Worksheet 2. Problem 4. (a) 1 x x 2 2. dx 4 x2 + b ( x2. x 2 + 3c ] dx 4 + 3b ) (b) Since the points. f(x i, y i )

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1 Worksheet Problem 4 a 4 + x dy ax + by x axy + b y+ x y y x 4 a 4 x + b { + x a 4 x + b x + 6 x a 4 + b x + b 4 x x } 4 6a + 8b. b Since the points P, P and P are distributed within the triangle rather uniformly, we have i fx i, y i fr r, and thus d r fx, y A fr A r fx i, y i i 6 7.5a +.5b 5a + 7b. c Generally, since f is linear, we have exactly d r fx, y A fx M, y M, d Part a: f 8, 4 6 8a + 4 b 6a + 8b. + x dy ax + bxy + cy x 4 a 4 x + b x { + x x } 4 4 ax y + b xy + c y+ x y + c y x 4 { + x x }. 4 Using the trinomic formula, we obtain 4 a... 4 x + b { x + x + x x } 4 + x 6 + c { + x + 4 x + x 8 4 x + } 6 x x 64 4 a 4 + b + c b x c x + c 6 4 x 48a + 6b + c + 6b + 4c + 6c 48a + b + c. Part b and c, respectively: 6 fx i, y i 44.5a + 7.5b +.5c, i 6 fx M, y M 8 a + 64 b + c.

2 Problem 5 a The area of is A 4 x 6 6. b d r fr 4 x dy x + y y x + y y4 x y 4 x x + 4 x 4 x x 4 5x + 6 x y + y x 6 + 9x 4 6x y4 x y c The wanted average value is fr r A d r fr Estimate: f f f f f f d Bonus: Maximum: f, 4 6, Minimum: f,.

3 Problem 6 a d r xz 6 a x a x a x a x y dy dz z z z a x y dy z dy a x y a x y y y a x y a x / a x / a x / xa 6 5 a x 5/ x a5 5. b d r xyz 6 a x a x a x y dy y dz z dy ya x y a x y y4 y a x 4 y a x a x 4 a x a x 6 as in part a xa x a6 48.

4 Worksheet Problem a i Since arcsin π and arcsin π, we obtain R R R x dy R x R R R x R arcsin x R R R πr. ii In planar polar coordinates, we have notice the Jacobian Jr, φ r! R π dφ r R πr π r R πr. b Now, the r-integral has a φ-dependent upper limit rφ + cos 4φ >, π dφ rφ r Since cos 4φ d dφ 4... { 8π + 6 π dφ rφ π sin 4φ cos 4φ + φ, this becomes sin 4φ π sin 4φ cos 4φ } π + + φ 4 4 dφ cos 4φ + cos 4φ. { } 8π + + π π. Problem 4 a The distance of a point r x, y, z from the z-axis is ar x + y. b For a sphere of radius R, centered at the origin, we obtain I d r ρr ar ρ d r x + y ρ R R ρ R ρ R ρ π π π π π π π dφ Jr, θ, φ r sin θ cos φ + r sin θ sin φ dφ r sin θ r sin θ cos φ + sin φ dφ r 4 sin θ π r 4 sin θ. Writing sin θ sin θ cos θ sin θ sin θ cos θ, we find R I πρ r 4 cos θ + cos θ π R πρ r 4 R 5 4 πρ 5 4π 5 R ρ R 5 MR. 4

5 Problem 5 a b d r xyz d r xz 8... π/ π/ π/ π/ π/ π/ π/ π/ r 5 sin 4 θ 4 r 5 π/ π/ dφ Jr, θ, φ r sin θ cos φr cos θ dφ r 4 sin θ cos θ cos φ dφ Jr, θ, φ r sin θ cos φr sin θ sin φr cos θ dφ r 5 sin θ cos θ cos φ sin φ sin r 5 sin φ θ cos θ r 5 sin θ cos θ a6 48. π/ π/ 5

6 Worksheet 4 Problem a b I x ρ ρ +H/ H/ +H/ H/ mit sin φ cos φ also I x ρ ρ ρ +H/ H/ +H/ H/ +H/ H/ dz dz dz ρπr +H/ H/ ρπr R dz dz R R R R π ds ds π dφ s s sin φ + z dφ s sin φ + sz, ds s φ sin φ ds πs + πz s π s4 sr 4 + πz s s R dz 4 + z 4 z + z z+h/ z H/ φπ + sz φ φ R ρπr H }{{} 4 + H. M Problem a Es ist vr fr mit fr xyz. b Es ist pr gr mit gr xy + z. c Dagegen ist qr kein Gradient, denn für x gilt x q y q x. Problem a Br y z x z y x x x y y. 6

