D-MAVT/D-MATL Analysis I HS 2018 Dr. Andreas Steiger. Lösung - Serie 12

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1 D-MAVT/D-MATL Analysis I HS 8 Dr. Andreas Steiger Lösung - Serie MC-Aufgaben Online-Abgabe. Liegt der Schwerpunkt eines rotationssymmetrischen Körpers immer auf dessen Rotationsachse? a Nein. Dies würde im Umkehrschluss bedeuten, dass sich alle Rotationsachsen eines Körpers in einem Punkt schneiden müssten, was nicht immer der Fall ist. b Ja. Andernfalls würde der Schwerpunkt nach der Rotation nicht mehr derselbe sein er ist aber eindeutig.. Das uneigentliche Integral e lnx a konvergiert. b divergiert. Es gilt e lnx = > e lnx x, da x = e lnx > e lnx für alle x > e gilt. Da aber e Integral divergieren. x divergiert, muss folglich auch das obige Bitte wenden!

2 3. Betrachten Sie die folgenden Figuren, die beide aus den selben zwei homogenen Rechtecken zusammengesetzt sind und sich nur in der Platzierung des rechten liegenden Rechtecks unterscheiden dieses ist um d nach unten versetzt: Seien x, y, x, y >. Welche Aussagen über die Schwerpunkte S der linken Figur und S der rechten Figur sind wahr? a Die x-koordinaten von S und S stimmen überein. b Die Länge bedeutet Ausdehnung in x-richtung des rechten liegenden Rechtecks kann so gewählt werden, dass die y-koordinaten von S und S übereinstimmen. c Die Differenz der y-koordinaten von S und S beträgt d. Die erste Aussage ist wahr, da das Rechteck nur entlang der y-achse bewegt wird und die Formel zur Bestimmung der x-koordinate des Schwerpunkts, xgx x S =, Gx nur die jeweilige Ausdehnung in y-richtung, nicht aber deren Lage, verwendet. Intuitiv lassen sich die nächsten beiden Aussagen folgendermassen entkräften: Falls überdies auch die y- Koordinaten übereinstimmten, so wären die beiden Schwerpunkte ident, was absurd anmutet, also sollte die zweite Aussage falsch sein. Da der Schwerpunkt nicht nur vom rechten, sondern auch vom linken Rechteck abhängt, sollte die Masse des linken Rechtecks die Bewegung des Schwerpunkts entlang der y-richtung in Relation zur Bewegung des rechten Rechtecks verlangsamen dass der Schwerpunkt also im gleichen Ausmass wie das Rechteck bewegt wird scheint unlogisch, womit die dritte Aussagen widerlegt wäre. Nun validieren wir unsere mathematische Intuition. Nehmen wir dazu an, dass die linke untere Ecke des linken stehenden Rechtecks im Ursprung platziert ist und wie schon in der Abbildung beschriftet, dass das linke Rechteck eine Länge von x und eine Höhe von y, das rechte Rechteck eine Länge von x und eine Höhe von y hat. In der Folge berechnen wir die y-koordinate von S. Es gilt { x für y < y y, H y = x + x für y y y y und folglich y yh y dy y S = y H y dy = xy + x y y y. x y + x y Siehe nächstes Blatt!

3 Auf ähnliche Weise erhalten wir die y-koordinate von S. Diesmal gilt x für y < y y d, H y = x + x für y y d y y d, x für y d < y y und folglich y yh y dy y S = y H y dy = xy + x y dy y. x y + x y Daraus ist sofort ersichtlich, dass die y-koordinaten nur übereinstimmen, falls d = gilt. Dies ist aber ausgeschlossen. Ausserdem ist die Differenz der y-koordinaten gleich x y d x y y y = = d < d, x y + x y x y + x y wie gewünscht. Bitte wenden!

4 4. Es sei B α für < α < die von den beiden Parabelbögen x y = und x α y = berandete Fläche. Für welche α liegt der Schwerpunkt von B α ausserhalb der Fläche B α? a α < 3 b 3 < α < c α < 3 4 d 3 4 < α < e α < Wir benutzen die Formel aus dem Stammbach Skript, Kapitel III, und erhalten y s = wegen Symmetrie und x s = α x Gx, A α wobei A α der Flächeninhalt von B α ist. y G x x G x x x Α x x y x Αy Es gilt x für x Gx = x x für x α α und A α kann als Differenz den Flächen zwischen den Funktionen x = y und x = ay und der Siehe nächstes Blatt!

