Name: Matrikelnummer: Ergänzungsprüfung January 29, 2016

Transkript

1 ANWEISUNG: Diese Prüfung besteht aus 32 Seiten einschließlich dieser Titelseite und 9 Fragen die jeweils 10 Punkte wert sind. Stellen Sie sicher, dass Sie keine Frage übersehen. Bitte schreiben Sie Ihren Namen und Matrikelnummer auf jede Seite. Sie dürfen auf dem zustzlichen Papier, dass zur Verfügung gestellt ist, Rechnungen ausführen, aber nur Antworten die auf das Prüfungspapier geschrieben sind werden bewertet. Aus diesem Grund, sollen Sie Ihre vollständige Antwort so ordentlich wie möglich direkt in den vorgesehenen Raum schreiben. Sie dürfen auch auf die Rückseite des Prüfungspapiers schreiben, aber Sie müssen es deutlich anmerken wenn Sie das tun. Taschenrechner sind nicht erforderlich und sind verboten. Mobiltelefone und andere elektronische Geräte sind ebenfalls verboten. Sie dürfen weder Ihre Aufzeichnungen noch Lehrbücher während der Prüfung verwenden. Sie haben 3 Stunden um alle Fragen zu beantworten. Sie dürfen zu jeder Zeit die Prüfung beenden und den Prüfungssaal verlassen. 1/32

2 1. a) (5 Punkte) Löse das Gleichungssystem für (x, y, z) mit einer beliebigen Methode. A. x + y + z =4 B. x + 3y + 3z =10 C. 2x + y z =3 2/32

3 b) (5 Punkte) Hat das folgende Gleichungssystem: a) keine Lösung; b) genau eine Lösung; c) unendlich viele Lösungen? Unterstütze die Antwort mit einem Graph. Falls es genau eine Lösung gibt, finde diese Lösung. Falls es unendlich viele Lösungen gibt, gebe eine spezifische Lösung an. A. y 3x = 2 B. 3y 9x =20 3/32

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5 Solution: 1. a) Subtract equation A. from B. and 2 times B. from C. to get the following system of two equations and two unknowns: I. 2y + 2z =6 II. 5y 7z = 17 Now add 5/2 times I. to II. to get 2z = 2 or equivalently z = 1. Plugging this into I. gives y = 2, and then plugging these results into A. gives x = 1. We may check that (x, y, z) = (1, 2, 1) satisfies all equations and is therefore our solution. b) We write the equations in familiar slope-intercept form A. y =3x + 2 B. y =3x which shows that the equations represent parallel lines as shown in Figure 1 and therefore we have no solution. 5/32

6 40 y 30 y = 3x y = 3x x Figure 1: The lines do not intersect, they are parallel 6/32

7 2. a) (5 Punkte) Eine quadratische Funktion hat die Nullstellen x = 3 und x = 1 und nimmt den 2 Wert y = 1 für x = 1 an. Gebe die Formel, in der Form y = c + bx + ax 2, von der Funktion an. Zeichne den Graph der Funktion und gebe die Koordinaten des Scheitelpunkts an. 7/32

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9 b) (5 Punkte) Löse die folgende kubische Gleichung x 3 7x x 9 = 0. 9/32

10 Solution: 2. a) We set up an equation based on the information we have ( y = c(x 3) x + 1 ) 2 (0.1) where c is unknown. Now we plug in (x, y) = (1, 1) and solve for c. This gives c = 1 3. Expanding (0.1) gives To graph the function, we factor out 1 3 y = x 1 3 x2 y = 1 3 again and then complete the square to get ( x 5 ) Plotting is then just a matter of applying the transformations a) scale by 1/3 (blue in Figure 2 ) b) shift right by 5/4 (red) c) shift up by 49/48 (green, final) to the graph of x 2 (black). We can check that the resulting graph (green line) passes through the points (3, 0), ( 1/2, 0), and (1, 1). We also know that the vertex, or maximum in this case, must lie at (5/4, 49/48) since this is how much we have shifted the vertex of the graph of x 2 which lies at (0, 0). b) We write the equation in the form x(x 2 7x + 15) = 9 which shows that any integer solution must divide 9 exactly. Trying the divisors of 9 we see that 1 is a solution. Now we do polynomial division: x 2 6x + 9 x 1 ) x 3 7x x 9 x 3 + x 2 6x x 6x 2 6x 9x 9 9x + 9 Factoring, we get x 2 6x + 9 = (x 3) 2 so our solution set is {1, 3}. 0 10/32

