Quantenmechanik II Musterlösung 8.

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1 Quantenmechanik II Mustelösung 8. FS 7 Pof. Thomas Gehmann Übung. Vowätssteuung in Dipol-äheung Betachte die Amplitude fω) fü Vowätssteuung in Dipol-äheung: fω) = p ɛα k) A m E E A + ω) iγ / + p ɛα k) A ) E E A + ω Beechne den Realteil fü ω ωa ) und den Imaginäteil von fω) in de naow width appoximation. utze dabei die Vollständigkeitselation fü die Zwischenzustände. Lösung. In the lectue it was shown that ε α ε α = A ε α ε α A = m ω A A p ε α p ε α A + A p ε α p ε α A L.) whee the commutation elation x i, p j = iδ ij was substituted into the dot poduct, the completeness elation = inseted and used that A p = imω A A x see sheet 7). Fo the special case that α = α we have ε α ε α = and we theefoe can substitute the in fω) by = A p ε α. L.) m ω A We then have f ω) = m = A p ε α ω A A p ɛ α ω A A p ε α ω A ω i Γ ω A ω i Γ A p ε α ω A + ω ω A + ω L.3). L.) Only the middle tem contibutes to the imaginay pat of fω), the othe tems and factos ae puely eal. ω A ω iγ = ω A ω + ω A ω) Γ ω A ω + i iγ ω A ω) Γ Γ ω A ω) Γ L.5), L.6) whee we appoximated the eal pat assuming ω A ω and Γ 7 ω A naow width appoximation, see lectue). Fo the eal pat of fω) we then find R f ω) = = A p ε α ω ω A ω A ω ) A p ε α ω ω A ω A ω ). L.7) L.8)

2 The imaginay pat is given by I f ω) = A p ε α Γ ω A ω) + Γ. L.9) Since Γ is compaed to ω A ω nwa again) we use the limit lim ε ε x = π δ x) L.) + ε to ewite this as I f ω) = π A p ε α δ ω A ω). L.) Fom this follows that fω) has an imaginay pat only if thee exists a intemediate state to which γ + A can decay without violating enegy consevation. Übung. Fomfaktoen De Fomfakto F q) ist die Fouietansfomiete de Veteilung ρ x) de Steuzenten, F q) = d 3 x e i q x ρ x). ) a) Beechnen Sie den Fomfakto F q ) allgemein fü eine adialsymmetische Veteilung ρ = x ). Wie lautet de Fomfakto de Gaußveteilung wobei c duch die omieung d 3 x ρ x) = gegeben ist. ρ) =ce a, ) b) Wie beechnet sich das zweite Moment mittlee quadatische Radius) de Veteilung ρ), = d 3 x ρ), 3) aus dem Fomfakto F q)? c) Die Gundzustandswellenfunktion des Wassestoffatoms ist ψ) e a ) mit dem Bohadius a. Beechnen Sie den Fomfakto fü die Wahscheinlichkeitsdichte ρ) = ψ) und daaus. Lösung. a) Choosing q = qê z we can easily pefom the Integal ove the solid angle: F q) = F q) = π =π = π q dϕ d cos θ d eiq e iq ρ) iq d sinq)ρ). d e iq cos θ ρ) L.)

3 In ode to calculate the fom facto fo the Gaussian distibution we fist detemine the nomalisation constant c: =c! dω d e a = c π a3 d d e a da = c πa 3 d πa 3 = c πa ), da so ) 3 c =. πa The fom facto is then given by F q) = πc q d sinq)e a πq a 3 Iq). The Integal Iq) i a little ticky. To solve it we can fist bing it to a gaussian shape: Iq) = = Im = Im i d dq d = Re dq d sinq)e a d e iq e a d e a +iq ) d e a iqa } {{ } Ĩq) e q a Ĩq) is a Gaussian type integal with a constant offset. We can evaluate this using Cauchy s theoem, whee we choose the following contou: y = Imz). I 3 R x = Rez) I I c I = Ĩ We can then evaluate the integal along the path: = dz e a z ic) =Ĩ + I + I 3 + I =Ĩ + lim i dy e a R+iy) + lim R c R πa =Ĩ + iefi c a ), 3 R dx e x a + i c dy e a iy)

4 whee Efix) is the imaginay eo function, which is eal fo eal aguments. It is not necessay to identify the last of the integals as such, it is sufficient to ealize that it is a puely eal quantity. Because then iefi c a ) does not contibute to Re... and we find Iq) = d πa e q a πq a 3 = e q a. dq Theefoe F q) =e q a. b) Stating fom equation L.) we expand the sinq): F q) = π q = π q = π = Fom this we can easily see that d sinq)ρ) d d }{{} = d 3 x n= n= ) n q)n+ n + )! ρ) ) n q)n n + )! ρ) n= ) n q n n + )! d 3 x n ρ) } {{ } = n = q + q O q 6). L.3) 3! 5! n n n + )! = ) n! d n F q) dq ) n q =, So = 6 df q) dq ) q =. c) The goundstate wavefunction is given by ψ) = ) α exp a with some popotionality

5 constant α. The fom facto of the pobability density ψ) is then given by Expanding in q yields d sinq)e a F q) =α π q π =α Im q π =α Im i d ) q dq π d = α Re q dq π d = α Re q dq = α π d a q dq + a q a 3 =α 6π + a q ) d e iq e a a ia q a + ia q) + a q F q) α =πa3 π a5 q + O q ). d e ia q a ) Compaing this to the expansion L.3) we find! = α πa 3 α = /πa3 F q) = + a q ) ). and theefoe Fom the O q ) -tem we finally get : α π a5 q = a q! = 6 q = 3a. Übung 3. Compton-Steuung Zeige, dass aus dem Wikungsqueschnitt fü Compton-Steuung im Limes nichtelativistische Elektonen p mc) de Wikunsqueschnitt fü Thomson-Steuung folgt. dσ dω = δ ss ɛ α k ) ɛ α k) Lösung. In diese Aufgabe zeigen wi dass de Wikungsqueschnitt fü Compton-Steuung die Steuung von Licht an feien Elektonen) im nichtelativistischen Limes p m c) dem Wikungsqueschnitt fü Thomson-Steuung entspicht. Die Thomson-Steuung beschiebt die Steuung von Photonen mit eine Enegie, die viel gösse ist als die Bindungsenegie de Elektonen. Die Steuung findet also so statt, als ob die Elektonen fei wäen: ω E B E A. Das ganze ist abe nicht elativistisch. 5

6 Aus de Volesung wissen wi dass dσ = d3 k d 3 p π) 3 π) 3 c π)3 δ 3) p + k p ) k δ p m + ω k p m + ω k π e }{{} mε ωk ω k ) ε δ ss α k) ε α k). Fü nichtelativistische Elektonen gilt p m c. Um das Poblem zu veeinfachen gehen wi im Ruhesystem des Elektons vo de Steuung, das heisst p =. Dann egibt sich aus de Enegieehaltung ): p m = ω k ω k ) = c k ) k p m c = k ) k δ 3) p + k ) k) δ 3) p ). Somit folgt fü den Wikungsqueschnitt dσ = d3 k d 3 p ) p π) 3 π) 3 δ m c + k k ) δ 3) k k) + p ) π) e ) ε δ ss mε ωk ω α k ) ε α k) k = dωk ) k d k π) 3 δ k ) π e ) ε k δ ss mε ωk ω α k ) ε α k) k = dωk) k e ) ε π δ ss mε ω α k ) ε α k) k = dωk) δ ss ε α k ) ε α k), wobei = α m c = e π m c ε. 6