5 y-achse berechnet werden. Diese zwei Funktionen schneiden sie sich für y = ± Dann berechnen wir x s = A α = A α u=x = = A α A α = = α A α α α α + αy dy α + y α dy = 4. 3 α x x x x α α y dy α x x x α α 5 α α α 4 α 5 x x α α α α α = 3 5 α 3 5 α α α = 3 α. 5 α Der Schwerpunkt von B α liegt ausserhalb der Fläche B α Also 3 < α <. α u + u du 5 4 α 3 α α α 3 x s > 3 α > 5 5α 3α > α > 3. und so Bitte wenden!

6 5. a Berechnen Sie den Schwerpunkt des in der Figur dargestellten homogenen Halbrundniets. Es sind d = 6mm, D = 8mm, k =.5mm und l = 8mm. y k l D R d x b Betrachten Sie das Rotationsparaboloid, das durch Rotation der Kurve z = ax um die z-achse gegeben ist: R H L ösung: Auf welcher Höhe liegt der Körperschwerpunkt? a Dank dem Satz von Pythagoras haben wir R k + D = R und somit R = D 8k + k. Siehe nächstes Blatt!

7 Das Volumen ist [ k k+l V = π R R x + [ k ] k+l = π Rx x d + k 4 D k = π + k d l = π 4 4 k d ] = π Rk k3 3 + d l 4 3D k + 4k 3 + 6d l. Aus Symmetriegründen sind die y- und z-komponenten des Schwerpunktes y S = z S =. Für die x-komponente bekommen wir [ x s = k k+l d V π xrx x + x ] Rk 3 k = π k4 V d k + l k 8 = π D k V + k4 3 k4 4 + d kl + d l 4 8 = π D k + k 4 + 6d kl + 3d l = D k + k 4 + 3d lk + l 4V 3D k + 4k 3 + 6d l 4mm. Bemerkung: Bedenken Sie, dass die Angabe von mehr Nachkommastellen etwa 4.66 mm hier nicht sinnvoll ist, denn die Grössen d, D und l sind auch nicht genauer als mit zwei Dezimalstellen angegeben. b Die Kurve z = ax wird um die z-achse gedreht. Für den Radius gilt dann r = x + y und für die Höhe z = ar. Schnittfläche bei z: F z = πr = π z a Volumenelement bei z: dv = F zdz = π z a dz Der Schwerpunkt liegt auf der z-achse mit Höhe h. h = V V = = V ar ar ar zdv, wobei V = π a z dz = V dv = ar π 3a z3 ar ar = V π a zdz = π ar a z h = π a R 4 π 3 a R 6 = 3 ar = 3 H dv π 3a a3 R 6 = V = π ar4 π 3 a R 6 Bitte wenden!

8 6. a Eine dünne homogene Quadratplatte Länge der Quadratseite s, Masse pro Flächeneinheit σ rotiert mit der Winkelgeschwindigkeit ω um eine Diagonale. Wie gross ist die kinetische Energie der Platte? b Das Flächenstück zwischen der x-achse und dem durch die Parameterdarstellung xt = cos t yt = sint für t π gegebenen Kurvenbogen wird um die x-achse rotiert. Dadurch entsteht ein zwiebelförmiger, homogener Körper mit homogener Dichte ϱ =. Berechnen Sie das Trägheitsmoment bezüglich der x-achse. Lösung: a Für die in der Zeichnung siehe nächste Seite oben rechts liegende Kante der Platte gilt die Gleichung y = s x. In einem Streifen der Breite liegt also die kleine Masse dm = yσ = σ s x. Daraus erhält man als Anteil der kinetischen Energie dt = v dm = ω x dm = σω x s x Die gesamte kinetische Energie ist folglich s T =. s s σω x x = σω x 3 3 x4 s = 4 4 σω s 4. Siehe nächstes Blatt!