7 b Wegen y B z B z B x B gilt jetzt Br x B y B. Mit x B x x x + y y B y y x + y x + y x x x + y y x x + y, x + y y y x + y y x x + y folgt Br zumindest für x + y >. Problem 4 a Die Vektoren sind F,, F,,.5.5. F,, F,, F,, F,, F,, F,...5 Sie sind als rote Pfeile folgendes Diagramm eingetragen. b Um die Kurve in das Diagramm einzuzeichnen, berechnet man den Ortsvektor rφ für einige Werte des Kurvenparameters φ. Im vorliegenden Fall handelt es sich um einen Viertelkreis um den Ursprung mit Radius R. Er ist eine der ei blauen Kurven im Diagramm. Da die Tangential-Projektion der roten Pfeile in jedem Kurvenpunkt in Richtung wachsenden Kurvenparameters φ zu zeigen scheinen man müßte noch mehr solche Pfeile einzeichnen, sollte Γ Fr > sein. 7

8 c Fr Γ π/4 π/4 π/4 π/4 dφ ṙφ F rφ R sin φ dφ +R cos φ dφ sin φ + cos φ dφ cos φ R sin φ/r R cos φ/r sin φ π/4. d Γ Fr /u /u u ln. e Γ Fr / /u u/ + u 4 u / + u 4 /. Problem 5 a fr x y x + xy x + y xy. b ii iii i 6u 6u 9u 4 + 4u 6 u 5 8u 6u 6 + 5u 5 6u 4 6u 9u + 64u 4 48u 54u 4 + 4u 7 + 7u u 8 45u 4 u u + 9u u c In allen ei Fällen ist r A und also fr A. i: r B und also fr B. ii: r B 6 5 und also fr B. iii: r B 8 und also fr B. 8

9 Worksheet 5 Problem a h s α rα s cos φ sin φ, h φ α s sin φ +s cos φ, h z α. b Zeichnung: Achtelkreis mit Radius. c Nach der in der Vorlesung angegebenen Formel gilt evtl. bis auf ein Vorzeichen Σ da Fr π/ π/4 π/ π/4 π/ π/4 π/ π/4 π/ π/4 π/ π/4 dφ dz h φ α h z α F rs, φ, z dφ dz s cos φ s sin φ 5s cos φ 7z s cos φ + 5s sin φ 6s sin φ + z dφ dz 5s cos φ 7s z cos φ + s sin φ cos φ + +5s sin φ + + dφ dz 5s 7s z cos φ + s sin φ cos φ dφ dφ 5s z 7 s z cos φ + s z sin φ cos φ s a + + 6s a sin φ cos φ s aφ + s a sin φ φπ/ φπ/4 5π + za z s a. Problem a Es gilt a b a c b c, sowie a + + b c. b Aus der Darstellung ru, v, w rα xu, v, w yu, v, w zu, v, w u + v + w u + v w u + v + w erhalten wir h u rα u a, h v b, h w c. 9

10 c Σ ist das Quaat, dessen Ecken folgende Ortsvektoren haben, r, r a, r b, r 4 a + b. d Nach der in der Vorlesung angegebenen Formel gilt evtl. bis auf ein Vorzeichen I dv h u h v F ru, v, 5u + v 7 u + v dv u + v + 5u + v 6u + v + u + v 6 4u 9v dv 6 u + v u + 6v dv 84u 84v v 84uv 4v 84u 4 v 4 4. Problem a Jr J x, y x + J x, y y c a x + y a + x + y +. b Wertetabelle für J r x : +x +y y\x c Eine D Stromdichte hat strenggenommen die Dimension J mg folglich haben wir: a m, c mg. s Interpretiert man J als D Stromdichte, mit J mg, m s so folgt dagegen: a m, c mg. s m d Punkte der xy-ebene mit Jx, y genügen der Gleichung a x + y y ± x a. Sie liegen also auf zwei getrennten Hyperbelästen mit x a bzw. x. Im Gebiet zwischen diesen, etwa auf der y-achse, ist Jx, y > Quellen. In den beiden Gebieten außerhalb der Hyperbeläste gilt dagegen Jx, y < Senken. m s ;

