Ferienserie 13. D-MAVT, D-MATL Analysis I HS 14. Die schriftlichen Aufgaben dieser Serie werden nicht abgegeben und korrigiert.

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1 D-MAVT, D-MATL Analsis I HS 4 Prof. Dr. Paul Biran Nicolas Herzog Ferienserie 3 Die schriftlichen Aufgaben dieser Serie werden nicht abgegeben und korrigiert.. Man finde eine Rekursionsformel für die Grössen und bestimme A bis A. A n := n e d (n ). In der nachstehenden Figur ist K ein Parabelbogen. In welchem Verhältnis stehen die Flächen F und F?(Hinweis:MandarfdieParabelohneEinschränkunginderForm = annehmen.) F K F 3. Der Kreiszlinder + z ( beliebig) wird längs der Halbebenen + =,, und =,, (z beliebig) eingesägt. Man berechne das Volumen des entstehenden Keils. 4. Bestimmen Sie die Menge aller Parabeln der Form = a + b, a>, b>, welche mit der -Achse die Fläche 4 einschliessen. Skizze! 3 Bitte wenden!

2 5. Man berechne das polare Trägheitsmoment des Windrädchens bezüglich(, ) [Analsis Prüfung HS 994] Bestimmen Sie den Schwerpunkt der homogenen konischen Welle (Rotationsachse = -Achse) der untenstehenden Figur. z d D L 7. Berechnen Sie den Schwerpunkt des in der Figur dargestelltenhomogenenhalbrund- Niets (im Flugzeugbau verwendet). Es sind d =6mm, D =8mm, k =.5 mm, l =8mm. Siehe nächstes Blatt!

3 k l D R d 8. Berechnen Sie die folgenden uneigentlichen Integrale, sofern diese eistieren. a) b) d ln, d (ln ), c) d) d + 4. d (für λ>). λ + 9. Man finde den Wert für die Konstante C, wofürdasintegral ( +4 C ) d + konvergiert, und berechne das Integral.. Sei f : [, ) R eine stetige Funktion. Die Laplace-Transformation Lf von f ist durch Lf(s) := f(t)e st dt, definiert, wobei der Definitionsbereich von Lf die Menge aller s ist, wofür das Integral oben konvergiert. Die Laplace-Transformation ist unter anderen ein Instrument Bitte wenden!

4 für die Lösung von Differentialgleichungen und spielt eine besonders wichtige Rolle in der Regelungstechnik. Man bestimme die Laplace-Transformationen von a) f : t b) g : t e t c) h : t t. Man verifiziere, dass die Funktion f :(, ) log ( + ) Lösung der Differentialgleichung f + f = ist.. Es seien φ und ψ gegebene Funktionen einer Variablen. Hieraus wird die Funktion g(, ) := φ ( + ψ() ) gebildet. Zeige : Für jede Wahl von φ und ψ gilt g g = g g. 3. Allen Studenten der Analsis wünschen wir fröhliche Weihnachten! Siehe nächstes Blatt!

5 Die letzten Aufgaben sind Multiple-Choice-Aufgaben (MC-Aufgaben), die online gelöst werden. Bitte schicken Sie Ihre Lösungen zu den MC-Fragen bis Samstag, 3..5 ab.. Welche der folgenden Kurven ist die längste? Bemerkung: Sie müssen die Länge nicht eplizit ausrechnen. (a) Der Graph der Funktion g : [, ] R, 3. (b) Der Graph der Funktion g : [, ] R, 3. (c) Der Graph der Funktion g 3 : [, ] R, 4.. Die Kurve K mit Parameter t ist gegeben durch (t) = t cos(u) t du, (t) = u sin(u) u du, wobei t.was ist die Bogenlänge von K vom Koordinatenursprung bis zum ersten Punkt mit vertikaler Tangente? (a) (b) (c) (d) log ( ) π π log ( ) 3π 3π Bitte wenden!

6 3. Das Integral 3 d beträgt (a) log. 4 (b). (c) 3 log. 4 (d) Keine der obigen Antworten. 4. Das uneigentliche Integral d ist gleich ln () (a) e (b) ln (ln ()). (c) 5. Berechnen Sie die Bogenlänge s der Kurve, die gegeben ist durch t r (t) =e t (cos t, sin t), t< (a) s = (b) s = (c) s = (d) s =3 (e) s = (f) Siehe nächstes Blatt!

7 6. Für welche Grenzen a und b konvergiert das uneigentliche Integral! a b d ( + + )? Bemerkung: Sie müssen das Integral nicht ausrechnen. (a) a = und b = (b) a = und b = (c) a = und b = (d) a = und b = (e) a = und b = 7. Welche Funktion R R passt zum folgenden Graphen? z (a) f (, ) = (b) f (, ) = (c) f (, ) = + Bitte wenden!

8 8. Welche Funktion R R passt zum folgenden Graphen? z (a) f(, ) = (b) f(, ) = (c) f(, ) = + 9. Sei f(, ) =(cos()).danngiltfürdiepartielleableitungenvonf: (a) (b) (c) f(,) f(,) f(,) = tan()(cos()) sin() und f(,) =( sin()). = tan()(cos()) und f(,) = ln(cos())(cos()). = (cos()) sin() und f(,) = (cos()). Siehe nächstes Blatt!

9 . Welche Niveaulinien passen zur Funktion f(, ) =? (a) (b) Bitte wenden!

10 . Welche Niveaulinien passen zur Funktion f(, ) =4 +? (a) (b) Siehe nächstes Blatt!

11 . Betrachten Sie die Abbildungen f(, ) = e +, g(, ) = +, h(, ) = sin (). Welche der folgenden Aussagen sind richtig? (a) f (, ) =( +)e +. (b) f (, ) = ( + )e +. (c) g (, ) =e (+). (d) g (, ) = + ln. (e) (f) h (, ) = sin(). h (, ) = sin ()+ sin()cos().