11 ( 5 4, ) ( 1 2, 0) (3, 0) Figure 2: Graph of y = x 1 3 x2 11/32

12 3. a) (5 Punkte) Abgebildet ist der Einheitskreis. Trage die gefragten Koordinaten, entsprechend des gegebenen Winkels, ein. (0, 1) (, ) (, ) 3π 4 π 6 ( 1, 0) (1, 0) 4π 3 7π 4 (, ) (, ) (0, 1) 12/32

13 b) (5 Punkte) Zeichne den Graph der Funktion y = 3 cos ( 2 ( )) x π 2 so, dass eine ganze Periode sichtbar ist. Gebe die Periode, alle Nullstellen, die Extremwerte und die x-koordinaten aller Extremwerte an. 13/32

14 Solution: 3. a) See Figure 3 b) Apply the transformations: a) reflect in x (blue in Figure 4); b) scale vertically by 3 and horizontally by 1/2 c) shift right by π/2 (green) to the function cos(x) (black). The resulting function has maximum value 3 at points {kπ} k Z and minimum value -3 at points {(2k + 1)π/2} k Z, zeros at points {(2k + 1)π/4} k Z, and period π. 14/32

15 Figure 3: The unit circle 3 Period: π (0, 3) (π, 3) π 4 3π ( π 3, 3) Figure 4: Graph of y = 3 cos ( 2 ( x π 2 )) 15/32

16 4. a) (5 Punkte) berprfe ob der Grenzwert als reelle Zahl existiert. Wenn er existiert, finde den Grenzwert. Wenn er nicht als reelle Zahl existiert, bestimme ob der Grenzwert ± ist. 2 ln(x) (i) lim x 10 log(10x) + e (ii) lim x 1 x 2 3x+2 x 2 +4x 5 16/32

17 b) (5 Punkte) Mit Hilfe des Einschnürungssatzes beweise, dass der folgende Grenzwert null ist. lim x 0 x 2 csc ( 1 x ) 17/32

18 Solution: 4. a) (i) By continuity of the two functions which are being summed, we know that the individual limits exist, and that the limit is just the sum of the functions evaluated at x = 10. Plugging this in gives b) Since log(100) + e 2 ln(10) = log(10 2 ) = (ii) We factor the top and bottom polynomials to get x 2 3x + 2 lim x 1 x 2 + 4x 5 = lim (x 1)(x 2) x 1 (x 1)(x + 5) = lim (x 2) x 1 (x + 5) = 1 6 x 2 x 2 sin(1/x) = x2 csc ( ) x 2 1 x and lim x 0 x 2 = lim x 0 ( x 2 ) = 0 the result follows by the squeeze theorem. 18/32

19 5. Bestimme y. In Teil c) darf die Antwort durch x und y ausgedrckt werden. a) (3 Punkte) y = tan(x) 1+cos(x) b) (3 Punkte) y = 1 x /32

20 c) (4 Punkte) xe y = y sin(x) 20/32

21 Solution: 5. a) Just use the quotient rule to get y = (1 + cos(x)) sec2 (x) + tan(x) sin(x) (1 + cos(x)) 2. Although it is possible to perhaps simplify further by applying the identities cos 2 (x) + sin 2 (x) = 1 and sec 2 tan 2 (x) = 1 I would accept this as an answer. b) The power rule gives y = x 1 1 6/5 2 x, 3/2 and further simplification is not possible, so we can stop here. c) We differentiate both sides with respect to x to get and then we solve for y which gives e y + xe y y = y sin(x) + y cos(x), y = y cos(x) ey xe y sin(x). 21/32

22 6. (10 Punkte) Führe eine Funktionsanalyse der Funktion y = x2 x 2 x + 3 durch. Finde: a) die Extremstellen (nur x-koordinaten sind gefragt, die Extremwerte müssen nicht berechnet werden); b) die Wendestellen ; c) die x-koordinaten aller Sattelpunkte; d) die Formeln von allen Asymptoten (senkrechten, waagerechten, oder schrägen). 22/32

