Faaday entdeckte 1831, dass eine elektische Spannung duch einen zeitlich veändelichen magnetischen Fluss ezeugt weden kann. Dieses wid Induktion genannt. U(t) Magnet gilt Schleife d E( t) d B( t) Ein zeitlich veändeliches Magnetfeld ezeugt ein elektisches Wibelfeld. Vesuch: Ändeung des magnetischen Flusses duch Ändeung de Fläche Spannungsmesse Leiteschleife B Pemanentmagnet Im statischen Fall wid keine Spannung induziet; es ist U =. Expeimentell findet man U ~ db/, d.h. die induziete Spannung ist popotional zu zeitlichen Ändeung des Magnetfeldes. Mit U ( t ) = Schleife E ( t ) d bewegte Leite 254

6 Duch Veschieben des Leites wid die Fläche eine in einem Magnetfeld angeodneten Leiteschleife veändet. U(t) x nstatt eine Ändeung de Magnetfeldstäke wid also auch duch Veändeung de Fläche de Leiteschleife, die vom Magnetfeld duchsetzt wid, eine Spannung ezeugt. Das Expeiment liefet den Zusammenhang: B U ( t) v = dx v b Die Fläche de Leiteschleife ist: = xb Dahe kann man scheiben: mag. U ( t) d De magnetische Fluss fü ein Feld B(t), welches senkecht duch eine Fläche (t) titt, ist gegeben duch: Φ () t = () t B () t Dann egibt sich das Induktionsgesetz: d dφ Ut () = ( Btt () ()) = mag. Das negative Vozeichen wid im nächsten bschnitt eklät. 255

7 Die induziete Spannung ist popotional zu Ändeung des elektischen Flusses duch die Leiteschleife. 256

8 5.3 Lenzsche Regel Wenn duch Induktion in eine Leiteschleife eine Spannung entsteht, dann fließt wegen diese Potentialdiffeenz ein Stom. Diese Stom ist wiede von einem Magnetfeld, dem induzieten Feld, umgeben. Es soll nun die Richtung des Stomflusses und des induzieten Feldes genaue betachtet weden. B Heinich Fiedich Emil Lenz ( ) v B induziet 257

9 Vesuch: Wibelstombemse Ein Pendel, an dem ein Leite schwingt, wid in einem Magnetfeld stak abgebemst. De Gund dafü ist das duch Wibelstöme veusachte Magnetfeld im Leite ("Wibelstombemse"). dalbet von Waltenhofen ( ) 258

10 Vesuch: Thomsonsche Ring Nach Einschalten des Stomes und damit des Magnetfeldes wid de luminiuming nach oben geschleudet. Wenn de Ring untebochen ist passiet nichts. 259

11 Expeimentell findet man Folgendes: (i) Wenn ein Magnet auf eine Leiteschleife zu bewegt wid, dann wid die Leiteschleife duch das induziete Magnetfeld abgestoßen. v v (ii) Wenn hingegen die Leiteschleife vom Magneten weg bewegt wid, dann entsteht ein anziehendes induzietes Magnetfeld. Dies lässt sich allgemein zusammenfassen zu Lenzschen Regel (1834): De Induktionsstom wikt imme seine Usache entgegen. 26

12 nwendung: Diebstahlsicheung im Kaufhaus (ältees System) Expeimentalphysik II (Kip SS 29) Wegen de Lenzschen Regel schwächt das Feld des in de Diebstahlsicheung induzieten Stomes das Magnetfeld des Sendekeises. 261

13 5.4 Faadaysches Induktionsgesetz Wi hatten das Induktionsgesetz d dφ Ut () = ( Btt () ()) = mag. expeimentell begündet, wobei das negative Vozeichen de Lenzschen Regel entspicht. Bishe waen wi von einem Magnetfeld ausgegangen, dass eine echteckige Fläche senkecht duchsetzt. Dies soll jetzt stak veallgemeinet weden. Wi betachten eine beliebige Leiteschleife, die von einem Magnetfeld duchsetzt wid. Dann ist de magnetische Fluss duch die Leiteschleife: Φ = B d mag. U(t) B (t) d E (t) d Die elektische Spannung an den Enden de Leiteschleife egibt sich duch Integation übe das elektische Feld: U ( t ) = Schleife E ( t ) d 262