11 Problem 4 a Da der Vektor h θ α h φ α aus der Kugeloberfläche heraus zeigt, so gilt Σ da Fr π π φ φ π R R π R π dφ h θ α h φ α F rα dφ R φ dφ φ dφ sin θ cos φ sin θ sin φ cos θ sin φ R sin θ cos φ + sin φ R sin θ5 cos φ 4 sin φ 7R cos θ sin θ cos φ sin θ cos φ sin φ + 4 sin θ sin φ + 7 cos θ sin θ sin θ + 8 cos φ sin φ 6 sin φ cos θ sin θ sin θ φ + 4 sin φ 6 φ sin φ + + 7φ cos φφ θ sin θ φ π { R sin θ φ + 4 sin φ + } sin φ + 7φ cos θ sin θ R cos θ + {... 4 cos θ } 7 θπ φ cos θ θ R + {... } 4 + φ } { φ + 4 sin φ + sin φ 4 R R φ + 6 sin φ + sin φ. Speziell im Fall φ π ergibt sich also da Fr π R. Σ + 4 φ b Mit dem Bereichsvolumen V 4π R und Fr folgt d r Fr V 5 π R.

12 Worksheet 6 Problem : Stokes theorem a Σ is the paralellogram with the corners Consequently, we have A Σ n Σ r A r ap bq, r C r + ap + bq, r B r + ap bq, r D r ap + bq. r B r A r C r B ap bq 4ab p q 4ab and, since n Σ is a unit vector, A Σ 4 ab, n Σ b Σ consists of the four sides of Σ, given by { } Γ AB r AB ξ r + ξp bq a ξ a, r AB ξ Γ BC Γ CD Γ DA. { } r BC ξ r + ap + ξq b ξ b, r BC ξ { } r CD ξ r ξp + bq a ξ a, r CD ξ { } r DA ξ r ap ξq b ξ b, r DA ξ Now we have Fr Σ Γ AB + Γ BC + Γ CD + Γ DA Fr. We begin with Fr dξ ṙ AB ξ F r AB ξ. Γ AB Since ṙ AB ξ p,,, this is Fr dξ F rab ξ Γ AB dξ 4 + ξ b 85 b + 74 b dξ 4 + 4ξ b 4 + b., + ξ b 5 b 4 b + a + ξ 5 + ξ 4 + ξ ξ + b 5 + b 4 + b a ξ 5 ξ 4 ξ,,,.

13 Since ṙ BC ξ q,,, we similarly get b Fr dξ F rbc ξ + F rbc ξ + F rbc ξ Γ BC b b dξ 5 + a + ξ 55 + ξ ξ b b b dξ + 5a + 4ξ b + 5a. The two remaining integrals are treated in a very similar way. Since ṙ CD ξ p,,, we have Fr dξ F rcd ξ Γ CD dξ 4 ξ + b 85 + b b dξ 4 4ξ + b a4 b. Since ṙ DA ξ q,,, we similarly get b Fr dξ F rda ξ + F rda ξ + F rda ξ Γ DA b b dξ 5 a ξ 55 ξ + 44 ξ b b b dξ 5a 4ξ Eventually, the sum of these four integrals is Fr 48ab. Σ b 5a. c lim A Σ This must be equal to A Σ Σ Fr lim a,b n Σ Fr rr 48ab 4 ab 6. 7, which is true. d Since Fr 7,, is a constant vector, we have da Fr A Σ n Σ Fr 4ab Σ 7 confirming Stokes theorem, since Fr 48ab, e to part b. Σ 48ab,

14 Problem 5 The circulation around Σ is π Fr dφ Σ π R sin φ +R cos φ 4R cos φ 8R sin φ R cos φ + 5R sin φ... dφ 4R sin φ cos φ + 8R sin φ + R cos φ + 5R cos φ sin φ + 8R π + R π + R π. The flux of Fr 7,, through Σ is da F π/ π R cos θ cos φ R sin θ sin φ 7 dφ R cos θ sin φ +R sin θ cos φ Σ R sin θ π/ π R sin θ cos φ 7 dφ π/ π R sin θ sin φ R cos θ sin θ dφ 7R sin θ cos φ R sin θ sin φ + R cos θ sin θ + + π R sin θ π/ R π. 4