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24 Solution: 6. First we factor the numerator to see if any factors which might cancel. This shows that y = (x + 1)(x 2) x + 3 so that there is no cancellation of factors. We can see, however, that there is a vertical asymptote at x = 3. Differentiating y gives, after some work, y = x2 + 6x 1 (x + 3) 2. Setting this equal to 0 and using the quadratic formula shows that we have critical points x = 3 ± 40/2. Differentiating again, gives y = 20 (x + 3) 3 which shows that there are no inflection or saddle points since y will never be zero. Checking the values of y at the cricitcal points shows that ) ( ) y ( 3 < 0 and y 3 + > 0, 2 2 meaning that x = 3 40/2 is a relative or local maximum, and x = /2 is a relative or local minimum. Last, we observe that the degree of the numerator of y is one bigger than the degree of the denominator. Therefore, we expect linear behaviour as x grows in the positive and negative direction, i.e. we expect a slant asymptote. We know that we can get the formula of the asymptote by polynomial division, i.e. x 4 x + 3 ) x 2 x 2 x 2 3x 4x 2 4x + 12 so that we have a slant asymptote with formula y = x 4. Summarizing, we have a) a local maximum at x = 3 40/2 and a local minimum at x = /2. b) no inflection points c) no saddle points d) A vertical asymptote with formula x = 3 and a slant asymptote with formula y = x /32

25 7. Integriere: a) (3 Punkte) 1 0 (1 + x) 4 dx b) (3 Punkte) s2 s ds 25/32

26 c) (4 Punkte) e 2x 1+e 4x dx 26/32

27 Solution: 7. a) We let u = 1 + x so that x = (u 1) 2 and dx = 2(u 1)du. Then 1 0 ( ) x dx = 2 u 4 (u 1)du = ( u 5 u 4) du = 1 4 u4 1 3 u3 u=2 b) We use integration by parts with u = s, du = dt, dv = 2 s ds, and v = 2 s / ln(2). Then s2 2 ds = 1 ln(2) s2s 1 2 s ds = 1 1 ln(2) ln(2) s2s (ln(2)) 2 2s + c. c) We make the substitution u = e 2x, du = 2e 2x dx to obtain e 2x 1 + e dx = 1 1 4x u du = tan 1 (u) + c = 1 2 tan 1 (e 2x ) + c u=1 = /32

28 8. (10 Punkte) Integriere: x 2 2x 1 (x 1) 2 (x 2 + 1) dx. 28/32

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30 Solution: 8. We proceed by the standard technique for integration of rational functions. Here we have a repeated linear factor and an irreducible quadratic factor in the denominator. Therfore the set-up we want looks like x 2 2x 1 (x 1) 2 (x 2 + 1) = A x 1 + B (x 1) + Cx + D 2 x Solving for A, B, C and D gives x 2 ( 2x 1 1 (x 1) 2 (x 2 + 1) dx = x 1 1 (x 1) x 1 2 = ln( x 1 ) 1 x 1 ) dx x x x dx + 1 x dx where we have used the substitution u = x 1 for the first two integrals. For the remaining integrals we make the substitution u = x in the first, and recognize the second integrand as the derivative of tan 1 (x). This gives x 2 2x 1 1 dx = ln( x 1 ) (x 1) 2 (x 2 + 1) x ln(x2 + 1) + tan 1 (x) + c. 30/32

31 9. a) (5 Punkte) Für ein Wahrscheinlichkeitsmaß P ist einer der zwei Ungleichungen immer wahr für zwei Ereignisse A und B a.) P(A B) P(A) + P(B) 1 b.)p(a B) P(A) + P(B) 1. Welche Ungleichung ist immer wahr? Wieso? b) (5 Punkte) Gegeben sind zwei Schachteln, Schachtel O und Schachtel E. Innerhalb Schachtel O befinden sich 1 schwarzer Ball und 3 weiße Bälle und innerhalb Schachtel E befinden sich 2 schwarze Bälle und 4 weiße Bälle. Nehme an, dass wir mit gleicher Wahrscheinlichkeit 1/2 eine der Schachteln wählen, z.b. durch einen Münzenwurf, und, dass wir dann blind einen Ball aus dieser Schachtel ziehen. Was ist die Wahrscheinlichkeit, dass dieser Ball schwarz ist? 31/32

32 Solution: 9. a) We know that in general P(A B) = P(A) + P(B) P(A B). But, for any A and B we always have P(A B) 1 so that P(A B) P(A) + P(B) 1. b) Call the event that the ball is black B and let O and E denote the events of picking box O and E respectively. P( pick a black ball ) = P(B) = P(E B) + P(O B) = P(B E)P(E) + P(B O)P(O) = = /32