14 Das Induktionsgesetz lässt sich also folgendemaßen veallgemeinen ( ist hie de Rand de Fläche ): E d = t B d Michael Faaday ( ) Bemekungen: Dies ist das sog. Faadaysche Induktionsgesetz. Hiebei handelt es um die 3. Maxwell-Gleichung in integale Fom. Die obige Gleichung bedeutet anschaulich, dass zeitlich veändeliche magnetische Felde elektische Wibelfelde hevoufen. Neben Ladungen können elektische Felde also von veändelichen Magnetfelden (genaue: magnetischen Flüssen) ezeugt weden. Das Wegintegal auf de linken Seite ist entlang de Randkuve de Fläche, duch die das Magnetfeld titt, zu beechnen. uf dem Induktionsgesetz basiet die Stomezeugung mittels Tubinen. 263

15 Jetzt soll die 3. Maxwell-Gleichung wiede in die diffeentielle Fom übefüht weden. Mit dem Stokesschen Integalsatz lässt sich die linke Seite umfomen zu E d = E d ( ) wobei die Randkuve de Fläche den Integationsweg auf de linken Seite dastellt. Einsetzen egibt: E d = B d t ( ) Umfomen liefet schließlich: B E d = d t ( ) Diese Gleichung soll fü jede beliebige Fläche gelten. Dies ist nu möglich, wenn beide Integanden übeeinstimmen, also: B E = t Dies ist die 3. Maxwell-Gleichung, also das Induktionsgesetz, in diffeentielle Fom. 264

16 5.5 Selbstinduktion Wi betachten das Feld eine Spule de Länge l mit N Windungen, die von einem zeitabhängigen Stom I(t) duchflossen wid. l Das Feld im Inneen de Spule ist: N B() t = μ I() t l Diffeenzieen de Gleichung egibt: db μ N di() t = l B (t) I(t) U(t) Da das Feld zeitlich veändelich ist, entsteht eine Induktionsspannung Ut () dφ db t = = N mag. () wobei die Queschnittsfläche de Spule ist. 265

17 Einsetzen in das Induktionsgesetz egibt: 2 N di( t) U ( t) = μ = LI& ( t) l wobei L = μ N l die Selbstinduktion ode Induktivität de Spule ist. Sie hängt nu von geometischen Eigenschaften wie de Queschnittsfläche, de Länge und de Windungszahl ab. Die Einheit de Selbstinduktion ist: 2 Vs m Vs [ L ] = 1 1 1H (Heny) m m = = 2 Beispiel: Eine Spule habe die Länge l = 1 cm und den Duchmesse D = 5 cm. Sie hat N = 5 Windungen. Wie goß ist die Induktivität L? Die Queschnittsfläche ist: 2 D = π = m 2 μ N L = = = l 3 3 Mit µ = 4π 1 7 Vs/m egibt sich dann: H 61.7μH 1 Heny ist also eine echt goße Einheit. Joseph Heny ( ) 266

18 I(t) Ein zeitlich vaiable Stom I(t) duch die Spule bewikt zwischen den Spulenanschlüssen eine Spannung: U ( t) = L di U(t) t t 267

19 De Begiff de Selbstinduktion lässt sich auch auf eine beliebige Leiteschleife veallgemeinen. U(t) I(t) B (t) d Duch jeden Stomkeis geift ein Magnetfluss, welche von seinem eigenen Stomfluss heüht. Da das Magnetfeld popotional zum Stom I(t) ist gilt: Φ = d mag. B() t = LI( t) Hiebei ist L die Selbstinduktion de Leiteschleife, die nu von ihe geometischen Beschaffenheit abhängt. Es egibt sich also wiede: di() t Ut () = L 268