9 Den Faktor benötigen wir, um auch die linke Hälfte der Platte zu berücksichtigen. b Wir bestimmen zuerst eine explizite Darstellung der Kurve. Es ist y = sint = sin t cos t = x x ein Stück einer Lemniskate bzw. Lissajous-Figur. Das Trägheitsmoment berechnet sich dann gemäss Buch, Kapitel III., wie folgt: Θ = π = 8π x x 4 = π x 4 x 6 + x 8 = 8π [ x 5 = 8π = 64π 35. 6x 4 x 5 x7 7 + x9 9 Alternative: Das Trägheitsmoment einer dünnen Kreisscheibe mit Radius r ist πr4. Zerschneiden wir die Zwiebel in solche Scheiben vom Radius yt und Dicke = ẋtdt, so ergibt sich Θ = π/ π yt 4 ẋt dt = π/ π sin 4 t sin t dt }{{} = 6 cos 4 t sin 4 t = 6 cos 4 t cos t = 8π π/ u=cos t = du= sin tdt 8π cos 4 t cos t sin t dt u 4 u du = 8π = 9 64π 35. ] Bitte wenden!

10 7. Berechnen Sie die folgenden uneigentlichen Integrale, sofern sie existieren. a b c d e f 8 8 x 3 ; x + x 3 ; x + x 4 ; x ln x ; xln x ; λ, wobei λ >. + x Hinweis: Partialbruchzerlegung. g Finden Sie den Wert der Konstante K, für welchen das Integral x + 4 K x + Lösung: konvergiert und berechnen Sie in diesem Fall das Integral. Hinweis: Benützen Sie die Identität arsinhx = lnx + + x. 8 x 3 d = lim 8 a Wir können das Integral direkt berechnen und betrachten danach den durch die Schranken gegebenen Grenzwert: 8 [ 3 ] 8 x = 3 4 = 6. = lim 3 8 b Wir führen eine Partialbruchzerlegung durch. Der Nenner faktorisiert sich zu xx +, wobei der Faktor x + keine reellen Nullstellen besitzt. Der korrekte Ansatz für die Partialbruchzerlegung lautet daher xx + = A x + B + Cx x +. Multiplizieren wir diese Gleichung mit xx +, so ergibt sich = Ax + + B + Cxx, ein kurzer Koeffizientenvergleich ergibt also A =, B =, C = und damit xx + = x x x +. Siehe nächstes Blatt!

11 Es folgt x + x 3 = = lim = lim ln = lim ln x x + x [ ln x ln x + ] ln + ln + + ln = ln + ln = ln. c Wir substituieren u = x, so dass du = x und x = lim + x 4 = lim x = lim + x 4 [ arsinh u ] u= u= du + u = lim arsinh. Wegen lim arsinh = existiert das uneigentliche Integral nicht. d Das Integral x ln x = lim x [ln ln x = lim ln x ] x= x= = lim lnln lnln existiert nicht, denn lim lnln =. e Die Substitution u = ln x ergibt du = x, also xln x = lim = lim xln x = lim ] [ ln + ln ln ln = ln. [ du u = lim ] u=ln u u=ln f Es ist λ + x = λ + x = λ λ = λ arctan u + C = λ arctan x λ + u du + C, in haben wir dabei u = x λ substituiert, wobei = λ du. Bekannterweise gilt für die Arkustangens- Funktion lim arctan = π und arctan = arctan, Bitte wenden!

12 insgesamt ergibt sich also λ = lim + x = λ lim = λ lim arctan λ + x = λ lim arctan arctan λ = λ λ π = π λ. g Zunächst folgt mit der Substitution u = x mit du =, dass x + 4 = = + x = lnu + u + + C = ln = ln x + x C = ln + ln x + x + 4 = ln x + x D, [ x arctan λ] λ du = arsinhu u + x + + C x + + C wobei D = C + ln. Es folgt also x + 4 K = lim x + x + 4 K x + [ = lim ln x + ] x + 4 K ln x + = lim ln K ln + + K ln + = lim ln K + K ln. Zur Berechnung des Grenzwerts beachten wir und + K K asymptotisch für ; also K K = K. Wenn K < ist, dann gilt K + und damit auch lim +4 + K konvergiert das Integral in diesem Fall nicht. =. Daher Wenn K > ist, dann gilt K ist + und damit auch lim +4 + K lim ln Das Integral konvergiert ebenfalls nicht K =. = und somit Siehe nächstes Blatt!

13 Wenn K = ist, dann ist + lim = lim =. Deshalb konvergiert in diesem Fall das Integral und es gilt x + 4 K K= + = ln lim + 4 = ln. x + +