20 5.6 RL-Keise Wi betachten einen Stomkeis bestehend aus eine Gleichspannungsquelle U, einem Widestand R und eine Induktivität L. (i) Einschaltvehalten: R U R I Die Maschenegel liefet: U = U + U R L di UR = RI UL = L U L U L di RI U L = di() t R U + It () = L L Dies ist eine lineae, inhomogene DGL 1. Odnung mit konstanten Koeffizienten. ls nfangsbedingung soll speziell I(t=) = gewählt weden. 269

21 Die Lösung de homogenen Gleichung lautet: () exp R Ih t = t L Eine patikuläe Lösung I p (t) egibt sich leicht aus de Bedingung: U R lim IP ( t) = = const. t Damit gilt fü die Gesamtlösung: It () = I() t+ I() t p U It () = + exp t R h R L Die Konstante ist mit de nfangsbedingung I(t) = fü t = festgelegt: U I R U = R () = + = Damit egibt sich das gesuchte Einschaltvehalten des Stomes in einem Stomkeis mit eine Induktivität: () 1 exp It U R = t R L De Stom baut sich est nach eine Zeit τ = L/R auf. Beispiel: L = 1 mh und R = 1 kω 3 1 H 6 Vs τ = = 1 = 1μs 1Ω V/ 27

22 I(t) Einschaltkuve des Stomes bei eine Induktivität U R I t U = R () 1 exp R L t t 271

23 (ii) usschaltvehalten: Jetzt egibt die Maschenegel : U R = + U L = = di UR RI UL L di RI = L U L U L R I U R di() t R + It () = L Dies ist eine lineae, homogene DGL 1. Odnung mit konstanten Koeffizienten. ls nfangsbedingung soll jetzt speziell I() = I gewählt weden. ls Lösung egibt sich sofot: R I() t = I exp t L De Stom klingt mit de Zeitkonstanten τ = L/R ab. 272

24 usschaltkuve des Stomes bei eine Induktivität I(t) I R I () t = I exp t L I e τ = L R t 273

25 5.7 Enegie des Magnetfeldes Die Leistung P ist: Wi betachten die folgende Spule: I Magnetfeld im Innen de Spule: l N Windungen U B = μμ NI l Wenn sich de Stom zeitlich ändet, dann wid eine Spannung U induziet: U = db N 2 N = μμ l = L:Induktivität di = L di dw di P= = UI = L I dw = L I di Hieaus folgt duch Integation die in de Spule gespeichete Enegie: W = 1 2 LI Dückt man die Enegie duch das Magnetfeld B aus, so ist: W = l 2μμ Mit V = l und Β = μμ Η folgt fü die Enegiedichte ρ w = W/V ρ w = B BH 2 274

26 5.8 Maxwellsches Induktionsgesetz In 5.4 wude mit dem Faadayschen Induktionsgesetz gezeigt, dass zeitlich veändeliche B-Felde ein E-Feld ezeugen. Symmetieübelegungen fühen nun zu Induktion eines B-Feldes duch zeitlich veändeliche E-Felde: d B d = μ Φ& ε. = με el d E d Betachtet wid hiezu das ufladen eines Plattenkondensatos: De konstante Stom I bewikt eine Zunahme de Ladung und damit de/ > : Die Richtung des induzieten Magnetfeldes wid deutlich beim Blick auf die echte Platte (von innen): B B de / > B E B I E I de/> Wichtig sind die unteschiedlichen Vozeichen in beiden Induktionsgesetzen. Sie emöglichen u.a. die Existenz von elektomagnetischen Wellen. 275

27 Beeits bekannt ist das mpèesche Gesetz mit dem vom Weg ds eingeschlossenen Stom I B d = μi Die Kombination beide Gesetze liefet das mpèe-maxwellsche Gesetz B d = μ ( ε Φ& el. ) + μi mit dem (fiktiven) Veschiebungsstom I IV = ε Φ& I V el. I 5.9 Zeitabhängige Maxwell-Gleichungen: Übeblick (1) Faadaysches Induktionsgesetz d E d = Φmag. (2) mpèe-maxwellsches Induktionsgesetz d d = μ ε Φ. + B el μ (3) Gaußsche Satz fü elektische Felde E d = q in ε (4) Gaußsche Satz fü magnetische Felde B d = I 276